Nonlocal problem for partial differential equations of fractional order

Abstract


A nonlocal problem is investigated for the partial differential equation (diffusion equation of fractional order) in a finite domain. The boundary condition contains a linear combination of generalized operators of fractional integro-differentiation used on the solution in the characteristics and the solution and its derivative in the degenerating line. The uniqueness of the solution is proved by a modified Tricomi method. The existence of the solution is equivalently reduced to the question of the solvability of Fredholm integral equations of the second kind.

Full Text

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение α uxx - D0+,y u = 0 (y > 0, 0 < α < 1), 2m u y + y uyy + λ uy = 0 (y < 0), xx (1) α где D0+,y - частная дробная производная Римана-Лиувилля порядка α от функции u(x, y) по второй переменной [1, с. 341]: α (D0+,y u)(x, y) = 1 ∂ ∂y Γ(1 - α) y 0 u(x, t)dt (y - t)α (0 < α < 1, y > 0), © 2015 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Р е п и н О. А., Т а р а с е н к о А. В. Нелокальная задача для уравнения с частной производной дробного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. T. 19, № 1. С. 78-86. doi: 10.14498/vsgtu1398. 78 Нелокальная задача для уравнения с частной производной дробного порядка m - натуральное число, λ = const, (1 - 2m)/2 λ < 1 в конечной области Ω, ограниченной отрезками AA0 , BB0 , A0 B0 прямых x = 0, x = 1, y = 1 соответственно и характеристиками уравнения (1) при y < 0: AC : x - 2m+1 2 (-y) 2 = 0, 2m + 1 BC : x + 2m+1 2 (-y) 2 = 1 2m + 1 Пусть Ω+ = Ω ∩ (y > 0), Ω- = Ω ∩ (y < 0), I ≡ AB - единичный интервал 0 < x < 1 прямой y = 0. Задача.Найти решение u(x, y) уравнения (1) в области Ω, удовлетворяющее краевым условиям u(0, y) = ϕ1 (y), u(1, y) = ϕ2 (y), 0 < y < 1, (2) α1 α2 a(x) I0+,β1 ,η1 δ(t)u[Θ0 (t)] (x) + b(x) I1-,β2 ,η2 w(t)u[Θ1 (t)] (x)+ + c(x)u(x, 0) + d(x) lim (-y)λ uy (x, y) = γ(x), y→0-0 x ∈ I (3) и условиям сопряжения lim y→0+0 lim y→0+0 y 1-α u(x, y) = lim u(x, y), y→0-0 y 1-α y 1-α u(x, y) y x ∈ I, = lim (-y)λ uy (x, y), y→0-0 (4) x ∈ I. (5) Здесь ϕi (y) (i = 1, 2), a(x), b(x), c(x), d(x), γ(x), δ(x), w(x) - заданные функции, причем a2 (x) + b2 (x) + c2 (x) + d2 (x) = 0, b(0) = 0, a(x), b(x), c(x), d(x), γ(x) ∈ C 1 (I) ∩ C 3 (I), y 1-α ϕ1 (y), y 1-α ϕ2 (y) ∈ C(I), ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = 0; Θ0 (x) и Θ1 (x) - точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ I, с характеристиками AC и BC соответственно; α,β,η α,β,η (I0+ f )(x), (I1- f )(x) - обобщённые операторы дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса F (a, b; c; z), введённые в работе [2] (см. также [1, с. 326, 327] [3, с. 14]) и имеющие при действительных α, β, η и x > 0 следующий вид : α,β,η (I0+ f )(x) =  -α-β  x     Γ(α)        d dx n x (x - t)α-1 F α + β, -η; α; 1 - 0 α+n,β-n,η-n I0+ f (t) t f (t) dt x (α > 0), (x) (α 0, n = [-α] + 1); 79 Р е п и н О. А., Т а р а с е н к о А. В. α,β,η (I1- f )(x) =  -α-β  (1 - x)    Γ(α)   d - dx       в частности n 1 (t - x)α-1 F α + β, -η; α; x t-x f (t) dt 1-x (α > 0), α+n,β-n,η-n I1- f (t) (x) (α 0,0,η (I0+ f )(x) = f (x), 0, n = [-α] + 1), 0,0,η (I1- f )(x) = f (x). А. Н. Кочубей [4] назвал уравнение (1) при y > 0 уравнением диффузии дробного порядка. При y < 0 уравнение (1) является моделью гиперболических уравнений второго порядка, тип и порядок которых вырождаются на одном и том же (n - 1)-мерном континууме [5, с. 274]. Будем искать решение поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых в области Ω функций u(x, y), таких, что y 1-α u(x, y) ∈ C(Ω+ ), u(x, y) ∈ C(Ω- ), y 1-α (y 1-α uy )y ∈ C(Ω+ ∪ {(x, y) : 0 < x < 1, y = 0}), uxx ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ), uyy ∈ C(Ω- ). 2. Единственность решения задачи. Пусть существует решение исследуемой задачи. Введём следующие обозначения: lim y 1-α u(x, y) = τ1 (x), lim u(x, y) = τ2 (x), y→0+0 y→0-0 lim y 1-α (y 1-α u(x, y))y = ν1 (x), y→0+0 τ1 (x) = τ2 (x) = τ (x), lim (-y)λ uy (x, y) = ν2 (x), y→0-0 ν1 (x) = ν2 (x) = ν(x). Теорема 1.В области Ω не может существовать более одного решения задачи (1)-(5), если 0 < α < 1, (1 - 2m)/2 < λ < 1 и если α1 = α2 = β - 1, (6) и либо β1 = β2 = 1 - 2β, η1 = η2 = 0, δ(x) = w(x) = 1, (7) либо β1 = β2 = 0, η1 = η2 = 1 - 2β, δ(x) = x2β-1 , w(x) = (1 - x)2β-1 , (8) и выполнении условий µ(x) = k0 a(x) + b(x) - a(1) µ(1) 80 0, b(0) µ(0) 0, a(x) µ(x) Γ(β) d(x) = 0 Γ(2β) 0, b(x) µ(x) ∀x ∈ I, 0, k0 = - c(x) µ(x) 0 k2 , k1 (9) ∀x ∈ I (10) Нелокальная задача для уравнения с частной производной дробного порядка или α1 = α2 = -β, (11) и либо β1 = β2 = 0, η1 = η2 = 2β - 1, δ(x) = w(x) = 1, (12) либо β1 = β2 = 2β - 1, δ(x) = x2β-1 , η1 = η2 = 0, w(x) = (1 - x)2β-1 , (13) ∀x ∈ I, (14) и выполнении условий E(x) = k1 (a(x) + b(x)) + c(x) = 0 a(1) b(0) + E(1) E(0) a(x) E(x) 0, b(x) E(x) 0, 0, d(x) E(x) 0 ∀x ∈ I, (15) где k1 = Γ(2β) , Γ(β) k2 = - Γ(1 - 2β) 2m + 1 , 2Γ(1 - β) 4 β= 2m - 1 + 2λ , 2(2m + 1) 1 0<β< . 2 Д о к а з а т е л ь с т в о. Известно [6, 7], что функциональное соотношение между τ (x) и ν(x), принесённое из параболической области Ω+ на линию y = 0, имеет вид 1 ν(x) = τ (x). (16) Γ(1 + α) Рассмотрим интеграл 1 I∗ = τ (x)ν(x)dx. 0 Подставим ν(x) из (16) в I ∗ . Учитывая, что τ (0) = ϕ1 (0) = τ (1) = ϕ2 (0) = 0, получим 1 1 I∗ = - [τ (x)]2 dx 0. (17) Γ(1 + α) 0 Далее на основании результатов работы [8] выпишем функциональное соотношение между τ (x) и ν(x), принесённое на I из гиперболической части Ω- смешанной области Ω в двух случаях. Первый случай. Пусть выполняются условия (6)-(10) теоремы 1. Тогда Γ(β) γ(x), Γ(2β)µ(x) (18) 1-2β 1-2β где (D0+ f )(x) и (D1- f )(x) - операторы дробного дифференцирования Римана-Лиувилля [1, с. 44]; 1-2β 1-2β ν(x) = A1 (x)(D0+ τ )(x) + B1 (x)(D1- τ )(x) + C1 (x)τ (x) - A1 (x) = a(x) , µ(x) B1 (x) = b(x) , µ(x) C1 (x) = Γ(β)c(x) . Γ(2β)µ(x) 81 Р е п и н О. А., Т а р а с е н к о А. В. Второй случай. Пусть выполняются условия (11)-(15) теоремы 1. Тогда 1-2β 1-2β τ (x) = a1 (x)(I0+ ν)(x) + b1 (x)(I1- ν)(x) + c1 (x)ν(x) + γ1 (x), (19) 1-2β 1-2β где (I0+ f )(x) и (I1- f )(x) - дробные интегралы Римана-Лиувилля [1, с. 42]; a1 (x) = -k2 a(x) , E(x) b1 (x) = -k2 b(x) , E(x) c1 (x) = d(x) , E(x) γ1 = γ(x) . k1 E(x) В работе [8] с учетом функционального соотношения (18) или (19) доказано, что I ∗ 0. А тогда, учитывая (17), имеем I ∗ = 0. Далее схема доказательства тождества u(x, y) ≡ 0 аналогична [8, 9]. Теорема 2.В области Ω не может существовать более одного решения задачи (1)-(5), если 0 < α < 1, λ = (1 - 2m)/2 (β = 0), E1 (x) = 2d(x) - a(x) - b(x) = 0 b(x) - a(x) E1 (x) 0, c(x) E1 (x) ∀x ∈ I, ∀x ∈ I. 0 Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2 непосредственно следует из равенства I ∗ = 0 с учётом соотношения [10] ν(x) = A2 (x)τ (x) + B2 (x)τ (x) + γ2 (x), (20) где A2 (x) = b(x) - a(x) , E1 (x) B2 (x) = - 2c(x) , E1 (x) γ2 (x) = 2γ(x) . E1 (x) 3. Существование решения задачи. Интегрируя (16) дважды от 0 до x и учитывая условия (2), получим x 1 (x - ξ)ν(ξ)dξ - x τ (x) = Γ(1 + α) 0 (1 - ξ)ν(ξ)dξ . (21) 0 Рассмотрим вначале случай (1 - 2m)/2 < λ < 1. Исключив ν(x) из (18) и (21), будем иметь 1 ξ d τ (t)dt Γ(1 + α) x (1 - ξ) A1 (ξ) - Γ(2β) dξ 0 (ξ - t)1-2β 0 1 d τ (t)dt Γ(β)γ(ξ) - B1 (ξ) + Γ(2β)C1 (ξ)τ (ξ) - dξ - 1-2β dξ ξ (t - ξ) µ(ξ) τ (x) + Γ(1 + α) Γ(2β) d - B1 (ξ) dξ x - 82 0 1 ξ τ (t)dt (t - ξ)1-2β d dξ ξ τ (t)dt - 1-2β 0 (ξ - t) Γ(β)γ(ξ) + Γ(2β)C1 (ξ)τ (ξ) - dξ . µ(ξ) (x - ξ) A1 (ξ) Нелокальная задача для уравнения с частной производной дробного порядка Проинтегрировав в полученном выражении двойные интегралы по частям, а затем поменяв порядок интегрирования, получим 1 K(x, t)τ (t)dt = f (x), τ (x) + (22) 0 где K1 (x, t), t K2 (x, t), t K(x, t) = x, x, x Γ(1 + α) [(1 - ξ)A1 (ξ)] dξ x + Γ(2β) (ξ - t)1-2β t 1 t [(1 - ξ)B1 (ξ)] dξ [(1 - ξ)B1 (ξ)] dξ + + + (ξ - t)1-2β (t - ξ)1-2β x 0 x [(x - ξ)A (ξ)] dξ t [(x - ξ)B (ξ)] dξ 1 1 Γ(1 + α) ξ ξ + + + 1-2β Γ(2β) (ξ - t) (t - ξ)1-2β t 0 + Γ(1 + α)ξ(x - 1)c1 (ξ); K1 (x, t) = - K2 (x, t) = - f (x) = 1 Γ(1 + α) [(1 - ξ)A1 (ξ)] dξ x - Γ(2β) (ξ - t)1-2β t x 1 [(1 - ξ)B1 (ξ)] dξ [(1 - ξ)B1 (ξ)] dξ - - + 1-2β (t - ξ) (t - ξ)1-2β 0 x Γ(1 + α) x [(x - ξ)B1 (ξ)]ξ dξ + + Γ(1 + α)x(1 - ξ)c1 (ξ); Γ(2β) 0 (t - ξ)1-2β 1 Γ(β)Γ(1 + α) x Γ(2β) 0 (1 - ξ)γ(ξ) dξ - µ(ξ) x 0 (x - ξ)γ(ξ) dξ . µ(ξ) В силу сделанных предположений относительно гладкости известных функций можно заключить, что K(x, t) ∈ C(I × I) ∩ C 3 (I × I), f (x) ∈ C 1 (I) ∩ C 3 (I). Таким образом, уравнение (22) есть уравнение Фредгольма второго рода относительно τ (x), безусловная разрешимость которого в требуемом классе функций следует из единственности решения задачи. При выполнении условий (11)-(15) теоремы 1, используя функциональные соотношения (19) и (21), существование решения задачи (1)-(5) также сведем к разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Пусть теперь λ = (1 - 2m)/2, β = 0. Исключив ν(x) из соотношений (20) и (21), после несложных вычислений придём к уравнению 1 τ (x) + K3 (x, ξ)τ (ξ)dξ = F (x), (23) 0 83 Р е п и н О. А., Т а р а с е н к о А. В. где K3 (x, ξ) = K4 (x, ξ), K5 (x, ξ), ξ ξ x, x, K4 (x, ξ) = Γ(1 + α)[(x - 1)(A2 (ξ) + ξA2 (ξ)) + ξ(1 - x)B2 (ξ)], K5 (x, ξ) = Γ(1 + α)x[(1 - ξ)(A2 (ξ) + B2 (ξ)) - A2 (ξ)], x 1 (x - ξ)γ2 (ξ)dξ - x F (x) = Γ(1 + α) 0 (1 - ξ)γ2 (ξ)dξ . 0 В силу сделанных ранее предположений относительно гладкости известных функций можно заключить, что K3 (x, ξ) ∈ C(I × I) ∩ C 3 (I × I), F (x) ∈ C 1 (I) ∩ C 3 (I). Следовательно, уравнение (23) есть уравнение Фредгольма второго рода относительно τ (x), безусловная разрешимость которого в требуемом классе функций следует из единственности решения задачи (1)-(5).

About the authors

Oleg A Repin

Samara State Economic University

Email: matstat@mail.ru
141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation; 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; matstat@mail.ru; Corresponding Author), Head of Department, Dept. of Mathematical Statistics and Econometrics

Anna V Tarasenko

Samara State University of Architecture and Civil Engineering

Email: tarasenko.a.v@mail.ru
194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; tarasenko.a.v@mail.ru), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics

References

  1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  2. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function // Math. Rep. Coll. Gen. Educ., Kyushu Univ., 1978. vol. 11, no. 2. pp. 135-143.
  3. Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов, 1992. 164 с.
  4. Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Диффер. уравн., 1990. Т. 26, № 4. С. 660-670.
  5. Бицадзе А. Н. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
  6. Геккиева С. Х. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Известия КБНЦ РАН, 2001. № 2(7). С. 78-80.
  7. Килбас А. А., Репин О. А. О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа с частной дробной производной Римана-Лиувилля // Диффер. уравн., 2010. Т. 46, № 10. С. 1453-1460.
  8. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача с дробными производными для уравнения смешанного типа // Изв. вузов. Матем., 2014. № 8. С. 79-85.
  9. Репин О. А., Кумыкова С. К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Диффер. уравн., 2012. Т. 48, № 8. С. 1140-1149.
  10. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа // Изв. вузов. Матем., 2013. № 8. С. 57-65.

Statistics

Views

Abstract - 14

PDF (Russian) - 1

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies