Fluctuations of a beam with clamped ends

Full Text

1. Постановка задачи. Многие задачи о колебаниях стержней, балок и пластин, которые имеют большое значение в строительной механике, приводят к дифференциальным уравнениям более высокого порядка, чем уравнение струны. Пусть балка длины l зажата с концами в массивные тиски. Изгибные колебания балки описываются уравнением четвертого порядка [1, с. 141-143] Lu ≡ utt + α2 uxxxx = 0, (1) где α2 = k/ρ, k - модуль сдвига, ρ - линейная плотность балки. Для определения колебания u(x, t) точек балки нужно задать граничные условия на концах x = 0 и x = l. В случае балки с наглухо закрепленными обоими концами граничными условиями являются неподвижность балки и горизонтальность касательной на концах: u(0, t) = ux (0, t) = u(l, t) = ux (l, t) = 0, 0 t T. (2) © 2015 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования С а б и т о в К. Б. Колебания балки с заделанными концами // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. T. 19, № 2. С. 311-324. doi: 10.14498/vsgtu1406. 311 С а б и т о в К. Б. Начальные условия такие же, как в случае уравнения струны: u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x), 0 x l. (3) В этой работе для уравнения балки (1) изучим задачу с условиями (2) и (3) в прямоугольной области D = {(x, t) | 0 < x < l, 0 < t < T}, где l и T - заданные положительные числа. Отметим, что в работах [2, с. 45], [3, с. 35], [4, с. 151-152], [5, 1.6] методом разделения переменных найдены собственные частоты (собственные значения) и формы собственных колебаний (собственные функции) задачи (1) и (2). А начально-граничная задача (1)-(3) и другие аналогичные задачи практически не исследованы. Для обоснования корректности поставленной задачи приведем более строгую ее постановку. Начально-граничная задача. Найти в области D функцию u(x, t), удовлетворяющую следующим условиям: 2,1 4,2 u(x, t) ∈ Cx,t (D) ∩ Cx,t (D); (4) Lu(x, t) ≡ 0, (x, t) ∈ D; u(0, t) = ux (0, t) = u(l, t) = ux (l, t) = 0, 0 t T ; u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x), 0 x l, (5) (6) (7) где ϕ(x) и ψ(x) - заданные достаточно гладкие функции. В настоящей работе доказаны теоремы единственности, существования и устойчивости решения задачи (4)-(7) в классах регулярных (из пространства (4) и обобщенных решений. Обобщенное решение определяется как предел последовательности регулярных решений задачи по среднеквадратичной норме по пространственной переменной. 2. Единственность решения задачи. Для обоснования корректности постановки задачи (4)-(7) применим методы спектрального анализа [6, с. 74-111]. Разделяя переменные u(x, t) = X(x)T (t), получим следующую спектральную задачу: X IV (x) + λX(x) = 0, 0 < x < l, (8) X(0) = X (0) = X(l) = X (l) = 0. (9) Обозначим через L дифференциальный оператор, порожденный дифференциальным выражением X IV на множестве C 4 (0, l)∩C 3 [0, l], вообще говоря, комплексных функций, удовлетворяющих граничным условиям (9). Оператор L является самосопряженным, так как задача, сопряженная к задаче (8) и (9), совпадает с этой задачей. Отсюда следует, что все собственные значения оператора L являются действительными и собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональными. Оператор L является также положительным. Действительно, 312 Колебания балки с заделанными концами l-ε (LX, X) = lim ε→0 ε l l-ε LX · X(x) dx = lim ε→0 ε l l = X (x)X(x) - X (x)X (x) + 0 0 X IV (x)X(x) dx = l |X (x)|2 dx X (x)X (x) dx = 0 0. 0 Следовательно, каждое собственное значение оператора L является неотрицательным и простым. Теперь найдем собственные значения и соответствующие функции оператора L, т.е. найдем решения уравнения LX = -λX, удовлетворяющие граничным условиям (9). Пусть λ = -d4 , d > 0. Тогда общее решение уравнения (8) определим в следующем виде: X(x) = α1 ch dx + α2 sh dx + α3 cos dx + α4 sin dx, (10) где αi - произвольные постоянные. Удовлетворяя функцию (10) первыми двумя условиями из (9), находим α3 = -α1 , α4 = -α2 . Тогда функция (10) примет вид X(x) = α1 (ch dx - cos dx) + α2 (sh dx - sin dx) . (11) Удовлетворяя функцию (11) последними двумя граничными условиями из (9), получим α1 (ch dl - cos dl) + α2 (sh dl - sin dl) = 0, α1 (sh dl + sin dl) + α2 (ch dl - cos dl) = 0. (12) Приравнивая определитель этой системы нулю, получаем трансцендентное уравнение ch dl · cos dl = 1 (13) для вычисления собственных значений. Графическим методом нетрудно показать существование счетного множества корней (собственных значений) уравнения (13): d1 < d2 < · · · < dn < . . . , при этом справедлива при больших n асимптотическая формула dn ≈ π (2n - 1). 2l (14) Из системы (12) с учетом уравнения (13) выразим α1 через α2 и подставим в (11). В результате найдем соответствующую систему собственных функций Xn (x) = sin dn l (cos dn x - ch dn x) + sh dn x - sin dn x. 1 + cos dn l (15) Поскольку λ 0, остается рассмотреть случай, когда λ = 0. В этом случае спектральная задача (8) и (9) имеет только нулевое решение. 313 С а б и т о в К. Б. Итак, собственные значения задачи (8) и (9) определяются по формуле λn = -d4 , где dn - корень уравнения (13), а собственные функции по форn муле (15). Как было отмечено выше, система собственных функций (15) является ортогональной на промежутке [0, l]. Тем не менее проверим это свойство и найдем норму ||Xn ||L2 [0,l] = ||Xn (x)||. Для этого формуле (15) с учетом равенства (13) при d = dn придадим более компактный вид: Xn (x) = 2 cos(dn l/2) 2 ch(dn l/2) sh dn (x - l/2) - sin dn (x - l/2) = 1 + ch dn l 1 + cos(dn l/2) sh dn (x - l/2) sin dn (x - l/2) = - . (16) ch(dn l/2) cos(dn l/2) На основании (16) рассмотрим интеграл l Jnm = l [an sh dn (x - l/2) - bn sin dn (x - l/2)] × Xn (x)Xm (x) dx = 0 0 × am sh dn (x - l/2) - bn sin dm (x - l/2) dx, (17) где an = 2 ch(dn l/2) , 1 + ch dn l bn = 2 cos(dn l/2) . 1 + cos(dn l/2) Предварительно вычислим следующие интегралы: l l/2 sh dn (x - l/2) sh dm (x - l/2) dx = 2 i1 = 0 sh dn t sh dm t dt = 0 l/2 [ch(dn + dm )t - ch(dn - dm )t] dt = = 0 = sh(dn + dm )l/2 sh(dn - dm )l/2 - , (18) dn + dm dn - dm l l/2 sh dn (x - l/2) sin dm (x - l/2) dx = 2 i2 = 0 sh dn t sin dm t dt = 0 = 2 dm l dn l dm l dn l dn sin ch - dm cos sh , (19) d2 + d2 2 2 2 2 n m l l/2 sin dn (x - l/2) sh dm (x - l/2) dx = 2 i3 = 0 = 314 sh dn t sin dm t dt = 0 d2 m 2 dn l dm l dn l dm l dm sin ch - dn cos sh , (20) 2 + dn 2 2 2 2 Колебания балки с заделанными концами l/2 l sin dn (x - l/2) sin dm (x - l/2) dx = 2 i4 = sin dn t sin dm t dt = 0 0 l/2 [cos(dn - dm )t - cos(dn + dm )t] dt = = 0 = sin(dn - dm )l/2 sin(dn + dm )l/2 - . (21) dn - dm dn + dm Теперь, с учетом значений интегралов (18)-(21), найдем (17): Jnm = an am i1 - an bm i2 - bn am i3 + bn bm i4 = 1 = an am sh(dn + dm )l/2 - bn bm sin(dn + dm )l/2 - dn + dm 1 an am sh(dn - dm )l/2 - bn