A similar for ∆1 problem for the second order hyperbolic equation in the 3D euclidean space

Abstract


The second-order hyperbolic type equation is considered in the 3D Euclidean space. Boundary value problem is posed in the infinite cylindrical region bounded by the characteristic surfaces of this equation with data on the related characteristic surfaces of the equation and with conditions mates on the internal non-descriptive plane. The solution is also assumed to be zero when z → ∞ with derivative by variable z. By the Fourier transform method the problem reduced to the corresponding planar problem ∆1 for hyperbolic equation, which in characteristic coordinates is the generalized Euler-Darboux equation with a negative parameter. Authors obtained estimates of the plane problem solution and its partial derivatives up to the second order inclusive. This, in turn, provided an opportunity to impose the conditions to given boundary functions ensuring the existence of a classical solution of the problem in the form of the Fourier transform.

Full Text

Введение. В настоящей работе для уравнения гиперболического типа Wxx - |y|m Wyy + Wzz = 0, 0 < m < 1, (1) в бесконечной цилиндрической области, ограниченной характеристическими поверхностями уравнения (1), поставлена краевая задача с данными на смежных характеристических поверхностях и условиями сопряжения на нехарактеристической плоскости (задача ∆1 C). Методом преобразования Фурье поставленная задача сводится к соответствующей плоской задаче ∆1 для гиперболического уравнения, которое в характеристических координатах является обобщением уравнения Эйлера-Дарбу с отрицательным параметром Uξη - λ2 U q (Uη - Uξ ) - = 0, ξ-η 4 0 0, -∞ < z < +∞; y > 0, 1, 1 , 2 -∞ < z < +∞; -∞ < z < +∞. Обозначим за T1 область пространства R3 , ограниченную поверхностями Σ1 , Σ2 , y = 0, за T2 - область, ограниченную поверхностями Σ3 , Σ4 , y = 0. Задача ∆1 C. На множестве T = T1 ∪ T2 найти решение уравнения (1), непрерывное в T 1 , удовлетворяющее краевым условиям W Σ1 = Φ1 (x, z), W Σ4 = Φ2 (x, z), 0 x 1 , 2 -∞ < z < ∞, исчезающее на бесконечности вместе со своей производной по z lim W (x, y, z) = lim Wz (x, y, z) = 0 z→±∞ z→±∞ и на плоскости y = 0 удовлетворяющее условиям сопряжения lim W (x, y, z) = lim W (x, y, z), y→0+0 698 y→0-0 ∂W ∂W = lim . y→0+0 ∂y y→0-0 ∂y lim (3) Аналог задачи ∆1 для гиперболического уравнения. . . Представляя решение задачи в форме преобразования Фурье 1 W (x, y, z) = √ 2π +∞ U (x, y, λ)e-iλz dλ, (4) -∞ получим для неизвестной функции U (x, y, λ) уравнение Uxx - |y|m Uyy - λ2 U = 0. (5) Полагая +∞ 1 ϕk ∗ (x, λ) = √ Φk (x, z)e-iλz dλ, k = 1, 2, 2π -∞ сведем пространственную задачу ∆1 C к плоской для уравнения (5) в области, ограниченной кривыми (см. рис. 2): 2-m 2 (-y) 2 = 0, 0 2-m 2-m 2 1 γ2 : x + (-y) 2 = 1, 2-m 2 2-m 2 1 2 y γ3 : x + = 1, 2-m 2 2-m 2 2 γ4 : x - y = 0, 0 2-m γ1 : x - x x x x 1 , 2 1, 1, 1 , 2 y < 0; y < 0; y > 0; y > 0, являющимися линиями пересечения плоскости z = 0 с поверхностями Σ1 , Σ2 , Σ3 , Σ4 . Рис. 1. [Figure 1] Рис. 2. [Figure 2] 699 Р о д и о н о в а И. Н., Д о л г о п о л о в В. М. 2. Постановка задачи ∆1 и её решение. Пусть D1 ∗ - область, ограниченная характеристическими кривыми γ1 , γ2 уравнения (5) и осью OX, D2 ∗ - ограничена линиями γ3 , γ4 , y = 0. Задача ∆1 . На множестве D ∗ = D1 ∗ ∩ D2 ∗ найти решения уравнения (5), ∗ непрерывное в D , удовлетворяющее краевым условиям U γ1 = ϕ∗ (x, λ), 1 U γ4 = ϕ∗ (x, λ), 2 0 1 , 2 x -∞ < λ < ∞, и условиям сопряжения ∂U ∂U = lim . y→0+0 ∂y