The quantum transitions probability as paths-integral in energy states space

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). Введение. В настоящее время активно изучаются нелинейные процессы взаимодействия наносистем с интенсивным электромагнитным полем [2-4], возбуждение и диссоциация различных молекул [5-7], ионизация атомов под действием лазерного излучения [8-10], многофотонный фотоэффект [11, 12] и др. В работах [13-15] было показано, что под действием нерезонансного электромагнитного излучения, состоящего из последовательности лазерных импульсов, наблюдается заселение высоковозбужденных вращательных состояний молекул азота 14 N2 и 15 N2 . При определенной периодичности лазерных импульсов в группе наблюдается резонансное увеличение вероятности заселения высоких вращательных состояний облучаемой молекулы. Вращательная динамика молекулы в данном эксперименте может быть описана в рамках рамановских переходов. Под действием интенсивных полей помимо однофотонных процессов высокую вероятность имеют многофотонные процессы, для которых требуется особый подход при построении математических моделей. Для описания процессов нелинейной оптики разработаны разные теоретические методы, базирующиеся на интегральном уравнении для S-матрицы, на нестационарном уравнении Шрёдингера, использующие фейнмановский подход к теории возмущений. В настоящее время представляется актуальным получить уравнения, описывающие динамику квантовых систем в сильных электромагнитных полях в рамках непертурбативного подхода. Одним из таких подходов является формализм функционального интегрирования, предложенного Р. Фейнманом [16]. В данной работе вероятности квантовых переходов многоуровневой системы, взаимодействующей с электромагнитным полем, записываются в виде интеграла по траекториям от действительного функционала в энергетическом представлении. В рамках предложенного подхода [17, 18] описывается многофотонное возбуждение вращательных степеней свободы неполярной двухатомной молекулы азота 14 N2 при воздействии групп ультракоротких лазерных импульсов с различными периодами следования и максимальными значениями интенсивности. 1. Описание эволюции квантовой системы. Представление матрицы плотности функциональным интегралом в энергетическом представлении. Рассмотрим многоуровневую квантовую систему, взаимодействующую с электромагнитным полем, которая описывается гамильтнианом ˆ ˆ ˆ H = Hsyst + Vinf (t), где ˆ Hsyst = El |l l| l 222 Представление вероятностей квантовых переходов функциональным интегралом . . . - гамильтониан квантовой системы; El - значения энергий квантовой системы в стационарных состояниях |l ; вектора |l ортонормированны ( l |l = δl l ) и образуют полную систему: |l l| = 1; l ˆ Vinf (τ ) = eE0 cos(Ωτ ) |l l |ˆ|l l| x l ,l - оператор взаимодействия квантовой системы с электромагнитным полем с частотой Ω, амплитудой E0 ; e - заряд частицы; x - оператор координаты ˆ частицы [19]. Описание эволюции многоуровневой квантовой системы проведем в представлении взаимодействия. Уравнение эволюции статистического оператора имеет вид ˆ (1) ρ(t) = UD (t)ˆ(0)UD (t). ˆ ρ ˆ+ В выражении (1) оператор эволюции имеет вид t ı ˆ UD (t, t0 ) = T exp - ˆ VD (τ )dτ , t0 где ı ˆ ı ˆ ˆ ˆ VD (τ ) = exp Hsyst τ Vinf (τ ) exp - Hsyst τ . (2) Ради упрощения дальнейших выражений представим (2) в виде ˆ Vinf (τ ) = ΩRl cos(Ωτ )|l l l|, (3) l ,l где ΩRl = l qxl l E0 (4) - частота Раби; xl l = | l |ˆ|l | - абсолютная величина матричного элемента x оператора координаты. Используя выражения (3), (4), оператор взаимодействия (2) представим в виде, который удобен для конкретизации оператора эволюции: ˆ VD (τ ) = ΩRl cos(Ωτ ) exp[ıωl l τ ]|l l l|, (5) l ,l где ωl l - частота квантового перехода системы между стационарными состояниями с энергиями El и El : ωl l = El - El . Используя формулы Эйлера для представления тригонометрических функций комбинациями комплексных экспонент, представим (5) в виде Xl ,l |l l|, где Xl l (τ ) = 1 R Ω exp[-ı(Ω - ωl ,l )τ ] + exp[ı(Ω + ωl ,l )τ ] . 2 ll Запишем уравнение эволюции статистической матрицы плотности (1) в энергетическом представлении: ˆ+ ˆ nf |UD (t)|n0 ρn0 ,m0 m0 |UD (t)|mf , ρnf mf (t) = nin ,min где ρnf mf (t) = nf |ˆ(t)|mf , ρ ρn0 ,m0 = n0 |ˆ(0)|m0 . ρ Вектора |n , |m являются собственными векторами гамильтониана системы Hsyst . ˆ Ядро оператора эволюции nf |UD (t, 0)|n0 представим в виде произведеˆ ния элементарных ядер, используя групповые свойства оператора UD и полноту векторов-состояний |nk : N K+1 ˆ nf |UD (t, 0)|n0 = ˆ nk |UD (tk , tk-1 )|nk-1 , n1 ,...,nK =1 k=1 где tK+1 = t, nK+1 = nf , t0 = 0 и ı ˆ UD (tk , tk-1 ) = exp - tk ˆ VD (τ )dτ , (6) tk-1 где tk > tk-1 . Докажем, что для малых интервалов времени ((tk - tk-1 ) → 0) ядро опеˆ ратора эволюции nk |UD (tk , tk-1 )|nk-1 имеет вид 1 ˆ nk |UD (tk , tk-1 )|nk-1 = exp -ıS[nk , tk ; nk-1 , tk-1 ; ξk-1 ] dξk-1 , (7) 0 где S[nk , tk ; nk-1 , tk-1 ; ξk-1 ] = 2π(nk - nk-1 )ξk-1 + + ΩRk nk-1 cos 2π(nk - nk-1 )ξk-1 + (Ω + ωnk ,nk-1 ) n + cos 2π(nk - nk-1 )ξk-1 - (Ω - ωnk ,nk-1 ) tk + tk-1 + 2 tk + tk-1 2 (tk - tk-1 ) (8) - безразмерное действие (в единицах ) в энергетическом представлении. Для доказательства справедливости выражений (7), (8) для ядра операˆ тора эволюции, используя (6), представим nk |UD (tk , tk-1 )|nk-1 для малых интервалов времени ((tk - tk-1 ) → 0) в виде ˆ nk |UD (tk , tk-1 )|nk-1 = nk |nk-1 - ı tk tk-1 224 ˆ nk |VD (τ )|nk-1 dτ. Докажем, что 1 ˆ nk |VD (τ )|nk-1 = exp[-2πı(nk - nk-1 )ξk-1 ]× 0 × ΩRk nk-1 cos 2πξk-1 (nk - nk-1 ) - (Ω - ωnk nk-1 )τ + n + cos 2πξk-1 (nk - nk-1 ) + (Ω + ωnk nk-1 )τ dξk-1 . (10) Для доказательства (10) построим матричный элемент взаимодействия ˆ nk |VD (τ )|nk-1 = Xl ,l δnk l δ(nk -nk-1 ),(l -l) δlnk-1 , (11) l ,l где была использована ортонормированность векторов-состояний квантовой системы: δnk l = nk |l , δlnk-1 = l|nk-1 , а также введен символ Кронекера δ(nk -nk-1 ),(l -l) , который эквивалентен введению единичного множителя. Введем интегральное представление для символа Кронекера: 1 δ(nk -nk-1 ),(l -l) = exp -2πı(nk - nk-1 - l + l)ξk-1 dξk-1 . (12) 0 Подставим (12) в (11): 1 ˆ nk |VD (τ )|nk-1 = exp -2πı(nk - nk-1 )ξk-1 × 0 × Xl l (τ )δnk l δlnk-1 exp 2πı(l - l)ξk-1 dξk-1 . (13) l ,l Формулу (13) запишем в виде 1 ˆ nk |VD (τ )|nk-1 = exp -2πı(nk - nk-1 )ξk-1 × 0 ˜ Xl l (τ ; ξk-1 )δnk l δlnk-1 dξk-1 , (14) × l ,l где 1 R ˜ Xl l (τ ; ξk-1 ) = Ω exp ı(2π(l - l)ξk-1 - (Ω - ωl ,l )τ ) + 2 ll + exp ı(2π(l - l)ξk-1 + (Ω + ωl ,l )τ ) . (15) Разделим сумму в (14) на две части: 1 ˆ nk |VD (τ )|nk-1 = exp[-2πı(nk - nk-1 )ξk-1 ]× 0 Xl l (τ ; ξk-1 )δnk l δlnk-1 + × l l ˜ Xl l (τ ; ξk-1 )δnk l δlnk-1 dξk-1 . (16) l l Во второй сумме выражения (16) сделаем замену переменных l ↔ l и учтем, что в соответствии с определением (15) ˜ ˜ Xll (τ ; ξk-1 ) = Xl∗l (τ ; ξk-1 ); тогда после суммирования получаем 1 ˆ nk |VD (τ )|nk-1 = exp[-2πı(nk - nk-1 )ξk-1 ]× 0 ˜ × 2 Re[Xnk nk-1 (τ ; ξk-1 )]dξk-1 . (17) ˜ Подставляя в выражение (17) явный вид функций Xnk nk-1 (τ ; ξk-1 ) в соответствии с (15), получаем формулу (10). Заметим, что полученное выражение (10) справедливо как для nk > nk-1 , так и для nk < nk-1 . Для большого класса моделей ΩRk nk = 0. n Подставляя данный результат в выражение (9) и используя интегральное представление для символа Кронекера 1 exp[-2πı(nk - nk-1 )ξk-1 ]dξk-1 , δnk nk-1 = 0 получим 1 ˆ nk |UD (tk , tk-1 )|nk-1 = exp -2πı(nk - nk-1 )ξk-1 × 0 × 1 - ıΩRk nk-1 n tk cos 2πξk-1 (nk - nk-1 ) - (Ω - ωnk nk-1 )τ + tk-1 + cos 2πξk-1 (nk - nk-1 ) + (Ω + ωnk nk-1 )τ dτ dξk-1 . (18) Аппроксимируя интеграл в формуле (18), получим 1 ˆ nk |UD (tk , tk-1 )|nk-1 = exp -2πı(nk - nk-1 )ξk-1 × 0 × 1 - ıΩRk nk-1 cos 2π(nk - nk-1 )ξk-1 - (Ω - ωnk ,nk-1 ) n + cos 2π(nk - nk-1 )ξk-1 + (Ω + ωnk ,nk-1 ) tk + tk-1 2 tk + tk-1 + 2 (tk - tk-1 ) dξk-1 . (19) Рассмотрим случай малых временных промежутков (tk - tk-1 ), таких что ΩRk nk-1 (tk - tk-1 ) n В этом случае 226 1. Представление вероятностей квантовых переходов функциональным интегралом . . . 1 - ıΩRk nk-1 cos 2π(nk - nk-1 )ξk-1 - (Ω - ωnk ,nk-1 ) n tk + tk-1 + 2 tk + tk-1 (tk - tk-1 ) = 2 Ω - ωnk ,nk-1 (tk + tk-1 ) + = exp -ıΩRk nk-1 cos 2π(nk - nk-1 )ξk-1 - n 2 Ω + ωnk ,nk-1 + cos 2π(nk - nk-1 )ξk-1 + (tk + tk-1 ) (tk - tk-1 ) dξk-1 . (20) 2 + cos 2π(nk - nk-1 )ξk-1 + (Ω + ωnk ,nk-1 ) Учитывая (20) в выражении (19), получим ядро оператора эволюции в виде (7), где действие в энергетическом представлении определяется выражением (8), что и требовалось доказать. Полная амплитуда перехода примет вид ˆ nf |UD (t, 0)|n0 = 1 = 1 exp -ıS[nf , nK , ξK ; . . . ; ... n1 ,...,nK 0 0 nk , nk-1 , ξk-1 ; . . . ; n1 , nin , ξ0 ] dξ0 . . . dξK , где действие S является функционалом на континууме траекторий, определяемых в дискретном пространстве переменных nk , размеры которого определяются числом квантовых уровней исследуемой системы, и на непрерывном ограниченном на [0, 1] пространстве ξk : K+1 S[nf , nK , ξK ; . . . ; nk , nk-1 , ξk-1 ; . . . ; n1 , nin , ξ0 ] = S[nk , nk-1 , ξk-1 ] (21) k=1 с условиями tK+1 = t, nK+1 = nf , t0 = 0. Уравнение эволюции матрицы плотности запишем в виде 1 ρmf ,nf (t) = 1 dξ0 . . . dξK dζ0 . . . dζK × ... n0 ,...,nK m0 ,...,mK 0 0 × ρn0 ,m0 (0) exp -ı S[nf , nK , ξK ; . . . ; nk , nk-1 , ξk-1 ; . . . ; n1 , nin , ξ0 ]- - S[nf , mK , ζK ; . . . ; mk , mk-1 , ζk-1 ; . . . ; m1 , nin , ζ0 ] . Вероятность квантового перехода из чистого квантового состояния ρ(0) = ˆ = |nin nin | в начальный момент времени t = 0 в конечное чистое квантовое состояние ρ(t) = |nf nf | в конечный момент времени t определяется следуˆ ющим образом: 1 P (nf , t|nin , 0) = 1 dξ0 . . . dξK dζ0 . . . dζK × ... n0 ,...,nK m0 ,...,mK 0 0 ×δ(n0 -nin )δ(m0 -nin ) exp -ı S[nf , nK , ξK ; . . . ; nk , nk-1 , ξk-1 ; . . . ; n1 , nin , ξ0 ]- 227 Б и р ю к о в А. А., Ш л е е н к о в М. А. - S[nf , mK , ζK ; . . . ; mk , mk-1 , ζk-1 ; . . . ; m1 , nin , ζ0 ] dξ0 ..dξK dζ0 . . . dζK × ... = n1 ,...,nK m1 ,...,mK = 1 1 0 0 × exp -ı S[nf , . . . , nk , . . . , nin ; ξK , . . . , ξk , . . . , ξ0 ]- - S[mf , . . . , mk , . . . , min ; ζK , . . . , ζk , . . . , ζ0 ] . Разложим экспоненту по формуле Эйлера: 1 P (nf , tf |nin , tin )= 1 cos S[nf , nK , ξK ; . . . ; n1 , nin , ξ0 ]- ... n1 ,...,nK m1 ,...,mK 0 0 - S[nf , mK , ζK ; . . . ; m1 , nin , ζ0 ] dξ0 . . . dξK dζ0 . . . dζK - N N 1 -ı 1 ... n1 ,...,nK =1 m1 ,...,mK =1 0 sin S[nf , nK , ξK ; . . . ; n1 , nin , ξ0 ]- 0 - S[nf , mK , ζK ; . . . ; m1 , nin , ζ0 ] dξ0 . . . dξK dζ0 . . . dζK . Учитывая, что синус - антисимметричная функция, нетрудно доказать, что мнимая часть вероятности квантового перехода равна нулю: 1 1 ... n1 ,...,nK m1 ,...,mK 0 sin S[nf , nK , ξK ; . . . ; nk , nk-1 , ξk-1 ; . . . ; n1 , nin , ξ0 ]- 0 - S[nf , mK , ζK ; . . . ; mk , mk-1 , ζk-1 ; . . . ; m1 , nin , ζ0 ] × × dξ0 . . . dξK dζ0 . . . dζK = 0. Таким образом, вероятность квантового перехода имеет вид функционального интеграла с действительным подынтегральным функционалом: 1 P (nf , tf |nin , tin ) = Anorm 1 × ... n1 ,...,nK m1 ,...,mK 0 0 × cos S[nf , nK , ξK ; . . . ; nk , nk-1 , ξk-1 ; . . . ; n1 , nin , ξ0 ]- - S[nf , mK , ζK ; . . . ; mk , mk-1 , ζk-1 ; . . . ; m1 , nin , ζ0 ] dξ0 . . . dξK dζ0 . . . dζK , (22) где действие в энергетическом представлении имеет вид (8); Anorm - константа, сохраняющая нормировочное условие P (nf , tf |nin , tin ) = 1. nf Идея о представлении вероятностей квантовых переходов интегралами по траекториям впервые была высказана Г. В. Рязановым [20]. Однако аналитическими методами провести вычисление вероятности квантовых переходов по формуле (22) не представляется возможным. Для решения подобной задачи необходимо использование методов численного интегрирования. 2. Вращательная динамика молекулы N2 под действием группы лазерных импульсов. В работе [13] были опубликованы результаты экспериментов по возбуждению вращательных состояний неполярных молекул 14 N2 и 15 N2 последовательностью лазерных импульсов. Обсуждение полученных результатов проводилось в работах [14, 15]. В данных экспериментах группа молекул N2 исследовалась при температуре T = 6.3 K, их начальное состояние определялось распределением Больцмана по энергиям вращательных уровней. Молекулы облучались группой из семи лазерных импульсов, период следования которых варьировался в интервале от 6.5 пс до 9.5 пс. Каждый лазерный импульс имел длительность порядка 500 фс. Пиковая интенсивность лазерного излучения достигала значений I0 = 5 · 1012 Вт/см2 . В экспериментах наблюдалось изменение вероятностей нахождения исследуемых молекул на вращательных энергетических уровнях после действия группы импульсов. Варьировалась длительность между импульсами внутри одной группы и была исследована зависимость распределения молекул по вращательным уровням энергии в зависимости от длительности временного промежутка между лазерными импульсами. Эксперименты с молекулами азота 14 N2 показали, что вероятность распределения исследуемых молекул по вращательным уровням энергии существенно зависит от периода следования импульсов, как показано графиками, представленными на рис. 1, 2. Из анализа графиков следует, что при периоде следования лазерных импульсов τ ≈ 8.38 пс наблюдается максимальное число молекул в высоколежащих (l 2) вращательных состояниях и минимальное число молекул, находящихся на нижних энергетических уровнях (l < 2). Распределение вероятностей по энергиям вращательных уровней молекул азота после взаимодействия с группой ультракоротких лазерных импульсов существенно отличается от распределения Больцмана, в котором они были приготовлены в начальный момент времени. В эксперименте наблюдается явление резонанса. Другая серия аналогичных экспериментов была проведена с двухатомными молекулами 15 N2 (молекулами, состоящими из изотопов азота). Результаты экспериментов, то есть распределение вероятностей возбуждения энергетический уровней молекул 15 N2 в зависимости от периода следования лазерных импульсов, представлены на рис. 2. Из анализа рис. 2 следует, что для молекулы 15 N2 повышение вероятностей возбуждения высоколежащих вращательных состояний наблюдается при периоде следования импульсов T ≈ 8.98 пс. Эксперименты убедительно показывают, что резонансные возбуждения молекул 14 N2 , 15 N2 наступают при разных периодах следования лазерных импульсов. Этот факт представляет интерес для развития технологии селективного разделения изотопов интенсивным лазерным излучением. Дадим описание изложенных экспериментов в рамках предложенного формализма, вычисляя вероятности перехода молекулы в возбужденные состояния на основании формулы (22). В соответствии с условиями эксперимента в начальный момент времени t = 0 вероятности наблюдения молекулы на различных уровнях подчиняется распределению Больцмана: Рис. 1. (online в цвете) Зависимость вероятностей наблюдения молекул 14 N2 на различных вращательных уровнях под действием группы лазерных импульсов с периодом τ , полученных в экспериментах [13, рис. 3(a)] [Figure 1. (color online) Rotational population of 14 N2 molecules on different energy levels versus train period τ . These experimental results are taken from [13, Fig. 3(a)] ] (a) 14N 2 (c) 15N 2 Рис. 2. (online в цвете) Распределение вероятностей наблюдения молекул 14 N2 (левый рисунок) и 15 N2 (правый рисунок) на различных вращательных уровнях под действием группы лазерных импульсов с периодом τ , полученных в экспериментах [13, рис. 4(a, c)] [Figure 2. (color online) The distribution of 14 N2 (left) and 15 N2 (right) probability observation with differents rotational quantum numbers versus train period. These experimental results are taken from [13, Figs. 4(a, c)] ] где N exp - Z= l=0 El kT - статистическая сумма; k - коэффициент Больцмана; T = 6.3 K - абсолютная температура газа молекул; N - число энергетических уровней, принятое в моделе. Вращательные энергетические уровни молекул El найдем на основании уравнения [21] 2 1 ∂ ∂ - sin θ Yl (θ) = El Yl (θ), (23) 2I sin θ ∂θ где I = µR2 - момент инерции молекулы; µ - приведенная масса молекулы; R - расстояние между атомами; Yl (θ) = Yl0 (θ, φ), Ylm (θ, φ) - сферические функции (m = 0). Уравнение (23) определяет вращательный энергетический спектр двухатомной молекулы 2 El = l(l + 1), (24) 2I где l = 0, 1, . . . - орбитальное квантовое число. Конкретизируем взаимодействие неполярных двухатомных молекул с лазерным излучением с электрической напряженностью E(τ ). В связи с тем, что дипольный момент неполярных молекул равен нулю, слагаемое, описывающее взаимодействие исследуемой молекулы с электромагнитным излучением в дипольном приближении, равно нулю. Однако под действием интенсивного лазерного излучения неполярные молекулы способны приобретать индуцированный дипольный момент, с которым впоследствии взаимодействуют. Таким образом, потенциал взаимодействия запишем в виде [13-15] 1 ˆ V (τ ) = - ∆αE 2 (τ ) cos2 θ, 4 (25) где ∆α - постоянная, характеризующая молекулярную поляризуемость; θ - угол между осью молекулы и поляризацией лазерного излучения. Матричные элементы потенциала взаимодействия (25) - 1 Vl l (τ ) = - ∆αE 2 (τ ) l | cos2 θ|l , 4 π l | cos2 θ|l = 2π Yl (θ) cos2 θYl (θ)d cos θ. (26) 0 Расчет матричных элементов l | cos2 θ|l по формуле (26) проводится в данной работе численно. Выпишем параметры молекулы 14 N2 [22, 23]: ∆α = 1.97 · 10-40 Кл·м2 /В; 2 I = 1.4 · 10-46 кг·м2 ; 2I = 3.9 · 10-23 Дж. Моделировалась группа лазерных импульсов в виде эквидистантной последовательности лазерных импульсов, которые были использованы в работе [13]. Огибающая напряженности электрического поля группы лазерных импульсов принималась в виде 3 Jn (A)E0 exp - E(τ ) = n=-3 (τ - nτper )2 , 2 τpul (27) где Jn (A) - функция Бесселя первого порядка; A = 2.5 - амплитуда модуляции для создания последовательности ультракоротких лазерных импульсов; E0 ≈ 6 × 109 В/м - максимальное значение огибающей напряженности электрического поля; τpul ≈ 500 фс - длительность каждого импульса в последовательности; 7.5 пс τper 9.5 пс - период последовательности лазерных импульсов. На основании формул (8), (21), (22), (24), (26), (27) с учетом значений параметров эксперимента строилась зависимость вероятностей возбуждения различных вращательных состояниях исследуемой молекулы 14 N2 под действием группы лазерных импульсов при варьировании периода τ их следования. При моделировании динамики молекул N2 мы ограничивались рассмотрением 8 вращательных уровней (l = 0, 1, . . . , 7). Это ограничение справедливо, так как исходя из экспериментальных данных [13] более высокие вращательные состояния имеют низкую степень возбуждения, которой можно пренебречь. 3. Результаты. При проведении исследований поведения вероятностей наблюдения молекул 14 N2 в определенных вращательных состояниях под действием группы лазерных импульсов в зависимости от периода группы были получены результаты, представленные на рис. 3, 4. На рис. 3, 4 представлены зависимости вероятности Pl наблюдения молекулы 14 N2 в различных вращательных состояниях l после взаимодействия с группой лазерных импульсов с периодом τ при различных значениях максимальной величины интенсивности лазерных импульсов: I0 = 5 · 1012 Вт/см2 (сплошная линия), 0.5I0 (пунктирная линия) и 2I0 (штрихпунктирная линия). Кривая, обозначенная сплошной линией, описывает результаты проведенных экспериментов и находится с ними в согласии. На рисунках наблюдается выраженный резонанс возбуждения высоких квантовых состояний (l 2) исследуемых молекул при определенных значениях периода группы лазерных импульсов. При этом вероятности наблюдения исследуемых молекул в основном и первом возбуженном квантовом состоянии при данных значениях периода группы лазерных импульсов принимают минимальные значения. Из анализа графиков видно, что максимальная степень возбуждения молекулы 14 N наблюдается при периоде импульсов τ ≈ 8.38 пс, что численно согласу2 ется с результатами эксперимента. Также анализ полученных зависимостей указывает на нелинейную зависимость вероятности наблюдения исследуемых молекул от максимального значения интенсивности лазерных импульсов в группе. Из рисунков следует, что при увеличении максимальной величины интенсивности группы лазерных импульсов вероятность наблюдения молекул азота в высоких возбужденных вращательных состояниях увеличивается и при определенных интенсивностях начинает превосходить вероятность обнаружения молекулы азота в нижних квантовых состояниях. На рис. 5 представлены распределения вероятностей наблюдения Pl молекул в определенных вращательных состояниях l при воздействии групп лазерных импульсов с периодом τ ≈ 8.38 пс (резонанс возбуждения молекулы 14 N2 ) при различных интенсивностях в сравнении с начальным тепловым распределением (распределением Больцмана). На рис. 5 сплошная линия обозначает начальное распределение молекул по вращательным квантовым состояниям - распределение Больцмана при температуре T = 6.3 K; символы «точки» - распределение, полученное при моделировании воздействия семи импульсов с пиковой интенсивностью I0 = = 5 · 1012 Вт/см2 (данное значение интенсивности использовалось в экспериментах [13]); «крестики» - распределение, полученное при моделировании воздействия семи импульсов с пиковой интенсивностью I0 = 2.5 · 1012 Вт/см2 ; «треугольники» - распределение, полученное при моделирования воздействия семи импульсов с максимальной интенсивностью I0 = 10 · 1012 Вт/см2 . [Figure 3. (color online) Probabilities of 14 N2 observation in differents quantum states (l = 0, 1, 2, 3) for differents values of laser pulses intensity: I0 (solid curve), 0.5I0 (dashed curve) and 2I0 (dot-dashed curve) after interaction with a train of laser pulses] Рис. 3. (online в цвете) Вероятности наблюдения молекул 14 N2 в различных вращательных квантовых состояниях (l = 0, 1, 2, 3) при различных значениях максимальной величины интенсивности лазерных импульсов: I0 (сплошная линия), 0.5I0 (пунктирная линия) и 2I0 (штрихпунктирная линия) после взаимодействия с группой лазерных импульсов с периодом τ [Figure 4. (color online) Probabilities of 14 N2 observation in differents quantum states (l = 4, 5, 6, 7) for differents values of laser pulses intensity: I0 (solid curve), 0.5I0 (dashed curve) and 2I0 (dot-dashed curve) after interaction with a train of laser pulses] Рис. 4. (online в цвете) Вероятности наблюдения молекул 14 N2 в различных вращательных квантовых состояниях (l = 4, 5, 6, 7) при различных значениях максимальной величины интенсивности лазерных импульсов: I0 (сплошная линия), 0.5I0 (пунктирная линия) и 2I0 (штрихпунктирная линия) после взаимодействия с группой лазерных импульсов с периодом τ Рис. 5. (online в цвете) Распределение вероятностей наблюдения молекул 14 N2 на различных вращательных уровнях l под действием группы лазерных импульсов с периодом τ = 8.38 пс (резонансный случай) [Figure 5. (color online) The distribution of 14 N2 observation probabilities on different rotational levels l after interaction with a train of laser pulses with period τ = 8.38 ps (resonance case)] Из анализа графиков следует, что последовательность из семи импульсов с периодом следования τ = 8.38 пс возбуждает молекулы 14 N2 , которые переходят на более высокие вращательные уровни (l 2). После взаимодействия с группой ультракоротких лазерных импульсов распределение вероятностей молекул азота по вращательным состояниям не может быть сведено к распределению Больцмана при какой-либо температуре. Это указывает на нетепловой характер взаимодействия исследуемых молекул азота с полем лазерного излучения. Также наблюдается зависимость распределения вероятностей наблюдения молекул азота от интенсивности ультракоротких лазерных импульсов. При малой интенсивности (крестики) наибольшую вероятность наблюдения (≈ 0.39) имеет 2-й возбужденный вращательный уровень; при интенсивности лазерного излучения, которая была использована в экспериментах [13-15], (точки) наибольшую вероятность наблюдения (≈ 0.37) имеет 4-й возбужденный уровень; при вдвое большей интенсивности (треугольники) наибольшую вероятность наблюдения (≈ 0.47) имеет 6-й вращательный уровень. Проведенное моделирование представляет интерес, так как позволяет находить параметры лазерного излучения, под действием которого наблюдается заселение определенных квантовых состояний исследуемой молекулы азота 14 N , что может быть использовано при развитии технологий эффективного 2 квантового когерентного контроля с высокой степень селективности. Полученные результаты находятся в согласии с экспериментальными данными, представленными в работе [13] (см. рис. 1, 2). Заключение. В работе предложен новый метод вычисления вероятностей переходов квантовых систем под действием электромагнитного поля излучения, вероятности переходов представлены интегралами по траекториям в пространстве энергетических состояний. Разработанный метод позволяет проводить компьютерное моделирование динамики поведения молекулы в поле лазерных импульсов. Предложенный метод применяется к проблеме резонансного возбуждения высоких вращательных квантовых состояний неполярных двухатомных молекул (на примере 14 N2 ) под действием последовательности ультракоротких лазерных импульсов. Полученные в рамках численного моделирования результаты (численные значения периодов групп импульсов, при которых наблюдается квантовый резонанс) количественно согласуются с экспериментальными данными и позволяют моделировать результаты эксперимента при любых интенсивностях и периодах групп лазерных импульсов.

About the authors

Alexander A Biryukov

Samara State University

Email: biryukov@samsu.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; biryukov@samsu.ru), Head of Dept., Dept. of General & Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

Mark A Shleenkov

Samara State University

Email: shleenkov@list.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; shleenkov@list.ru; Corresponding Author), Assistant, Dept. of General & Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

References

Supplementary files