Том 19, № 2 (2015)

В настоящей работе исследована динамика системы двух двухуровневых естественных или искусственных атомов, один из которых находится в идеальном резонаторе и взаимодействует с модой одномодового теплового поля, а второй свободно перемещается вне резонатора. Для описания динамики системы нами найдены собственные значения и собственные функции гамильтониана модели. С их помощью получено точное выражение для матрицы плотности в случае чистого начального состояния атомов и теплового состояния поля. Найдена редуцированная атомная матрица плотности. Проведено транспонирование атомной матрицы плотности по переменным одного кубита. С ее помощью рассчитан параметр Переса-Хородецких. Проведено численное моделирование параметра атомного перепутывания для различных начальных чистых состояний атомов и среднего числа фотонов в тепловой моде. Найдено, что тепловое поле может индуцировать высокую степень перепутывания кубитов в рассматриваемой модели. При этом имеется возможность управления и контроля за степенью перепутывания за счет изменения интенсивности диполь-дипольного взаимодействия кубитов и температуры резонатора. Показано, что максимальная степень перепутывания кубитов достигается для состояния, в котором возбужден только один из атомов.

Даламбертиан Леви - бесконечномерный дифференциальный оператор второго порядка, определенный по аналогии с лапласианом Леви. У работы две цели: исследовать связи между различными определениями даламбертиана Леви и исследовать связь между даламбертианами Леви и уравнениями квантовой хромодинамики (уравнениями Янга-Миллса-Дирака). Существуют два определения классического оператора Даламбера-Леви. Первое из них заключается в том, что этот оператор определяется как интегральный функционал, заданный специальным видом второй производной. По-другому даламбертиан Леви можно определить с помощью средних Чезаро вторых производных по направлению вдоль векторов ортонормированного базиса. В работе доказывается эквивалентность этих определений, при этом используются слабо равномерно плотные ортонормированные базисы. По аналогии с семейством неклассических лапласианов Леви в работе вводится семейство неклассических даламбертианов Леви, параметризованных линейными операторами на линейной оболочке базиса. Показано, что связь даламбертиана Леви с калибровочными полями можно описать как с помощью классического даламбертиана Леви, который задается тождественным оператором на линейной оболочке базиса, так и с помощью другого элемента семейства неклассических даламбертианов Леви. В работе изучается связь между последним оператором и уравнениями Янга-Милсса с источником. В частности, выводится система бесконечномерных уравнений, эквивалентная уравнениям квантовой хромодинамики и содержащая такой неклассический даламбертиан.

В рамках метода теории возмущений по постоянной тонкой структуры и~отношению масс электрона и мюона вычислены поправки на отдачу порядков $\alpha^4 \frac{M_e}{M_\mu}$, $\alpha^4 (\frac{M_e}{M_\mu})^2\ln\frac{M_e}{M_\mu}$, $\alpha^4 (\frac{M_e}{M_\mu})^2$, $\alpha^5\frac{m_e}{m_\mu}\ln\frac{m_e}{m_\mu}$ и~релятивисткие поправки порядка $\alpha^6$ в сверхтонкой структуре основного состояния ионов мюонного лития $(\mu\,e\,^6_3\mathrm{Li})^{+}$ и $(\mu\,e\,^7_3\mathrm{Li})^{+}$. Получены значения малых интервалов сверхтонких расщеплений: $\Delta\nu_1=14153.03$~МГц и~$\Delta\nu_2=21571.26$~МГц в $({\mu\,e\,^6_3\mathrm{Li})^+}$, ${\Delta\nu_1=13991.97}$~МГц и~$\Delta\nu_2=21735.03$~МГц в $(\mu\,e\,^7_3\mathrm{Li})^+$, которые можно рассматривать как надёжный ориентир при сравнении с будущими экспериментальными данными.

Абелевы модели Хиггса на римановых поверхностях являются естественным обобщением абелевой (2 + 1)-мерной модели Хиггса на плоскости, возникающей в теории сверхпроводимости. В модели на плоскости ранее было доказано, что при «медленном» движении двух вихрей (нулей поля Хиггса) после лобового столкновения они испытывают рассеяние под прямым углом, а при симметричном столкновении N вихрей под равными углами происходит рассеяние на угол π/N . В критическом случае (при значении параметра модели, равном единице) этот результат можно получить с помощью так называемого адиабатического принципа, который утверждает, что динамические решения модели с малой кинетической энергией могут быть приближены геодезическими на пространстве модулей статических решений в метрике, задаваемой кинетической энергией (кинетической метрике). Адиабатический принцип в абелевой (2+1)-мерной модели Хиггса в критическом случае был недавно строго обоснован. Хотя явный вид метрики не удается выписать даже в случае двух вихрей, наличие требуемых геодезических удается установить, пользуясь гладкостью метрики в координатах, задаваемых симметрическими функциями положений вихрей, и свойствами симметрии метрики. Локальный аналог этого результата можно доказать, пользуясь только гладкостью кинетической метрики. Это позволяет предположить, что локальный вариант утверждения о рассеянии N вихрей на угол π/N при симметричном столкновении переносится на случай моделей на римановых поверхностях. В работе показано, что наличие геодезических кинетической метрики, описывающих требуемое поведение вихрей, в моделях на компактных римановых поверхностях следует из гладкости кинетической метрики в симметрических координатах в окрестности точек столкновения всех вихрей. Указанное свойство гладкости доказано в случае компактных римановых поверхностей. Применив адиабатический принцип для моделей на римановых поверхностях, можно получить утверждение о локальном рассеянии медленно движущихся вихрей в динамических моделях на компактных римановых поверхностях. К сожалению, этот адиабатический принцип еще нуждается в строгом обосновании.

В представляемой работе приводится построение полной системы независимых ротационно-инвариантных функциональных аргументов для лагранжиана нелинейного микрополярного (микроморфного) термоупругого континуума второго типа, который включает тензор конечной деформации Коши-Грина, температурное смещение, референциальный градиент температурного смещения, три вектора экстрадеформации и три несимметричных тензора экстрадеформации второго ранга. Дополнительные (экстра) реперы, связанные с микроэлементами, предполагаются нежесткими, что допускает наиболее общую аффинную экстрадеформацию микроэлементов континуума. Исходя из принципа наименьшего действия Гамильтона получены 4-ковариантные уравнения термоупругого поля в микрополярном континууме в канонической форме Эйлера-Лагранжа. Сформулированы дифференциальные и функциональные условия ротационной инвариантности плотности действия. Последние затем используются с целью поиска ротационно-инвариантных функциональных аргументов лагранжиана. Найдена система независимых ротационно-инвариантных функциональных аргументов лагранжиана. Дается формальное доказательство ее полноты. Построены удовлетворяющие принципу объективности формы определяющих уравнений гиперболического микрополярного термоупругого континуума, соответствующие ротационно-инвариантному лагранжиану.

В статье рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в случае смешанного нагружения (нормальный отрыв и поперечный сдвиг) в полном диапазоне смешанных форм деформирования в условиях плоского напряженного состояния. Для построения асимптотического решения используется метод разложения по собственным функциям механических полей в окрестности вершины трещины. Показано, что проблема отыскания полей напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины сводится к нелинейной задаче на собственные значения, где показатель степени расстояния от вершины трещины представляет собой собственное значение, а угловое распределение компонент тензора напряжений - собственные функции. Получено численное решение нелинейной задачи на собственные значения и найден весь спектр собственных значений. Найдены новые собственные значения, отличные от собственных значений классической задачи Хатчинсона-Райса-Розенгрена. Показано, что новое асимптотическое решение можно интерпретировать как автомодельно-промежуточную асимптотику поля напряжений на расстояниях, много меньших характерного линейного размера образца, но много больших характерного линейного размера области полностью поврежденного материала.

Возможности классических рядов Фурье, связанных с тригонометрическими функциями, существенно ограничены в двумерных и трехмерных краевых задачах. Граничные условия таких краевых задач для областей с криволинейными границами часто не удается выполнить при использовании классических рядов Фурье. Решение этой проблемы дает использование ортогональных финитных базисных функций. Однако ортогональные базисные функции Хаара не являются непрерывными. Ортогональные вейвлеты Добеши имеют компактные носители, но не записываются в аналитической форме и имеют низкую гладкость. Непрерывные финитные функции Фабера-Шаудера не являются ортогональными. Ортогональные непрерывные функции Франклина не являются финитными. Здесь установлена связь ортогональной системы функций Франклина с последовательностью сеточных наборов кусочно-линейных ортогональных финитных базисных функций (ОФФ). Сформирован ряд Фурье-ОФФ на основе таких непрерывных ОФФ, который позволяет выполнять граничные условия типа Дирихле на криволинейных границах в рамках интегральных постановок краевых задач. Аналогичная проблема, связанная с удовлетворением граничных условий типа Неймана, также устраняется при дополнительном использовании смешанных интегральных постановок краевых задач. Ряд Фурье-ОФФ повышает эффективность смешанных численных методов решения краевых задач.