bm sin(dn - dm )l/2 - - dn - dm 2dn dm l dn l dn l dm l - 2 an bm sin ch - bn am cos sh + dn + d2 2 2 2 2 m dn l dm l 2dm dm l dn l + 2 an bm cos sh - bn am sin ch = 2 dn + dm 2 2 2 2 M1 M2 2dn M3 2dm M4 = - - 2 + 2 . (22) 2 dn + dm dn - dm dn + dm dn + d2 m Остается вычислить Mi : M1 = 4 ch(dn l/2) ch(dm l/2) sh(dn + dm )l/2- (1 + ch dn l)(1 + ch dm l) 4 cos(dn l/2) cos(dm l/2) - sin(dn + dm )l/2 = M11 - M12 = 0, (23) (1 + cos dn l)(1 + cos dm l) так как 4 ch(dn l/2) ch(dm l/2) dn l dm l dm l dn l sh ch + sh ch = (1 + ch dn l)(1 + ch dm l) 2 2 2 2 1 = sh dn l(ch dm l + 1) + sh dm l(ch dn l + 1) = (1 + ch dn l)(1 + ch dm l) sh dn l sh dm l sin dn l sin dn l = + = + , 1 + ch dn l 1 + ch dm l 1 + cos dn l 1 + cos dn l M11 = M12 = 4 cos(dn l/2) cos(dm l/2) dn l dm l dm l dn l sin cos + sin cos = (1 + cos dn l)(1 + cos dm l) 2 2 2 2 sin dn l(cos dm l + 1) + sin dm l(cos dn l + 1) = M11 ; = (1 + ch dn l)(1 + ch dm l) 315 С а б и т о в К. Б. M2 = 4 ch(dn l/2) ch(dm l/2) sh(dn - dm )l/2- (1 + ch dn l)(1 + ch dm l) 4 cos(dn l/2) cos(dm l/2) - sin(dn - dm )l/2 = 0, (24) (1 + cos dn l)(1 + cos dm l) что следует из равенства (23); M3 = M4 = 4 ch(dn l/2) cos(dm l/2) sin(dm l/2) ch(dn l/2) - (1 + ch dn l)(1 + cos dm l) 4 cos(dn l/2) ch(dm l/2) cos(dn l/2) sh(dm l/2) - = (1 + cos dn l)(1 + ch dm l) sin dm l)(ch dn l + 1) sh dm l(cos dn l + 1) = - = (1 + cos dm l)(1 + ch dn l) (1 + cos dn l)(1 + ch dm l) sin dm l sh dm l sin dm l sin dm l = - = - = 0, (25) 1 + cos dm l 1 + ch dm l 1 + cos dm l 1 + cos dm l 4 ch(dn l/2) cos(dm l/2) cos(dm l/2) sh(dn l/2) - (1 + ch dn l)(1 + cos dm l) 4 cos(dn l/2) ch(dm l/2) sin(dn l/2) ch(dm l/2) - = (1 + cos dn l)(1 + ch dm l) sin dn l(ch dm l + 1) sin dn l(ch dm l + 1) = - = (1 + ch dn l)(1 + cos dm l) (1 + cos dn l)(1 + ch dm l) sh dn l sin dn l = - = 0. (26) 1 + ch dn l 1 + cos dn l Тогда на основании (23)-(26) из равенства (22), получим Jnm = 0 при n = m. Далее, переходя к пределу в равенстве (22) при dm → dn , найдем l 2 Xn (x) dx = Jnn = ||Xn (x)||2 = 0 l 1 a2 sh dn l - b2 sin dn l + (b2 - a2 ) = n n n 2dn 2 n l 2 2 1 2 sh dn l 2 sin dn l = - + - = 2 1 + cos dn l 1 + ch dn l 2dn 1 + ch dn l 1 + cos dn l dn l l(1 - cos dn l) = = l tg2 . 1 + cos dn l 2 = Отсюда ||Xn (x)|| = 316 √ l tg dn l . 2 (27) Колебания балки с заделанными концами Как известно из теории дифференциальных операторов [7, с. 91], система собственных функций Xn (x) самосопряженного оператора L является полной в пространстве L2 [0, l]. Тогда полной является ортонормированная система Yn (x) = Xn (x)/||Xn (x)||, (28) где Xn (x) и ||Xn (x)|| определены формулами (16) и (27). Теперь докажем единственность решения задачи (4)-(7) при условии ее существования. Введем функции l un (t) = u(x, t)Yn (x) dx, n ∈ N. (29) 0 На основании (29) рассмотрим вспомогательные функции l-ε un,ε (t) = u(x, t)Yn (x) dx, ε где ε - достаточно малое положительное число. Дифференцируя данное равенство два раза по t ∈ (0, T ) и используя уравнение (1), получим l-ε un,ε (t) = -α2 uxxxx (x, t)Yn (x) dx. ε Интегрируя здесь по частям четыре раза и переходя к пределу при ε → 0 с учетом граничных условий (6) и (9), получим un (t) + α2 d4 un (t) = 0. n (30) Общее решение уравнения (30) определяются по формуле un (t) = an cos αd2 t + bn sin αd2 t, n n (31) при этом произвольные постоянные an и bn находятся из условий (29) и (7): l un (0) = l u(x, 0)Yn (x) dx = 0 ϕ(x)Yn (x) dx = ϕn , ψ(x)Yn (x) dx = ψn . l un (0) = (32) (33) 0 l ut (x, 0)Yn (x) dx = 0 0 Тогда из (31)-(33) найдем an = ϕn , bn = ψn /(α2 d2 ). n Подставляя эти значения an и bn в формулу (31), получим un (t) = ϕn cos αd2 t + n ψn sin αd2 t. n αd2 n (34) 317 С а б и т о в К. Б. Пусть теперь ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0. Тогда в силу равенств (32) и (33) все ϕn = = ψn ≡ 0, поэтому из формул (34) и (29) при любом t ∈ [0, T ] и n ∈ N следует равенство l u(x, t)Yn (x) dx = 0. 0 Отсюда в силу полноты системы (28) в пространстве L2 [0, l] следует, что u(x, t) ≡ 0 почти всюду на [0, l] при любом t ∈ [0, T ]. В силу (4) функция u(x, t) непрерывна на D, поэтому функция u(x, t) ≡ 0 в D. Таким образом, нами доказана следующая теорема. Теорема 1. Если существует решение задачи (4)-(7), удовлетворяющее условиям lim uxxx Yn (x) = lim uxxx Yn (x) = 0, x→0+0 x→l-0 то оно единственно. Отметим, что последние условия возникают при получении уравнения (30) и они имеют место при условии, когда производная uxxx при x → 0 + 0 и x → l - 0 ограничена или даже может иметь особенности порядка меньше единицы. Решение задачи (4)-(7) строится в виде суммы ряда ∞ u(x, t) = un (t)Yn (x), (35) n=1 где un (t) и Yn (x) определяются соответственно по формулам (34) и (28). Лемма 1. При любом t ∈ [0, T ] справедливы оценки |un (t)| |un (t)| 1 |ψn | , n2 n4 |ϕn | + n2 |ψn | , C1 |ϕn | + C2 (36) (37) где Ci - здесь и далее положительные постоянные. Справедливость оценок (36) и (37) непосредственно следует из формул (34) и (14). Формально из (35) почленным дифференцированием составим ряды ∞ utt = un (t)Yn (x), (38) n=1 ∞ ∞ (4) un (t)Xn (x) uxxxx = n=1 d4 un (t)Yn (x). n = (39) n=1 Ряды (35), (38) и (39) при любых (x, t) ∈ D на основании леммы 1 мажорируются рядом ∞ n4 |ϕn | + n2 |ψn | . C3 n=1 318 (40) Колебания балки с заделанными концами Лемма 2. Если ϕ(x) ∈ C 6 [0, l], ϕ(0) = ϕ(l) = ϕ (0) = ϕ (l) = ϕIV (0) = = ϕIV (l) = 0, ψ(x) ∈ C 4 [0, l], ψ(0) = ψ(l) = ψ (0) = ψ (l) = 0, то справедливы соотношения 1 1 (4) ϕn = 6 ϕ(6) , ψn = 4 ψn , (41) n dn dn где ϕ(6) = n 1 ||Xn || l ϕ(6) (x) [an sh dn (x - l/2) + bn sin dn (x - l/2)] dx, 0 l (4) ψn = ψ (4) (x)Yn (x) dx. 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим интеграл (32), в силу уравнения (8) при λ = -d4 будем иметь n ϕn = 1 d4 n l IV ϕ(x)Yn (x) dx. 0 В этом интеграле, интегрируя по частям четыре раза и учитывая условия леммы и (9), найдем ϕn = 1 d4 n l ϕIV (x)Yn (x) dx. (42) 0 В (42), интегрируя по частям два раза, получим первое представление из (41). А второе следует из равенства (42). Если функции ϕ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям леммы 2, то в силу представлений (41) ряд (40) оценивается сходящимся числовым рядом ∞ C4 n=1 1 (4) |ϕ(6) | + |ψn | . n n2 Тогда ряды (35)-(37) сходятся равномерно на D, следовательно, сумма ряда (35) удовлетворяет условиям (4), (5) и (6), так как сумма ряда (35) принад4,2 лежит пространству Cx,t (D). Таким образом, нами доказано следующее утверждение. Теорема 2. Если функции ϕ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям леммы 2, то существует единственное решение задачи (4)-(7), определяемое рядом (35), коэффициенты которого находятся по формуле (34). Теперь установим устойчивость решения поставленной задачи от начальных данных ϕ(x) и ψ(x). Теорема 3. Для решения (35) задачи (4)-(7) имеет место оценка ||u(x, t)||L2 [0,l] C5 ||ϕ(x)||L2 [0,l] + ||ψ(x)||L2 [0,l] . (43) 319 С а б и т о в К. Б. Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку система Yn (x) ортонормирована, из формулы (35) в силу леммы 1 имеем ∞ ∞ u2 (t) n ||u(x, t)||2 2 [0,l] = L n=1 2 2C1 2 ϕ2 + ψn = n n=1 2 = C5 ||ϕ(x)||2 2 [0,l] + ||ψ(x)||2 2 [0,l] . (44) L L Из неравенства (44) следует справедливость оценки (43). Таким образом, нами установлена корректность постановки задачи (4)- (7). При этом отметим, что при доказательстве теоремы 2 существования решения задачи на начальные условия (6) наложены достаточно сильные условия гладкости. Если ввести понятие обобщенного решения этой задачи, то эти условия можно значительно ослабить. Рассмотрим множество функций f (x, t), заданных в области Ω = {(x, t) | a x b, α t β} и интегрируемых с квадратом на сегменте [a, b] при любом t ∈ [α, β]. На этом множестве введем норму 1/2 b ||f ||L2 [a,b] = ||f ||L2 = f 2 (x, t) dx a по переменной x при любом t из [α, β], которая обладает всеми свойствами нормы пространства L2 . Предварительно введем следующие понятия и установим их свойства. Определение 1. Функция f (x, t) называется непрерывной в среднем по переменной t в точке t0 ∈ [α, β], если для любого ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0, такое, что как только |∆t| < δ, следует неравенство ||f (x, t0 + ∆t) - f (x, t0 )||L2 < ε. Функцию, непрерывную в среднем в каждой точке t0 сегмента [α, β], называют непрерывной в среднем на этом промежутке. Определение 2. Последовательность fn (x, t) называется равномерно по t сходящейся в среднем к функции f (x, t), если для любого ε > 0 существует номер n0 = n0 (ε), такой, что для любых n > n0 и t ∈ [α, β] выполняется неравенство fn (x, t) - f (x, t) L2 < ε. Лемма 3. Если существует предел последовательности fn (x, t), равномерно по t сходящейся в среднем, то этот предел единственен с точностью эквивалентности функций в L2 . Д о к а з а т е л ь с т в о проводится на основании определения 2. Определение 3. Последовательность fn (x, t) назовем равномерно по t сходящейся в себе, если для любого ε > 0 существует номер n0 = n0 (ε), такой, что при всех n, m > n0 и t ∈ [α, β] выполняется неравенство fn (x, t) - fm (x, t) 320 L2 < ε. Колебания балки с заделанными концами Лемма 4. Если последовательность fn (x, t) равномерно по t сходится в среднем к функции f (x, t), то она сходится в себе равномерно по t. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть fn (x, t) равномерно по t сходится в среднем к функции f (x, t). Тогда в силу определения 2 для любого ε > 0 существует номер n0 , такой, что при всех n, m > n0 и t ∈ [α, β] имеем fn - fm L2 fn - f L2 + f - fm L2 < 2ε, что и доказывает наше утверждение. Лемма 5. Если последовательность fn (x, t) равномерно по t сходится в себе, то она равномерно по t сходится в среднем к функции f (x, t), интегрируемой с квадратом на [a, b] при любом t ∈ [α, β]. Это утверждение при любом фиксированном t представляет известную из теории функций теорему Э. Фишера [8, с. 159]. Поэтому здесь не остановимся на его доказательстве. Лемма 6. Предел f (x, t)равномерно по t сходящейся в среднем последовательности функций fn (x, t), каждая из которых непрерывна в среднем, есть также непрерывная в среднем функция. Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим произвольное ε > 0. Выберем номер n0 столь большим, чтобы при всех n > n0 и t ∈ [α, β] имело место неравенство ε < . (45) 3 По условию, функции fn (x, t) непрерывны в среднем на [α, β], тогда на основании определения 1 существует δ > 0 такое, что при |∆t| < δ fn (x, t) - f (x, t) L2 fn (x, t + ∆t) - fn (x, t) L2 ε < . 3 (46) Тогда в силу неравенств (45) и (46) получим f (x, t + ∆t) - f (x, t) L2 = = f (x, t + ∆t) - fn (x, t + ∆t) + fn (x, t + ∆t) - fn (x, t)+ +fn (x, t) - f (x, t) L2 f (x, t + ∆t) - fn (x, t + ∆t) L2 + + fn (x, t + ∆t) - fn (x, t) L2 + fn (x, t) - f (x, t) L2 < ε, а это означает, что предельная функция f (x, t) непрерывна в среднем на [α, β]. Лемма 7. Если последовательность fn (x, t) функций, каждая из которых непрерывна в среднем, равномерно по t сходится в себе, то она равномерно по t сходится в среднем к функции f (x, t), интегрируемой с квадратом на [a, b] непрерывной в среднем на [α, β]. Справедливость этого утверждения непосредственно следует из лемм 5 и 6. Теперь на основании оценки (43) установим существование и единственность обобщенного решения задачи (4)-(7) по среднеквадратичной норме. 4,2 Определение 4. Решение задачи (4)-(7) из класса Cx,t (D) назовем классическим, или регулярным, решением этой задачи. Определение 5. Функцию u(x, t) будем называть обобщенным решением задачи (4)-(7), если существует последовательность uk (x, t) регулярных решений задачи (4)-(7) с начальными данными uk (x, t) = ϕk (x), uk t (x, 0) = ψk (x), 0 x l, равномерно по t сходящаяся в среднем на промежутке [0, l] к функции u(x, t), при этом функции ϕk (x), ψk (x) удовлетворяют условиям теоремы 2 и они сходятся в среднем на [0, l] соответственно к функциям ϕ(x) и ψ(x). Теорема 4. Если ϕ(x) ∈ L2 [0, l], ψ(x) ∈ L2 [0, l], то существует единственное и устойчивое обобщенное решение задачи (4)-(7), которое определяется суммой ряда (35) и является непрерывным в среднем. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функции ϕ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям теоремы 4. Тогда существуют последовательности функций ϕk (x), ψk (x), удовлетворяющие условиям теоремы 2, сходящиеся в среднем на [0, l] соответственно к функциям ϕ(x) и ψ(x). По функциям ϕk (x) и ψk (x) на основании теоремы 2 построим последовательность uk (x, t) регулярных решений задачи (4)-(7). В силу линейности изучаемой задачи разность uk (x, t) - um (x, t) является решением задачи (4)-(7) с начальными функциями ϕk (x) - ϕm (x) и ψk (x) - ψm (x). Тогда в силу оценки (43) при любых k, m ∈ N имеем uk - um L2 [0,l] C6 ϕk - ϕm L2 [0,l] + ψk - ψm L2 [0,l] . (47) По условию последовательности ϕk (x) и ψk (x) сходятся в среднем на [0, l] соответственно к функциям ϕ(x) и ψ(x). Следовательно, являются последовательностями в себе. Поэтому из оценки (47) следует, что uk (x, t) является последовательностью в себе. Тогда в силу леммы 7 она равномерно по t сходится в среднем к единственной функции u(x, t), определенной рядом (35). Из доказательства теоремы 3 следует, что для обобщенного решения задачи (4)-(7) справедлива оценка (43), что и означает устойчивость такого решения.

About the authors

Kamil B Sabitov

Samara State University of Architecture and Civil Engineerin

Email: sabitov_fmf@mail.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; sabitovfmf@mail.ru), Professor, Dept. of Higher Mathematics 194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russian Federation

References

Supplementary files