y→0-0 ∂y lim U (x, y, λ) = lim U (x, y, λ), y→0-0 lim y→0+0 Условия, налагаемые на заданные функции, определим позже. В характеристических координатах ξ =x+ 2 2 sgn y|y| 2-m , 2-m η =x- 2 2 sgn y|y| 2-m 2-m уравнение (5) принимает вид Uξη - q λ2 U (Uη - Uξ ) - = 0, ξ-η 4 0 ξ) имеет вид [4] ξ λ2 (ξ - s)(η - s) ds+ 4 λ2 1 + q; - (s - ξ)(η - s) ds, (11) 4 T1 (s, λ)(ξ - s)q (η - s)q0F 1 1 + q; U (ξ, η, λ) = 0 η N1 (s, λ)(η - s)q (s - ξ)q0F 1 + ξ а в области D2 (ξ > η) - вид η λ2 (ξ - s)(η - s) ds+ 4 λ2 1 + q; - (s - η)(ξ - s) ds. (12) 4 T2 (s, λ)(η - s)q (ξ - s)q0F 1 1 + q; U (ξ, η, λ) = 0 ξ N2 (s, λ)(s - η)q (ξ - s)q0F 1 + η Здесь Ni (s, λ) = 1 Ti (s, λ) 2 cos πq Γ(1 + 2q) νi (s, λ), 2Γ2 (1 + q) i = 1, 2. (13) Если функции Ni , Ti непрерывны по s на сегменте [0, 1] при любом λ, то формулы (11), (12) определяют классическое решение задачи Коши для уравнения (6) соответственно в областях D1 , D2 . Исходя из условий задачи ∆1 найдем функции Ni , Ti в формулах (11), (12). Для этого положим в выражении (11) ξ = 0, а в выражении (12) η = 0. С учетом условий (8), (9) и одинакового изменения переменных ξ и η получаем совокупность интегральных уравнений относительно Ni : η Ni (s, λ)sq (η - s)q0F 1 1 + q; - 0 λ2 s(η - s) ds = ϕi (η, λ), 4 i = 1, 2. (14) Функции ϕi (η, λ) будем считать дважды непрерывно дифференцируемыми по η на сегменте [0, 1] и предполагать ϕi (0, λ) = ∂ ϕi (0, λ) = 0 ∂η (15) при любом λ. Тождество (14) продифференцируем по η, затем применим к обеим частям оператор x . . . (x - η)-q dη 0 и, воспользовавшись методикой, изложенной в работе [4], получим единственное решение уравнений (14): 701 Р о д и о н о в а И. Н., Д о л г о п о л о в В. М. Ni (s, λ) = s-q Γ(1 + q)Γ(1 - q) s ϕi (t, λ)(s - t)-q0F 1 1 + q; 0 s λ2 - 4(1 - q) ϕi (t, λ)(s - t)1-q0F 1 2 - q; 0 λ2 s(s - t) dt- 4 λ2 s(s - t) dt, 4 i = 1, 2, (16) непрерывное по s на сегменте [0, 1] при выполнении условий (15). Из непрерывности решения на линии η = ξ имеем τ1 = τ2 , откуда в силу представлений (10) T1 = T2 = T . С учетом условия сопряжения (7) и соотношений (13) имеем cos πq · (N1 + N2 ) = T, или из формулы (16) получаем T (s, λ) = s-q cos πq Γ(1 + q)Γ(1 - q) λ2 - 4(1 - q) s ϕ1 (t)+ϕ2 (t) (s-t)-q0F 1 1-q; 0 s ϕ1 (t, λ) + ϕ2 (t, λ) (s - t)1-q0F 1 2 - q; 0 λ2 s(s-t) dt- 4 λ2 s(s - t) dt. (17) 4 3. Условия, налагаемые на решение задачи ∆1 . Отметим, что решение задачи ∆1 , определяемое формулами (11), (12), (16), (17), является классическим для уравнения (6) при выполнении условий (15). Однако этих условий может быть недостаточно для того, чтобы указанное решение было классическим для уравнения (5). Выясним условия, при которых полученное решение задачи ∆1 на множестве D∗ будет иметь непрерывные частные производные Uxx и Uyy , определяемые формулами Uxx = Uξξ + 2Uξη + Uηη , m m Uyy = - |y|- 2 -1 (Uη - Uξ ) + |y|-m (Uξξ - 2Uηξ + Uηη ). 2 (18) Кроме этого произведем оценки решения задачи ∆1 и его производных (18), позволяющие на заданные функции Φk (x, z) наложить условия, обеспечивающие существование решения задачи ∆1 C в виде интеграла (4). Из выражений (17), (16) получим оценки для T и Ni . Обозначим слагаемые в формуле (17) J1 и J2 соответственно. Для J1 имеем оценку |J1 | max ϕ1 + ϕ2 [0,1] s-q Γ(1 + q)Γ(1 - q) s 0 (s - t)-q 0F 1 1 - q; λ2 s(s - t) dt. 4 Вычисляя интеграл, получаем |J1 | max [0,1] 702 ϕ1 + ϕ2 s1-q λ2 s2 F 1 2 - q; . 0 Γ(1 + q)Γ(2 - q) 4 (19) Аналог задачи ∆1 для гиперболического уравнения. . . Чтобы при оценке убрать λ2 перед интегралом в слагаемом J2 , проинтегрируем интеграл по частям, взяв за u = ϕ1 + ϕ2 , тогда J2 = - λ2 4(1 - q) ∞ s (ϕ1 + ϕ2 ) 0 n=0 λ2 4 n sn (s - t)n+2-q dt. (2 - q)n+1 n! После замены порядка суммирования и интегрирования получаем оценку |J2 | s1-q max ϕ1 + ϕ2 1 - q [0,1] ∞ λ2 4 n=0 n+1 s2(n+1) < (2 - q)n+1 n!(n + 3 - q) < max ϕ1 + ϕ2 [0,1] s1-q λ2 s2 . (20) 0F 1 2 - q; 1-q 4 Из формул (19), (20) получаем оценку |T (s, λ)| 4 max ϕ1 + ϕ2 [0,1] 0F 1 2 - q; λ2 . 4 (21) Числовой коэффициент получился из оценок множителей, содержащих в знаменателе Γ(1 + q)Γ(2 - q), с учетом наименьшего значения (≈ 0.8), которое принимает Γ-функция при значении аргумента ≈ 1.4, а также с учетом пределов изменения 0 < p < 1/2 и 0 s 1. Аналогичные оценки получаем для Ni : λ2 . (22) |Ni (s, λ)| 4max |ϕi | 0F 1 2 - q; 4 [0,1] На основании оценок (21), (22) легко получить оценку решения задачи ∆1 , определяемого формулами (11), (12) при T1 = T2 = T . |U (x, y, λ)| 2 8[max|ϕ∗ | + max|ϕ∗ |] 0F 1 1 + q; 1 2 λ2 . 4 (23) Непосредственным дифференцированием по ξ и по η выражений (11), (12) получаем, что частные производные первого порядка m ∂U ∂U ∂U = |y|- 2 - ∂y ∂ξ ∂η и ∂U ∂U ∂U = + ∂x ∂ξ ∂η непрерывны в D∗ , lim Ux = lim Ux , y→0+0 y→0-0 lim Uy = lim Uy y→0+0 y→0-0 и имеют такие же оценки, что и само решение ∂U ∂y 2 8 max|ϕ∗ | + max|ϕ2 | 0F 1 1 + q; 1 λ2 , 4 (24) 703 Р о д и о н о в а И. Н., Д о л г о п о л о в В. М. ∂U λ2 8 max|ϕ∗ | + max|ϕ∗ | 0F 1 1 + q; . (25) 1 2 ∂x 4 При вычислении производных второго порядка, определяемых формулами (18), после ряда преобразований при η > ξ получаем ξ λ2 ∂ T (s, λ)(η - s)q (ξ - s)q-1 0F 1 q, (η - s)(ξ - s) ds+ 4 0 ∂s ξ ∂ λ2 +q T (s, λ)(η - s)q-1 (ξ - s)q 0F 1 q, (η - s)(ξ - s) ds- 4 0 ∂s η λ2 ∂ -q N1 (s, λ)(η - s)q (s - ξ)q-1 0F 1 q, - (η - s)(s - ξ) ds+ 4 ξ ∂s Uxx = q η +q ξ ∂ λ2 N1 (s, λ)(η - s)q-1 (s - ξ)q 0F 1 q, - (η - s)(s - ξ) ds, (26) ∂s 4 Uyy = y -m (Uxx - λ2 U ). (27) При η < ξ поступаем аналогично. Из представлений (26), (27) следует, что если ∂T /∂s и ∂Ni /∂s непрерывны по s на [0, 1], то Uxx непрерывна в D∗ и lim Uxx = lim Uxx , y→0+0 y→0-0 Uyy непрерывна в D∗ , а на линии y = 0 имеет особенность порядка m относительно y. Найдем выражения для ∂T /∂s и ∂Ni /∂s соответственно из формул (16), (17), в которых нужно предварительно проинтегрировать по частям первые слагаемые, добавив к условиям (15) непрерывность ∂ 3 ϕi /∂ξ 3 по ξ на [0, 1] и ϕi (0, λ) = 0. В результате имеем cos πq ∂T = × ∂s Γ(1 + q)Γ(1 - q) s-1-q s λ2 s(s - t) dt+ × (ϕ1 + ϕ2 ) (s - t)1-q 0F 1 2 - q, 1-q 0 4 s s-q λ2 λ2 s(s - t) + (ϕ1 + ϕ2 ) (s - t)2-q 0F 1 3 - q, dt+ 4(1 - q)(2 - q) 0 4 s λ2 s(s - t) + s-q (ϕ1 + ϕ2 ) (s - t)-q 0F 1 1 - q, dt- 4 0 s 2 λ2 (s - t)2-q λ2 s(s - t) - (ϕ1 + ϕ2 ) dt- 0F 1 3 - q, 4(1 - q) 2-q 4 0 s λ2 λ2 s(s - t) - (ϕ1 + ϕ2 ) (s - t)-q 0F 1 1 - q, dt . (28) 4(1 - q) 0 4 Проводя такие же рассуждения, как и при оценке T (s, λ), получаем ∂T ∂s 704 6 max|ϕ1 + ϕ2 | + λ2 max|ϕ1 + ϕ2 | 0F 1 1 + q; λ2 . 4 (29) Аналог задачи ∆1 для гиперболического уравнения. . . Аналогично ∂Ni ∂s 6[max|ϕi | + λ2 max|ϕi |] 0F 1 1 + q; i=1,2 λ2 4 . (30) При дополнительном условии непрерывности ϕi непрерывность ∂T /∂s следует из представления (28). Аналогичное утверждение справедливо и для ∂Ni /∂s. Из формул (23), (26), (27), (29), (30) имеем оценки |Uxx | 24 λ2 max |ϕ1 ∗ | + max |ϕ2 ∗ | + γ1 γ4 + max |ϕ1 ∗ | + max |ϕ2 ∗ | γ1 |Uyy | γ4 2 0F 1 1 + q; λ2 , (31) 4 24|y|-m λ2 max |ϕ1 ∗ | + max |ϕ2 ∗ | + max |ϕ1 ∗ | + max |ϕ2 ∗ |+ γ1 γ4 γ1 + max |ϕ1 ∗ | + max |ϕ2 ∗ γ1 γ4 γ4 2 0F 1 1 + q; λ2 . (32) 4 4. Условия, налагаемые на решение задачи ∆1 C. Определим условия, налагаемые на данные задачи ∆1 C. Условия A (обеспечивающие разрешимость плоской задачи ∆1 ). Функции ϕ∗ (x, λ), ∂ϕ∗ /∂x, ∂ 2 ϕ∗ /∂x2 , ∂ 3 ϕ∗ /∂x3 (i = 1, 2) непрерывны на множеi i i i стве O1 = 0 x 1/2, |λ| < +∞ ; ϕ∗ (0, λ) = i ∂ϕ∗ (0, λ) ∂ 2 ϕ∗ (0, λ) i i = = 0. ∂x ∂x2 При выполнении условий A задача ∆1 имеет единственное решение. Справедливость данного утверждения следует из единственности решения задачи Коши, взятого за основу и однозначной разрешимости интегральных уравнений, к которым свелась задача ∆1 . Условия B (обеспечивающие существование решения уравнения (1) в виде интеграла (4)). Из оценок (23), (24), (25), (31), (32) следует, что для достаточно больших λ имеют место следующие представления: ∂ ∗ ϕ∗ (x, λ) i1 ϕi (x, λ) = , ∂x 2+p F 2 1 + q; λ2 |λ| 0 1 4 p > 1, ∂2 ∗ ϕ∗ (x, λ) i2 ϕi (x, λ) = , 2 ∂x2 2 |λ|2+p 0F 1 1 + q; λ 4 ∂3 ∗ ϕ∗ (x, λ) i3 ϕ (x, λ) = , 3 i ∂x p F 2 1 + q; λ2 |λ| 0 1 4 i = 1, 2, 705 Р о д и о н о в а И. Н., Д о л г о п о л о в В. М. где ϕ∗ (x, λ) - равномерно ограниченные относительно параметра λ функij ции (j = 1, 2, 3). От функций Φk (x, z) (k = 1, 2) потребуем выполнения следующих условий. Условия C. Функции Φk , ∂Φk /∂x, ∂ 2 Φk /∂x2 , ∂ 3 Φk /∂x3 (i = 1, 2) непрерывны на множестве O2 = {(x, z) | 0 x 1/2, |z| < +∞}. Интегралы +∞ +∞ Φk (x, z)eiλz dz, -∞ -∞ ∂Φk iλz e dz, ∂x +∞ -∞ ∂ 2 Φk iλz e dz, ∂x2 +∞ -∞ ∂ 3 Φk iλz e dz ∂x3 сходятся равномерно относительно x на сегменте [0, 1/2]; Φk (0, z) = ∂Φk (0, z) ∂ 2 Φk (0, z) = = 0. ∂x ∂x2 Условия C обеспечивают выполнимость условий A. При выполнении условий A-C задача ∆1 C для уравнения (1) имеет единственное решение. Справедливость этого утверждения следует из однозначной разрешимости плоской задачи ∆1 и свойств преобразования Фурье. Решение задачи ∆1 C представимо интегралом (1), где U (x, y, λ) в характеристических координатах определяется формулами (11) при y < 0, (12) при y > 0, а также (17), (18). Из приведенных вычислений и свойств преобразования Фурье следует непрерывность функции W на множестве T , а также непрерывность ее частных производных до второго порядка включительно на множестве T . Выполнимость условий (3), которые обеспечивают эквивалентность пространственной и плоской задач, автоматически следует из представлений A и свойства преобразования Фурье. Резюме. Для уравнения Wxx - |y|m Wyy + Wzz = 0 (0 < m < 1) в бесконечной цилиндрической области, ограниченной характеристическими поверхностями данного уравнения x W |Σ1 = Φ(x, z); 1 , 2 y < 0, |z| < ∞; x 1, y < 0, |z| < ∞; x 1, y > 0, |z| < ∞; x 2-m 2 (-y) 2 = 0, 0 2-m 2-m 2 1 Σ2 : x + (-y) 2 = 1, 2-m 2 2-m 1 2 y 2 = 1, Σ3 : x + 2-m 2 2-m 2 Σ4 : x - y 2 = 0, 0 2-m поставлена краевая задача с условиями Σ1 : x - 1 , 2 y > 0, |z| < ∞, W |Σ4 = Φ(x, z), lim W = lim Wz = 0 z→±∞ z→±∞ и сопряжением на плоскости y = 0: lim W (x, y, z) = lim W (x, y, z); y→0+0 706 y→0-0 ∂W ∂W = lim . y→0-0 ∂y y→0+0 ∂y lim Аналог задачи ∆1 для гиперболического уравнения. . . Методом преобразования Фурье поставленная задача сводится к соответствующей плоской задаче для гиперболического уравнения, которое в характеристических координатах является обобщенным уравнением Эйлера-Дарбу с отрицательным параметром: Uξη + q λ2 U (Uη - Uξ ) - = 0, ξ-η 4 q=- m . 2(2 - m) Авторами получено решение плоской задачи, а также оценки как самого решения, так и его частных производных до второго порядка включительно, что позволило на данные задачи наложить условия, обеспечивающие существование классического решения поставленной задачи в виде преобразования Фурье.

About the authors

Irina N Rodionova

Samara State Aerospace University

34, Moskovskoye sh., Samara, 443086, Russian Federation (Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics

Vyacheslav M Dolgopolov

Samara State Aerospace University

Email: paskal1940@mail.ru
34, Moskovskoye sh., Samara, 443086, Russian Federation (Cand. Phys. & Math. Sci.; paskal1940@mail.ru; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics

References

  1. Бицадзе А. В. К проблеме уравнений смешанного типа в многомерных областях // ДАН СССР, 1956. Т. 110, № 6. С. 901-902.
  2. Нахушев А. М. Об одном трехмерном аналоге задачи Геллерстедта // Дифференц. уравнения, 1968. Т. 4, № 1. С. 52-62.
  3. Пулькин С. П. К вопросу о постановке задачи Трикоми в пространстве // Ученые записки Куйб. пед. ин-та, 1956. № 14. С. 63-77.
  4. Долгополов В. М., Долгополов М. В., Родионова И. Н. Построение специальных классов решений некоторых дифференциальных уравнений гиперболического типа // Докл. РАН, 2009. Т. 429, № 5. С. 583-589.
  5. Долгополов В. М., Родионова И. Н. Задачи для уравнений гиперболического типа на плоскости и в трехмерном пространстве с условиями сопряжения на характеристике // Изв. РАН. Сер. матем., 2011. Т. 75, № 4. С. 21-28. doi: 10.4213/im4117.
  6. Долгополов В. М., Родионова И. Н. Экстремальные свойства решений специальных классов одного уравнения гиперболического типа // Матем. заметки, 2012. Т. 92, № 4. С. 533-540. doi: 10.4213/mzm8900.

Statistics

Views

Abstract - 5

PDF (Russian) - 0

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies