An inverse problem for two-dimensional equations of finding the thermal conductivity of the initial distribution

Abstract


The inverse problem of finding the initial distribution has been studied on the basis of formulas for the solution of the first initial-boundary value problem for the inhomogeneous two-dimentional heat equation. The uniqueness of the solution of the direct initial-boundary value problem has proved with the completeness of the eigenfunctions of the corresponding homogeneous Dirichlet problem for the Laplace operator. The existence theorem for solving direct initial boundary value problem has been proved. Inverse problem has been investigated on the basis of the solution of direct problem, a criterion for the uniqueness of the inverse problem of finding the initial distribution has been proved. The existence of the inverse problem solution has been equivalently reduced to Fredholm integral equation of the first kind.

Full Text

1. Введение Рассмотрим уравнение теплопроводности Lu ≡ ut - a2 (uxx + uyy ) = F (x, y, t) (1) в параллелепипеде D = Π × (0, T ), Π = {(x, y) | 0 < x < l, 0 < y < q} и следующие задачи для него. Первая начально-граничная задача. Найти в области D функцию u(x, y, t), удовлетворяющую следующим условиям: 2,2,1 u(x, y, t) ∈ C(D) ∩ Cx,y,t (D); (2) З а й н у л л о в А. Р. Lu ≡ F (x, y, t), (x, y, t) ∈ D; u(0, y, t) = u(l, y, t) = 0, 0 y q, 0 t T, u(x, 0, t) = u(x, q, t) = 0, 0 x l, 0 t T, u(x, y, 0) = ϕ(x, y), 0 x l, 0 y q, (3) (4) (5) (6) где ϕ(x, y) и F (x, y, t) - заданные функции. Обратная задача. Найти функции u(x, y, t) и ϕ(x, y), удовлетворяющие условиям (2)-(6) и, кроме того, дополнительному условию u(x0 , y0 , t) = h(t), 0 < t0 t t1 T, (7) где (x0 , y0 ) - заданная фиксированная точка прямоугольника Π; t0 и t1 - заданные действительные числа; F (x, y, t), h(t) - заданные функции. Отметим, что указанная обратная задача изучена в [1, с. 119] для однородного одномерного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями второго рода и доказана теорема её единственности при x0 = 0 и x0 = l/π. В данной работе в явном виде строится решение прямой начально-граничной задачи (2)-(6) и на основе решения этой задачи исследуется обратная задача (2)-(7). В известных книгах по уравнениям математической физики [2-6] единственность решения начально-граничных задач доказывается методом интегралов энергии. Здесь, следуя [7, c. 111], [8], единственность решения задачи (2)-(6) доказана на основании свойства полноты системы собственных функций соответствующей однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа. Также указаны достаточные условия относительно функций ϕ(x, y) и F (x, y, t), при которых решение поставленной задачи существует и оно определяется в виде суммы двойного ряда Фурье, так как в указанных книгах не приводятся обоснование сходимости ряда Фурье в классе функций (2). На основании этих результатов установлен критерий единственности решения задачи (2)-(7) для любой точки (x0 , y0 ) прямоугольника Π при l = q. 2. Единственность и существование прямой задачи Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(6), удовлетворяющее условиям πmx πmx = lim ux sin = 0, lim ux sin x→0+ x→l- l l πny πny lim uy sin = lim uy sin = 0, (8) y→0+ y→l- l l то оно единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть µ2 - собственные значения и Xmn (x, y) - mn соответствующие им собственные функции спектральной задачи: vxx + vyy + µ2 v = 0, v x=0 =v x=l = 0, v (x, y) ∈ Π, y=0 =v y=q = 0, которые определяются по формулам Xmn (x, y) = 668 2 sin µm x sin µn y, l (9) (10) Обратная задача для двумерного уравнения теплопроводности. . . πm πn , µn = , l l Наряду с этой системой рассмотрим систему µ2 = µ2 + µ2 , µm = mn m n Zmn (x, y) = m, n = 1, 2, . . . . 1 [Xmn (x, y) + Xnm (x, y)] , 2 (11) которая обладает свойством симметрии Zmn (x, y) = Znm (x, y). Система (11) является решением спектральной задачи (9) и (10), обладает свойствами ортогональности и полноты в пространстве L2 (Π). Рассмотрим интеграл l-ε l-δ ε,δ vmn (t) = u(x, y, t)Zmn (x, y)dxdy, ε (12) δ где ε, δ - достаточно малые положительные числа. Дифференцируя равенство (12) при t ∈ (0, T ) и учитывая уравнение (1), получим l-ε l-δ vmn (t) = ut (x, y, t)Zmn (x, y)dxdy = ε δ l-ε l-δ (a2 ∆u + F (x, y, t))Zmn (x, y)dxdy = = ε l-δ l-ε = a2 δ l-ε l-δ uxx Zmn x, y)dxdy + a2 ε uyy Zmn (x, y)dxdy+ δ ε l-ε δ l-δ + F (x, y, t)Zmn (x, y)dxdy = ε δ = a2 (I1 + I2 ) + Fmn (t), (13) где l-ε l-δ Fmn = F (x, y, t)Zmn (x, y)dxdy. ε (14) δ С учетом граничных условий (4), (5), X(0) = X(l) = 0, Y (0) = Y (q) = 0 проинтегрируем по частям интегралы I1 и I2 в области Π: l-δ I1 = l-ε dy uxx Zmn (x, y)dx = δ ε l-δ = dy ux Zmn (x, y) δ l-δ = dy ux Zmn (x, y) δ l-ε l-ε ε - l-ε ε - u(x, y, t) (Zmn (x, y)) ux (Zmn (x, y))x dx ε = l-ε + ε l-ε + ε u(x, y, t) (Zmn (x, y))xx dx , 669 З а й н у л л о в А. Р. l-ε I2 = l-δ dx uyy Zmn (x, y)dy = ε δ l-ε = ε - l-δ δ - u(x, y, t) (Zmn (x, y))y l-ε = l-δ l-δ δ dx uy Zmn (x, y) dx uy Zmn (x, y) ε uy (Zmn (x, y))y dy δ = l-δ + δ l-δ + δ u(x, y, t) (Zmn (x, y))yy dy . Из (13) с учетом полученных значений интегралов I1 и I2 при ε → 0, δ → 0, следует v (t) = a2 Π u(x, y, t) (Zmn (x, y))xx + (Zmn (x, y))yy dxdy + Fmn (t) = = -µ2 a2 mn u(x, y, t)Zmn (x, y)dxdy + Fmn (t) = Π = -µ2 a2 vmn (t) + Fmn (t), mn откуда vmn (t) + µ2 a2 vmn (t) = Fmn (t). mn (15) Общее решение уравнения (15) определяется по формуле t vmn (t) = 2 2 (t-s) Fmn (s)e-µmn a 2 2 ds + Cmn e-µmn a t , (16) 0 где Cmn - произвольные постоянные. Для определения их воспользуемся граничным условием (6) и формулой (12): vmn (0) = u(x, y,0)Zmn (x, y)dxdy = Π ϕ(x, y)Zmn (x, y)dxdy = ϕmn . Π (17) Удовлетворяя (16) начальному условию (17), найдем Cmn = ϕmn и 2 t 2 vmn (t) = ϕmn e-µmn a t + 2 2 (t-s) Fmn (s)e-µmn a ds. (18) 0 Отсюда следует единственность решения задачи (2)-(6), так как если положить ϕ(x, y) ≡ 0, F (x, y, t) ≡ 0, то ϕmn ≡ 0, Fmn (s) ≡ 0, и из (18) получим vmn (t) = 0, что на основании (12) равносильно равенству u(x, y, t)Zmn (x, y)dxdy = 0, Π и в силу полноты системы Zmn (x, y) в пространстве L2 (Π) функция u(x, y, t)=0 почти всюду в Π и при любом t ∈ [0, T ]. Тем самым единственность решения задачи (2)-(6) доказана. 670 Обратная задача для двумерного уравнения теплопроводности. . . 2,2 Теорема 2. Если ϕ(x, y) ∈ C 4 (Π), F (x, y, t) ∈ Cx,y (Π) ∩ Ct (0, T ) и ϕ(0, y) = ϕ(l, y) = ϕ(x, 0) = ϕ(x, l) = 0, (19) ϕx (0, y) = ϕx (l, y) = ϕx (x, 0) = ϕx (x, l) = 0, ϕy (0, y) = ϕy (l, y) = ϕy (x, 0) = ϕy (x, l) = 0, F (0, y, t) = F (l, y, t) = F (x, 0, t) = F (x, l, t) = 0, (20) Fx (0, y, t) = Fx (l, y, t) = Fx (x, 0, t) = Fx (x, l, t) = 0, Fy (0, y, t) = Fy (l, y, t) = Fy (x, 0, t) = Fy (x, l, t) = 0 для всех (x, y, t) ∈ D, то существует решение задачи (2)-(6) и оно представимо в виде суммы ряда ∞ 2 t 2 ϕmn e-µmn a t + u(x, y, t) = 2 2 (t-s) Fmn (s)e-µmn a ds Zmn (x, y) (21) 0 m,n=1 с коэффициентами, которые определяются по формулам (17) и (14). Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение задачи (2)-(6) выше формально построено в виде суммы ряда (21), где коэффициенты ϕmn , Fmn (t) определяются по формулам (17) и (14). Если ряд (21) равномерно сходится на D, так же как ряды, полученные из него почленным дифференцированием один раз по переменной t и по два раза по x, y, то его сумма будет удовлетворять в области D условиям (2)-(6). Предварительно проинтегрируем по частям интегралы (17), (14) два раза по x и два раза y и, учитывая (19), (20), получим ϕmn = ϕ(x, y)Zmn (x, y)dxdy = Π = 1 l l l sin µn ydy ϕ(x, y) sin µm xdx+ 0 0 + =- 1 1 µ2 l m 1 1 µ2 l m 1 1 2 µ2 l µm n l sin µm ydy 0 ϕ(x, y) sin µn xdx = 0 l sin µn ydy 0 ϕxx sin µm xdx- 0 l 1 1 µ2 l n l l sin µm ydy 0 ϕxx sin µn xdx = 0 l sin µm xdx 0 ϕxx sin µn ydy- 0 - = l l - =- 1 l l 1 1 µ2 l n l l sin µn xdx 0 ϕxx sin µm ydy = 0 l ϕ2,2 sin µn ydy+ xy sin µm xdx 0 0 + 1 1 2 µ2 l µm n l l ϕ2,2 sin µm ydy = xy sin µn xdx 0 0 671 З а й н у л л о в А. Р. = 1 1 l µ2 µ2 m n ϕ2,2 sin µm x sin µn ydxdy+ xy Π 1 + = Fmn (t) = 1 l µ2 µ2 m n ϕ2,2 sin µn x sin µm ydxdy = xy Π (4) 1 µ2 µ2 m n ϕ2,2 Zmn (x, y)dxdy = xy Π l4 ϕmn , (22) π 4 m2 n2 F (x, y, t)Zmn (x, y)dxdy = Π = 1 l l l sin µn ydy F (x, y, t) sin µm xdx+ 0 0 =- 1 1 µ2 l m 1 1 µ2 l m 1 1 µ2 µ2 l m n 0 l Fxx sin µm xdx- 0 0 l 1 1 µ2 l n l l sin µm ydy 0 Fxx sin µn xdx = 0 l sin µm xdx 0 Fxx sin µn ydy- 0 l 1 1 µ2 l n l sin µn xdx 0 Fxx sin µm ydy = 0 l l 2,2 Fxy sin µn ydy+ sin µm xdx 0 0 + 1 1 = 2 2 µm µ n l F (x, y, t) sin µn xdx = 0 sin µn ydy - = l sin µm ydy l - =- l 1 l + l 1 1 µ2 µ 2 l m n l 2,2 Fxy sin µm ydy = sin µn xdx 0 0 2,2 Fxy sin µm x sin µn ydxdy+ Π + = 1 µ2 µ2 m n 1 2 µ2 µm n 1 l 2,2 Fxy sin µn x sin µm ydxdy = Π 2,2 Fxy Zmn (x, y)dxdy = Π l4 Fmn (t)(4) . (23) π 4 m2 n2 2,2 Поскольку ϕ2,2 и Fxy (t) непрерывны в Π, в силу неравенства Бесселя xy следующие ряды сходятся: ∞ |ϕ(4) |2 mn m,n=1 ∞ (4) |Fmn (t)|2 m,n=1 672 2 l 2 l l l (ϕ2,2 )2 dxdy, xy 0 0 l l 2,2 (Fxy (t))2 dxdy. 0 0 Обратная задача для двумерного уравнения теплопроводности. . . Подставив (22) и (23) в ряд (21), получим u(x, y, t) = l4 π4 ∞ m,n=1 t 1 2 2 ϕ(4) e-µmn a t + mn 2 n2 m 2 2 (t-s) (4) Fmn (s)e-µmn a ds Zmn (x, y). 0 (24) Теперь оценим t 2 2 (t-s) (4) Fmn (s)e-µmn a t (4) ds = max |Fmn (s)| 0 s T 0 2 (t-s) ds = 0 (4) = 2 e-µmn a Fmn -µ2 a2 t0 ) C (1 - e mn µ 2 a2 mn (4) < l2 Fmn C . a2 π 2 m2 + n2 Ряд (24) при любых (x, y, t) ∈ D мажорируется сходящимся рядом ∞ l4 π4 m,n=1 ∞ 1 l6 |ϕ(4) | + 6 2 m2 n2 mn π a m=1 1 2 + n2 m ∞ n=1 (4) Fmn C . m2 n2 Тогда ряд (21) в силу признака Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно в D. Следовательно, функция u(x, y, t) непрерывна в D как сумма равномерно сходящегося ряда (21). Теперь докажем возможность почленного дифференцирования ряда (21) по переменным x, y два раза и по t один раз в D. Для этого покажем, что полученные при почленном дифференцировании ряды сходятся абсолютно и равномерно на D0 = D ∩ {t t0 > 0}, где t0 - достаточно малое положительное число. Формально из (24) почленным дифференцированием составим следующие ряды: uxx = - l4 π4 ∞ m,n=1 µ2 2 2 m ϕ(4) e-µmn a t + mn m 2 n2 t + 2 2 (t-s) 2 2 (t-s) (4) Fmn (s)e-µmn a ds Zmn (x, y), (25) 0 uyy l4 =- 4 π ∞ m,n=1 µ2 2 2 n ϕ(4) e-µmn a t + mn 2 n2 m t + (4) Fmn (s)e-µmn a ds Zmn (x, y), (26) 0 ut = l4 π4 ∞ m,n=1 µ2 a2 2 2 mn -ϕ(4) e-µmn a t + mn 2 n2 m t + 0 (4) 2 2 (4) Fmn (s)e-µmn a (t-s) ds Fmn (t) + 2 2 Zmn (x, y). (27) µmn a 673 З а й н у л л о в А. Р. Ряды (25)-(27) при любых (x, y, t) ∈ D0 мажорируются соответственно рядами l4 π4 l4 π4 ∞ 1 l5 2 2 |ϕ(4) |µ2 e-µmn a t + 5 2 m2 n2 mn m π a m,n=1 ∞ m,n=1 l 4 a2 π4 1 l5 2 2 |ϕ(4) |µ2 e-µmn a t + 5 2 mn n m2 n2 π a ∞ m,n=1 ∞ 1 2 + n2 ) m(m m=1 ∞ n=1 1 2 + n2 ) n(m 1 2l4 2 2 |ϕ(4) |µ2 e-µmn a t + 4 m2 n2 mn mn π ∞ m=1 1 m2 ∞ n=1 ∞ m=1 ∞ n=1 (4) Fmn n2 C , (28) (4) Fmn m2 C , (29) (4) Fmn n2 C . (30) Ряды (28)-(30) сходятся абсолютно. Тогда ряды (25)-(27) на основании признака Вейерштрасса сходятся абсолютно и равномерно на D. Следовательно, функции uxx , uyy , ut ∈ C(D) и, подставляя ряды в уравнение (21), убеждаемся в том, что функция u(x, y, t), определяемая рядом (21), является его решением в D. 3. Критерий единственности решения обратной задачи Рассмотрим теперь обратную задачу (2)-(7). Полагая в формуле (21) x = x0 , y = y0 с учётом условия (7), получим относительно неизвестной функции ϕ(x, y) уравнение ∞ 2 2 ϕ(ξ, η)Zmn (ξ, η)dξdηe-µmn a t Zmn (x0 , y0 ) = m,n=1 Π ∞ = h(t) - Fmn (t)Zmn (x0 , y0 ) = h0 (t), t0 t t1 . (31) m,n=1 Теорема 3. Если Zmn (x0 , y0 ) = 0 при всех m, n ∈ N, то решение интегрального уравнения (31) единственно в L2 (Π). Д о к а з а т е л ь с т в о. Следуя [1, c. 119], [7, 9], в силу линейности уравнения (31) достаточно показать, что оно имеет только нулевое решение при h0 (t) = 0. Положив в (31) h(t) = 0 и F (x, y, t) ≡ 0, имеем ∞ 2 2 ϕ(ξ, η)Zmn (ξ, η)dξdηe-µmn a t Zmn (x0 , y0 ) = 0. m,n=1 Π α, где α ∈ (0, t0 ) - по- Рассмотрим в комплексной полуплоскости Re z стоянная, функцию комплексной переменной ∞ 2 2 ϕmn e-µmn a z Zmn (x0 , y0 ). Φ(z) = (32) m,n=1 Так как при Re z α 2 2 |ϕmn Zmn (x0 , y0 )e-µmn a z | 674 2 2 Ce-µmn a α , (33) Обратная задача для двумерного уравнения теплопроводности. . . где C = const > 0, то в этой полуплоскости ряд, стоящий в правой части соотношения (33), сходится равномерно. Учитывая, что каждый член этого ряда является аналитической функцией при Re z α, и применяя теорему Вейерштрасса, получаем, что функция Φ(z) является аналитической при Re z α. Поскольку в силу (32) Φ(z) = 0 на отрезке [t0 , t1 ] действительной оси t из области аналитичности Φ(z), то на основании теоремы единственности для аналитических функций следует Φ(z) ≡ 0 при Re z α. Отсюда следует равенство при всех t t0 : ∞ 2 2 ϕmn e-µmn a t Zmn (x0 , y0 ) = 0. (34) m,n=1 2t Умножим равенство (34) на e(µ11 a) к пределу при t → +∞, найдем и в полученном равенстве, переходя ϕ11 = 0. С учетом (35) умножим равенство (34) на e(µ12 a) переходя к пределу при t → +∞, получим (35) 2t и в полученном равенстве, ϕ12 Z12 (x0 , y0 ) + ϕ21 Z21 (x0 , y0 ) = 2ϕ12 Z12 (x0 , y0 ) = 0. Отсюда с учетом того, что Z12 (x0 , y0 ) = 0, имеем ϕ12 = ϕ21 = 0. (36) 2 Снова учитывая (35) и (36), умножая равенство (34) на e(µ22 a) t и переходя к пределу при t → +∞ в полученном равенстве, найдем ϕ22 = 0. (37) 2t Затем, учитывая равенства (35)-(37), умножим равенство (34) на e(µ13 a) и, переходя к пределу при t → ∞, будем иметь ϕ13 = ϕ31 = 0. (38) Затем в силу (35)-(38) получим ϕ23 = ϕ32 = 0. Рассуждая далее аналогично вышеизложенному, получим ϕmn = 0, m, n = 1, 2, . . . . (39) Из равенства (39) в силу полноты системы функций {Zmn (x, y)}m,n 1 в пространстве L2 (Π) следует, что ϕ(x, y) = 0 почти всюду в Π. Отсюда в силу непрерывности функции ϕ(x, y) на Π получим, что ϕ(x, y) ≡ 0. Тогда из теорем 3 и 2 следует единственность решения обратной задачи (2)-(7). 675 З а й н у л л о в А. Р. Пусть при некоторых x0 = x0 /l, y0 = y0 /l и m = p, n = s ∈ N нарушено условие теоремы 3: Zps (x0 , y0 ) = sin πpx0 sin πsy0 + sin πsx0 sin πpy0 = 0. (40) Тогда обратная задача (2)-(7) при h(t) = 0 и F (x, y, t) ≡ 0 имеет ненулевое решение 2 ups (x, y, t) = Zps (x, y)e-(µps a) t , ϕps (x, y) = ups (x, y,0) = Zps (x, y). Из уравнения (40) найдем рациональные значения x0 = k1 /p, y0 = k2 /p, k1 , k2 ∈ N, k1 < p, k2 < p, x0 = k3 /s, y0 = k4 /s, k3 , k4 ∈ N, k3 < s, k4 < s, или при которых нарушается условие теоремы 3, т.е. нарушается единственность решения задачи (2)-(7). Следовательно, установлен следующий критерий единственности решения обратной задачи (2)-(7). Теорема 4. Условия Zmn (x0 , y0 ) = 0 при всех m, n ∈ N необходимы и достаточны для единственности решения обратной задачи (2)-(7). Рассматриваемая обратная задача может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Действительно, поменяв местами порядок интегрирования и суммирования в левой части уравнения (31), получим интегральное уравнение Фредгольма первого рода Gϕ ≡ G(t, ξ, η)ϕ(ξ, η)dξdη = h0 (t), t0 t t1 , (41) Π с гладким ядром ∞ 2 2 e-µmn a t Zmn (ξ, η)Zmn (x0 , y0 ) G(t, ξ, η) = m,n=1 в параллелепипеде Π×[t0 , t1 ]. Следовательно, интегральный оператор G, рассматриваемый действующим из L2 (Π) в L2 [t0 , t1 ], вполне непрерывен. Задача решения уравнения (41) в этой паре пространств некорректна. 4. Заключение В заключение отметим, что обратные задачи для уравнений параболического типа, как правило, являются некорректными. Для их решения обычно привлекается теория некорректных задач, разработанная в работах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова и их учеников [10-12]. В данной работе, в отличие от других работ, предлагается спектральный метод для обоснования единственности решения обратной задачи (2)-(7).

About the authors

Artur R Zaynullov

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: arturzayn@mail.ru
49, Lenin Avenue, Sterlitamak, 453103, Russian Federation Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis

References

  1. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 208 с.
  2. Тихонов А. Н., Самарский А. Н. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 1966. 724 с.
  3. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1992. 432 с.
  4. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2000. 398 с.
  5. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.
  6. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1978. 392 с.
  7. Сабитов К. Б. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2013. 352 с.
  8. Сабитов К. Б. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка // Докл. РАН, 2009. Т. 427, № 5. С. 593-596.
  9. Зайнуллов А. Р. Обратные задачи для уравнения теплопроводности // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2015. № 6(128). С. 62-75.
  10. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.
  11. Лавретьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.
  12. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

Statistics

Views

Abstract - 11

PDF (Russian) - 4

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies