On the determination of pure quantum states by the homodyne detection

Full Text

1. Введение. В конце XX века было предложено новое вероятностное представление квантовой механики, в которой квантовые состояния связываются со стандартными плотностями распределений вероятностей - так называемыми томографическими плотностями или квадратурными распределениями. Этот формализм, содержащий такую же информацию, как волновая функция и матрица плотности, основан на томографическом подходе к измерению квантовых состояний [1, 2]. Суть его в следующем: каждому состоянию квантовой системы с матрицей плотности ρ ставится в соответствие плотˆ ˆ ность распределения наблюдаемой - квадратурной компоненты X = µˆ + ν p: q ˆ w(X, µ, ν) = Tr ρδ(X - µˆ - ν p), ˆ q ˆ (1) где q и p есть обычные операторы координаты и импульса. Функция (1) наˆ ˆ зывается симплектической квантовой томограммой состояния ρ. Частным ˆ случаем симплектической томограммы является экспериментально измеримая [2] оптическая томограмма w(X, θ) = w(X, µ = cos θ, ν = sin θ). 33 Д н е с т р я н А. И. В работе [3] было установлено, что для чистого состояния с координатной волновой функцией ψ(x) его симплектическая томограмма выражается следующим образом: 2 ˆ w(X, µ, ν) = Fµ,ν [ψ] (X), (2) ˆ где Fµ,ν есть линейный интегральный оператор в L 2 (R), подробно изученный в [4]. В данной статье мы рассмотрим вопрос обратимости отображения (2) в случае чистых состояний. 2. Реконструкция чистого состояния по его квадратурному распределению. Результатом всякой процедуры измерений над квантовой системой может быть только распределение вероятностей. Поскольку квантовое состояние содержит всю доступную информацию о квантовой системе, мы безусловно можем, отталкиваясь от этого состояния, рассчитать все распределения вероятностей [5]. Зададим обратный вопрос: возможно ли использовать набор вероятностных распределений для реконструкции квантового состояния? Этот вопрос возвращает нас к раннему периоду развития квантовой механики, в частности, к обзорной статье В. Паули [6]. Он интересовался вопросом, можно ли найти амплитуду и фазу волновой функции, зная вероятности распределений по координате и импульсу. Паули не дал ответа на этот вопрос. Однако простые контрпримеры (см., например, [7-12]) показывают, что в общем случае это невозможно. На самом деле нужно знать больше распределений, чем эти два. Как известно, функция Вигнера содержит всю информацию о квантовом состоянии, поэтому мы можем восстановить все квадратурные распределения с помощью преобразования Радона. Преобразование вида ∞ ∞ -∞ -∞ W (q, p)δ(x - µq - νp) dqdp w(x, µ, ν) = (3) называется преобразованием Радона [13] функции W (q, p). Функция (3) совпадает с симплектической томограммой [3]. Преобразование Радона обратимо, обращение преобразования (3) выглядит следующим образом: W (q, p) = 1 (2π)2 ∞ ∞ ∞ -∞ -∞ -∞ w(x, µ, ν)ei(x-µq-νp) dxdµdν. Обратимость преобразования Радона здесь позволяет выразить функцию Вигнера W (q, p) через симплектическую томограмму состояния w(x, µ, ν) при условии, что последняя известна для всех действительных µ, ν. Симплектическая томограмма обладает замечательным свойством однородности w(λX, λµ, λν) = 1 w(X, µ, ν), |λ| используя которое, можно восстановить функцию Вигнера, зная лишь оптическую томограмму w(x, θ) для любого θ ∈ [0, π] [14, 15]. В этом случае функция Вигнера выражается по формуле W (q, p) = 34 1 (2π)2 π +∞ 0 +∞ |t| dt dθ -∞ w(x, θ) exp it(x - q cos θ - p sin θ) dx. -∞ Об определении чистых состояний методом гомодинного детектирования Однако реально невозможно измерить оптическую томограмму (квадратурное распределение) w(x, θ) для любых значений фазы θ. Возможно лишь провести гомодинное детектирование для различных, но фиксированных значений фазы θ. На практике, когда такой подход реализуется, получается ансамбль распределений {w(x, θ1 ), w(x, θ2 ), . . . , w(x, θN )}, который с некоторой погрешностью можно считать за истинный непрерывный ансамбль. Затем по этому ансамблю численно с помощью обратного преобразования Радона восстанавливается функция Вигнера исследуемого состояния. В эксперименте фазу θ изменяют, меняя разность хода поступающих на светоделитель лучей. Удобно выбирать значения фаз эквидистантными θn = = π(n - 1)/N . Поэтому для осуществления обратного преобразования Радона необходимо, чтобы n пробегало значения от 1 до N . Ясно, что точность вычислений увеличивается с ростом N , т. к. численное интегрирование представляет собой суммирование с шагом h ∝ N -1 . Однако зачастую проведение экспериментов со значениями N 10 бывает затруднительным. Вместе с этим количество фаз N еще и качественно влияет на результат. В работе [16] было показано, что для точной реконструкции состояния в оптической гомодинной томографии размерность матрицы плотности в представлении Фока должна быть равна количеству фаз θn , для которых было произведено гомодинное детектирование. Также был получен простой способ оценки ошибок, если фактическая размерность матрицы плотности больше, чем число фаз, используемых в эксперименте. Еще один метод реконструкции волновой функции состояния был дан в [17]. Он основан на интегральных представлениях коэффициентов в разложении волновой функции. Развивая идею, высказанную авторами, мы предлагаем следующий метод. Пусть произведен эксперимент гомодинного детектирования некого состояния. На выходе эксперимента для фиксированного значения фазы θ мы имеем относительно большой (∼ 105 ) набор точек xj - измеренных квадратурных компонент, по которому строится гистограмма. Эта гистограмма определяет распределение w(x, θ). Предположим, что чистое состояние ρ = |ψ ψ|, ˆ подаваемое на гомодинный детектор, представимо конечной суммой фоковских состояний, т. е. волновая функция может быть представлена в виде N |ψ = cn |n , (4) n=0 где x|n = π 1/4 1 √ 2n n! Hn (x)e-x 2 /2 . (5) Фоковские состояния образуют ортонормированный базис n|m = δnm , поэтому коэффициенты cn удовлетворяют N |cn |2 = 1. n=0 35 2. Реконструкция чистого состояния по его квадратурному распределению. Результатом всякой процедуры измерений над квантовой системой может быть только распределение вероятностей. Поскольку квантовое состояние содержит всю доступную информацию о квантовой системе, мы безусловно можем, отталкиваясь от этого состояния, рассчитать все распределения вероятностей [5]. Зададим обратный вопрос: возможно ли использовать набор вероятностных распределений для реконструкции квантового состояния? Этот вопрос возвращает нас к раннему периоду развития квантовой механики, в частности, к обзорной статье В. Паули [6]. Он интересовался вопросом, можно ли найти амплитуду и фазу волновой функции, зная вероятности распределений по координате и импульсу. Паули не дал ответа на этот вопрос. Однако простые контрпримеры (см., например, [7-12]) показывают, что в общем случае это невозможно. На самом деле нужно знать больше распределений, чем эти два. Как известно, функция Вигнера содержит всю информацию о квантовом состоянии, поэтому мы можем восстановить все квадратурные распределения с помощью преобразования Радона. Преобразование вида ∞ ∞ -∞ -∞ W (q, p)δ(x - μq - νp) dqdp w(x, μ, ν) = (3) называется преобразованием Радона [13] функции W (q, p). Функция (3) совпадает с симплектической томограммой [3]. Преобразование Радона обратимо, обращение преобразования (3) выглядит следующим образом: W (q, p) = 1 (2π)2 ∞ ∞ ∞ -∞ -∞ -∞ w(x, μ, ν)ei(x-μq-νp) dxdμdν. Обратимость преобразования Радона здесь позволяет выразить функцию Вигнера W (q, p) через симплектическую томограмму состояния w(x, μ, ν) при условии, что последняя известна для всех действительных μ, ν. Симплектическая томограмма обладает замечательным свойством однородности w(λX, λμ, λν) = 1 w(X, μ, ν), |λ| используя которое, можно восстановить функцию Вигнера, зная лишь оптическую томограмму w(x, θ) для любого θ ∈ [0, π] [14, 15]. В этом случае функция Вигнера выражается по формуле W (q, p) = 34 1 (2π)2 π +∞ 0 +∞ |t| dt dθ -∞ w(x, θ) exp it(x - q cos θ - p sin θ) dx. -∞ Об определении чистых состояний методом гомодинного детектирования Однако реально невозможно измерить оптическую томограмму (квадратурное распределение) w(x, θ) для любых значений фазы θ. Возможно лишь провести гомодинное детектирование для различных, но фиксированных значений фазы θ. На практике, когда такой подход реализуется, получается ансамбль распределений {w(x, θ1 ), w(x, θ2 ), . . . , w(x, θN )}, который с некоторой погрешностью можно считать за истинный непрерывный ансамбль. Затем по этому ансамблю численно с помощью обратного преобразования Радона восстанавливается функция Вигнера исследуемого состояния. В эксперименте фазу θ изменяют, меняя разность хода поступающих на светоделитель лучей. Удобно выбирать значения фаз эквидистантными θn = = π(n - 1)/N . Поэтому для осуществления обратного преобразования Радона необходимо, чтобы n пробегало значения от 1 до N . Ясно, что точность вычислений увеличивается с ростом N , т. к. численное интегрирование представляет собой суммирование с шагом h ∝ N -1 . Однако зачастую проведение экспериментов со значениями N 10 бывает затруднительным. Вместе с этим количество фаз N еще и качественно влияет на результат. В работе [16] было показано, что для точной реконструкции состояния в оптической гомодинной томографии размерность матрицы плотности в представлении Фока должна быть равна количеству фаз θn , для которых было произведено гомодинное детектирование. Также был получен простой способ оценки ошибок, если фактическая размерность матрицы плотности больше, чем число фаз, используемых в эксперименте. Еще один метод реконструкции волновой функции состояния был дан в [17]. Он основан на интегральных представлениях коэффициентов в разложении волновой функции. Развивая идею, высказанную авторами, мы предлагаем следующий метод. Пусть произведен эксперимент гомодинного детектирования некого состояния. На выходе эксперимента для фиксированного значения фазы θ мы имеем относительно большой (∼ 105 ) набор точек xj - измеренных квадратурных компонент, по которому строится гистограмма. Эта гистограмма определяет распределение w(x, θ). Предположим, что чистое состояние ρ = |ψ ψ|, ˆ подаваемое на гомодинный детектор, представимо конечной суммой фоковских состояний, т. е. волновая функция может быть представлена в виде N |ψ = cn |n , (4) n=0 где x|n = π 1/4 1 √ 2n n! Hn (x)e-x 2 /2 . (5) Фоковские состояния образуют ортонормированный базис n|m = δnm , поэтому коэффициенты cn удовлетворяют N |cn |2 = 1. n=0 35 Д н е с т р я н А. И. Обозначая x|n = ψn (x) и подставляя разложение (4) в равенство (2), мы получаем оптическую томограмму суперпозиции фоковских состояний [4] N ˆ w(x, θ) = Fcos θ,sin θ [ψ] 2 2 cn ψn (x)e-inθ = = n=0 N Re cn c∗ eiθ(m-n) ψn (x)ψm (x) = m = n,m 0 N Re cm c∗ eiθ(l-m) ψm (x)ψl (x) = l 2 |cn |2 ψn (x) + 2 = n=0 0 m<l N N cn c∗ eiθ(m-n) ψn (x)ψm (x) (6) m = n,m 0 или через амплитуду и фазу коэффициентов cn = |cn |eiφn : |cn ||cm | cos (θ(m - n) + (φn - φm )) ψn (x)ψm (x). w(x, θ) = (7) 0 n,m N Произведение волновых функций фоковских состояний ψn (x)ψm (x) раскладывается в сумму [17] n+m ψn (x)ψm (x) = 2 1/4 √ n,m βk ψk ( 2x), (8) k=0 n,m где коэффициенты βk не равны нулю, только если числа n + m и k одной четности, при этом для незануляющихся коэффициентов n,m βk = 1/4 2 π n!m! -2q-(k+1)/2 2 (-1)q k! min(n,m,q) j=0 (-4)j (n + m - 2j)! , j!(n - j)!(m - j)!(q - j)! n,m где q = (n + m - k)/2. В таблице представлены коэффициенты βk для 1 n 2, 1 m 5, определенные численными методами по формуле n,m βk = 21/4 +∞ √ ψn (x)ψm (x)ψk ( 2x)dx, (9) -∞ следующей напрямую из (8). Отсюда следует, что (7) можно переписать так: n+m 1/4 w(x, θ) = 2 √ n,m |cn ||cm | cos (θ(m - n) + (φn - φm )) βk ψk ( 2x). 0 n,m N k=0 (10) √ Поскольку ψk ( 2x) образуют ортогональный базис в L 2 (R), равенство (10) представляет из себя разложение w(x, θ) в ряд Фурье, а коэффициенты этого ряда находятся из условия 36 Об определении чистых состояний методом гомодинного детектирования n,m |cn ||cm | cos (θ(m - n) + (φn - φm )) βk = 0 n,m N √ = 21/4 w(x, θ), ψk ( 2x) . (11) Скалярное произведение в правой части (11) определено в L 2 (R), т. е. √ w(x, θ), ψk ( 2x) = +∞ √ w(x, θ)ψk ( 2x)dx. -∞ Индекс k в (11) пробегает 2N + 1 значений: 0 k 2N . Тем самым для нахождения коэффициентов cn разложения (4) мы имеем систему из 2N + 1 уравнений, повторяющих (11) для разных значений k:  n,m   0 n,m N |cn ||cm | cos (θ(m - n) + (φn - φm )) β2N =   √    = 21/4 w(x, θ), ψ2N ( 2x) ;      n,m  |cn ||cm | cos (θ(m - n) + (φn - φm )) β2N -1 =    0 n,m N  √    = 21/4 w(x, θ), ψ2N -1 ( 2x) ;     ............   (12) n,m |cn ||cm | cos (θ(m - n) + (φn - φm )) βk =    0 n,m N  √    = 21/4 w(x, θ), ψk ( 2x) ;       ............       n,m   |c ||c | cos (θ(m - n) + (φn - φm )) β0 =   0 n,m N n m   √  = 21/4 w(x, θ), ψ0 ( 2x) . Система уравнений (12), вообще говоря, содержит 2N + 2 неизвестных {ck }N и {φk }N k=0 k=0 и 2N + 1 уравнений, однако она не является недоопределенной. Дело в том, что искомая волновая функция ψ(x) в любом случае может быть определена с точностью до постоянной фазы. По этой причине мы фиксируем (зануляем) фазу, например, коэффициента cN , а все остальные фазы считаем относительно фазы φN = 0. После этого предположения число неизвестных системы (12) становится равным 2N + 1. На первый взгляд, решение системы уравнений (12) представляется очень трудным процессом, однако есть один момент, заметно упрощающий ее реn,m шение. Суть в следующем: коэффиценты βk = 0 при n + m < k. Следовательно, первые уравнения перепишутся заметно проще: √  2 N,N  cN β2N = 21/4 w(x, θ), ψ2N ( 2x) ;  √ N,N -1  2cN cN -1 cos (θ - φN -1 ) β2N -1 = 21/4 w(x, θ), ψ2N -1 ( 2x) ;  ............ Отсюда видно, что cN находится из первого уравнения, а cN -1 выражается через cN и т. д. Таким образом, данная методика позволяет определить 37 Д н е с т р я н А. И. n,m Таблица коэффициентов βk , вычисленных по (9). Верхняя таб- 1,m лица содержит коэффициенты βk , т. е. при n = 1, нижняя таблиn,m ца - при n = 2 [The table contains the coefficients βk calculated by 1,m the Eq. (9). The upper part of the table contains the coefficients βk ; 2,m The lower part of the table contains the coefficients βk ] n=1 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 n=2 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 m=1 0 0.4466 0 0 0 0 m=1 0.1579 0 0.3867 0 0 0 0 m=2 0.1579 0 0.3868 0 0 0 m=2 0 0.2233 0 0.3867 0 0 0 m=3 0 0 0 0.3158 0 0 m=3 0.0967 0 0.1579 0 0.3531 0 0 m=4 -0.2051 0 -0.1116 0 0.2496 0 m=4 0 -0.0483 0 -0.0558 0 0.3058 0 m=5 0 -0.1528 0 -0.1765 0 0.1934 m=5 -0.1621 0 -0.1324 0 -0.0395 0 0.2558 состояние ψ(x) в представлении (4), т. е. в виде суперпозиции первых N фоковских состояний. Отметим, что исходный метод [17] решает данную задачу при N = 2. Перейдем к следующему методу реконструкции волновой функции, который является развитием метода, представленного в [18]. Вводя коэффициент 1 , αn = √ √ 4 π 2n n! перепишем равенство (6), используя (5): N 2 2 2 αn |cn |2 Hn (x)e-x + w(x, θ) = n=0 2 αm αl Re cm c∗ eiθ(l-m) Hm (x)Hl (x)e-x . l +2 0 m<l N 2 Домножим обе части этого равенства на ex и получим N x2 αm αl Re cm c∗ eiθ(l-m) Hm (x)Hl (x). l 2 2 αn |cn |2 Hn (x) + 2 e w(x, θ) = n=0 0 m<l N В этом равенстве справа стоит многочлен степени 2N , его коэффициенты 38 Об определении чистых состояний методом гомодинного детектирования можно определить, дифференцируя этот многочлен пошагово:  d2N x2  2  e w(x, θ) = αN (2N )!22N |cN |2 ;    dx2N   2N -1  d   x2 2 2N 2    dx2N -1 e w(x, θ) = αN (2N )!2 |cN | x +   2  + 2αN N (N - 1)2N -2 2N (2N - 1)!|cN |2 +    N 2N -1 (2N - 1)!α α ∗ iθ ; +2 N N -1 Re cN cN -1 e ...      N    2 2 x2 w(x, θ) =  e αn |cn |2 Hn (x) +     n=0     +2 αm αl Re cm c∗ eiθ(l-m) Hm (x)Hl (x).  l  0 m<l N Система содержит 2N + 1 уравнений и 2N + 2 неизвестных, доопределим эту систему условием нормировки волновой функции N |cn |2 = 1. n=0 Тогда количество неизвестных и уравнений совпадает и равно 2N +2. Решение системы дает коэффициенты cn в разложении (4). 3. Заключение. В данной статье развиты уже существующие методы реконструкции чистого квантового состояния по неполной информации о его квантовой томограмме. Состояние описывается волновой функцией, которая в рамках данной работы аппроксимируется суммой из N фоковских состояний. Отметим, что по сравнению с начальными методами, где N ограничено, в данной работе это число произвольно. С ростом количества слагаемых данной суммы в силу сходимости можно добиться сколь угодно большой точности приближений волновой функции. Также метод, развитый в данной работе, имеет преимущество перед обратным преобразованием Радона, так как последнее осуществимо только если известны квадратурные распределения w(x, θ) на сетке θn , покрывающей отрезок [0; π], тогда как метод, предложенный в работе, требует, чтобы было известно квадратурное распределение лишь для одного значения θ. Это преимущество существенно при проведении экспериментов гомодинного детектирования. Отметим, что на практике всегда может быть известна лишь неполная информация о томограммме, поскольку томограмма является экспериментально наблюдаемой величиной, и результат эксперимента представляет собой набор значений томограммы в разных точках. Этот факт обуславливает актуальность задачи, рассмотренной в данной работе.

About the authors

Andrey I Dnestryan

Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Email: dnestor@inbox.ru
Postgraduate Student, Dept. of Higher Mathematics 9, Inststitutskii per., Dolgoprudny, Moscow region, 141700, Russian Federation

References

Supplementary files