The Dirichlet problem for mixed type equation with two lines of degeneracy in a rectangular area

Abstract


We study the first boundary value problem for the elliptic-hyperbolic type equation with two perpendicular lines of change of type and spectral parameter. We prove the existence and uniqueness of the solution. In the proof of the uniqueness of solution we use the completeness of biorthogonal system in space $L_2$ . When building a solution as the sum of a series there is a problem of small denominators. We obtained estimates of the denominators of the separation from zero.

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 634 1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение Lu ≡ sgn x · uxx + sgn y · uyy + λu = 0, (1) где λ ∈ C, в области D = {(x, y) ∈ R2 | - 1 < x < 1, -α < y < β}, α, β ∈ R; α, β > 0. Обозначим D1 = D∩{x > 0, y > 0}, D2 = D∩{x > 0, y < 0}, D3 = D ∩ {x < 0, y < 0}, D4 = D ∩ {x < 0, y > 0}. Задача Дирихле (Задача D). Найти функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям u(x, y) ∈ C( D ) ∩ C1 (D) ∩ C2 (D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ D4 ), (2) Задача Дирихле для уравнения смешанного типа . . . Lu(x, y) ≡ 0, (x, y) ∈ D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ D4 , (3) = 0, y ∈ [-α; β], (4) u(x, y) u(x, y) y=-α x=1 = u(x, y) = ψ(x), x=-1 u(x, y) y=β = ϕ(x), x ∈ [-1; 1], (5) где ϕ и ψ - заданные достаточно гладкие функции, ϕ(±1) = ψ(±1) = 0. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной или несколькими линиями изменения или вырождения типа были объектом изучения многих авторов. В работе [2] построена теория задачи Трикоми для уравнений смешанного типа в классической смешанной области, в которой гиперболическая часть состоит из двух подобластей, ограниченных характеристиками уравнения и линиями изменения типа. Там приведен достаточно полный обзор работ, посвященных данному направлению. В работе [3] предложена задача для уравнения с двумя линиями вырождения в смешанной области, состоящей из четырех эллиптических подобластей и четырех гиперболических подобластей, последние из которых ограничены характеристиками данного уравнения и линиями изменения типа. В [4, с. 303] было показано, что некоторые задачи трансзвуковой газовой динамики сводятся к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа. В [5] доказана некорректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева. В дальнейшем задача Дирихле для уравнений смешанного типа привлекала внимание многих авторов [6-11]. В этих работах единственность решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа с одной линией вырождения или изменения типа доказана с помощью принципа экстремума или методом интегральных тождеств, а существование - методом интегральных уравнений или разделения переменных. В работах [12,13] исследована задача Дирихле для уравнения смешанного типа с одной внутренней линией степенного вырождения и вырождением на границе в прямоугольной области и методами спектрального анализа установлен критерий единственности и решение задачи построено в виде суммы ряда по системе собственных функций. В данной работе впервые для уравнения (1) с двумя внутренними перпендикулярными линиями изменения типа со спектральным параметром изучена задача Дирихле в прямоугольной области D. Найдены собственные значения соответствующей спектральной задачи. Установлен критерий единственности, и решение задачи (2)-(5) построено в виде суммы ряда по биортогональной системе функций. Единственность решения поставленной задачи доказана на основании полноты биортогональной системы в пространстве L2 [-1, 1]. Ранее такая идея использовалась в работе [14] при доказательстве единственности решения начально-граничной задачи для гиперболических уравнений и в работе [12] для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа. При доказательстве существования решения задачи (2)-(5) аналогично [15, 16, 12] возникла так называемая «проблема малых знаменателей», которая создает трудности при обосновании сходимости построенного ряда в классе функций (2). При определенных ограничениях на параметры α, β доказаны леммы об отделимости малых знаменателей от нуля. 635 Г и м а л т д и н о в а А. А. 2. Спектральная задача. Построение биортогональной системы. Задача Dλ . Найти значения λ и соответствующие им функции u(x, y), удовлетворяющие задаче (2)-(5), где ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0. После разделения переменных u(x, y) = X(x)Y (y) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: sgn x · X + d · X = 0, x ∈ (-1, 0) ∪ (0, 1), sgn y · Y + (λ - d)Y = 0, y ∈ (-α, 0) ∪ (0, β), (6) (7) где d = µ2 ∈ C - постоянная разделения, причем в силу условий задачи должны быть выполнены условия X(0 - 0) = X(0 + 0), X (0 - 0) = X (0 + 0), X(-1) = X(1) = 0, (8) (9) Y (0 - 0) = Y (0 + 0), Y (0 - 0) = Y (0 + 0), Y (-α) = Y (β) = 0. (10) (11) Спектральные задачи (6), (8), (9) и (7), (10), (11) не являются классическими из-за незнакоопределенности коэффициента при старшей производной. Решениями уравнения (6), удовлетворяющими условиям (8), являются функции X(x) = C1 cos µx + C2 sin µx, x > 0, C1 ch µx + C2 sh µx, x < 0, где C1 , C2 - произвольные постоянные, и с учетом условия (9) для µ получим уравнение tg µ = - th µ. (12) Лемма 1. Уравнение tg(az) = - th(bz), a, b ∈ R, a, b > 0, имеет счетное множество корней, состоящее из нуля, простых попарно противоположных действительных и попарно противоположных чисто мнимых корней, для которых справедливы следующие асимптотические представления: π π (1),(2) zk = ± - + k + O e-2πkb/a , 4a a π π (3),(4) zk = ±i - + k + O e-2πka/b , k ∈ N. 4b b Уравнение (12) в силу леммы 1 имеет счетное множество действительных корней ±µk и чисто мнимых корней ±iµk , причем для положительных µk справедливо асимптотическое представление µk = - 636 π + πk + O(e-2πk ). 4 (13) Задача Дирихле для уравнения смешанного типа . . . Тогда d может принимать решениями задачи (6), (8), (9)   sin[µk (x - 1)] ,   cos µk (1) Xk (x) =  sh[µk (x + 1)]   , ch µk (1) (2) значения dk = µ2 > 0 и dk = -µ2 < 0, и k k будут соответственно функции   sh[µk (x - 1)] , x > 0,  x > 0,  ch µk (2) Xk (x) =  sin[µk (x + 1)]   x < 0, , x < 0. cos µk При найденных µk решениями уравнения (7) с учетом условий (10) будут соответственно функции  a(1) ch(y µ2 - λ) + b(1) sh(y µ2 - λ), y > 0, k k k k (1) (14) Yk (y) = a(1) cos(y µ2 - λ) + b(1) sin(y µ2 - λ), y < 0, k k k k (2) Yk (y) (1) (1) = (2)  a(2) cos(y k a(2) ch(y k (2) µ2 + λ) + bk sin(y k (2) µ2 + λ) + bk sh(y k µ2 + λ), y > 0, k µ2 + λ), k (15) y < 0, (2) где ak , bk , ak , bk - неизвестные пока коэффициенты. Далее, удовлетворяя функции (14) и (15) граничным условиям (11), полу(j) (j) чим системы для нахождения неизвестных коэффициентов ak , bk , j = 1, 2:   a(1) ch(β µ2 - λ) + b(1) sh(β µ2 - λ) = 0, k k k k (16)  a(1) cos(α µ2 - λ) - b(1) sin(α µ2 - λ) = 0, k k k k   a(2) cos(β k µ2 + λ) + bk sin(β k  a(2) ch(α k µ2 + λ) - bk sh(α k (2) (2) µ2 + λ) = 0, k µ2 + λ) = 0. k (17) Системы (16) и (17) имеют нетривиальные решения тогда и только тогда, когда при всех k ∈ N соответственно определители этих систем равны 0: (1) µ2 - λ) sh(β k ∆k (α, β) = cos(α µ2 - λ)+ k µ2 - λ) ch(β k µ2 - λ) = 0, (18) k µ2 + λ) cos(β k µ2 + λ) = 0. (19) k + sin(α (2) ∆k (α, β) = ch(α µ2 + λ) sin(β k µ2 + λ)+ k + sh(α В этом случае (1) (1) bk = ak ctg(α µ2 - λ), k (2) (2) bk = ak cth(α µ2 + λ), k 637 Г и м а л т д и н о в а А. А. и функции (14) и (15) примут вид  a(1) cos(y µ2 - λ) + ctg(α µ2 - λ) sin(y µ2 - λ) , y < 0, k k k k (1) Yk (y) = a(1) ch(y µ2 - λ) + ctg(α µ2 - λ) sh(y µ2 - λ) , y > 0, k k k k (2) Yk (y) = (1)  a(2) ch(y k a(2) k µ2 + λ) + cth(α k µ2 + λ) sh(y k µ2 + λ) , k µ2 + λ) + th(α k µ2 + λ) sin(y k µ2 + λ) , y > 0, k cos(y y < 0, (2) где ak , ak - произвольные коэффициенты. Лемма 2. Собственными значениями спектральной задачи Dλ являются числа (1,1) λk,0 = µ2 , k (2,1) (1,2) λk,n = µ2 - (c(1) )2 , n k (2,2) λk,0 = -µ2 , k λk,n = -µ2 + (c(2) )2 , n k (1,3) λk,n = µ2 + (c(2) )2 , n k (2,3) λk,n = -µ2 - (c(1) )2 , n k (1) (2) где µk - корни уравнения (12), определяемые формулой (13), cn , cn - корни уравнения tg(αc) = - th(βc), определяемые так: c(1) = - n π π + n+O e-2πnβ/α , 4α α c(2) = - n π π + n+O e-2πnα/β , 4β β n = 1, 2, . . . . Д о к а з а т е л ь с т в о. Собственные значения поставленной задачи являются корнями уравнений (18) и (19). Уравнение (18) равносильно уравнению tg(α µ2 - λ) = - th(β k µ2 - λ). k Обозначим µ2 - λ = c, тогда уравнение tg(αc) = - th(βc) согласно лемме 1 k имеет следующие корни: c(1) = - n c0 = 0, ic(2) = i - n π π + n + O e-2πnα/β 4β β ic(4) = -i - n π π + n + O e-2πnβ/α 4α α , c(3) = - - n , π π + n + O e-2πnβ/α 4α α π π + n + O e-2πnα/β 4β β , где n ∈ N. Тогда собственными значениями будут действительные числа (1,1) λk,0 = µ2 , k (1,2) λk,n = µ2 - (c(1) )2 , n k (1,3) λk,n = µ2 + (c(2) )2 . n k Аналогично из уравнения (19) найдем (2,1) λk,0 = -µ2 , k 638 (2,2) λk,n = -µ2 + (c(2) )2 , n k (2,3) λk,n = -µ2 - (c(1) )2 . n k , Задача Дирихле для уравнения смешанного типа . . . Соответствующие собственные функции имеют вид (j,l) (j) (j) (j,l) uk,n (x, y) = Xk (x)Yk (y, λk,n ), где (j) (j,l) (j) Yk (y, λk,n ) = Yk (y) (1) (j,l) λ=λk,n , j = 1, 2, l = 1, 2, 3. (2) Система Xk (x), Xk (x) не ортогональна в L2 [-1, 1]. Задача, сопряженная к задаче (6), (8), (9), имеет следующий вид: sgn x · Z + d · Z = 0, Z(0 - 0) = -Z(0 + 0), x ∈ (-1, 0) ∪ (0, 1), Z (0 - 0) = -Z (0 + 0), (20) Z(-1) = Z(1) = 0. (21) Решениями задачи (20), (21) являются функции   - sh[µk (x - 1)] , x > 0, - sin[µk (x - 1)] , x > 0,     cos µk ch µk (2) (1) Zk (x) = Zk (x) =  sin[µk (x + 1)]  sh[µk (x + 1)]     , x < 0, , x < 0. ch µk cos µk Система (1) Xk ; (2) Xk (1) (2) Zk ; Zk является биортогонально сопряженной с системой , т.е. имеет место равенство 1 (j) -1 (l) Xk (x)Zm (x)dx = 0, k = m, j = 1, 2; l = 1, 2. Справедливо следующее утверждение. Лемма 3. Система (1) (2) Zk , Z k полна в пространстве L2 [-1, 1]. 3. Единственность решения задачи D. Пусть теперь λ ∈ R, λ = λi,j . k,n Далее рассмотрим функции (1) uk (y) = 1 -1 (1) u(x, y)Zk (x)dx, (2) uk (y) = 1 -1 (2) u(x, y)Zk (x)dx, (22) k = 1, 2, 3, . . . . d2 (1) u (y) , преобразуем ее на основаdy 2 k нии равенства (1), затем после двукратного интегрирования по частям получим равенство (1) (1) sgn y · (uk ) (y) + (λ - d)uk (y) = 0, Вычислим вторую производную (1) (1) совпадающее с уравнением (7). Таким образом, uk (y) ≡ Yk (y), поэтому (1) uk (y) определяются по формулам (14). Аналогичное справедливо и для функ(2) ций uk (y), т.е. они определяются по формулам (15). 639 Г и м а л т д и н о в а А. А. Тогда из граничных условий (5) и равенств (22) получим  1 1 (1) (1) (1)  (1) u (β) = ϕ(x)Zk (x)dx = ϕk , u(x, β)Zk (x)dx =  k  (2) u (β) =  k   (1) u (-α) =  k  (2) u (-α) =  k -1 1 (2) u(x, β)Zk (x)dx -1 1 -1 1 -1 -1 1 = -1 (2) 1 (1) u(x, -α)Zk (x)dx = (2) u(x, -α)Zk (x)dx (23) (2) ϕ(x)Zk (x)dx = ϕk , -1 1 = -1 (1) (1) (2) ψ(x)Zk (x)dx (2) ψk . ψ(x)Zk (x)dx = ψk , (24) = Тогда на основании (14), (15), (23) и (24) получим систему для нахождения (j) (j) неизвестных коэффициентов ak , bk :   a(1) ch(β µ2 - λ) + b(1) sh(β µ2 - λ) = ϕ(1) , k k k k k (25)  a(1) cos(α µ2 - λ) - b(1) sin(α µ2 - λ) = ψ (1) , k k k k k   a(2) cos(β k µ2 + λ) + bk sin(β k  a(2) ch(α k µ2 + λ) - bk sh(α k (2) (2) (2) µ2 + λ) = ϕk , k (2) µ2 + λ) = ψk . k (26) Если при всех k ∈ N определители систем (25) и (26), определяемые соотношениями (18) и (19), отличны от нуля, то эти системы однозначно разрешимы: (1) ak = (1) bk = (2) ak = (2) bk = 1 (1) ∆k (α, β) 1 (1) ∆k (α, β) 1 (2) ∆k (α, β) 1 (2) ∆k (α, β) (1) µ2 - λ) , k (1) µ2 - λ) , k (2) µ2 + λ) , k (2) µ2 + λ) . k (1) µ2 - λ) + ψk sh(β k (1) µ2 - λ) - ψk ch(β k (2) µ2 + λ) + ψk sin(β k (2) µ2 + λ) - ψk cos(β k ϕk sin(α ϕk cos(α ϕk sh(α ϕk ch(α (j) (j) (j) Тогда с учетом найденных значений ak , bk функции uk (y) примут вид  1 (1) (1)   ϕk · ∆k (α, y)+  (1)   ∆ (α, β)  k    (1)  +ψk · sh (β - y) µ2 - λ , y > 0, k (1) uk (y) = (27) 1 (1)   ϕk · sin (α + y) µ2 - λ +  (1) k   ∆ (α, β)  k   (1) (1)   +ψk · ∆k (-y, β) , y < 0, 640 Задача Дирихле для уравнения смешанного типа . . .  1 (2) (2)   ϕk · ∆k (α, y)+  (2)   ∆ (α, β)  k    (2)  +ψk · sin (β - y) µ2 + λ , y > 0, k (2) uk (y) = 1 (2)  2 +λ +  ϕ · sh (α + y) µk  (2)   ∆ (α, β) k  k   (2) (2)   +ψk · ∆k (-y, β) , y < 0, (28) где (1) ∆k (α, y) = cos(α (1) ∆k (-y, β) = cos(y (2) ∆k (α, y) = ch(α (2) ∆k (-y, β) = ch(y µ2 - λ) sh(y k µ2 - λ) + sin(α k µ2 - λ) ch(y k µ2 - λ), k µ2 - λ) sh(β k µ2 - λ) - sin(y k µ2 - λ) ch(β k µ2 - λ), k µ2 + λ) sin(y k µ2 + λ) + sh(α k µ2 + λ) cos(y k µ2 + λ), k µ2 + λ) sin(β k µ2 + λ) - sh(y k µ2 + λ) cos(β k µ2 + λ). k Пусть ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0 на [-1, 1], тогда на основании (23), (24), (27) и (28) получим 1 -1 (j) u(x, y)Zk (x)dx = 0, j = 1, 2, k = 1, 2, 3, . . . . (1) (2) Отсюда в силу полноты системы Zk (x); Zk (x) в L2 [-1, 1] следует, что функция u(x, y) = 0 при любом y ∈ [-α, β] почти всюду при x ∈ [-1, 1]. А в силу непрерывности u(x, y) в D будет u(x, y) ≡ 0 в D. (1) Пусть при некоторых α, β и k = p ∈ N выполняется условие ∆p (α, β) = 0 (2) (1) (2) или ∆p (α, β) = 0. Пусть, например, ∆p (α, β) = 0, а ∆p (α, β) = 0. Тогда однородная задача (2)-(5), где ϕ(x) = ψ(x) = 0, имеет нетривиальное решение:   sin[µp (x - 1)]∆(1) (α, y)  p   , (x, y) ∈ D1 ,   cos µ cos(α µ2 - λ)   p p      sin[µp (x - 1)] sin[(α + y) µ2 - λ]  p    , (x, y) ∈ D2 ,    cos µp cos(α µ2 - λ) p up (x, y) =  sh[µp (x + 1)] sin[(α + y) µ2 - λ]  p    , (x, y) ∈ D3 ,    ch µp cos(α µ2 - λ)  p      sh[µp (x + 1)]∆(1) (α, y)  p   , (x, y) ∈ D4 .   ch µ cos(α µ2 - λ)  p p (2) Если при некотором k = p ∈ N имеем ∆k0 (α, β) = 0, то также существует нетривиальное решение задачи. 641 Г и м а л т д и н о в а А. А. (j) Естественно возникает вопрос об обращении определителей ∆k (α, β) в нуль. Представим их в следующем виде: (1) (1) ch 2β µ2 - λ sin α k µ2 - λ + ξk , k (2) (1) ch 2α µ2 - λ sin β k µ2 - λ + χk , k ∆k (α, β) = ∆k (α, β) = ∆k (α, β) = ∆k (α, β) = ξk = arctg th β µ2 - λ k , χk = arctg th α µ2 - λ k (29) , причем lim ξk = lim χk = π/4, k→∞ k→∞ и для всех k ∈ N справедливы неравенства ξk < π/4, χk < π/4. Отсюда найдем множества их нулей: αk,m = πm - ξk , µ2 - λ k βk,t = πt - χk , µ2 - λ k m, t, k ∈ N. (30) Равенства (30) представляют собой систему относительно αk,m и βk,t . Можно убедиться, что эта система совместна, причем существует счетное множество её решений (α, β). Таким образом, справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(5), то оно единственно, (j) только если для всех k ∈ N выполняются условия ∆k (α, β) = 0, j = 1, 2. 4. Обоснование существования решения. Из формул (27) и (28) видно, что (j) выражения ∆k (α, β) являются знаменателями дробей и при значениях α, β, удовлетворяющих (30), могут обратиться в нуль, т.е. возникает проблема «малых знаменателей». Поэтому для обоснования существования решения задачи (2)-(5) необходимо показать существование чисел α и β таких, что (j) при больших k выражения ∆k (α, β) отделены от нуля. Лемма 4. Если выполнено одно из следующих условий: 1) α - любое натуральное число, кроме чисел вида 4p - 3, p ∈ N, 2) α - любое дробное число, т.е. α = p/q, где p, q ∈ N, (p, q) = 1, число q - p не кратно 4, то существуют постоянная C01 > 0 и номер k01 ∈ N такие, что для всех k > k01 справедлива оценка (1) |∆k (α, β)| C01 eπkβ . (31) Д о к а з а т е л ь с т в о. Оценим величину из (29): ch(2β µ2 - λ) k Ceβ √ µ2 -λ k ˜ где C - некоторая положительная постоянная. 642 ˜ Ceπkβ , Задача Дирихле для уравнения смешанного типа . . . Так как sin α π π + πk) + 4 4 π 2 - λ + π - πk + ξ - π µk α(πk - - µ2 - λ) = k k 4 4 4 (πk - π/4)2 - µ2 + λ k =α M1α k e-2πk , M1α > 0, πk - π/4 + µ2 - λ k µ2 - λ + ξk - sin α(- k α можем оценить выражение π π + πk + = |zk |. 4 4 1) Пусть α ∈ N. Возможны три случая: α = 2p, α = 4p - 1, α = 4p - 3, p ∈ N. В первых двух случаях имеем |zk | = const > 0, а в третьем случае |zk | = 0. 2) Пусть α = p/q, p, q ∈ N, (p, q) = 1. Тогда sin α - zk = sin π p kp 1- +π . 4 q q Разделим число kp на q с остатком: kp = sq + r, где s, r ∈ N ∪ {0}, 0 r < q. Тогда π(q - p + 4r) zk = sin 4q и при условии, что q - p не кратно 4, имеем |zk | = const > 0. Нетрудно показать, что если α = 4p - 3, p ∈ N, p 2, то существуют постоянная C01 > 0 и номер k01 ∈ N такие, что для всех k > k01 справедливы оценки (2) |∆k (α, β)| C01 e-πkβ при 0 < β 1, (2) πk(β-2) при β > 1. |∆k (α, β)| C01 e Следовательно, приведенное в лемме 4 условие α = 4p - 3 является существенным. Аналогично можно показать существенность условия, что q - p не кратно 4. Лемма 5. Если выполнено одно из следующих условий: 1) β - любое натуральное число, кроме чисел вида 4p - 3, p ∈ N, 2) β - любое дробное число, т.е. β = p/q, где p, q ∈ N, (p, q) = 1, число q -p не кратно 4, то существуют постоянная C02 > 0 и номер k02 ∈ N такие, что для всех k > k02 справедлива оценка (2) |∆k (α, β)| C02 eπkα . (32) (j) Если выполнены оценки (31), (32) и условия ∆k (α, β) = 0 при k k0 = = max{k01 , k02 }, то решение задачи (2)-(5) можно представить в виде суммы ряда Фурье ∞ (1) u(x, y) = (1) (2) (2) uk (y)Xk (x) + uk (y)Xk (x). (33) k=1 643 Г и м а л т д и н о в а А. А. Определим условия на функции ϕ(x) и ψ(x), при которых ряд (33) будет сходиться равномерно в области D и допускать почленное дифференцирование по x и y. Рассмотрим следующие отношения: (2) Qk (y) = = ∆k (α, y) (j) (1) Qk (y) , ∆k (α, β) sin (β - y) µ2 + λ k (2) sh (α + y) (2) Mk (y) = = (1) , µ2 + λ k , ∆k (α, β) (1) Mk (y) ∆k (α, β) µ2 - λ k sh (β - y) (j) (j) Pk (y) µ2 - λ k sin (α + y) = (1) , ∆k (α, β) (j) , (2) ∆k (α, β) ∆k (-y, β) (j) Nk (y) = (j) , ∆k (α, β) где первые три выражения определены при y > 0, а последние три - при y < 0. Лемма 6. Пусть выполнены оценки (31), (32) при всех k > k0 . Тогда для таких k справедливы следующие оценки: (j) C1 , (j) |(Pk (y)) | (1) C4 , (1) |(Qk (y)) | |Pk (y)| |Qk (y)| (j) C2 k, (j) |(Pk (y)) | (1) C5 k, (1) |(Qk (y)) | (2) C4 e-πkα , |(Qk (y)) | (1) C7 e-πkβ , |(Mk (y)) | |Qk (y)| |Mk (y)| (j) (1) (2) C3 k 2 , C6 k 2 , (j) (2) (2) C5 ke-πkα , |(Qk (y)) | (1) (1) (1) C8 ke-πkβ , |(Mk (y)) | (1) |Mk (y)| (2) C7 , (2) |(Mk (y)) | (j) C10 , (j) |(Nk (y)) | |Nk (y)| (2) (2) C6 k 2 e-πkα , (1) (2) C8 k, (2) |(Mk (y)) | (j) C11 k, (j) |(Nk (y)) | (1) C9 k 2 e-πkβ , (2) (j) (2) C9 k 2 , (j) C12 k 2 , (j) > 0, j = 1, 2, l = 1, 12. Лемма 7. При всех k > k0 справедливы оценки где Cl (j) (j) |uk (y)| (j) (j) |(uk (y)) | (j) где Cl (j) C13 (|ϕk | + |ψk |), (j) (j) |(uk (y)) | (j) (j) C15 k 2 (|ϕk | + |ψk |), (j) (j) (j) C14 k(|ϕk | + |ψk |), y ∈ [-α, β], > 0, j = 1, 2, l = 13, 15. В силу леммы 7 ряд (33) и его первые производные в D, а вторые производные в Di , i = 1, 4, по абсолютной величине мажорируются рядом ∞ (1) k=1 644 (1) (2) (2) k 2 (|ϕk | + |ψk | + |ϕk | + |ψk |), C C = const > 0. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа . . . Лемма 8. Если функции ϕ(x), ψ(x) ∈ C 1 [-1, 1] ∩ C 3 [-1, 0] ∩ C 3 [0, 1] и на этом сегменте имеют кусочно-непрерывную производную четвертого порядка, причем ϕ(-1) = ϕ(1) = ϕ (-1) = ϕ (1) = 0, ψ(-1) = ψ(1) = ψ (-1) = ψ (1) = 0, ϕ (0 + 0) = -ϕ (0 - 0), ϕ (0 + 0) = -ϕ (0 - 0), ψ (0 + 0) = -ψ (0 - 0), ψ (0 + 0) = -ψ (0 - 0), то справедливы соотношения (2) (1) (1) ϕk = pk , µ4 k где (2) ϕk = 1 (1) pk = -1 -1 (1) ψk = (1) ϕ(4) (x)Zk (x)dx, 1 (1) qk = (1) pk , µ4 k (1) ψ (4) (x)Zk (x)dx, (2) pk = (2) qk = qk , µ4 k 1 -1 qk , µ4 k (2) ϕ(4) (x)Zk (x)dx, 1 -1 (2) (2) ψk = (2) ψ (4) (x)Zk (x)dx. Для доказательства следует проинтегрировать по частям четыре раза интегралы в равенствах (23) и (24). (1) (2) Можно показать, что для системы Zk ; Zk справедливо неравенство Бесселя, и так как ϕ(4) (x) и ψ (4) (x) кусочно-непрерывны, то ряды (j) и ∞ (qk )2 сходятся. Тогда сходится ряд k=1 ∞ k=1 (j) 2 ∞ k=1 (pk ) 1 (1) (1) (2) (2) |p | + |qk | + |pk | + |qk | , k k откуда следует равномерная сходимость ряда (33) и рядов, полученных дифференцированием по переменным x и y в D, а ряды из производных второго порядка сходятся в замкнутых областях Di , i = 1, 4. Если при указанных в леммах 4 и 5 числах α и β и некоторых k = k1 , (j) k2 , . . . , kl , где 1 k1 < k2 < · · · < kl k0 , одно из выражений ∆k (α, β) = 0 (1) (2) (пусть для определенности ∆k (α, β) = 0, ∆k (α, β) = 0 при этих ki ), то для (1) (1) разрешимости системы (16) относительно ak и bk необходимо и достаточно выполнение условий (1) ϕki cos(α (1) µ2 - λ) = ψki ch(β k µ2 - λ), k i = 1, l. (34) 645 Г и м а л т д и н о в а А. А. Тогда при k = k1 , k2 , . . . , kl получим   sin[µk (x - 1)]  ch(y µ2 - λ)+   k  cos µk    (1)   ϕk - ch(β µ2 - λ)  k   + sh(y µ2 - λ) ,  k  2 - λ)   sh(β µk     sin[µk (x - 1)]   cos(y µ2 - λ)+  k   cos µk    (1)  ϕk - ch(β µ2 - λ)  k    + sin(y µ2 - λ) ,  k  2 - λ)  sh(β µk uk (x, y) = ˜  sh[µk (x - 1)]  cos(y µ2 - λ)+  k   ch µk    (1)  ϕk - ch(β µ2 - λ)  k    sin(y µ2 - λ) , +  k  2 - λ)  sh(β µk     sh[µ (x - 1)]  k   ch(y µ2 - λ)+  k  ch µk    (1)   ϕk - ch(β µ2 - λ)  k    + sh(y µ2 - λ) ,  k   sh(β µ2 - λ) k (x, y) ∈ D1 , (x, y) ∈ D2 , (x, y) ∈ D3 , (x, y) ∈ D4 . Поэтому решение задачи (2)-(5) в этом случае определяется в виде суммы ряда k1 -1 u(x, y) = k2 -1 k=1 ∞ (1) +··· + + k=k1 +1 (1) uk (y)Xk (x)+ k=kl +1 ∞ + (2) Ak uk (x, y) + ˜ k=k1 ,k2 ,...,kl (2) uk (y)Xk (x), (35) k=1 где Ak - произвольные коэффициенты, причем конечные суммы следует считать равными нулю, если нижний предел суммирования больше верхнего. Аналогичное решение строится в случае, когда при некоторых k будет (2) (1) ∆k (α, β) = 0, ∆k (α, β) = 0, или если оба знаменателя обращаются в нуль. Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 2. Пусть ϕ(x), ψ(x) удовлетворяют условиям леммы 8 и выполнены оценки (31), (32) при k > k0 . Тогда если при указанных в леммах 4 (1) и 5 значениях α и β при всех k = 1, k0 выполнены условия ∆k (α, β) = 0, (2) ∆k (α, β) = 0, то существует единственное решение задачи Дирихле (2)- (5) и оно определяется рядом (33). (1) Если ∆k (α, β) = 0 при некоторых k = k1 , k2 , . . . , kl k0 , то задача (2)-(5) разрешима только тогда, когда выполнены условия (34), и решение определяется в виде суммы ряда (35). 646

About the authors

Alfira A Gimaltdinova

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: alfiragimaltdinova@mail.ru
49, Lenin Avenue, Sterlitamak, 453103, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; alfiragimaltdinova@mail.ru), Associate Professor, Dept. of Mathematical Analysis)

References

  1. Гималтдинова А. А. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями перехода в прямоугольной области / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 120-121.
  2. Сабитов К. Б., Биккулова Г. Г., Гималтдинова А. А. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Уфа: Гилем, 2006. 150 с.
  3. Rassias J. M. The Exterior Tricomi and Frankl Problems for Quaterelliptic-Quaterhyperbolic Equations with Eight Parabolic Lines // Eur. J. Pure Appl. Math., 2011. vol. 4, no. 2. pp. 186-208, http://www.ejpam.com/index.php/ejpam/article/view/1175/195.
  4. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 711 с.
  5. Бицадзе А. В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // ДАН СССР, 1958. Т. 122, № 2. С. 167-170.
  6. Шабат Б. В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа // ДАН СССР, 1957. Т. 112, № 3. С. 386-389.
  7. Cannon J. R. A Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinuous coefficient // Annali di Matematica, 1963. vol. 61, no. 1. pp. 371-377. doi: 10.1007/bf02410656.
  8. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Диффер. уравн., 1970. Т. 6, № 1. С. 190-191.
  9. Хачев М. М. О задаче Дирихле для одного уравнения смешанного типа // Диффер. уравн., 1976. Т. 12, № 1. С. 137-143.
  10. Солдатов А. П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. I: Теоремы единственности // Докл. РАН, 1993. Т. 332, № 6. С. 696-698.
  11. Солдатов А. П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. II: Теоремы существования // Докл. РАН, 1993. Т. 333, № 1. С. 16-18.
  12. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Докл. РАН, 2007. Т. 413, № 1. С. 23-26.
  13. Сабитов К. Б., Вагапова Э. В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // Диффер. уравн., 2013. Т. 49, № 1. С. 68-78.
  14. Ильин В. А. Единственность и принадлежность W2 классического решения смешанной задачи для самосопряженного гиперболического уравнения // Матем. заметки, 1975. Т. 17, № 1. С. 91-101.
  15. Арнольд В. И. Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности на себя // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1961. Т. 25, № 1. С. 21-86; Арнольд В. И. Исправления к работе В. Арнольда “Малые знаменатели. I” // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1964. Т. 28, № 2. С. 479-480.
  16. Ломов И. С. Малые знаменатели в аналитической теории вырождающихся дифференциальных уравнений // Диффер. уравн., 1993. Т. 29, № 12. С. 2079-2089.

Statistics

Views

Abstract - 19

PDF (Russian) - 2

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies