On the solution of the convolution equation with a sum-difference kernel

Full Text

Введение. Рассмотрим следующее интегральное уравнение с симметричным суммарно-разностным ядром K(x, t) = K1 (x - t) + K2 (x + t): r 0 где r r K1 (x - t)f (t)dt + f (x) = g(x) + K2 (x + t) f (t)dt, (1) 0 ∞, K1 ∈ L1 , (-r, r) K1 (-x) = K1 (x), K2 ∈ L1 (0, 2r). Ряд задач математической физики сводится к уравнению (1), ядро которого удовлетворяет следующим условиям субстохастичности: r r K1,2 0; K1 (t)dt λ1 = 2 K(x, t)dx 1, λ 1. 0 0 В приложениях по теории переноса излучения и кинетической теории газов в плоском слое с отражающей границей вид функции K2 обусловлен принятым законом отражения из границы (см. [1-4]). К простейшим формам таких законов относятся зеркальное, изотропное, ламбертово отражения. Уравнение вида (1) возникает также в случае «неплоской геометрии»: в задачах переноса в однородном шаре и др. (см. [5]). Если K2 = 0 и r < ∞, то (1) обращается в известное уравнение свертки на конечном промежутке: r K1 (x - t)f (t)dt, f (x) = g(x) + r < ∞. (2) 0 Если же K2 = 0 и r = ∞, то (1) представляет собой уравнение ВинераХопфа: ∞ K1 (x - t)f (t)dt. f (x) = g(x) + (3) 0 Чтобы дать наглядное представление о степени сложности решения уравнения (1) на конечном промежутке аналитическими методами, приведем одно сравнение. Применение метода Винера-Хопфа к уравнению (3) требует построения одной скалярной факторизации. В случае уравнения (2) вопрос сводится к факторизации унимодулярной матрицы-функции размера 2 × 2 (см. [6-9]). В этом случае задача существенно усложняется из-за наличия ядра K2 . В ряде приложений возникает уравнение (1), в котором ядерные функции K1,2 представлены в следующем виде суперпозиций экспонент: b K1 (x) = a K2 (x) = e-|x|s G1 (s)ds -∞ < x < +∞, (4) b e -xs G2 (s)ds, x > 0, 0 a n. ∞ ∞ Обозначим через h+ = h+ i=1 и h- = h- i=1 бесконечные последоваi i тельности чисел, удовлетворяющих следующим условиям: h+ = i 1, при 0 i n, 0, при i > n, Имеем h- = i 0, при 0 i n, 1, при i > n. h+ + h- = I, где I = (1, 1, . . . ) - последовательность с элементами, равными единице, или бесконечная единичная матрица. Рассмотрим уравнение ∞ fk = gk + m=1 616 ∞ ak-m h+ fm m bk+m-1 h+ fm , m + m=1 k = 1, 2, . . . (7) О решении уравнения свертки с суммарно-разностным ядром Системы (6) и (7) эквивалентны в следующем смысле. Пусть (6) обладает решением s ∈ Rn . Тогда дополненная нулями бесконечная последовательность s ∈ lp является решением системы (7). С другой стороны, если уравнение (7) при g ∈ lp обладает решением f ∈ lp , то вектор s = (fk )n k=1 удовлетворяет системе (6). 2.2 Факторизация теплицевых матриц. На систему (6) будет распространен метод одностороннего продолжения (МОП) (см. [11]) решения интегрального уравнения типа свертки на конечном промежутке с симметричным ядром. Метод основан на связи между решениями уравнения (6) и ассоцированной с ним бесконечной системы алгебраических уравнений с теплицевой матрицей I - A, A = (ak-m ), k, m = 1, 2, . . .. Построение факторизации для уравнения (7) основано на треугольной факторизации матрицы I - A. Из условия (5) следует полная регулярность матрицы A в пространствах lp : ∞ A =µ |a0 | + 2 |ak | λ < 1. k=1 Поэтому матрица I - A допускает факторизацию (см. [17]): I - A = (I - Y )(I - X). (8) Здесь X = (xkm ), xkm = xk-m , Y = (ykm ), ykm = ym-k , k, m = 1, 2, . . . - нижняя и верхняя треугольные матрицы, yk = xk = 0 при k < 0. Матрицы I - X и I - Y обратимы в пространствах lp . Факторизация (8) в силу симметричности матрицы A = A∗ эквивалентна следующей нелинейной системе относительно xk = yk = uk (см. [18]): ∞ (1 + δ0k )uk = ak + um uk+m , k = 0, 1, 2, . . . (9) m=0 u = (uk )∞ ∈ l1 . k=0 Поскольку матрицы I - X и I - Y обратимы, (I - X)-1 = I + Γ+ , (I - Y )-1 = I + Γ- . (10) Здесь Γ+ = (γk-m ) и Γ- = (γm-k ) - нижняя и верхняя треугольные теплицевые матрицы. Числа γk , k = 0, 1, 2, . . . определяются рекуррентным образом из соотношений k γk = uk + uk-m γm . (11) m=0 2.3. Факторизация уравнения (7). Перепишем уравнение (7) в векторно-матричной форме: I - AH + - BH + f = g. 617 Б а р с е г я н А. Г. Здесь H + = diag(h+ , h+ , . . . , h+ , . . . ) - бесконечная диагональная матрица n 1 2 с элементами h+ , m = 1, 2, . . . ; f = (f1 , f2 , . . . , fn , . . . ) - искомый, а g = m = (g1 , g2 , . . . gn , 0, 0, 0, . . . ) - заданный векторы-столбцы. Запишем уравнение (6) в аналогичной форме: (I - An - Bn ) s = g, где An = (ak-m )n k,m=1 , Bn = (bk+m-1 )n k,m=1 , f = (f1 , f2 , . . . , fn ) , g = (g1 , g2 , . . . , gn ) . Из эквивалентности уравнений (6) и (7) (в отмеченном выше смысле) следует, что матрица I - AH + - BH + обратима. Ниже мы построим факторизацию для матрицы I - AH + - BH + : I - AH + - BH + = I - A + AH - - BH + = = (I - Y ) I - X + (I - Y )-1 AH - - (I - Y )-1 BH + , (12) где H - = diag h- , h- , . . . , h- , . . . . Из (8) и (10) получаем n 2 1 (I - Y )-1 A = X + Γ- . (13) Из (12) и (13) приходим к разложению ˜ I - AH + - BH + = (I - Y ) I - XH + + Γ- H - - BH + , (14) ˜ где B = (I - Y )-1 B = (I + Γ- ) B - ганкелева матрица. Теорема. Имеет место факторизация (14), матрица ˜ I - XH + + Γ- H - - BH + обратима. 3. Применение факторизации (14). В силу обратимости матрицы I - Y факторизация (14) сводит уравнение (7) к следующему уравнению: ˜ I - XH + + Γ- H - - BH + f = g , ˜ (15) где g = (˜1 , g2 , . . . , gn , . . . ) - вектор-столбец, причём ˜ g ˜ ˜ g = (I - Y )-1 g = I + Γ- g. ˜ Элементы g определяются по формулам ˜ n gk = gk + ˜ γi-k gi , i=k 618 при 1 k n, и gk = 0 при k > n. ˜ (16) О решении уравнения свертки с суммарно-разностным ядром Перепишем уравнение (15) поэлементно: ∞ k n γj-k h- fj + j uk-j h+ fj - j fk = gk + ˜ j=1 где s = (sk )n , sk = h+ fk . Для номеров k k=1 k ∞ j=1 (17) n из (17) имеем n uk-j sj - sk = gk + ˜ k = 1, 2, . . . j=1 j=k k ˜j+k-1 sj , b ˜j+k-1 sj , b γj-k ηj + j=n+1 k = 1, 2, . . . , n, (18) j=1 где ηk = h- fk . Рассмотрим теперь систему (17) при k > n. Тогда будем иметь k ∞ n uk-j sj - ηk = j=1 n ˜j+k-1 sj , b γj-k ηj + k = n + 1, n + 2, . . . (19) j=1 j=k Нами получена система линейных уравнений (18), (19) относительно двух наборов чисел s = (sk )n и η = (ηk )∞ k=1 k=n+1 . Она эквивалентна системе (17) и, следовательно, уравнению (6). Уравнения (19) могут быть заменены следующими более простыми уравнениями, которые можно получить из исходного уравнения (6), полагая в нем k > n: n ηk = n ak-j sj + j=1 bk+j-1 sj , k = n + 1, n + 2, . . . (20) j=1 Аналогично континуальному случаю (см. [11]) доказывается следующая Лемма. Системы (18), (19) и (18), (20) эквивалентны. Числа (sk ) и (ηk ) однозначно определяются из системы (18), (20). 3.1. Случай n = ∞. В случае n = ∞ нам нужно определить только числа s = (sk )∞ из бесконечномерного аналога системы (18): k=1 ∞ k sk = gk + ˜ ˜j+k-1 sj , b uk-j sj + j=1 k = 1, 2, . . . . j=1 Обозначим k vk = s k - uk-j sj . j=1 Используя формулу (10) и свойства произведения теплицевых и ганелевых матриц, приходим к следующему уравнению с ганкелевой матрицей относительно (vk ): ∞ vk = gk + ˜ ck+j vj , j=1 где ∞ ck = ˜k + b ˜k+j γj . b j=1 619 Б а р с е г я н А. Г. Численная реализация изложенного подхода предполагает замену НУФ (9) конечной редуцированной системой (см. [10, 18]): n-k (1 + δ0k )˜k = ak + u um uk+m , ˜ ˜ k = 0, 1, 2, . . . n. (21) m=0 3.2. О решении уравнения (6) при n < ∞. При n < ∞ имеем uk = uk , ˜ где uk определяется из системы (21), которая разрешается простыми итера˜ циями. Далее определяются резольвентные матрицы Γ± в виде представления (10). Элементы γk определяются из рекуррентных соотношений (11). Из системы уравнений (18), (20) определяются числа sk и ηk , где числа gk определяются по формулам (16). Тем самым строится решение s = (sk )n ˜ k=1 исходного уравнения (6). Не вникая в подробности отметим, что предлагаемая схема численно реализуется значительно проще по сравнению с прямым решением линейной алгебраической системы (6). Сказанное особенно относится к случаям больших значений n и значений λ близких к единице. В известных нам приложениях числа (ηk ) достаточно быстро стремятся к нулю и на практике можно ограничиться их небольшим количеством.

About the authors

Ani G Barseghyan

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Armenia

Email: anibarseghyan@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; anibarseghyan@mail.ru), Research Fellow, Division of Methods of Mathematical Physics 24/5, Marshal Baghramian ave., Yerevan, 0019, Republic of Armenia

References

Supplementary files