On the solution of the convolution equation with a sum-difference kernel

Abstract


The paper deals with the integral equations of the second kind with a sumdifference kernel. These equations describe a series of physical processes in a medium with a reflective boundary. It has noted some difficulties at applying the methods of harmonic analysis, mechanical quadrature, and other approaches to approximate solution of such equations. The kernel average method is developed for numerical-analytical solution of considered equation in non singular case. The kernel average method has some similarity with known strip method. It was applied for solution of Wiener-Hopf integral equation in earlier work of the author. The kernel average method reduces the initial equation to the linear algebraic system with Toeplitz-plus-Hankel matrix. An estimate for accuracy is obtained in the various functional spaces. In the case of large dimension of the obtained algebraic system the known methods of linear algebra are not efficient. The proposed method for solving this system essentially uses convolution structure of the system. It combines the method of non-linear factorization equations and discrete analogue of the special factorization method developed earlier by the author to the integral equations.

Full Text

Введение. Рассмотрим следующее интегральное уравнение с симметричным суммарно-разностным ядром K(x, t) = K1 (x - t) + K2 (x + t): r 0 где r r K1 (x - t)f (t)dt + f (x) = g(x) + K2 (x + t) f (t)dt, (1) 0 ∞, K1 ∈ L1 , (-r, r) K1 (-x) = K1 (x), K2 ∈ L1 (0, 2r). Ряд задач математической физики сводится к уравнению (1), ядро которого удовлетворяет следующим условиям субстохастичности: r r K1,2 0; K1 (t)dt λ1 = 2 K(x, t)dx 1, λ 1. 0 0 В приложениях по теории переноса излучения и кинетической теории газов в плоском слое с отражающей границей вид функции K2 обусловлен принятым законом отражения из границы (см. [1-4]). К простейшим формам таких законов относятся зеркальное, изотропное, ламбертово отражения. Уравнение вида (1) возникает также в случае «неплоской геометрии»: в задачах переноса в однородном шаре и др. (см. [5]). Если K2 = 0 и r < ∞, то (1) обращается в известное уравнение свертки на конечном промежутке: r K1 (x - t)f (t)dt, f (x) = g(x) + r < ∞. (2) 0 Если же K2 = 0 и r = ∞, то (1) представляет собой уравнение ВинераХопфа: ∞ K1 (x - t)f (t)dt. f (x) = g(x) + (3) 0 Чтобы дать наглядное представление о степени сложности решения уравнения (1) на конечном промежутке аналитическими методами, приведем одно сравнение. Применение метода Винера-Хопфа к уравнению (3) требует построения одной скалярной факторизации. В случае уравнения (2) вопрос сводится к факторизации унимодулярной матрицы-функции размера 2 × 2 (см. [6-9]). В этом случае задача существенно усложняется из-за наличия ядра K2 . В ряде приложений возникает уравнение (1), в котором ядерные функции K1,2 представлены в следующем виде суперпозиций экспонент: b K1 (x) = a K2 (x) = e-|x|s G1 (s)ds -∞ < x < +∞, (4) b e -xs G2 (s)ds, x > 0, 0 a n. ∞ ∞ Обозначим через h+ = h+ i=1 и h- = h- i=1 бесконечные последоваi i тельности чисел, удовлетворяющих следующим условиям: h+ = i 1, при 0 i n, 0, при i > n, Имеем h- = i 0, при 0 i n, 1, при i > n. h+ + h- = I, где I = (1, 1, . . . ) - последовательность с элементами, равными единице, или бесконечная единичная матрица. Рассмотрим уравнение ∞ fk = gk + m=1 616 ∞ ak-m h+ fm m bk+m-1 h+ fm , m + m=1 k = 1, 2, . . . (7) О решении уравнения свертки с суммарно-разностным ядром Системы (6) и (7) эквивалентны в следующем смысле. Пусть (6) обладает решением s ∈ Rn . Тогда дополненная нулями бесконечная последовательность s ∈ lp является решением системы (7). С другой стороны, если уравнение (7) при g ∈ lp обладает решением f ∈ lp , то вектор s = (fk )n k=1 удовлетворяет системе (6). 2.2 Факторизация теплицевых матриц. На систему (6) будет распространен метод одностороннего продолжения (МОП) (см. [11]) решения интегрального уравнения типа свертки на конечном промежутке с симметричным ядром. Метод основан на связи между решениями уравнения (6) и ассоцированной с ним бесконечной системы алгебраических уравнений с теплицевой матрицей I - A, A = (ak-m ), k, m = 1, 2, . . .. Построение факторизации для уравнения (7) основано на треугольной факторизации матрицы I - A. Из условия (5) следует полная регулярность матрицы A в пространствах lp : ∞ A =µ |a0 | + 2 |ak | λ < 1. k=1 Поэтому матрица I - A допускает факторизацию (см. [17]): I - A = (I - Y )(I - X). (8) Здесь X = (xkm ), xkm = xk-m , Y = (ykm ), ykm = ym-k , k, m = 1, 2, . . . - нижняя и верхняя треугольные матрицы, yk = xk = 0 при k < 0. Матрицы I - X и I - Y обратимы в пространствах lp . Факторизация (8) в силу симметричности матрицы A = A∗ эквивалентна следующей нелинейной системе относительно xk = yk = uk (см. [18]): ∞ (1 + δ0k )uk = ak + um uk+m , k = 0, 1, 2, . . . (9) m=0 u = (uk )∞ ∈ l1 . k=0 Поскольку матрицы I - X и I - Y обратимы, (I - X)-1 = I + Γ+ , (I - Y )-1 = I + Γ- . (10) Здесь Γ+ = (γk-m ) и Γ- = (γm-k ) - нижняя и верхняя треугольные теплицевые матрицы. Числа γk , k = 0, 1, 2, . . . определяются рекуррентным образом из соотношений k γk = uk + uk-m γm . (11) m=0 2.3. Факторизация уравнения (7). Перепишем уравнение (7) в векторно-матричной форме: I - AH + - BH + f = g. 617 Б а р с е г я н А. Г. Здесь H + = diag(h+ , h+ , . . . , h+ , . . . ) - бесконечная диагональная матрица n 1 2 с элементами h+ , m = 1, 2, . . . ; f = (f1 , f2 , . . . , fn , . . . ) - искомый, а g = m = (g1 , g2 , . . . gn , 0, 0, 0, . . . ) - заданный векторы-столбцы. Запишем уравнение (6) в аналогичной форме: (I - An - Bn ) s = g, где An = (ak-m )n k,m=1 , Bn = (bk+m-1 )n k,m=1 , f = (f1 , f2 , . . . , fn ) , g = (g1 , g2 , . . . , gn ) . Из эквивалентности уравнений (6) и (7) (в отмеченном выше смысле) следует, что матрица I - AH + - BH + обратима. Ниже мы построим факторизацию для матрицы I - AH + - BH + : I - AH + - BH + = I - A + AH - - BH + = = (I - Y ) I - X + (I - Y )-1 AH - - (I - Y )-1 BH + , (12) где H - = diag h- , h- , . . . , h- , . . . . Из (8) и (10) получаем n 2 1 (I - Y )-1 A = X + Γ- . (13) Из (12) и (13) приходим к разложению ˜ I - AH + - BH + = (I - Y ) I - XH + + Γ- H - - BH + , (14) ˜ где B = (I - Y )-1 B = (I + Γ- ) B - ганкелева матрица. Теорема. Имеет место факторизация (14), матрица ˜ I - XH + + Γ- H - - BH + обратима. 3. Применение факторизации (14). В силу обратимости матрицы I - Y факторизация (14) сводит уравнение (7) к следующему уравнению: ˜ I - XH + + Γ- H - - BH + f = g , ˜ (15) где g = (˜1 , g2 , . . . , gn , . . . ) - вектор-столбец, причём ˜ g ˜ ˜ g = (I - Y )-1 g = I + Γ- g. ˜ Элементы g определяются по формулам ˜ n gk = gk + ˜ γi-k gi , i=k 618 при 1 k n, и gk = 0 при k > n. ˜ (16) О решении уравнения свертки с суммарно-разностным ядром Перепишем уравнение (15) поэлементно: ∞ k n γj-k h- fj + j uk-j h+ fj - j fk = gk + ˜ j=1 где s = (sk )n , sk = h+ fk . Для номеров k k=1 k ∞ j=1 (17) n из (17) имеем n uk-j sj - sk = gk + ˜ k = 1, 2, . . . j=1 j=k k ˜j+k-1 sj , b ˜j+k-1 sj , b γj-k ηj + j=n+1 k = 1, 2, . . . , n, (18) j=1 где ηk = h- fk . Рассмотрим теперь систему (17) при k > n. Тогда будем иметь k ∞ n uk-j sj - ηk = j=1 n ˜j+k-1 sj , b γj-k ηj + k = n + 1, n + 2, . . . (19) j=1 j=k Нами получена система линейных уравнений (18), (19) относительно двух наборов чисел s = (sk )n и η = (ηk )∞ k=1 k=n+1 . Она эквивалентна системе (17) и, следовательно, уравнению (6). Уравнения (19) могут быть заменены следующими более простыми уравнениями, которые можно получить из исходного уравнения (6), полагая в нем k > n: n ηk = n ak-j sj + j=1 bk+j-1 sj , k = n + 1, n + 2, . . . (20) j=1 Аналогично континуальному случаю (см. [11]) доказывается следующая Лемма. Системы (18), (19) и (18), (20) эквивалентны. Числа (sk ) и (ηk ) однозначно определяются из системы (18), (20). 3.1. Случай n = ∞. В случае n = ∞ нам нужно определить только числа s = (sk )∞ из бесконечномерного аналога системы (18): k=1 ∞ k sk = gk + ˜ ˜j+k-1 sj , b uk-j sj + j=1 k = 1, 2, . . . . j=1 Обозначим k vk = s k - uk-j sj . j=1 Используя формулу (10) и свойства произведения теплицевых и ганелевых матриц, приходим к следующему уравнению с ганкелевой матрицей относительно (vk ): ∞ vk = gk + ˜ ck+j vj , j=1 где ∞ ck = ˜k + b ˜k+j γj . b j=1 619 Б а р с е г я н А. Г. Численная реализация изложенного подхода предполагает замену НУФ (9) конечной редуцированной системой (см. [10, 18]): n-k (1 + δ0k )˜k = ak + u um uk+m , ˜ ˜ k = 0, 1, 2, . . . n. (21) m=0 3.2. О решении уравнения (6) при n < ∞. При n < ∞ имеем uk = uk , ˜ где uk определяется из системы (21), которая разрешается простыми итера˜ циями. Далее определяются резольвентные матрицы Γ± в виде представления (10). Элементы γk определяются из рекуррентных соотношений (11). Из системы уравнений (18), (20) определяются числа sk и ηk , где числа gk определяются по формулам (16). Тем самым строится решение s = (sk )n ˜ k=1 исходного уравнения (6). Не вникая в подробности отметим, что предлагаемая схема численно реализуется значительно проще по сравнению с прямым решением линейной алгебраической системы (6). Сказанное особенно относится к случаям больших значений n и значений λ близких к единице. В известных нам приложениях числа (ηk ) достаточно быстро стремятся к нулю и на практике можно ограничиться их небольшим количеством.

About the authors

Ani G Barseghyan

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Armenia

Email: anibarseghyan@mail.ru
24/5, Marshal Baghramian ave., Yerevan, 0019, Republic of Armenia
(Cand. Phys. & Math. Sci.; anibarseghyan@mail.ru), Research Fellow, Division of Methods of Mathematical Physics

References

  1. Нагирнер Д. И. Лекции по теории переноса излучения. СПб.: СПб. ун-т, 2001. 231 с.
  2. Соболев В. В. Курс теоретической астрофизики. М.: Наука, 1985. 503 с.
  3. Иванов В. В. Перенос излучения и спектры небесных тел. М.: Наука, 1969. 472 с.
  4. Chandrasekhar S. Radiative transfer. London: Oxford University Press, 1950. 393 pp.
  5. Барсегян А. Г., Тер-Аветисян В. В. Точечный источник света в центре однородного шара и в бесконечной среде // Астрофизика, 2012. Т. 55, № 2. С. 307-320, http://astro.asj-oa.am/id/eprint/31.
  6. Новокшенов В. Ю. Уравнения в свертках на конечном отрезке и факторизация эллиптических матриц // Матем. заметки, 1980. Т. 27, № 6. С. 935-946.
  7. Gohberg I., Goldberg S., Kaashoek M. Classes of Linear Operators Vol. I. Basel, Boston, Berlin: Birkhauser Verlag, 1990, xiii+468 pp. doi: 10.1007/978-3-0348-7509-7.
  8. Пальцев Б. В. Асимптотика спектра интегральных операторов свертки на конечном интервале с однородными полярными ядрами // Изв. РАН. Сер. матем., 2003. Т. 67, № 4. С. 67-154. doi: 10.4213/im443.
  9. Ганин М. П. Об интегральном уравнении Фредгольма с ядром, зависящим от разности аргументов // Изв. вузов. Матем., 1963. № 2. С. 31-43.
  10. Енгибарян Н. Б., Мнацаканян М. А. Линейные алгебраические системы с теплицевыми матрицами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1977. Т. 17, № 5. С. 1102-1116.
  11. Барсегян А. Г. Интегральное уравнение с суммарно-разностным ядром на конечном промежутке // Известия НАН Армении. Математика, 2005. Т. 40, № 3. С. 22-32, http: //mathematics.asj-oa.am/id/eprint/602.
  12. Афян А. Н., Хачатрян А. Х. Об аналитическом и численном решении задачи переноса излучения при наличии отражающей поверхности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2001. Т. 41, № 8. С. 1217-1228.
  13. Барсегян А. Г., Енгибарян Н. Б. Приближенное решение интегральных и дискретных уравнений Винера-Хопфа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2015. Т. 55, № 5. С. 836-845. doi: 10.7868/S0044466915050063.
  14. Положий Г. H., Чаленко П. И. Решение интегральных уравнений методом полос / Вопросы математической физики и теории функций. Киев: Киев. ун-т, 1964. С. 124-145.
  15. Барсегян А. Г., Тер-Аветисян В. В. О решении уравнения переноса в движущейся среде // Астрономический журнал, 2013. Т. 90, № 9. С. 747-753. doi: 10.7868/S0004629913090016.
  16. Пустыльников Л. Д., Локоть Т. В. Алгебраические структуры, связанные с теплицевыми и ганкелевыми матрицами и тензорами // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 2010, 060. 26 с., http://www.keldysh.ru/papers/2010/source/prep2010_60.pdf.
  17. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов // УМН, 1958. Т. 13, № 5(83). С. 3-120.
  18. Арабаджян Л. Г., Енгибарян Н. Б. Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения / Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., Т. 22. М.: ВИНИТИ, 1984. С. 175-244.

Statistics

Views

Abstract - 19

PDF (Russian) - 0

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies