The Dirichlet problem for mixed type equation with two lines of degeneracy in a rectangular area

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 634 1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение Lu ≡ sgn x · uxx + sgn y · uyy + λu = 0, (1) где λ ∈ C, в области D = {(x, y) ∈ R2 | - 1 < x < 1, -α < y < β}, α, β ∈ R; α, β > 0. Обозначим D1 = D∩{x > 0, y > 0}, D2 = D∩{x > 0, y < 0}, D3 = D ∩ {x < 0, y < 0}, D4 = D ∩ {x < 0, y > 0}. Задача Дирихле (Задача D). Найти функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям u(x, y) ∈ C( D ) ∩ C1 (D) ∩ C2 (D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ D4 ), (2) Задача Дирихле для уравнения смешанного типа . . . Lu(x, y) ≡ 0, (x, y) ∈ D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ D4 , (3) = 0, y ∈ [-α; β], (4) u(x, y) u(x, y) y=-α x=1 = u(x, y) = ψ(x), x=-1 u(x, y) y=β = ϕ(x), x ∈ [-1; 1], (5) где ϕ и ψ - заданные достаточно гладкие функции, ϕ(±1) = ψ(±1) = 0. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной или несколькими линиями изменения или вырождения типа были объектом изучения многих авторов. В работе [2] построена теория задачи Трикоми для уравнений смешанного типа в классической смешанной области, в которой гиперболическая часть состоит из двух подобластей, ограниченных характеристиками уравнения и линиями изменения типа. Там приведен достаточно полный обзор работ, посвященных данному направлению. В работе [3] предложена задача для уравнения с двумя линиями вырождения в смешанной области, состоящей из четырех эллиптических подобластей и четырех гиперболических подобластей, последние из которых ограничены характеристиками данного уравнения и линиями изменения типа. В [4, с. 303] было показано, что некоторые задачи трансзвуковой газовой динамики сводятся к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа. В [5] доказана некорректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева. В дальнейшем задача Дирихле для уравнений смешанного типа привлекала внимание многих авторов [6-11]. В этих работах единственность решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа с одной линией вырождения или изменения типа доказана с помощью принципа экстремума или методом интегральных тождеств, а существование - методом интегральных уравнений или разделения переменных. В работах [12, 13] исследована задача Дирихле для уравнения смешанного типа с одной внутренней линией степенного вырождения и вырождением на границе в прямоугольной области и методами спектрального анализа установлен критерий единственности и решение задачи построено в виде суммы ряда по системе собственных функций. В данной работе впервые для уравнения (1) с двумя внутренними перпендикулярными линиями изменения типа со спектральным параметром