Boundary value problems for matrix Euler-Poisson-Darboux equation with data on a characteristic

Abstract


We consider the system of $n$ partial differential equations in matrix notation (the system of Euler-Poisson-Darboux equations). For the system we formulate the Cauchy-Goursat and Darboux problems for the case when the eigenvalues of the coefficient matrix lie in $(0; 1/2)$. The coefficient matrix is reduced to the Jordan form, which allows to separate the system to the $r$ independent systems, one for each Jordan cell. The coefficient matrix in the obtained systems has the only one eigenvalue in the considered interval. For a system of equations having the only coefficient matrix in form of Jordan cell, which is the diagonal or triangular matrix, we can construct the solution using the properties of matrix functions. We form the Riemann-Hadamard matrices for each of $r$ systems using the Riemann matrix for the considered system, constructed before. That allow to find out the solutions of the Cauchy-Goursat and Darboux problems for each system of matrix partial differential equations. The solutions of the original problems are represented in form of the direct sum of the solutions of systems for Jordan cells. The correctness theorem for the obtained solutions is formulated.

Full Text

В настоящее время имеется ряд монографий и статей, посвященных краевым задачам и их корректности для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и его обобщений. Так, в монографии Р. С. Хайруллина [1] получены общие решения для всех возможных вещественных значений параметров и построены решения задачи Коши. Ранее в работах [2-4] получены решения различных краевых задач для систем двух уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу методом Римана [5], обобщенным на системы дифференциальных уравнений в частных производных. Известно, что метод решения задач Коши-Гурса и Дарбу для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу Uxy - b a c Ux + Uy + U =0 x-y x-y (x - y)2 в случае a = b = 1/6, c = 0 С. Геллерстедт [6] впервые применил метод, носящий название метода Римана-Адамара. Позже этот метод был обобщен [7,8] на один класс систем гиперболического типа второго порядка с двумя неизвестными переменными и кратными характеристиками - систему Эйлера- Пуассона-Дарбу. Рассмотрим следующую систему n дифференциальных уравнений в частных производных: ∂2U G ∂U G ∂U + - = 0, ∂ξ∂η η - ξ ∂ξ η - ξ ∂η (1) где U = (u1 , . . . , un ) , G - действительная n × n-матрица. В работе [7] построена матрица Римана и с её помощью получено решение задач Коши-Гурса и Дарбу для системы (1) при n = 2 и различных собственных значениях квадратной матрицы G из интервала (0; 1/2). В [9,10] получены решения задачи Коши для случаев, когда собственные значения матрицы G ∈ Rn×n - комлексно-сопряжённые с действительной частью из интервала (-1/2; 1/2). Необходимо найти решение задач Коши-Гурса и Дарбу для системы (1) в случае, когда спектр квадратной матрицы G принадлежит интервалу (0; 1/2). Задача Коши-Гурса. Найти вектор-функцию U (ξ, η), удовлетворяющую следующим условиям: ¯ 1) U (ξ, η) ∈ C(D) ∩ C 2 (D), где D = {(ξ, η) : 0 < ξ < η < 1}; 2) U (ξ, η) удовлетворяет системе (1); 3) выполняются условия U (0, η) = ψ(η), η ∈ [0; 1] , η - ξ ∂U ∂U lim K - = ν(ξ), ξ ∈ (0; 1), η-ξ→-0 2 ∂ξ ∂η (2) (3) где ψ(η) = (ψ1 (η), . . . , ψn (η)) , ν(ξ) = (ν1 (ξ), . . . , νn (ξ)) , K(t) = t2G . Задача Дарбу. Найти вектор-функцию U (ξ, η), удовлетворяющую следующим условиям: ¯ 1) U (ξ, η) ∈ C(D) ∩ C 2 (D), где D = {(ξ, η) : 0 < ξ < η < 1}; 604 Краевые задачи для матричного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. . . 2) U (ξ, η) удовлетворяет системе (1); 3) выполняются условия (2) и U (ξ, ξ) = τ (ξ), ξ ∈ [0, 1] , (4) где τ (η) = (τ1 (η), . . . , τn (η)) , τ (0) = ψ(0). Известно [11], что для любой матрицы G существует матрица перехода Q к жорданову базису такая, что Q-1 GQ = Λ, где Λ - блочно-диагональная матрица, которая является жордановой формой матрицы G. Матрица Λ состоит из r жордановых клеток   Λ1 0 0 ... 0  0 Λ2 0 . . . 0  Λ= , r n, ... ... ... ... ...  0 0 0 . . . Λr   λk 1 0 ... 0 0  0 λk 1 . . . 0 0    Λk = . . . . . . . . . . . . . . . . . .    0 0 0 . . . λk 1  0 0 0 . . . 0 λk lk r k=1 lk = n, соответствующая собственному - жорданова клетка порядка lk , значению λk . Также известно [11], что одному собственному значению может соответствовать более одной жордановой клетки. Количество s жордановых клеток размера lk , соответствующих собственному значению λk , вычисляется по формуле из [12]: s = rank((G - λk E)lk -1 ) - 2 rank((G - λk E)lk ) + rank((G - λk E)lk +1 ). После преобразования Q-1 GQ = Λ система (1) примет вид ˜ ˜ ˜ Λ ∂U Λ ∂U ∂2U + - = 0, ∂ξ∂η η - ξ ∂ξ η - ξ ∂η (5) ˜ U = Q-1 U. (6) где Очевидно, система уравнений (5) распадается на r независимых систем уравнений вида ˜ LU(k) = ˜ ˜ ˜ ∂ 2 U(k) Λk ∂ U(k) Λk ∂ U(k) + - = 0; ∂ξ∂η η - ξ ∂ξ η - ξ ∂η (7) условия Коши-Гурса (2), (3) для уравнения (7) будут иметь вид ˜ ˜ U(k) (0, η) = ψ(k) (η), η ∈ [0; 1] , ˜ ψ = Q-1 ψ (8) 605 А н д р е е в А. А., М а к с и м о в а Е. А. ˜ ˜ ∂ U(k) ∂ U(k) - = ν(k) (ξ), ˜ ∂ξ ∂η ˜ ν = Q-1 ν, K(k) (t) = tΛk , ˜ η-ξ ˜ K(k) η-ξ→-0 2 lim ξ ∈ (0; 1), (9) ˜ ˜ где U(k) , ψ(k) , ν(k) - группы координат вектор-функций, соответствующих ˜ жордановой клетке Λk . Условия Дарбу (2), (4) примут вид (8) и ˜ U(k) (ξ, ξ) = τ(k) (ξ), ˜ ξ ∈ [0; 1] , τ = Q-1 τ. ˜ (10) Существенную роль при решении задач (7), (8), (9) и (7), (8), (10) играет так называемая матрица Римана-Адамара. Определение. Матрицей Римана-Адамара Wi (ξ, η, ξ0 , η0 ) задачи Коши- Гурса (i = 1) или Дарбу (i = 2) будем называть, следуя [7], квадратную матрицу-функцию порядка n Wi (ξ, η, ξ0 , η0 ) = R(ξ, η; ξ0 , η0 ), η > ξ0 , Vi (ξ, η; ξ0 , η0 ), η < ξ0 , i = 1, 2, удовлетворяющую следующим требованиям: 1) каждая строка матрицы Wi относительно переменных (ξ, η) является решением системы L∗ Wi = 0; 2) каждый столбец матрицы Wi относительно переменных (ξ0 , η0 ) является решением системы (7); 3) Wi (ξ0 , η0 ; ξ0 , η0 ) = E; 4) Wi (ξ, ξ; ξ0 , η0 ) = 0, причем для различных i порядок нуля различен. Λk ∂ [Wi ] + [Wi ] при η = ξ0 , где 5) ∂ξ η-ξ [Wi ] = lim {R(ξ, ξ0 + ε; ξ0 , η0 ) - Vi (ξ, ξ0 + ε; ξ0 , η0 )} ε→0 - скачок функции Wi (ξ, η; ξ0 , η0 ) на линии η = ξ; W1 (ξ, η; ξ0 , η0 ) = f1 (Λk ) = =Γ Λk 2Λk , E - Λk (η - ξ)2 (ξ - ξ0 )(η - η0 ) Λk 2 F1 Λk , Λk 1 , 2Λk σ , W2 (ξ, η; ξ0 , η0 ) = f2 (Λk ) = =Γ E - Λk 2E - 2Λk , Λk (η - ξ)(η0 - ξ0 )E-2Λk 2 F1 ((ξ - ξ0 )(η - η0 ))E-Λk где Γ - гамма-функция [13], 2 F1 функция Гаусса [14]. 606 Λk , Λk 1 ,σ 2Λk E - Λk , E - Λk 1 , , 2E - 2Λk σ - гипергеометрическая Краевые задачи для матричного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. . . ˜ Если U(k) (ξ, η) является решением (7), а Wi (ξ, η, ξ0 , η0 ) - матрица Римана-Адамара этой системы, то, используя свойства матрицы Римана и векторный аналог тождества Грина [15], получаем ˜ ˜ ∂ U(k) ∂ U(k) - - ε→0 0 ∂η ∂ξ Λk ˜ ∂Wi ∂Wi - - 4Wi U dξ- - ∂η ∂ξ η - ξ (k) η = ξ + ε 0 ˜ ∂ U(k) ∂Wi Λk ˜ ˜ - Wi - U(k) - 2Wi U dξ- ∂ξ ∂ξ η - ξ (k) η = ξ0 - ε ξ0 -2ε ε ˜ ∂ U(k) ∂Wi Λk ˜ ˜ - Wi - U(k) - 2Wi U dη+ ∂η ∂η η - ξ (k) ξ = 0 ξ0 -ε η0 ˜ ∂ U(k) ∂Wi Λk ˜ ˜ + Wi - U(k) - 2Wi U dη- ∂η ∂η η - ξ (k) ξ = ξ0 - 2ε ξ0 +ε 0 ˜ ∂ U(k) ∂Wi Λk ˜ ˜ Wi - - U(k) - 2Wi U dξ+ ∂ξ ∂ξ η - ξ (k) η = η0 ξ0 -2ε ξ0 +ε ˜ ∂ U(k) ∂Wi Λk ˜ ˜ - U - 2Wi U dη- + Wi ∂η ∂η (k) η - ξ (k) ξ = 0 η0 ξ0 -2ε ˜ ∂ U(k) ∂Wi Λk ˜ ˜ - Wi - U(k) - 2Wi U dξ . ∂ξ ∂ξ η - ξ (k) η = ξ0 + ε 0 ˜ U(k) (ξ0 , η0 ) = lim ξ0 -2ε Wi ˜ Очевидно, U(k) (ξ0 , η0 ) можно записать в виде lk ˜ U(k) (ξ0 , η0 ) = I(λk , u(k)j )ej , (11) j=1 где ej = (ej1 , ej2 , . . . , ejlk ) ; eji = 0, i = j; ejj = 1; u(k)j - компоненты векто˜ ра U(k) ; lk - размер жордановой клетки Λk ; ξ0 -2ε ∂u(k)j ∂u(k)j - - ε→0 0 ∂η ∂ξ ∂fi (Λk ) ∂fi (Λk ) Λk - - - 4fi (Λk ) u dξ- ∂η ∂ξ η - ξ (k)j η = ξ + ε 0 ∂u(k)j ∂fi (Λk ) Λk - u(k)j - 2fi (Λk ) u dξ- - fi (Λk ) ∂ξ ∂ξ η - ξ (k)j η = ξ0 - ε ξ0 -2ε ε ∂u(k)j ∂fi (Λk ) Λk - fi (Λk ) - u(k)j - 2fi (Λk ) u dη+ ∂η ∂η η - ξ (k)j ξ = 0 ξ0 -ε η0 ∂u(k)j ∂fi (Λk ) Λk + fi (Λk ) - u(k)j - 2fi (Λk ) u dη- ∂η ∂η η - ξ (k)j ξ = ξ0 - 2ε ξ0 +ε I(Λk , u(k)j ) = lim Wi 607 А н д р е е в А. А., М а к с и м о в а Е. А. 0 fi (Λk ) ∂u(k)j ∂fi (Λk ) Λk - u(k)j - 2fi (Λk ) u ∂ξ ∂ξ η - ξ (k)j η = η0 fi (Λk ) - ∂u(k)j ∂fi (Λk ) Λk - u(k)j - 2fi (Λk ) u ∂η ∂η η - ξ (k)j ξ=0 ξ0 -2ε ξ0 +ε + η0 ξ0 -2ε - fi (Λk ) 0 ∂u(k)j ∂fi (Λk ) Λk - u(k)j - 2fi (Λk ) u ∂ξ ∂ξ η - ξ (k)j dξ+ dη- η = ξ0 + ε dξ . (12) Известно [16], что если Λk - жорданова клетка, то функция от матрицы I(Λk , u(k)j ) может быть записана в виде  Iλ (λk ,u(k)j ) . . . k  I(λk , u(k)j ) 1!   . I(Λk , u(k)j ) =  0 I(λk , u(k)j ) . .   ..  . ... ... 0 0 ... (l -1) Iλ j (λk ,u(k)j ) k (lj -1)! (lj -2) (λk ,u(k)j ) Iλ k (lj -2)! ... I(λk , u(k)j )     .    (13) Подставляя (13) в (11), после некоторых преобразований получаем lk -1 ˜ ˜ U(k) (ξ0 , η0 ) = EI(λ, U(k) ) + j=1 где Hlk - lk × lk -матрица вида  0 1 0 0  0 0 1 0  Hlk =  . . . . . . . . . . . .  0 0 0 0 0 0 0 0 Hljk j! (j) ˜ Iλk (λk , U(k) ), ... 0 ... 0 ... ... ... 1 ... 0    .  Подстановкой в тождество (12) собственного значения λk матрицы W1 Римана-Адамара задачи Коши-Гурса с существенным использованием свойств этой матрицы и применением соответствующих краевых условий (8), (9) предельным переходом при ε → 0 получим ξ ˜ I(λk , U(k) ) = 22λk -1 K1 (λk ) ν(t) (η - t)(t - ξ) -λk dt+ 0 ξ + K1 (λk )ξ -λk t2 λk λk λk , λk t(η - ξ) ψ(t) ; dt+ 2 F1 2λk t η-t ξ(η - t) λk λk , 1 - λk ξ(η - t) ψ (t) + ψ(t) tλk 2 F1 ; dt. 2λk t t(η - ξ) ψ (t) + 0 η + (η - ξ)-λk ξ ˜ Для задачи Дарбу функция I(λk , U(k) ) будет иметь вид 608 Краевые задачи для матричного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. . . ξ ˜ I(λk , U(k) ) = 2(1 - 2λk )K2 (λk )(η - ξ)1-2λ τ (t) (η - t)(ξ - t) λk -1 dt+ 0 + K2 (λk ) (η - ξ)1-2λk ξ 1-λk + (η - ξ)-λk ξ λk ψ(t) × t 0 t 1 - λk , 1 - λk t(η - ξ) F ; dt+ × 1-λk 2 1 2 - 2λk ξ(η - t) (η - t) η λk λk , 1 - λk ξ(η - t) ψ (t) + ψ(t) tλk 2 F1 dt, ; 2λk t t(η - ξ) ξ ψ (t) + где K1 (λk ) = Γ(1 - 2λk ) , Γ(1 - λk )Γ(1 - λk ) K2 (λk ) = Γ(2λk ) . Γ(λk )Γ(λk ) Решение задачи Коши-Гурса и Дарбу уравнения (5) можно записать в виде прямой суммы [17] решений вспомогательных систем (7): r ˜ U (ξ, η) = ⊕ ˜ U(k) (ξ, η). k=1 Выполняя в полученных выражениях замену (6), получим решения исходных задач. Полученный результат согласуется с результатами А. А. Андреева [7] для системы двух уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в том, что полученные решения удовлетворяют уравнению и начальным данным. Из самого способа получения решений и их вида следует единственность решения поставленных задач. Таким образом, справедлива Теорема. Если τ (x) ∈ C 3 [0; 1] и ν(x) ∈ C 2 (0; 1), то полученные решения есть классические решения задач Коши-Гурса и Дарбу для уравнения (1) и они корректны по Адамару. ORCID Александр Анатольевич Андреев: http://orcid.org/0000-0002-6611-6685 Екатерина Алексеевна Максимова: http://orcid.org/0000-0002-8839-9620

About the authors

Aleksander A Andreev

Samara State Technical University

Email: andre01071948@yandex.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; andre01071948@yandex.ru; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

Ekaterina A Maksimova

Samara State Technical University

Email: ekamaks@bk.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
Assistant, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

References

  1. Хайруллин Р. С. Задача Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Казань: Казанский университет, 2014. 275 с.
  2. Андреев А. А. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа / Дифференциальные уравнения: сб. науч. тр. пед. ин-тов РСФСР. Т. 16. Рязань: Рязан. гос. пед. ин-т, 1980. С. 9-14.
  3. Андреев А. А. О методе Римана для одной системы уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками / Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1981. С. 13-16.
  4. Elianu I. P. Recherches sur les systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles du type de Laplace // Studii şi cercetări matematice, Academia Republicii Populate Române, Institutul de Matematica, 1953. vol. 4, no. 1-2. pp. 155-196.
  5. Gellerstedt S. Sur un problème aux limites pour une équation linèaire aux dérivées partielles du second ordre de type mixte. Uppsala: Almqvist och Wiksells, 1935. vii+92 pp.
  6. Андреев А. А. Задачи Коши-Гурса и Дарбу для системы уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу / Дифференциальные уравнения с частными производными: Межвуз. сб. научн. тр. Куйбышев: Куйбышев. гос. пед. ин-т, 1983. С. 53-57.
  7. Спицин В.Л. О методе Римана-Адамара для одной системы гиперболического типа второго порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 1999. № 7. doi: 10.14498/vsgtu205.
  8. Андреев А. А., Максимова Е. А. Решение задачи Коши для одной системы гиперболического типа с сингулярными характеристиками / Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием (15-17 сентября 2011 г.). Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2011. С. 11-17.
  9. Максимова Е. А. О задаче Коши для n-мерной системы уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу на плоскости // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 1(26). С. 21-30. doi: 10.14498/vsgtu1050.
  10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 549 с.
  11. Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. М.: Физматлит, 2007. 476 с.
  12. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables / A Wiley-Interscience Publication. Selected Government Publications / eds. M. Abramowitz, I. A. Stegun. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1984. xiv+1046 pp.
  13. Higher transcendental functions. vol. I / Bateman Manuscript Project, California Institute of Technology / ed. A. Erdélyi. Malabar, Florida: Robert E. Krieger Publishing Company, 1981. xxvi+302 pp.
  14. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1959. 164 с.
  15. Lancaster P., Tismenetsky M. The theory of matrices / Computer Science and Applied Mathematics. Orlando: Academic Press (Harcourt Brace Jovanovich, Publishers), 1985. xv+570 pp.
  16. Marcus M., Minc H. A survey of matrix theory and matrix inequalities. Boston: Allyn and Bacon, Inc, 1964. xvi+180 pp.

Statistics

Views

Abstract - 17

PDF (Russian) - 7

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies