Bigravity in Hamiltonian formalism

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного автором на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 105 С о л о в ь е в В. О. Введение. Теории гравитации с двумя метриками пространства-времени периодически обсуждались в литературе [2-11]. В настоящее время интерес к ним объясняется надеждой решить проблему темной энергии. Вторая метрика может быть фиксированной или динамической. В первом случае мы имеем дело с массивной гравитацией, во втором - с бигравитацией. Давно было замечено, что массивная гравитация приводит к появлению так называемого духа Бульвара-Дезера [12]. Однако де Рам, Габададзе, Толи (dRGT) нашли весьма экзотические потенциалы, для которых этой неприятности удается избежать [10, 11, 13, 14]. Построение гамильтонова формализма для потенциалов dRGT является непростой задачей, так как в метрическом подходе их не удается записать в виде явной функции от компонент двух метрик. Альтернативой является применение тетрадных переменных [15-19], но и оно встречается со своими особыми трудностями. Здесь будет рассмотрен иной подход к построению гамильтонова формализма в метрических переменных, который не использует явное выражение для потенциала, предполагая только, что оно существует [20-24]. Мы будем обозначать пространственно-временные индексы строчными греческими буквами, а пространственные - строчными латинскими. 1. Гамильтониан бигравитации. Плотность лагранжиана бигравитации √ L = L (f ) + L (g) - -gU (fµν , gµν ) состоит из двух почти независимых слагаемых L (f ) = 1 (f ) κ(f ) L (g) = и потенциала (f -f f µν Rµν) + LM (ψ A , fµν ), 1 √ (g) (g) -gg µν Rµν + LM (φA , gµν ) κ(g) √ -gU (fµν , gµν ). Здесь fµν , gµν - две динамические метрики пространства-времени, а ψ A , φA - соответствующие поля источников. Мы построим гамильтонов формализм этой теории и определим число гравитационных степеней свободы. Разлагая метрические тензоры по координатному базису, приходим к замене компонент метрики fµν так называемыми переменными Арновитта-Дезера-Мизнера (ADM) [25]: ||fµν || = , ||gµν || = 106 -N 2 + ηmn N m N n ηjk N k ηik N k ηij ¯ ¯ ¯ ¯ -N 2 + γmn N m N n γjk N k k ¯ γik N γij , Бигравитация в гамильтоновом формализме где метрикам пространства-времени fµν , gµν соответствуют функции смеще¯ ¯ ния N , N , векторы сдвига N i , N i , индуцированные на гиперповерхности состояния x0 = const (пространственные) метрики ηij , γij . При этом оказывается, что единичная нормаль к гиперповерхности, заданная в метрике fµν , выражается через функции смещения и сдвига: nα = (-N, 0, 0, 0), nα = f αβ nβ = 1 Ni ,- . N N В дальнейшем вместо координатного базиса мы будем использовать базис Кухаржа [26-29] (nα , eα ), построеннный так, что i - X α - произвольная система координат пространства-времени; - eα (t, xi ) - функции вложения, eα = ∂eα ∂xi , i - X α = eα (t, xi ) - представление пространства-времени как однопараметрического семейства пространственноподобных гиперповерхностей постоянного t, - ηij = fµν eµ eν , γij = gµν eµ eν - индуцированные (пространственные) метi j i j рики. Тензоры и векторы пространства-времени могут быть разложены по этому базису, например, ∂eα = N nα + N i eα , i ∂t µ nν (-1)n 0 ||f µν || = ij eµ eν 0 η i j Nα ≡ ||g µν || = -u-2 nµ nν ui u-2 eµ nν i , uj u-2 nµ eν j (γ ij - ui uj u-2 )eµ eν i j , где u= ¯ N , N ui = ¯ Ni - Ni . N ¯ ¯ Здесь функции N , N i получаются как компоненты разложения N α по друα , eα ), построенному с помощью метрики g , при этом оказыгому базису (¯ n i µν вается, что nα = u¯ α + ui eα . n i Выгода перехода к базису Кухаржа состоит в том, что две метрики fµν и gµν в разложении Кухаржа имеют разное число независимых компонент. Так как базис (nα , eα ) был определен на основе f -метрики, эта метрика fµν имеi ет только 6 переменных компонент ηij = fµν eµ eν , а метрика gµν задается i j десятью переменными u, ui ,γij . В общем случае гамильтониан системы со связями 1-го рода имеет вид H = H0 + λα Φα , где Φα - набор связей 1-го рода, то есть выполнены условия инволюции: γ {Φα , Φβ } = Cαβ Φγ , β {Φα , H0 } = Dα Φβ . 107 С о л о в ь е в В. О. В общей теории относительности (ОТО) гамильтониан с точностью до поверхностных интегралов является линейной комбинацией 4-х связей Hα = = (H , Hi ): H= N α Hα d3 x, причем {Hi (x), Hj (y)} = Hi (y)δ,j (x - y) + Hj (x)δ,i (x - y), {Hi (x), H (y)} = H (x)δ,i (x - y), {H (x), H (y)} = η ij (x)Hj (x) + η ij (y)Hj (y) δ,i (x - y). Гамильтониан бигравитации имеет вид H = N R + N i Ri d3 x, где δH ¯ ¯ ˜ = H + uH + ui Hi + U (ηij , γij , u, ui ), δN δH ¯ = Hi + Hi , Ri = δN i R = причем Rα должны быть связями, удовлетворяющими той же алгебре, то есть {Ri (x), Rj (y)} = Ri (y)δ,j (x - y) + Rj (x)δ,i (x - y), {Ri (x), R(y)} = R(x)δ,i (x - y), {R(x), R(y)} = η ij (x)Rj (x) + η ij (y)Rj (y) δ,i (x - y). Вычисление вышеприведенных скобок Пуассона показывает, что необходимыми условиями реализации этой алгебры является выполнение следующих дифференциальных уравнений: ˜ ˜ ˜ ∂U ∂U ∂U i ˜ + 2γjk - ui k = δk U , ∂ηij ∂γij ∂u ˜ ˜ ˜ ∂U ∂U ∂U

About the authors

Vladimir O Soloviev

Institute for High Energy Physics, NRC “Kurchatov Institute”

Email: Vladimir.Soloviev@ihep.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; Vladimir.Soloviev@ihep.ru), Senior Research Associate, Division of Theoretical Physics 1, Ploschad’ Nauki, Protvino, Moskovskaya obl., 142281, Russian Federation

References

Supplementary files