изучена задача Дирихле в прямоугольной области D. Найдены собственные значения соответствующей спектральной задачи. Установлен критерий единственности, и решение задачи (2)-(5) построено в виде суммы ряда по биортогональной системе функций. Единственность решения поставленной задачи доказана на основании полноты биортогональной системы в пространстве L2 [-1, 1]. Ранее такая идея использовалась в работе [14] при доказательстве единственности решения начально-граничной задачи для гиперболических уравнений и в работе [12] для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа. При доказательстве существования решения задачи (2)-(5) аналогично [15, 16, 12] возникла так называемая «проблема малых знаменателей», которая создает трудности при обосновании сходимости построенного ряда в классе функций (2). При определенных ограничениях на параметры α, β доказаны леммы об отделимости малых знаменателей от нуля. 635 Г и м а л т д и н о в а А. А. 2. Спектральная задача. Построение биортогональной системы. Задача Dλ . Найти значения λ и соответствующие им функции u(x, y), удовлетворяющие задаче (2)-(5), где ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0. После разделения переменных u(x, y) = X(x)Y (y) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: sgn x · X + d · X = 0, x ∈ (-1, 0) ∪ (0, 1), sgn y · Y + (λ - d)Y = 0, y ∈ (-α, 0) ∪ (0, β), (6) (7) где d = µ2 ∈ C - постоянная разделения, причем в силу условий задачи должны быть выполнены условия X(0 - 0) = X(0 + 0), X (0 - 0) = X (0 + 0), X(-1) = X(1) = 0, (8) (9) Y (0 - 0) = Y (0 + 0), Y (0 - 0) = Y (0 + 0), Y (-α) = Y (β) = 0. (10) (11) Спектральные задачи (6), (8), (9) и (7), (10), (11) не являются классическими из-за незнакоопределенности коэффициента при старшей производной. Решениями уравнения (6), удовлетворяющими условиям (8), являются функции X(x) = C1 cos µx + C2 sin µx, x > 0, C1 ch µx + C2 sh µx, x < 0, где C1 , C2 - произвольные постоянные, и с учетом условия (9) для µ получим уравнение tg µ = - th µ. (12) Лемма 1. Уравнение tg(az) = - th(bz), a, b ∈ R, a, b > 0, имеет счетное множество корней, состоящее из нуля, простых попарно противоположных действительных и попарно противоположных чисто мнимых корней, для которых справедливы следующие асимптотические представления: π π (1),(2) zk = ± - + k + O e-2πkb/a , 4a a π π (3),(4) zk = ±i - + k + O e-2πka/b , k ∈ N. 4b b Уравнение (12) в силу леммы 1 имеет счетное множество действительных корней ±µk и чисто мнимых корней ±iµk , причем для положительных µk справедливо асимптотическое представление µk = - 636 π + πk + O(e-2πk ). 4 (13) Задача Дирихле для уравнения смешанного типа . . . Тогда d может принимать решениями задачи (6), (8), (9)   sin[µk (x - 1)] ,   cos µk (1) Xk (x) =  sh[µk (x + 1)]   , ch µk (1) (2) значения dk = µ2 > 0 и dk = -µ2 < 0, и k k будут соответственно функции   sh[µk (x - 1)] , x > 0,  x > 0,  ch µk (2) Xk (x) =  sin[µk (x + 1)]   x < 0, , x < 0. cos µk При найденных µk решениями уравнения (7) с учетом условий (10) будут соответственно функции  a(1) ch(y µ2 - λ) + b(1) sh(y µ2 - λ), y > 0, k k k k (1) (14) Yk (y) = a(1) cos(y µ2 - λ) + b(1) sin(y µ2 - λ), y < 0, k k k k (2) Yk (y) (1) (1) = (2)  a(2) cos(y k a(2) ch(y k (2) µ2 + λ) + bk sin(y k (2) µ2 + λ) + bk sh(y k µ2 + λ), y > 0, k µ2 + λ), k (15) y < 0, (2) где ak , bk , ak , bk - неизвестные пока коэффициенты. Далее, удовлетворяя функции (14) и (15) граничным условиям (11), полу(j) (j) чим системы для нахождения неизвестных коэффициентов ak , bk , j = 1, 2:   a(1) ch(β µ2 - λ) + b(1) sh(β µ2 - λ) = 0, k k k k (16)  a(1) cos(α µ2 - λ) - b(1) sin(α µ2 - λ) = 0, k k k k   a(2) cos(β k µ2 + λ) + bk sin(β k  a(2) ch(α k µ2 + λ) - bk sh(α k (2) (2) µ2 + λ) = 0, k µ2 + λ) = 0. k (17) Системы (16) и (17) имеют нетривиальные решения тогда и только тогда, когда при всех k ∈ N соответственно определители этих систем равны 0: (1) µ2 - λ) sh(β k ∆k (α, β) = cos(α µ2 - λ)+ k µ2 - λ) ch(β k µ2 - λ) = 0, (18) k µ2 + λ) cos(β k µ2 + λ) = 0. (19) k + sin(α (2) ∆k (α, β) = ch(α µ2 + λ) sin(β k µ2 + λ)+ k + sh(α В этом случае (1) (1) bk = ak ctg(α µ2 - λ), k (2) (2) bk = ak cth(α µ2 + λ), k 637 Г и м а л т д и н о в а А. А. и функции (14) и (15) примут вид  a(1) cos(y µ2 - λ) + ctg(α µ2 - λ) sin(y µ2 - λ) , y < 0, k k k k (1) Yk (y) = a(1) ch(y µ2 - λ) + ctg(α µ2 - λ) sh(y µ2 - λ) , y > 0, k k k k (2) Yk (y) = (1)  a(2) ch(y k a(2) k µ2 + λ) + cth(α k µ2 + λ) sh(y k µ2 + λ) , k µ2 + λ) + th(α k µ2 + λ) sin(y k µ2 + λ) , y > 0, k cos(y y < 0, (2) где ak , ak - произвольные коэффициенты. Лемма 2. Собственными значениями спектральной задачи Dλ являются числа (1,1) λk,0 = µ2 , k (2,1) (1,2) λk,n = µ2 - (c(1) )2 , n k (2,2) λk,0 = -µ2 , k λk,n = -µ2 + (c(2) )2 , n k (1,3) λk,n = µ2 + (c(2) )2 , n k (2,3) λk,n = -µ2 - (c(1) )2 , n k (1) (2) где µk - корни уравнения (12), определяемые формулой (13), cn , cn - корни уравнения tg(αc) = - th(βc), определяемые так: c(1) = - n π π + n+O e-2πnβ/α , 4α α c(2) = - n π π + n+O e-2πnα/β , 4β β n = 1, 2, . . . . Д о к а з а т е л ь с т в о. Собственные значения поставленной задачи являются корнями уравнений (18) и (19). Уравнение (18) равносильно уравнению tg(α µ2 - λ) = - th(β k µ2 - λ). k Обозначим µ2 - λ = c, тогда уравнение tg(αc) = - th(βc) согласно лемме 1 k имеет следующие корни: c(1) = - n c0 = 0, ic(2) = i - n π π + n + O e-2πnα/β 4β β ic(4) = -i - n π π + n + O e-2πnβ/α 4α α , c(3) = - - n , π π + n + O e-2πnβ/α 4α α π π + n + O e-2πnα/β 4β β , где n ∈ N. Тогда собственными значениями будут действительные числа (1,1) λk,0 = µ2 , k (1,2) λk,n = µ2 - (c(1) )2 , n k (1,3) λk,n = µ2 + (c(2) )2 . n k Аналогично из уравнения (19) найдем (2,1) λk,0 = -µ2 , k 638 (2,2) λk,n = -µ2 + (c(2) )2 , n k (2,3) λk,n = -µ2 - (c(1) )2 . n k , Задача Дирихле для уравнения смешанного типа . . . Соответствующие собственные функции имеют вид (j,l) (j) (j) (j,l) uk,n (x, y) = Xk (x)Yk (y, λk,n ), где (j) (j,l) (j) Yk (y, λk,n ) = Yk (y) (1) (j,l) λ=λk,n , j = 1, 2, l = 1, 2, 3. (2) Система Xk (x), Xk (x) не ортогональна в L2 [-1, 1]. Задача, сопряженная к задаче (6), (8), (9), имеет следующий вид: sgn x · Z + d · Z = 0, Z(0 - 0) = -Z(0 + 0), x ∈ (-1, 0) ∪ (0, 1), Z (0 - 0) = -Z (0 + 0), (20) Z(-1) = Z(1) = 0. (21) Решениями задачи (20), (21) являются функции   - sh[µk (x - 1)] , x > 0, - sin[µk (x - 1)] , x > 0,     cos µk ch µk (2) (1) Zk (x) = Zk (x) =  sin[µk (x + 1)]  sh[µk (x + 1)]     , x < 0, , x < 0. ch µk cos µk Система (1) Xk ; (2) Xk (1) (2) Zk ; Zk является биортогонально сопряженной с системой , т.е. имеет место равенство 1 (j) -1 (l) Xk (x)Zm (x)dx = 0, k = m, j = 1, 2; l = 1, 2. Справедливо следующее утверждение. Лемма 3. Система (1) (2) Zk , Z k полна в пространстве L2 [-1, 1]. 3. Единственность решения задачи D. Пусть теперь λ ∈ R, λ = λi,j . k,n Далее рассмотрим функции (1) uk (y) = 1 -1 (1) u(x, y)Zk (x)dx, (2) uk (y) = 1 -1 (2) u(x, y)Zk (x)dx, (22) k = 1, 2, 3, . . . . d2 (1) u (y) , преобразуем ее на основаdy 2 k нии равенства (1), затем после двукратного интегрирования по частям получим равенство (1) (1) sgn y · (uk ) (y) + (λ - d)uk (y) = 0, Вычислим вторую производную (1) (1) совпадающее с уравнением (7). Таким образом, uk (y) ≡ Yk (y), поэтому (1) uk (y) определяются по формулам (14). Аналогичное справедливо и для функ(2) ций uk (y), т.е. они определяются по формулам (15). 639 Г и м а л т д и н о в а А. А. Тогда из граничных условий (5) и равенств (22) получим  1 1 (1) (1) (1)  (1) u (β) = ϕ(x)Zk (x)dx = ϕk , u(x, β)Zk (x)dx =  k  (2) u (β) =  k   (1) u (-α) =  k  (2) u (-α) =  k -1 1 (2) u(x, β)Zk (x)dx -1 1 -1 1 -1 -1 1 = -1 (2) 1 (1) u(x, -α)Zk (x)dx = (2) u(x, -α)Zk (x)dx (23) (2) ϕ(x)Zk (x)dx = ϕk , -1 1 = -1 (1) (1) (2) ψ(x)Zk (x)dx (2) ψk . ψ(x)Zk (x)dx = ψk , (24) = Тогда на основании (14), (15), (23) и (24) получим систему для нахождения (j) (j) неизвестных коэффициентов ak , bk :   a(1) ch(β µ2 - λ) + b(1) sh(β µ2 - λ) = ϕ(1) , k k k k k (25)  a(1) cos(α µ2 - λ) - b(1) sin(α µ2 - λ) = ψ (1) , k k k k k   a(2) cos(β k µ2 + λ) + bk sin(β k  a(2) ch(α k µ2 + λ) - bk sh(α k (2) (2) (2) µ2 + λ) = ϕk , k (2) µ2 + λ) = ψk . k (26) Если при всех k ∈ N определители систем (25) и (26), определяемые соотношениями (18) и (19), отличны от нуля, то эти системы однозначно разрешимы: (1) ak = (1) bk = (2) ak = (2) bk = 1 (1) ∆k (α, β) 1 (1) ∆k (α, β) 1 (2) ∆k (α, β) 1 (2) ∆k (α, β) (1) µ2 - λ) , k (1) µ2 - λ) , k (2) µ2 + λ) , k (2) µ2 + λ) . k (1) µ2 - λ) + ψk sh(β k (1) µ2 - λ) - ψk ch(β k (2) µ2 + λ) + ψk sin(β k (2) µ2 + λ) - ψk cos(β k ϕk sin(α ϕk cos(α ϕk sh(α ϕk ch(α (j) (j) (j) Тогда с учетом найденных значений ak , bk функции uk (y) примут вид  1 (1) (1)   ϕk · ∆k (α, y)+  (1)   ∆ (α, β)  k    (1)  +ψk · sh (β - y) µ2 - λ , y > 0, k (1) uk (y) = (27) 1 (1)   ϕk · sin (α + y) µ2 - λ +  (1) k   ∆ (α, β)  k   (1) (1)   +ψk · ∆k (-y, β) , y < 0, 640 Задача Дирихле для уравнения смешанного типа . . .  1 (2) (2)   ϕk · ∆k (α, y)+  (2)   ∆ (α, β)  k    (2)  +ψk · sin (β - y) µ2 + λ , y > 0, k (2) uk (y) = 1 (2)  2 +λ +  ϕ · sh (α + y) µk  (2)   ∆ (α, β) k  k   (2) (2)   +ψk · ∆k (-y, β) , y < 0, (28) где (1) ∆k (α, y) = cos(α (1) ∆k (-y, β) = cos(y (2) ∆k (α, y) = ch(α (2) ∆k (-y, β) = ch(y µ2 - λ) sh(y k µ2 - λ) + sin(α k µ2 - λ) ch(y k µ2 - λ), k µ2 - λ) sh(β k µ2 - λ) - sin(y k µ2 - λ) ch(β k µ2 - λ), k µ2 + λ) sin(y k µ2 + λ) + sh(α k µ2 + λ) cos(y k µ2 + λ), k µ2 + λ) sin(β k µ2 + λ) - sh(y k µ2 + λ) cos(β k µ2 + λ). k Пусть ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0 на [-1, 1], тогда на основании (23), (24), (27) и (28) получим 1 -1 (j) u(x, y)Zk (x)dx = 0, j = 1, 2, k = 1, 2, 3, . . . . (1) (2) Отсюда в силу полноты системы Zk (x); Zk (x) в L2 [-1, 1] следует, что функция u(x, y) = 0 при любом y ∈ [-α, β] почти всюду при x ∈ [-1, 1]. А в силу непрерывности u(x, y) в D будет u(x, y) ≡ 0 в D. (1) Пусть при некоторых α, β и k = p ∈ N выполняется условие ∆p (α, β) = 0 (2) (1) (2) или ∆p (α, β) = 0. Пусть, например, ∆p (α, β) = 0, а ∆p (α, β) = 0. Тогда однородная задача (2)-(5), где ϕ(x) = ψ(x) = 0, имеет нетривиальное решение:   sin[µp (x - 1)]∆(1) (α, y)  p   , (x, y) ∈ D1 ,   cos µ cos(α µ2 - λ)   p p      sin[µp (x - 1)] sin[(α + y) µ2 - λ]  p    , (x, y) ∈ D2 ,    cos µp cos(α µ2 - λ) p up (x, y) =  sh[µp (x + 1)] sin[(α + y) µ2 - λ]  p    , (x, y) ∈ D3 ,    ch µp cos(α µ2 - λ)  p      sh[µp (x + 1)]∆(1) (α, y)  p   , (x, y) ∈ D4 .   ch µ cos(α µ2 - λ)  p p (2) Если при некотором k = p ∈ N имеем ∆k0 (α, β) = 0, то также существует нетривиальное решение задачи. 641 Г и м а л т д и н о в а А. А. (j) Естественно возникает вопрос об обращении определителей ∆k (α, β) в нуль. Представим их в следующем виде: (1) (1) ch 2β µ2 - λ sin α k µ2 - λ + ξk , k (2) (1) ch 2α µ2 - λ sin β k µ2 - λ + χk , k ∆k (α, β) = ∆k (α, β) = ∆k (α, β) = ∆k (α, β) = ξk = arctg th β µ2 - λ k , χk = arctg th α µ2 - λ k (29) , причем lim ξk = lim χk = π/4, k→∞ k→∞ и для всех k ∈ N справедливы неравенства ξk < π/4, χk < π/4. Отсюда найдем множества их нулей: αk,m = πm - ξk , µ2 - λ k βk,t = πt - χk , µ2 - λ k m, t, k ∈ N. (30) Равенства (30) представляют собой систему относительно αk,m и βk,t . Можно убедиться, что эта система совместна, причем существует счетное множество её решений (α, β). Таким образом, справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(5), то оно единственно, (j) только если для всех k ∈ N выполняются условия ∆k (α, β) = 0, j = 1, 2. 4. Обоснование существования решения. Из формул (27) и (28) видно, что (j) выражения ∆k (α, β) являются знаменателями дробей и при значениях α, β, удовлетворяющих (30), могут обратиться в нуль, т.е. возникает проблема «малых знаменателей». Поэтому для обоснования существования решения задачи (2)-(5) необходимо показать существование чисел α и β таких, что (j) при больших k выражения ∆k (α, β) отделены от нуля. Лемма 4. Если выполнено одно из следующих условий: 1) α - любое натуральное число, кроме чисел вида 4p - 3, p ∈ N, 2) α - любое дробное число, т.е. α = p/q, где p, q ∈ N, (p, q) = 1, число q - p не кратно 4, то существуют постоянная C01 > 0 и номер k01 ∈ N такие, что для всех k > k01 справедлива оценка (1) |∆k (α, β)| C01 eπkβ . (31) Д о к а з а т е л ь с т в о. Оценим величину из (29): ch(2β µ2 - λ) k Ceβ √ µ2 -λ k ˜ где C - некоторая положительная постоянная. 642 ˜ Ceπkβ , Задача Дирихле для уравнения смешанного типа . . . Так как sin α π π + πk) + 4 4 π 2 - λ + π - πk + ξ - π µk α(πk - - µ2 - λ) = k k 4 4 4 (πk - π/4)2 - µ2 + λ k =α M1α k e-2πk , M1α > 0, πk - π/4 + µ2 - λ k µ2 - λ + ξk - sin α(- k α можем оценить выражение π π + πk + = |zk |. 4 4 1) Пусть α ∈ N. Возможны три случая: α = 2p, α = 4p - 1, α = 4p - 3, p ∈ N. В первых двух случаях имеем |zk | = const > 0, а в третьем случае |zk | = 0. 2) Пусть α = p/q, p, q ∈ N, (p, q) = 1. Тогда sin α - zk = sin π p kp 1- +π . 4 q q Разделим число kp на q с остатком: kp = sq + r, где s, r ∈ N ∪ {0}, 0 r < q. Тогда π(q - p + 4r) zk = sin 4q и при условии, что q - p не кратно 4, имеем |zk | = const > 0. Нетрудно показать, что если α = 4p - 3, p ∈ N, p 2, то существуют постоянная C01 > 0 и номер k01 ∈ N такие, что для всех k > k01 справедливы оценки (2) |∆k (α, β)| C01 e-πkβ при 0 < β 1, (2) πk(β-2) при β > 1. |∆k (α, β)| C01 e Следовательно, приведенное в лемме 4 условие α = 4p - 3 является существенным. Аналогично можно показать существенность условия, что q - p не кратно 4. Лемма 5. Если выполнено одно из следующих условий: 1) β - любое натуральное число, кроме чисел вида 4p - 3, p ∈ N, 2) β - любое дробное число, т.е. β = p/q, где p, q ∈ N, (p, q) = 1, число q -p не кратно 4, то существуют постоянная C02 > 0 и номер k02 ∈ N такие, что для всех k > k02 справедлива оценка (2) |∆k (α, β)| C02 eπkα . (32) (j) Если выполнены оценки (31), (32) и условия ∆k (α, β) = 0 при k k0 = = max{k01 , k02 }, то решение задачи (2)-(5) можно представить в виде суммы ряда Фурье ∞ (1) u(x, y) = (1) (2) (2) uk (y)Xk (x) + uk (y)Xk (x). (33) k=1 643 Г и м а л т д и н о в а А. А. Определим условия на функции ϕ(x) и ψ(x), при которых ряд (33) будет сходиться равномерно в области D и допускать почленное дифференцирование по x и y. Рассмотрим следующие отношения: (2) Qk (y) = = ∆k (α, y) (j) (1) Qk (y) , ∆k (α, β) sin (β - y) µ2 + λ k (2) sh (α + y) (2) Mk (y) = = (1) , µ2 + λ k , ∆k (α, β) (1) Mk (y) ∆k (α, β) µ2 - λ k sh (β - y) (j) (j) Pk (y) µ2 - λ k sin (α + y) = (1) , ∆k (α, β) (j) , (2) ∆k (α, β) ∆k (-y, β) (j) Nk (y) = (j) , ∆k (α, β) где первые три выражения определены при y > 0, а последние три - при y < 0. Лемма 6. Пусть выполнены оценки (31), (32) при всех k > k0 . Тогда для таких k справедливы следующие оценки: (j) C1 , (j) |(Pk (y)) | (1) C4 , (1) |(Qk (y)) | |Pk (y)| |Qk (y)| (j) C2 k, (j) |(Pk (y)) | (1) C5 k, (1) |(Qk (y)) | (2) C4 e-πkα , |(Qk (y)) | (1) C7 e-πkβ , |(Mk (y)) | |Qk (y)| |Mk (y)| (j) (1) (2) C3 k 2 , C6 k 2 , (j) (2) (2) C5 ke-πkα , |(Qk (y)) | (1) (1) (1) C8 ke-πkβ , |(Mk (y)) | (1) |Mk (y)| (2) C7 , (2) |(Mk (y)) | (j) C10 , (j) |(Nk (y)) | |Nk (y)| (2) (2) C6 k 2 e-πkα , (1) (2) C8 k, (2) |(Mk (y)) | (j) C11 k, (j) |(Nk (y)) | (1) C9 k 2 e-πkβ , (2) (j) (2) C9 k 2 , (j) C12 k 2 , (j) > 0, j = 1, 2, l = 1, 12. Лемма 7. При всех k > k0 справедливы оценки где Cl (j) (j) |uk (y)| (j) (j) |(uk (y)) | (j) где Cl (j) C13 (|ϕk | + |ψk |), (j) (j) |(uk (y)) | (j) (j) C15 k 2 (|ϕk | + |ψk |), (j) (j) (j) C14 k(|ϕk | + |ψk |), y ∈ [-α, β], > 0, j = 1, 2, l = 13, 15. В силу леммы 7 ряд (33) и его первые производные в D, а вторые производные в Di , i = 1, 4, по абсолютной величине мажорируются рядом ∞ (1) k=1 644 (1) (2) (2) k 2 (|ϕk | + |ψk | + |ϕk | + |ψk |), C C = const > 0. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа . . . Лемма 8. Если функции ϕ(x), ψ(x) ∈ C 1 [-1, 1] ∩ C 3 [-1, 0] ∩ C 3 [0, 1] и на этом сегменте имеют кусочно-непрерывную производную четвертого порядка, причем ϕ(-1) = ϕ(1) = ϕ (-1) = ϕ (1) = 0, ψ(-1) = ψ(1) = ψ (-1) = ψ (1) = 0, ϕ (0 + 0) = -ϕ (0 - 0), ϕ (0 + 0) = -ϕ (0 - 0), ψ (0 + 0) = -ψ (0 - 0), ψ (0 + 0) = -ψ (0 - 0), то справедливы соотношения (2) (1) (1) ϕk = pk , µ4 k где (2) ϕk = 1 (1) pk = -1 -1 (1) ψk = (1) ϕ(4) (x)Zk (x)dx, 1 (1) qk = (1) pk , µ4 k (1) ψ (4) (x)Zk (x)dx, (2) pk = (2) qk = qk , µ4 k 1 -1 qk , µ4 k (2) ϕ(4) (x)Zk (x)dx, 1 -1 (2) (2) ψk = (2) ψ (4) (x)Zk (x)dx. Для доказательства следует проинтегрировать по частям четыре раза интегралы в равенствах (23) и (24). (1) (2) Можно показать, что для системы Zk ; Zk справедливо неравенство Бесселя, и так как ϕ(4) (x) и ψ (4) (x) кусочно-непрерывны, то ряды (j) и ∞ (qk )2 сходятся. Тогда сходится ряд k=1 ∞ k=1 (j) 2 ∞ k=1 (pk ) 1 (1) (1) (2) (2) |p | + |qk | + |pk | + |qk | , k k откуда следует равномерная сходимость ряда (33) и рядов, полученных дифференцированием по переменным x и y в D, а ряды из производных второго порядка сходятся в замкнутых областях Di , i = 1, 4. Если при указанных в леммах 4 и 5 числах α и β и некоторых k = k1 , (j) k2 , . . . , kl , где 1 k1 < k2 < · · · < kl k0 , одно из выражений ∆k (α, β) = 0 (1) (2) (пусть для определенности ∆k (α, β) = 0, ∆k (α, β) = 0 при этих ki ), то для (1) (1) разрешимости системы (16) относительно ak и bk необходимо и достаточно выполнение условий (1) ϕki cos(α (1) µ2 - λ) = ψki ch(β k µ2 - λ), k i = 1, l. (34) 645 Г и м а л т д и н о в а А. А. Тогда при k = k1 , k2 , . . . , kl получим   sin[µk (x - 1)]  ch(y µ2 - λ)+   k  cos µk    (1)   ϕk - ch(β µ2 - λ)  k   + sh(y µ2 - λ) ,  k  2 - λ)   sh(β µk     sin[µk (x - 1)]   cos(y µ2 - λ)+  k   cos µk    (1)  ϕk - ch(β µ2 - λ)  k    + sin(y µ2 - λ) ,  k  2 - λ)  sh(β µk uk (x, y) = ˜  sh[µk (x - 1)]  cos(y µ2 - λ)+  k   ch µk    (1)  ϕk - ch(β µ2 - λ)  k    sin(y µ2 - λ) , +  k  2 - λ)  sh(β µk     sh[µ (x - 1)]  k   ch(y µ2 - λ)+  k  ch µk    (1)   ϕk - ch(β µ2 - λ)  k    + sh(y µ2 - λ) ,  k   sh(β µ2 - λ) k (x, y) ∈ D1 , (x, y) ∈ D2 , (x, y) ∈ D3 , (x, y) ∈ D4 . Поэтому решение задачи (2)-(5) в этом случае определяется в виде суммы ряда k1 -1 u(x, y) = k2 -1 k=1 ∞ (1) +··· + + k=k1 +1 (1) uk (y)Xk (x)+ k=kl +1 ∞ + (2) Ak uk (x, y) + ˜ k=k1 ,k2 ,...,kl (2) uk (y)Xk (x), (35) k=1 где Ak - произвольные коэффициенты, причем конечные суммы следует считать равными нулю, если нижний предел суммирования больше верхнего. Аналогичное решение строится в случае, когда при некоторых k будет (2) (1) ∆k (α, β) = 0, ∆k (α, β) = 0, или если оба знаменателя обращаются в нуль. Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 2. Пусть ϕ(x), ψ(x) удовлетворяют условиям леммы 8 и выполнены оценки (31), (32) при k > k0 . Тогда если при указанных в леммах 4 (1) и 5 значениях α и β при всех k = 1, k0 выполнены условия ∆k (α, β) = 0, (2) ∆k (α, β) = 0, то существует единственное решение задачи Дирихле (2)- (5) и оно определяется рядом (33). (1) Если ∆k (α, β) = 0 при некоторых k = k1 , k2 , . . . , kl k0 , то задача (2)-(5) разрешима только тогда, когда выполнены условия (34), и решение определяется в виде суммы ряда (35). 646

About the authors

Alfira A Gimaltdinova

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: alfiragimaltdinova@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; alfiragimaltdinova@mail.ru), Associate Professor, Dept. of Mathematical Analysis) 49, Lenin Avenue, Sterlitamak, 453103, Russian Federation

References

Supplementary files