The Ising model with long-range interactions

Abstract


The phase transition in the two-dimensional and three-dimensional Ising models with long-range spin interactions are studied with the Monte-Carlo method. The interaction region between spins is characterized by the radius $R$. Results based on numerical simulations have shown the critical temperature $T_c$ dependence from the spin interaction radius $R$. Analytical function $T_c (R)$ approximating this dependence is designed.

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). Введение. Изучение фазовых переходов вещества является актуальной проблемой физики. Существенный интерес представляют фазовые переходы между парамагнитным и ферромагнитным состояниями в магнетиках, при которых скачкообразно меняется намагниченность системы. Переход системы из одной фазы в другую зависит как от внешних условий - изменения температуры, величины внешнего магнитного поля, - так и от ее внутренней структуры - характера взаимодействия между спинами атомов, наличия дефектов, примесей и т. д. Первой моделью, описывающей фазовые переходы в магнетиках, была модель Изинга, предложенная в 1924 году [2]. На первом этапе исследований рассматривались одномерные и двумерные решетки с взаимодействием ближайших спинов без учета внешнего поля. Пренебрежение действием более дальних спинов и наличием дефектов позволило исследовать критическое поведение модели Изинга аналитическими методами [2-5]. Однако попытки описать аналитически трехмерную модель, а также двумерные модели во внешнем поле и со сложными законами взаимодействия между магнитными моментами, оказались безуспешны. С развитием методов компьютерного моделирования появилась возможность исследовать модели практически любой сложности и при различных внешних условиях [6-9]. При исследовании систем с дальним взаимодействием спинов взаимодействия между спинами, находящимися за пределами ближайших соседей, можно ввести различными способами. Величины взаимодействия между спинами обычно рассматриваются убывающими по степенному закону (J ∝ r-d-σ ). В работах [10-12] для двумерных решеток Изинга были найдены значения критического индекса η для различных показателей взаимодействия σ методом Монте-Карло и проведено сравнение с его значениями, предсказанными ренорм-групповым анализом. В [13] рассмотрены способы введения обменных взаимодействий в различных конфигурациях двумерных решеток между вторыми ближайшими спинами: ферромагнитные и антиферромагнитные связи. Отмечается, что добавление дальних взаимодействий увеличивает температуру фазового перехода между состоянием спинового стекла и неупорядоченной магнитной фазой. В [14, 15] были изучены фазовые диаграммы модели Изинга с взаимодействием первых и вторых ближайших соседей на простой кубической решетке и предложена функциональная форма для свободной энергии. На основе результатов, полученных численными методами, были построены диаграммы равновесия между парамагнитным и ферромагнитным состояниями. В работе рассматриваются модели Изинга с дальними взаимодействиями, то есть каждый спин взаимодействует со вторыми, третьими и т. д. ближайшими соседями. Предполагается, что величина взаимодействия между спинами убывает с расстоянием по степенному закону. В предложенных моделях Изинга вводится параметр R, определяющий радиус области взаимодействия любого спина со своими соседями. Методом Монте-Карло определяются температуры фазовых переходов Tc ферромагнитной модели Изинга и их зависимость от радиуса R. 1. Модель Изинга с дальним взаимодействием. Рассмотрим двумерную модель Изинга с дальним взаимодействием спинов. Спины расположены в узлах плоской двумерной решетки, состоящей из квадратных клеток. Для