# Abstract

Theory of bigravity is one of approaches proposed to solve the dark energy problem of the Universe. It deals with two metric tensors, each one is minimally coupled to the corresponding set of matter ﬁelds. The bigravity Lagrangian equals to a sum of two General Relativity Lagrangians with the different gravitational coupling constants and different ﬁelds of matter accompanied by the ultralocal potential. As a rule, such a theory has 8 gravitational degrees of freedom: the massless graviton, the massive graviton and the ghost. A special choice of the potential, suggested by de Rham, Gabadadze and Toley (dRGT), allows to avoid of the ghost. But the dRGT potential is constructed by means of the matrix square root, and so it is not an explicit function of the metrics components. One way to do with this difficulty is to apply tetrads. Here we consider an alternative approach. The potential as a differentiable function of metrics components is supposed to exist, but we never appeal to the explicit form of this function. Only properties of this function necessary and sufficient to exclude the ghost are studied. The ﬁnal results are obtained from the constraint analysis and the Poisson brackets calculations. The gravitational variables are the two induced metrics and their conjugated momenta. Also lapse and shift variables for both metrics are involved. After the exclusion of 3 auxiliary variables we stay with 4 ﬁrst class constraints and 2 second class ones responsible for the ghost exclusion. The requirements for the potential are as follows: 1) the potential should satisfy a system of the ﬁrst order linear differential equations; 2) the potential should satisfy the homogeneous Monge-Ampere equation in 4 auxiliary variables; 3) the Hessian of the potential in 3 auxiliary variables is non-degenerate.

# Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного автором на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 105 С о л о в ь е в В. О. Введение. Теории гравитации с двумя метриками пространства-времени периодически обсуждались в литературе [2-11]. В настоящее время интерес к ним объясняется надеждой решить проблему темной энергии. Вторая метрика может быть фиксированной или динамической. В первом случае мы имеем дело с массивной гравитацией, во втором - с бигравитацией. Давно было замечено, что массивная гравитация приводит к появлению так называемого духа Бульвара-Дезера [12]. Однако де Рам, Габададзе, Толи (dRGT) нашли весьма экзотические потенциалы, для которых этой неприятности удается избежать [10, 11, 13, 14]. Построение гамильтонова формализма для потенциалов dRGT является непростой задачей, так как в метрическом подходе их не удается записать в виде явной функции от компонент двух метрик. Альтернативой является применение тетрадных переменных [15-19], но и оно встречается со своими особыми трудностями. Здесь будет рассмотрен иной подход к построению гамильтонова формализма в метрических переменных, который не использует явное выражение для потенциала, предполагая только, что оно существует [20-24]. Мы будем обозначать пространственно-временные индексы строчными греческими буквами, а пространственные - строчными латинскими. 1. Гамильтониан бигравитации. Плотность лагранжиана бигравитации √ L = L (f ) + L (g) - -gU (fµν , gµν ) состоит из двух почти независимых слагаемых L (f ) = 1 (f ) κ(f ) L (g) = и потенциала (f -f f µν Rµν) + LM (ψ A , fµν ), 1 √ (g) (g) -gg µν Rµν + LM (φA , gµν ) κ(g) √ -gU (fµν , gµν ). Здесь fµν , gµν - две динамические метрики пространства-времени, а ψ A , φA - соответствующие поля источников. Мы построим гамильтонов формализм этой теории и определим число гравитационных степеней свободы. Разлагая метрические тензоры по координатному базису, приходим к замене компонент метрики fµν так называемыми переменными Арновитта-Дезера-Мизнера (ADM) [25]: ||fµν || = , ||gµν || = 106 -N 2 + ηmn N m N n ηjk N k ηik N k ηij ¯ ¯ ¯ ¯ -N 2 + γmn N m N n γjk N k k ¯ γik N γij , Бигравитация в гамильтоновом формализме где метрикам пространства-времени fµν , gµν соответствуют функции смеще¯ ¯ ния N , N , векторы сдвига N i , N i , индуцированные на гиперповерхности состояния x0 = const (пространственные) метрики ηij , γij . При этом оказывается, что единичная нормаль к гиперповерхности, заданная в метрике fµν , выражается через функции смещения и сдвига: nα = (-N, 0, 0, 0), nα = f αβ nβ = 1 Ni ,- . N N В дальнейшем вместо координатного базиса мы будем использовать базис Кухаржа [26-29] (nα , eα ), построеннный так, что i - X α - произвольная система координат пространства-времени; - eα (t, xi ) - функции вложения, eα = ∂eα ∂xi , i - X α = eα (t, xi ) - представление пространства-времени как однопараметрического семейства пространственноподобных гиперповерхностей постоянного t, - ηij = fµν eµ eν , γij = gµν eµ eν - индуцированные (пространственные) метi j i j рики. Тензоры и векторы пространства-времени могут быть разложены по этому базису, например, ∂eα = N nα + N i eα , i ∂t µ nν (-1)n 0 ||f µν || = ij eµ eν 0 η i j Nα ≡ ||g µν || = -u-2 nµ nν ui u-2 eµ nν i , uj u-2 nµ eν j (γ ij - ui uj u-2 )eµ eν i j , где u= ¯ N , N ui = ¯ Ni - Ni . N ¯ ¯ Здесь функции N , N i получаются как компоненты разложения N α по друα , eα ), построенному с помощью метрики g , при этом оказыгому базису (¯ n i µν вается, что nα = u¯ α + ui eα . n i Выгода перехода к базису Кухаржа состоит в том, что две метрики fµν и gµν в разложении Кухаржа имеют разное число независимых компонент. Так как базис (nα , eα ) был определен на основе f -метрики, эта метрика fµν имеi ет только 6 переменных компонент ηij = fµν eµ eν , а метрика gµν задается i j десятью переменными u, ui ,γij . В общем случае гамильтониан системы со связями 1-го рода имеет вид H = H0 + λα Φα , где Φα - набор связей 1-го рода, то есть выполнены условия инволюции: γ {Φα , Φβ } = Cαβ Φγ , β {Φα , H0 } = Dα Φβ . 107 С о л о в ь е в В. О. В общей теории относительности (ОТО) гамильтониан с точностью до поверхностных интегралов является линейной комбинацией 4-х связей Hα = = (H , Hi ): H= N α Hα d3 x, причем {Hi (x), Hj (y)} = Hi (y)δ,j (x - y) + Hj (x)δ,i (x - y), {Hi (x), H (y)} = H (x)δ,i (x - y), {H (x), H (y)} = η ij (x)Hj (x) + η ij (y)Hj (y) δ,i (x - y). Гамильтониан бигравитации имеет вид H = N R + N i Ri d3 x, где δH ¯ ¯ ˜ = H + uH + ui Hi + U (ηij , γij , u, ui ), δN δH ¯ = Hi + Hi , Ri = δN i R = причем Rα должны быть связями, удовлетворяющими той же алгебре, то есть {Ri (x), Rj (y)} = Ri (y)δ,j (x - y) + Rj (x)δ,i (x - y), {Ri (x), R(y)} = R(x)δ,i (x - y), {R(x), R(y)} = η ij (x)Rj (x) + η ij (y)Rj (y) δ,i (x - y). Вычисление вышеприведенных скобок Пуассона показывает, что необходимыми условиями реализации этой алгебры является выполнение следующих дифференциальных уравнений: ˜ ˜ ˜ ∂U ∂U ∂U i ˜ + 2γjk - ui k = δk U , ∂ηij ∂γij ∂u ˜ ˜ ˜ ∂U ∂U ∂U

Institute for High Energy Physics, NRC “Kurchatov Institute”

1, Ploschad’ Nauki, Protvino, Moskovskaya obl., 142281, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci.; Vladimir.Soloviev@ihep.ru), Senior Research Associate, Division of Theoretical Physics

# References

1. Соловьев В. О. Бигравитация в гамильтоновом формализме / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 334-335.
2. Rosen N. General Relativity and Flat Space. I // Phys. Rev., 1940. vol. 57, no. 2. pp. 147-150. doi: 10.1103/physrev.57.147.
3. Rosen N. General Relativity and Flat Space. II // Phys. Rev., 1940. vol. 57, no. 2. pp. 150-153. doi: 10.1103/physrev.57.150.
4. Rosen N. Flat-space metric in general relativity theory // Ann. of Phys., 1963. vol. 22, no. 1. pp. 1-11. doi: 10.1016/0003-4916(63)90293-8.
5. Rosen N. A bi-metric theory of gravitation // Gen. Rel. Grav., 1973. vol. 4, no. 6. pp. 435-447. doi: 10.1007/bf01215403.
6. Isham C. J., Salam A., Strathdee J. Spontaneous breakdown of conformal symmetry // Phys. Lett. B, 1970. vol. 31, no. 5. pp. 300-302. doi: 10.1016/0370-2693(70)90177-2.
7. Isham C. J., Salam A., Strathdee J. f -Dominance of Gravity // Phys. Rev. D, 1971. vol. 3, no. 4. pp. 867-873. doi: 10.1103/physrevd.3.867.
8. Zumino B. Eﬀective Lagrangians and broken symmetries / Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory. vol. 2; eds. S. Deser, M. Grisaru, H. Pedleton. Cambridge, MA: MIT Press, 1970. pp. 437-500.
9. Damour T., Kogan I. I. Eﬀective Lagrangians and universality classes of nonlinear bigravity // Phys. Rev. D, 2002. vol. 66, no. 10, 104024. 17 pp., arXiv: hep-th/0206042. doi: 10.1103/physrevd.66.104024.
10. de Rham C., Gabadadze G., Tolley A. J. Resummation of Massive Gravity // Phys. Rev. Lett., 2011. vol. 106, no. 23, 231101. 4 pp., arXiv: 1011.1232 [hep-th]. doi: 10.1103/physrevlett.106.231101.
11. de Rham C., Gabadadze G., Tolley A. J. Ghost free massive gravity in the Stückelberg language // Phys. Lett. B, 2012. vol. 711, no. 2. pp. 190-195, arXiv: 1107.3820 [hep-th]. doi: 10.1016/j.physletb.2012.03.081.
12. Boulware D. G., Deser S. Can Gravitation Have a Finite Range? // Phys. Rev. D, 1972. vol. 6, no. 12. pp. 3368-3382. doi: 10.1103/physrevd.6.3368.
13. Hassan S. F., Rosen R. A. Bimetric gravity from ghost-free massive gravity // J. High Energ. Phys. vol. 2012, no. 2, 126, arXiv: 1109.3515 [hep-th]. doi: 10.1007/jhep02(2012)126.
14. Hassan S. F., Rosen R. A. Conﬁrmation of the secondary constraint and absence of ghost in massive gravity and bimetric gravity // J. High Energ. Phys., 2012. vol. 2012, no. 4, 123, arXiv: 1111.2070 [hep-th]. doi: 10.1007/jhep04(2012)123.
15. Hinterbichler K., Rosen R. A. Interacting spin-2 ﬁelds // J. High Energ. Phys., 2012. vol. 2012, no. 7, 047, arXiv: 1203.5783 [hep-th]. doi: 10.1007/jhep07(2012)047.
16. Alexandrov S., Krasnov K., Speziale S. Chiral description of massive gravity // J. High Energ. Phys., 2013. vol. 2013, no. 6, 068, arXiv: 1212.3614 [hep-th]. doi: 10.1007/JHEP06(2013)068.
17. Alexandrov S. Canonical structure of tetrad bimetric gravity // Gen. Rel. Grav., 2014. vol. 46, no. 1, 1639, arXiv: 1308.6586 [hep-th]. doi: 10.1007/s10714-013-1639-1.
18. Kluson J. Hamiltonian formalism of bimetric gravity in vierbein formulation // Eur. Phys. J. C. vol. 74, no. 8, 2985, arXiv: 1307.1974 [hep-th]. doi: 10.1140/epjc/s10052-014-2985-1.
19. Soloviev V. O. Bigravity in tetrad Hamiltonian formalism and matter couplings, 2014. 25 pp., arXiv: 1410.0048 [hep-th].
20. Соловьев В. О., Чичикина М. В. Бигравитация в гамильтоновом формализме Кухаржа. Общий случай // ТМФ, 2013. Т. 176, № 3. С. 393-407. doi: 10.4213/tmf8450.
21. Soloviev V. O., Tchichikina M. V. Bigravity in Kuchar's Hamiltonian formalism. 2. The special case // Phys. Rev. D, 2013. vol. 88, no. 8, 084026, arXiv: 1302.5096 [hep-th]. doi: 10.1103/PhysRevD.88.084026.
22. Comelli D., Crisostomi M., Nesti F., Pilo L. Degrees of freedom in massive gravity // Phys. Rev. D, 2012. vol. 86, no. 10, 101502(R), arXiv: 1204.1027 [hep-th]. doi: 10.1103/physrevd.86.101502.
23. Comelli D., Nesti F., Pilo L. Weak massive gravity // Phys. Rev. D, 2013. vol. 87, no. 12, arXiv: 1302.4447 [hep-th]. doi: 10.1103/physrevd.87.124021.
24. Comelli D., Nesti F., Pilo L. Massive gravity: a general analysis // J. High Energ. Phys., 2013. vol. 2013, no. 7, 161, arXiv: 1305.0236 [hep-th]. doi: 10.1007/jhep07(2013)161.
25. Arnowitt R., Deser S., Misner Ch. W. The Dynamics of General Relativity, Chapter 7 /Gravitation: an introduction to current research; ed. L. Witten: Wiley, 1962. pp. 227-265
26. Arnowitt R., Deser S., Misner Ch. W. Republication of: The dynamics of general relativity // Gen. Relativ. Gravit. vol. 40, no. 9. pp. 1997-2027, arXiv: gr-qc/0405109. doi: 10.1007/s10714-008-0661-1.
27. Kuchař K. Geometry of hyperspace. I // J. Math. Phys., 1976. vol. 17, no. 5. pp. 777-791. doi: 10.1063/1.522976.
28. Kuchař K. Kinematics of tensor ﬁelds in hyperspace. II // J. Math. Phys., 1976. vol. 17, no. 5. pp. 792-800. doi: 10.1063/1.522977.
29. Kuchař K. Dynamics of tensor ﬁelds in hyperspace. III // J. Math. Phys., 1976. vol. 17, no. 5. pp. 801-820. doi: 10.1063/1.522978.
30. Kuchař K. Geometrodynamics with tensor sources. IV // J. Math. Phys., 1977. vol. 18, no. 8. pp. 1589-1597. doi: 10.1063/1.523467.
31. Fairlie D., Leznov A. General solutions of the Monge-Ampère equation in n-dimensional space // J. Geom. Phys., 1995. vol. 16, no. 4. pp. 385-390, arXiv: hep-th/9403134. doi: 10.1016/0393-0440(94)00035-3.

# Statistics

#### Views

Abstract - 66

PDF (Russian) - 11

### Refbacks

• There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University