Том 20, № 1 (2016)
- Год: 2016
- Статей: 13
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/issue/view/1219
Задача Гурса для нагруженного вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка с оператором Геллерстедта в главной части
Аннотация
Рассматривается нагруженное вырождающееся гиперболическое уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Главная часть уравнения представляет собой оператор Геллерстедта. Нагруженное слагаемое представляет собой след искомого решения на линии вырождения, которая лежит внутри области. Исследуется задача с данными на одной из характеристик исследуемого уравнения. В модельном случае, когда коэффициенты при младших членах обращаются в ноль, решение задачи Гурса выписано в явном виде. При этом использовалась функция Грина-Адамара для уравнения Эйлера-Дарбу-Пуассона. В общем случае разрешимость задачи Гурса эквивалентным образом редуцирована к вопросу о разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода. В этом случае использована схема, реализованная С. Геллерстедтом при доказательстве существования решения второй задачи Дарбу для рассматриваемого уравнения без нагрузки. В обоих случаях существенно использовались известные свойства функции Грина-Адамара. К
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2016;20(1):7-21



Нелокальная задача А. А. Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа
Аннотация
В данной работе для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной области изучена задача с условиями периодичности и нелокальным условием А. А. Дезина. Установлен критерий единственности. Решение задачи построено в виде суммы ортогонального ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи. При обосновании сходимости ряда возникает проблема малых знаменателей. В связи с этим установлена оценка отделенности от нуля малых знаменателей с соответствующей асимптотикой. Эта оценка позволила при некоторых условиях относительно заданных параметров задачи и функций доказать сходимость построенного ряда в классе регулярных решений и устойчивость решения.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2016;20(1):22-32



Об определении чистых состояний методом гомодинного детектирования
Аннотация
В работе обсуждаются методы реконструкции волновой функции чистого состояния квантовой системы по известной оптической томограмме состояния. Оптическая квантовая томограмма представляет собой однопараметрическое распределение вероятностей с параметром θ. Волновая функция чистого состояния выражается через оптическую томограмму, если последняя известна для любых значений θ. Однако оптическая томограмма определяется из эксперимента гомодинного детектирования, где θ фиксированно. Поэтому оптическая томограмма может быть известна лишь для нескольких дискретных значений параметра. Мы приводим приближенные методы определения волновой функции квантового состояния по неполной информации о его томограмме, представляющие собой развитие уже существующих методов.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2016;20(1):33-42



Внутреннекраевая задача с операторами Римана-Лиувилля для уравнения смешанного типа третьего порядка
Аннотация
Исследован вопрос однозначной разрешимости внутреннекраевой задачи с операторами Римана-Лиувилля в краевом условии для уравнения смешанного типа третьего порядка. При ограничениях неравенственного типа на известные функции и различных порядках операторов дробного интегро-дифференцирования доказана теорема единственности. Существование решения задачи установлено путем редукции к уравнениям Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которых следует из единственности решения задачи.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2016;20(1):43-53



Об одной задаче оптимального управления для уравнения теплопроводности с интегральным граничным условием
Аннотация
В данной работе рассматривается задача оптимального управления для уравнения теплопроводности с интегральным граничным условием. Управляющими функциями являются коэффициент и свободный член уравнения состояния, а также свободный член интегрального граничного условия. Коэффициент и свободный член уравнения состояния являются элементами пространства Лебега, а свободный член интегрального условия - элементом пространств Соболева. Функционал цели является финальным. Исследованы вопросы корректности постановки задачи оптимального управления в слабой топологии пространства управлений. Доказано, что в рассматриваемой задаче существует хотя бы одно оптимальное управление, множество оптимальных управлений слабо компактно в пространстве управлений, а любая минимизирующая последовательность управлений функционала цели слабо сходится к множеству оптимальных управлений. Доказана дифференцируемость по Фреше функционала цели на множестве допустимых управлений. Получены формулы для дифференциала градиента функционала цели. Установлено необходимое условие оптимальности в форме вариационного неравенства.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2016;20(1):54-64



О задачах со смещениями в граничных условиях для гиперболического уравнения
Аннотация
В представленной статье рассмотрены три задачи для гиперболического уравнения в характеристической области на плоскости. В обсуждаемых задачах хотя бы одно из условий Гурса заменено на нелокальное условие на соответствующей характеристике. Нелокальные условия представляют собой линейную комбинацию нормальных производных в точках на противоположных характеристиках. В случае замены одного условия решение осуществляется сведением к задаче Гурса, для которой оно существует и единственно. При этом для нахождения неизвестного условия Гурса автор получает интегральное уравнение, которое переписывает в операторной форме и находит случаи его однозначной разрешимости. Для доказательства однозначной разрешимости упомянутого уравнения автор показывает непрерывность линейного оператора и то, что некоторая его степень является сжимающим отображением. Известно, что в этом случае искомое условие Гурса можно записать в виде ряда Неймана. Подробно рассматривается только одна из поставленных задач, но для обеих сформулированы теоремы об однозначной разрешимости. Если же заменены два условия, единственность решения в предположении, что оно существует, доказывается методом априорных оценок. Для этого используются скалярное произведение и норма в пространстве $L_2$. В результате были получены условия на коэффициенты гиперболического уравнения, которые обеспечивают единственность решения задачи. После этого приведен пример, подтверждающий, что полученные условия являются существенными. А именно, построено уравнение, коэффициенты которого не удовлетворяют условиям последней теоремы, заданы условия на характеристиках и построено ненулевое решение.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2016;20(1):65-73



Задача Коши для уравнения параболического типа с оператором Бесселя и частной производной Римана-Лиувилля
Аннотация
В работе исследуется задача Коши для дифференциального уравнения параболического типа с оператором Бесселя и частной производной Римана-Лиувилля. Представление решения получено в терминах интегрального преобразования с функцией Райта в ядре. Показано, что когда рассматриваемое уравнение обращается в уравнение диффузии дробного порядка, полученное решение переходит в решение задачи Коши для соответствующего уравнения. Единственность решения доказывается в классе функций, удовлетворяющих аналогу условия Тихонова.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2016;20(1):74-84



Исследование установившейся ползучести металлокомпозитных балок слоисто-волокнистой структуры с учетом ослабленного сопротивления поперечным сдвигам
Аннотация
Рассмотрена установившаяся ползучесть гибридных изгибаемых металлокомпозитных слоистых балок нерегулярной структуры. Балки состоят из стенок и прикреплённых к ним сверху и снизу несущих слоёв (полок). Полки усилены проволоками в продольном направлении, а стенки армированы либо продольно, либо перекрёстно в своей плоскости. В рамках гипотез теории Тимошенко сформулирована соответствующая краевая задача расчёта таких балок, что позволило учесть ослабленное сопротивление их стенок поперечным сдвигам. Для линеаризации поставленной задачи использован метод простой итерации, основанный на идее метода секущего модуля. Исследовано механическое поведение в условиях установившейся ползучести армированных и неармированных двухопорных и консольных балок под действием равномерно распределённой поперечной нагрузки. Поперечные сечения балок представляют собой двутавры. Показано, что для однородных двутавровых балок классическая теория Бернулли не гарантирует получения расчётных результатов по податливости в пределах 20 %-й точности, считающейся приемлемой, особенно если ширина полок сопоставима с высотой поперечных сечений балок. В случаях металлокомпозитных балок классическая теория становится неприемлемой, так как занижает податливость таких конструкций в условиях установившейся ползучести на несколько порядков. Продемонстрировано, что для адекватного расчёта металлокомпозитных балок слоисто-волокнистой структуры необходимо учитывать в их стенках активно развивающиеся скорости деформаций поперечных сдвигов. Учёт этих скоростей деформаций в рамках теории Тимошенко позволил обнаружить новые «механизмы» деформирования слоистых балок, которые не позволяет выявить классическая теория. Показано, что при увеличении плотности армирования полок или стенки может произойти смена «механизмов» деформирования.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2016;20(1):85-108



Об одном методе решения задач теплообмена при течении жидкостей в плоских каналах
Аннотация
С использованием дополнительных граничных условий в интегральном методе теплового баланса получено высокой точности приближенное аналитическое решение задачи теплообмена для жидкости, движущейся в плоскопараллельном канале при симметричных граничных условиях первого рода. Ввиду бесконечной скорости распространения теплоты, описываемой параболическим уравнением теплообмена, температура в центре канала изменяется тотчас же после приложения граничного условия первого рода. Путём представления этой температуры в виде дополнительной искомой функции, а также использования дополнительных граничных условий, определяемых так, чтобы искомое решение удовлетворяло исходному дифференциальному уравнению в граничных точках, находится приближенное аналитическое решение краевой задачи. Использование интеграла теплового баланса позволяет свести решение дифференциального уравнения в частных производных к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения относительно дополнительной искомой функции, изменяющейся лишь по продольной переменной. Показано, что выполнение исходного уравнения лишь на границах области с увеличением числа приближений приводит к его выполнению и внутри области. Отсутствие необходимости интегрирования дифференциального уравнения по поперечной пространственной переменной, ограничиваясь лишь выполнением интеграла теплового баланса (осредненного исходного дифференциального уравнения), позволяет применять данный метод к краевым задачам, решения которых не могут быть получены с помощью классических аналитических методов.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2016;20(1):109-120



Сопоставление координат больших планет, Луны и Солнца, полученных на основе нового принципа взаимодействия и банка данных DE405
Аннотация
В данной статье проведено сравнение координат и элементов орбит больших планет, Луны и Солнца, полученных на основе нового принципа взаимодействия и банка данных DE405. Под окружающим пространством можно понимать физический вакуум. Гравитация рассматривается как результат взаимодействия окружающего пространства с движущимися материальными телами. Тяготение объясняется свойством сжатия пространства относительно движущихся материальных тел. Получены дифференциальные уравнения движения больших планет, Луны и Солнца. Следует отметить, что система дифференциальных уравнений не содержит явно масс тел и силовых взаимодействий, кроме того, Земля рассматривается как сфероид. Путем численного интегрирования уравнений движения вычислены координаты Луны, Солнца больших планет и оскулирующие элементы орбит внутренних планет на интервале времени 1602-2193 гг. Результаты вычислений сопоставлены с координатами и элементами орбит, определенными по данным координат и скоростей DE405. Показано, что в отличие от механики Ньютона и релятивистских уравнений движения, координаты больших планет Луны и Солнца, основанные на решении новой системы дифференциальных уравнений, удовлетворительно согласуются с координатами этих объектов, вычисленных с помощью банка данных DE405. Полученные уравнения не содержат членов, учитывающих несферичность Земли и Луны, являясь при этом нерелятивистскими уравнениями. На основе исследований сделаны следующие выводы: полученные дифференциальные уравнения движения удовлетворительно описывают движение больших планет, Луны и Солнца на интервале времени 600 лет; они значительно проще и точнее дифференциальных уравнений, учитывающих релятивистские эффекты.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2016;20(1):121-148



Суммирование на основе комбинаторного представления одинаковых степеней
Аннотация
В статье рассматривается вывод комбинаторных выражений для сумм членов нескольких последовательностей. Вывод производится на основе комбинаторного представления суммы взвешенных одинаковых степеней. Суммированию подлежат взвешенные члены геометрической прогрессии, простых арифметико-геометрической и комбинированной прогрессий. Одно из главных мест в данном выводе занимает представление членов каждой из указанных прогрессий в виде элементов матрицы. Строка этой матрицы формируется с использованием набора одинаковых степеней с заданным весовым коэффициентом. Кроме того, в работе представлены формулы комбинаторных тождеств с участием свободных компонентов сумм одинаковых степеней, а также отдельной степени - члена последовательности одинаковых степеней или геометрической прогрессии. Все представленные формулы имеют общую основу - компоненты сумм одинаковых степеней.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2016;20(1):149-157



К динамическому программированию по значениям в полугруппе
Аннотация
Для не рассматривавшейся ранее со значениями целевой функции в линейно упорядоченной абелевой полугруппе P задачи дискретного оптимального управления даются характеризация разрешимости и на ее основе алгоритм, ищущий оптимальный процесс, используя доставляющие значения Беллмана элементы ограничивающих множеств. Отмечаются модификации данного алгоритма, когда 1) P - непустое естественно упорядоченное подмножество чисел с операцией получения максимума из двух чисел; 2) P - естественно упорядоченное множество неотрицательных чисел со сложением (умножением); 3) P - лексикографическое произведение m (не менее двух) линейно упорядоченных абелевых полугрупп; 4) P - лексикографическое произведение m (не менее двух) множеств вещественных чисел с естественным порядком и сложением, и данный алгоритм получает m - оптимальный процесс проще, чем предыдущий алгоритм автора.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2016;20(1):158-166



Математическое моделирование наследственно упругого деформируемого тела на основе структурных моделей и аппарата дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля
Аннотация
Рассмотрена стандартная одномерная обобщённая модель вязкоупругого тела и некоторые её частные случаи - модели Фойхта, Максвелла, Кельвина и Зенера. На основе гипотезы В. Вольтерры о наследственно упругом деформируемом твёрдом теле и метода структурного моделирования вводятся дробные аналоги перечисленных выше классических реологических моделей. Показано, что если в исходном определяющем соотношении В. Вольтерры использовано ядро абелевского типа, то возникающие в определяющих соотношениях дробные производные будут являться производными Римана-Лиувилля на отрезке. Отмечено, что в многочисленных работах, посвящённых математическим моделям наследственно упругих тел, авторы используют некоторые дробные производные, удобные с точки зрения применения интегральных преобразований, например, производные Римана-Лиувилля на всей числовой оси или производные Капуто, причем явные решения начальных задач для модельных дробных дифференциальных уравнений не приводятся. Показана корректность задачи Коши относительно некоторых линейных комбинаций функций напряжений и деформаций для определяющих соотношений в дифференциальной форме с дробными производными Римана-Лиувилля. Найдены явные решения задачи о ползучести при постоянном напряжении в стадиях нагружения и разгрузки. Показана непрерывная зависимость найденных решений от параметра дробности модели, в том смысле, что эти решения при α → 1 переходят в хорошо известные решения для классических реологических моделей. Отмечена сохраняемость величин мгновенной упругой деформации в стадиях нагружения и разгрузки для дробных аналогов моделей Максвелла, Кельвина и Зенера. Сформулированы теоремы о существовании и асимптотических свойствах найденных решений задачи ползучести. Разработан метод идентификации параметров дробной модели вязкоупругого тела. Для экспериментальной проверки предложенных моделей использованы данные испытаний на растяжение с постоянными напряжениями поливинилхлоридной трубки. Представлены результаты расчётных данных на основе дробного аналога модели Фойхта. Наблюдается удовлетворительное соответствие расчётных и экспериментальных данных.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2016;20(1):167-194