описания положения спинов введем прямоугольную систему координат, оси которой направлены вдоль сторон решетки. Будем полагать расстояние между ближайшими спинами вдоль стороны решетки равным единице, так что положение спинов определяется двумя целыми числами (i, j), принимающими значения 1, 2, 3, ... . Гамильтониан каждого спина Sij с координатами (i, j) определяется выражением H(Sij ) = lm где rlm = 416 (i - l)2 + (j - m)2 J0 3 Sij Slm , rlm - расстояние между спинами Sij и Slm , J0 - Модель Изинга с дальним взаимодействием константа взаимодействия между спинами, Sij = ±1 для всех i, j. Индексы l, m выбираются таким образом, что выполняется соотношение rlm R, где R = 1, 2, 3, . . . . Случай, когда R = 1, соответствует модели Изинга с взаимодействием только между ближайшими спинами (классическая модель Изинга), при выборе R = 2, 3, . . . каждый спин взаимодействует со спинами дальнего расположения внутри круга радиуса R. Трехмерная модель Изинга описывается простой кубической решеткой, в узлах которой расположены спины. Длина ребра каждого кубика равна единице, поэтому положение каждого спина Sijk определяется координатами (i, j, k), где i, j, k = 1, 2, 3, . . . . Гамильтониан спина Sijk представляется в виде H(Sijk ) = J0 Sijk Slmn , r4 lmn lmn где rlmn = (i - l)2 + (j - m)2 + (k - n)2 - расстояние между спинами Sijk и Slmn , J0 - константа взаимодействия между спинами, Sijk = ±1 для всех i, j, k суммирование осуществляется по всем спинам, находящимся в области, ограниченной сферой с радиусом R, т. е. rlmn R, причем, как и в двумерной модели, R = 1 для случая, когда имеется взаимодействие только с ближайшими спинами, и R 2, когда имеется взаимодействие со спинами дальнего расположения. Среднее значение магнитного момента, приходящегося на один спин, для двумерной решетки определяется по формуле 1 M = 2 N N i,j=1 1 Sij Z -1 exp - H(Sij ) , T (1) где 1 1 Z = exp - H(+1) + exp - H(-1) . T T Аналогично, для трехмерной решетки имеем 1 M = 3 N N i,j,k=1 1 Sijk Z -1 exp - H(Sijk ) , T (2) (3) где Z - нормировочная константа, определяемая формулой (2), T - температура, измеряемая в единицах k (k - постоянная Больцмана), N - линейный размер решетки. 2. Исследование модели численными методами. Вычисление M и его зависимости от температуры T в рамках предложенных моделей аналитическими методами в соответствии с формулами (1)-(3) представляет значительные трудности. Для решения данной задачи предлагается использовать метод численного моделирования Монте-Карло. Методы компьютерного исследования моделей Изинга со сложными типами взаимодействия между спинами позволяют решить поставленную задачу, однако их точность ограничена 417 Б и р ю к о в А. А., Д е г т я р е в а Я. В. размерами системы. При использовании метода Монте-Карло важно провести расчеты таким образом, чтобы погрешность метода была минимальной. Этого можно достичь увеличением размеров решетки, а также увеличением числа статистических испытаний. Однако в таком случае метод становится ресурсоемким, поскольку время счета экспоненциально возрастает с увеличением числа узлов. Поэтому при исследовании использовался модифицированный алгоритм с применением техники параллельных вычислений. Решетка разбивалась на подобласти, и каждая подобласть обрабатывалась отдельным процессором. В основе такого подхода лежит свойство аддитивности суммы скалярных величин. Графики зависимости среднего магнитного момента M (T ) от температуры T для различных радиусов взаимодействия R представлены на рис. 1. Из графиков видно, что критическая температура (кривая намагниченности испытывает скачок при температуре фазового перехода Tc ) возрастает с увеличением радиуса области взаимодействия. Увеличение критической температуры можно объяснить увеличением количества взаимодействующих магнитных моментов. Из анализа графиков следует, что при увеличении R температура фазового перехода достигает максимального значения и далее остается постоянной. Заметим, что точность определения температуры фазового перехода по графикам на рис. 1 невысока. На точность определения критической температуры существенно влияют эффекты конечных размеров системы [17, 18]. Для более точного определения температуры фазового перехода нами использовался метод кумулянтов четвертого порядка, предложенный К. Биндером и оказавшийся весьма эффективным [19-21]. Его суть заключается в построении температурных зависимостей кумулянтов UN (T ) четвертого порядка M 4 (T ) UN (T ) = 1 - 3 M 2 (T ) 2 для различных линейных размеров решетки N и нахождении Tc из общей точки пересечения кривых этих зависимостей. В ходе исследования были рассчитаны температуры Tc двумерных и трехмерных решеток Изинга с периодическими граничными условиями с областями дальних взаимодействий спинов, характеризуемых радиусами R с размерами: 1, 2, . . . , 10. Двумерные решетки брались с размерами 500 × 500 и 300 × 300 спинов, трехмерные - 300 × 300 × 300, 200 × 200 × 200 спинов. Таким образом, были получены значения Tc , представленные на рис. 2 маркерами. На основе анализа результатов можно построить функцию Tc (R), которая отражает зависимость между Tc и R: α β - -C , (4) 2 R R где A, α, β, C - константы, зависящие от размерности системы и от величин, характеризующих взаимодействие между спинами. Для предложенных моделей эмпирическим путем были найдены следующие значения параметров: A = 7.32, α = 0, β = 1.5, C = (1/5) θ(R - 2) для двумерной модели Изинга; здесь θ(x) - функция Хевисайда; Tc (R) = A exp - 418 Модель Изинга с дальним взаимодействием Рис. 1. Зависимость среднего магнитного момента M (T ) от температуры T для различных радиусов взаимодействия R для двумерной (сверху) и трехмерной (снизу) моделей Изинга [Figure 1. The dependence of the average magnetic moment ( M (T ) ) on the temperature T for different interaction radii (R) for 2D (top) and 3D (bottom) Ising Models] 419 Б и р ю к о в А. А., Д е г т я р е в а Я. В. Рис. 2. Зависимость критической температуры (маркеры) от различных радиусов области взаимодействия и аппроксимация зависимости Tc (R) аналитической функцией (линии) для моделей Изинга с дальними взаимодействиями [Figure 2. The dependence of the critical temperature (markers) on different radii of the interaction region and analytical approximation (lines) of Tc (R) depending for Ising Models with long-range interactions] A = 13.46, α = 1/3, β = 1, C = 0 для трехмерной модели Изинга. На рис. 2 показано соответствие между результатами численного эксперимента (маркеры) и аппроксимирующей функцией (линия). Сопоставление графиков функций Tc (R) и их численного значения с результатами численного моделирования показывает, что предложенные функции (4) адекватно отображают зависимость температуры фазового перехода от радиуса области взаимодействия спинов. Заключение. Исследование модели Изинга с дальними взаимодействиями между спинами показало, что температура фазового перехода зависит от радиуса области, в которой имеется взаимодействие между спинами. На основе результатов численного моделирования был найден явный вид функции Tc (R), отображающей эту зависимость. Феноменологические постоянные этой функции зависят от размерности решетки и величин, характеризующих взаимодействие между спинами. В работе рассматривалось взаимодействие с конкретными параметрами. Представляет интерес исследование зависимости Tc (R) в модели Изинга с дальними взаимодействиями от характеристик взаимодействия.

About the authors

Alexander A Biryukov

Samara State University

Email: biryukov@samsu.ru
1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; biryukov@samsu.ru; Corresponding Author), Head of Dept., Dept. of General & Theoretical Physics

Yana V Degtyarova

Samara State University

Email: degt-yana@yandex.ru
1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation
Postgraduate Student, Dept. of General & Theoretical Physics

References

  1. Бирюков А. А., Дегтярева Я. В. Дальнее взаимодействие в модели Изинга / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 85-86.
  2. Ising E. Beitrag zur Theorie des Ferro- und Paramagnetismus: Dissertation, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät der Hamburgischen Universität Hamburg, 1924, http://www.fh-augsburg.de/~harsch/germanica/Chronologie/20Jh/Ising/isi_intr.html.
  3. Onsager L. Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition // Phys. Rev., 1944. vol. 65, no. 3-4. pp. 117-149. doi: 10.1103/physrev.65.117.
  4. Yang C. N. The Spontaneous Magnetization of a Two-Dimensional Ising Model // Phys. Rev., 1952. vol. 85, no. 5. pp. 808-816. doi: 10.1103/physrev.85.808.
  5. Зиновьев Ю. М. Спонтанная намагниченность в двумерной модели Изинга // ТМФ, 2003. Т. 136, № 3. С. 444-462. doi: 10.4213/tmf236.
  6. Binder K., Heermann D. W. Monte Carlo Simulation in Statistical Physics / Graduate Texts in Physics. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2010, xiv+200 pp. doi: 10.1007/978-3-642-03163-2.
  7. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Бабаев А. Б. Критическое поведение трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке // ЖТЭФ, 2004. № 6. С. 1377-1383, http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/r/index/r/126/6/p1377?a=list.
  8. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н., Криницын А. С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // ЖЭТФ., 2007. № 132. С. 417-425, http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/r/index/r/132/2/p417?a=list.
  9. Бирюков А. А., Дегтярева Я. В., Шлеенков М. А. Компьютерное моделирование модели Изинга методом Монте-Карло во внешнем постоянном магнитном поле // Вестник молодых ученых и специалистов СамГУ, 2012. № 1. С. 78-82.
  10. Picco M. Critical behavior of the Ising model with long range interactions, 2012. 5 pp., arXiv: 1207.1018 [cond-mat.stat-mech]
  11. Blanchard T., Picco M., Rajapbour M. A. Influence of long-range interactions on the critical behavior of the Ising model // EPL (Europhysics Letters), 2013. vol. 101, no. 5, 56003, arXiv: 1211.6758 [cond-mat.stat-mech]. doi: 10.1209/0295-5075/101/56003.
  12. Angelini M. C., Parisi G., Ricci-Tersenghi F. Relations between short-range and long-range Ising models // Phys. Rev. E, 2014. vol. 89, no. 6, 062120, arXiv: 1401.6805 [cond-mat.statmech]. doi: 10.1103/physreve.89.062120.
  13. Ramírez-Pastor A. J., Nieto F., Vogel E. E. Ising lattices with ±J second-nearest-neighbor interactions // Phys. Rev. B, 1997. vol. 55, no. 21. pp. 14323-14329. doi: 10.1103/physrevb.55.14323.
  14. dos Anjos R. A., Roberto Viana J., Ricardo de Sousa J., Plascak J. A. Three-dimensional Ising model with nearest- and next-nearest-neighbor interactions // Phys. Rev. E, 2007. vol. 76, no. 2, 022103. doi: 10.1103/physreve.76.022103.
  15. Cirillo E. N. M., Gonnella G., Pelizzola A. Critical behavior of the three-dimensional Ising model with nearest-neighbor, next-nearest-neighbor, and plaquette interactions // Phys. Rev. E, 1997. vol. 55, no. 1. pp. R17-R20. doi: 10.1103/physreve.55.r17.
  16. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. 313 с.
  17. Ferdinand A. E., Fisher M. E. Bounded and Inhomogeneous Ising Models. I. Specific-Heat Anomaly of a Finite Lattice // Phys. Rev., 1969. vol. 185, no. 2. pp. 832-846. doi: 10.1103/physrev.185.832.
  18. Fisher M. E., Barder M. N. Scaling Theory for Finite-Size Effects in the Critical Region // Phys. Rev. Lett., 1972. vol. 28, no. 23. pp. 1516-1519. doi: 10.1103/physrevlett.28.1516.
  19. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Магомедов М. А. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло, конечно-размерный скейлинг и критические индексы сложных решеточных моделей // ЖЭТФ, 2001. Т. 120, № 6. С. 1535-1543, http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/r/index/r/120/6/p1535?a=list.
  20. Loison D. Monte Carlo cluster algorithm for ferromagnetic Hamiltonians H=J (ij)(Si.Sj)3 // Phys. Lett. A, 1999. vol. 257, no. 1-2. pp. 83-87. doi: 10.1016/s0375-9601(99)00278-9.
  21. Камилов И. К., Муртазаев А. К., Алиев Х. K. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло // УФН, 1999. Т. 169, № 7. С. 773-795. doi: 10.3367/UFNr.0169.199907d.0773.

Statistics

Views

Abstract - 17

PDF (Russian) - 5

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies