Fundamental solution of the model equation of anomalous diffusion of fractional order

Full Text

Введение. Пусть Day - оператор интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля дробного порядка γ с началом в точке a и с концом в точке y, который определяется следующим образом [1, c. 28] [2, с. 14]: g(t) sign(y - a) y dt, γ < 0; γ+1 Γ(- γ) a |y - t| γ Day g(y) = g(y), γ = 0; dn γ-n γ Day g(y) = signn (y - a) n Day g(y), n - 1 < γ n, n ∈ N. dy γ Day g(y) = Здесь Γ(s) - гамма-функция Эйлера. В области Ω = {(x, y) : r1 < x < r2 , 0 < y < T } рассмотрим уравнение L u(x, y) ≡ |x|-b ∂ ∂ α |x|b u(x, y) - D0y u(x, y) = f (x, y), ∂x ∂x (1) 722 Фундаментальное решение модельного уравнения аномальной диффузии. . . где |b| < 1, 0 < α 1. ¯ Пусть Ω+ = Ω ∩ {x > 0}, Ω- = Ω ∩ {x < 0}, Ω - замыкание области Ω. Определение. Регулярным решением уравнения (1) в области Ω назовем функцию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (1) в области Ω+ ∪ Ω- , и α ¯ такую, что y 1-α u ∈ C(Ω), |x|b ux ∈ C(Ω), uxx , D0y u ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ). Уравнение (1) при α = 1, f (x, y) ≡ 0 обращается в уравнение uxx (x, y) + b ux (x, y) - uy (x, y) = 0, x (2) которое при x > 0 было объектом исследования работы [3]. Уравнение (2) с помощью замены |ξ| = [|x|/(1 - b)]1-b сводится к уравнению |ξ|q uξξ (ξ, y) - uy (ξ, y) = 0, q = 2b/(b - 1), и оно при q < 1 было исследовано в работе [4], а при q = 1 - в работах [5, 6]. В случае, когда b = 0, 0 < α < 2, уравнение (1) совпадает с диффузионноволновым уравнением, исследованным в работах многих авторов. Например, в работах [7, 8] в терминах функции Райта построено фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения с оператором Римана-Лиувилля, в работе [9] построено фундаментальное решение многомерного диффузионноволнового уравнения с оператором Джрбашяна-Нерсесяна. В работах [10, 11] методом интегральных преобразований исследована задача Коши для более общих диффузионных и волновых уравнений дробного порядка с производной Римана-Лиувилля. Решения исследуемых задач выписаны в терминах H-функции Фокса и функции типа Райта. В работах [12, 13] исследовалась задача Коши для уравнения диффузии дробного порядка с регуляризованной дробной производной. В работе А. В. Псху [2] методом функции Грина построены решения первой, второй и смешанной краевых задач в прямоугольной области и решена задача Коши для диффузионно-волнового уравнения. Более полную библиографию работ, посвященных таким уравнениям, можно найти также в [2]. Уравнение вида (1), а именно уравнение 2/dw D0t P (r, t) = 1 rds -1 ∂ ds -1 ∂P (r, t) r , ∂r ∂r где dw и ds характеризуют фрактальную размерность среды, P (r, t) - плотность пространственного распределения частиц в момент времени t, было предложено в работе [14] для описания процессов переноса в средах, имеющих фрактальную размерность. Интерес к изучению уравнения (1) вызван также его приложениями при решении задач физики, астрономии и других прикладных наук [15-19]. 1. Некоторые специальные функции. Приведем некоторые свойства двух специальных функций, которые понадобятся для дальнейшего изложения. Определение. Функция Iν (z), определяемая рядом ∞ Iν (z) = n=0 1 z n!Γ(ν + n + 1) 2 ν+2n , (3) 723 Х у ш т о в а Ф. Г. называется модифицированной цилиндрической или бесселевой функцией первого рода порядка ν [20, 21]. При | arg z| π/2 - ε, где ε - произвольное малое положительное число, и |z| → ∞ справедлива асимптотическая формула Iν (z) = √ ez 1 + O z -1 2πz . (4) Имеют место следующие формулы дифференцирования: d ν [z Iν (z)] = z ν Iν-1 (z), dz d -ν z Iν (z) = z -ν Iν+1 (z), dz (5) (6) откуда вытекают рекуррентные формулы zIν (z) + νIν (z) = zIν-1 (z), (7) zIν (z) - νIν (z) = zIν+1 (z). (8) Модифицированная цилиндрическая функция Iν (z) порядков ν = 1/2 и ν = -1/2 выражается через элементарные функции ez - e-z , I1/2 (z) = √ 2πz ez + e-z I-1/2 (z) = √ . 2πz (9) Определение. Функция φ (ρ, δ; z), определяемая рядом ∞ φ (ρ, δ; z) = n=0 zn , n!Γ(ρn + δ) ρ > -1, называется функцией Райта [22, 23]. При ρ = -1/2 и δ = 1/2 функция φ (ρ, δ; z) выражается через экспоненциальную функцию по формуле √ 1 1 2 πφ - , ; -z = e-z /4 . 2 2 (10) 2. Интегральное преобразование с функцией Райта в ядре. В работе [2, с. 72] определено интегральное преобразование для функции v(y), заданной на положительной полуоси ∞ Aα,µ v(y) ≡ (Aα,µ v)(y) = v(t) y µ-1 φ -α, µ; -ty -α dt, 0 < α < 1. (11) 0 В случае, когда µ = 0, введено обозначение Aα,0 v(y) = Aα v(y). Если преобразование Aα,µ применяется к функции, зависящей от нескольких переменных, то в случае необходимости с помощью нижнего индекса обозначается переменная, по которой проводится преобразование. Например, Aα,µ v(x, y). y 724 Фундаментальное решение модельного уравнения аномальной диффузии. . . Интеграл (11) будет сходиться, если функция v(y) интегрируема на любом конечном отрезке положительной полуоси и выполняются асимптотические неравенства |v(y)| < cy λ , λ > -1, µ = 0; λ > -2, µ = 0, y → 0, |v(y)| < c exp k y λ , λ < 1/(1 - α), y → ∞, где c и k - положительные постоянные. Приведем некоторые свойства преобразования Aα, µ [2, c. 78-83]. 1◦ . Пусть v(y) непрерывна в точке y = 0 и дифференцируема при y > 0. Тогда y µ-1 α v(0). D0y Aα,µ v(y) = Aα,µ v (y) + Γ(µ) В частности, α D0y Aα v(y) = Aα v (y). 2◦ . Пусть 0 -µ/α µ α и lim D0y y→0 (12) v(y) = v0 < ∞. Тогда α-1 lim D0y Aα,µ v(y) = v0 . (13) y→0 3◦ . Если u(y) v(y) и µ 0, то Aα,µ u(y) Aα,µ v(y). (14) Для степенной функции и функции Райта справедливы следующие формулы [2, c. 74, 84]: Aα, µ y δ-1 = y αδ+µ-1 Γ(δ) , Γ(αδ + µ) δ > 0, µ = 0; δ = 0, µ = 0, Aα, µ y δ-1 φ (ρ, δ; - c y ρ ) = y αδ+µ-1 φ (αρ, αδ + µ; - c y αρ ), δ > ρ. (15) (16) Здесь c - положительная постоянная. 3. Фундаментальное решение. Определение. Функцию w = w(x, y; ξ, η) назовем фундаментальным решением уравнения (1), если 1) для любых фиксированных ξ и η функция w(x, y; ξ, η) как функция переменных x и y, x = 0, y > η, удовлетворяет уравнению |x|-b ∂ ∂ α |x|b w(x, y; ξ, η) - Dηy w(x, y; ξ, η) = 0; ∂x ∂x 2) для любой функции h(x) ∈ C[x1 ; x2 ] выполняется соотношение x2 lim η→y α-1 |ξ|b h(ξ)Dyη w(x, y; ξ, η)dξ = h(x), x1 < x < x 2 . x1 725 Х у ш т о в а Ф. Г. Обозначим через Γ(x, ξ, y) = Aα g(x, ξ, y), y (17) где g(x, ξ, y) = x2 + ξ 2 |x|β |ξ|β exp - 4y 4y Iβ |xξ| |xξ| + I-β 2y 2y , β= 1-b . 2 (18) Справедливы следующие свойства функции Γ(x, ξ, y). 2y имеют место следующие оценки: Свойство 1◦ . Для функции Γ(x, ξ, y) при |xξ| |Γ(x, ξ, y)| const · y αβ-1 , ∂ n+1 Γ(x, ξ, y) const · |x|2β-n-1 |ξ|2β y -αβ-1 , β = 1/2, ∂xn+1 ∂ 2n Γ(x, ξ, y) const · y -α(2n+1)/2+α-1 , β = 1/2, ∂x2n ∂ 2n+1 Γ(x, ξ, y) const · |ξ|y -α(2n+1)/2-1 , β = 1/2, ∂x2n+1 α D0y Γ(x, ξ, y) const · y αβ-α-1 , а при |xξ| > 2y - оценки ∂n Γ(x, ξ, y) ∂xn const · |x|β+(2n-1)/2 |ξ|β-1/2 Aα y -(2n-1)/2-1 exp - y α D0y Γ(x, ξ, y) const · |x|β+3/2 |ξ|β-1/2 Aα y -5/2 exp - y (x - ξ)2 , 4y (x - ξ)2 , 4y где n = 0, 1, 2, . . . Д о к а з а т е л ь с т в о. Оценки при |xξ| 2y следуют из представлений (3), (17), (18), формул дифференцирования (5), (6) для функции Iν (z), неравенства (14), формулы (15) и 0 < e-z < 1 при z > 0. Для вывода оценок при |xξ| > 2y вместо (3) нужно использовать асимптотическую формулу (4). Свойство 2◦ . Функция Γ(x, ξ, y) при x = 0, y > 0 и фиксированном ξ является решением уравнения L Γ(x, ξ, y) = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, обозначим g1 (x, ξ, y) = g2 (x, ξ, y) = 726 xβ ξ β x2 + ξ 2 xξ Iβ , exp - 4y 4y 2y xβ ξ β x2 + ξ 2 xξ exp - I-β . 4y 4y 2y (19) Фундаментальное решение модельного уравнения аномальной диффузии. . . Считая для упрощения доказательства, что x > 0, ξ > 0, продифференцируем равенство (17) по x, используя формулы (5) и (6) при ν = β и ν = -β соответственно. В результате получим ∂ ∂ Γ(x, ξ, y) = Aα g(x, ξ, y), y ∂x ∂x где ∂ ∂ g(x, ξ, y) = g1 (x, ξ, y) + g2 (x, ξ, y) , ∂x ∂x ∂ g1 (x, ξ, y) = ∂x xξ xξ xβ ξ β+1 xβ+1 ξ β Iβ-1 - I 2 2 β 2y 2(2y) 2y 2(2y) ∂ g2 (x, ξ, y) = ∂x xξ xξ xβ ξ β+1 xβ+1 ξ β I1-β - I 2 2 -β 2y 2(2y) 2y 2(2y) exp - x2 + ξ 2 , 4y exp - (20) x2 + ξ 2 . (21) 4y Умножим (20) на x1-2β и продифференцируем полученное равенство по x, используя формулу (6) при ν = β - 1. Воспользуемся затем формулой (7) при ν = β и умножим полученное равенство на x2β-1 . Аналогично поступим и с равенством (21). Умножим его на x1-2β и продифференцируем полученное равенство по x, используя формулу (5) при ν = 1 - β. Воспользуемся затем формулой (8) при ν = -β и умножим полученное равенство на x2β-1 . В итоге, учитывая обозначение b = 1 - 2β, получим x-b ∂ ∂ ∂ ∂ xb Γ(x, ξ, y) = Aα x-b xb g(x, ξ, y) , y ∂x ∂x ∂x ∂x (22) где x-b x-b x-b ∂ ∂ ∂ ∂ xb g(x, ξ, y) = x-b xb g1 (x, ξ, y) + g2 (x, ξ, y) ∂x ∂x ∂x ∂x , ∂ ∂ xβ+2 ξ β xβ ξ β+2 xξ xξ xb g1 (x, ξ, y) = + - Iβ Iβ ∂x ∂x 2(2y)3 2y 2(2y)3 2y xβ ξ β xξ xβ+1 ξ β+1 xξ x2 + ξ 2 - Iβ - Iβ exp - , (2y)2 2y (2y)3 2y 4y ∂ xβ+2 ξ β xξ xβ ξ β+2 xξ ∂ xb g2 (x, ξ, y) = I-β + I - 3 3 -β 2y ∂x ∂x 2(2y) 2y 2(2y) xβ ξ β xξ xβ+1 ξ β+1 xξ x2 + ξ 2 - I-β - I-β exp - . (2y)2 2y (2y)3 2y 4y Далее из формулы (12) следует α D0y Γ(x, ξ, y) = Aα y ∂ g(x, ξ, y), ∂y (23) 727 Х у ш т о в а Ф. Г. где ∂ ∂ g1 (x, ξ, y) + g2 (x, ξ, y) , g(x, ξ, y) = ∂y ∂y ∂ g1 (x, ξ, y) = ∂y xβ+2 ξ β xβ ξ β+2 xξ xξ Iβ + I - 3 3 β 2y 2(2y) 2y 2(2y) - ∂ g2 (x, ξ, y) = ∂y xξ xβ ξ β xξ xβ+1 ξ β+1 Iβ Iβ - (2y)2 2y (2y)3 2y xβ+2 ξ β xξ xβ ξ β+2 xξ I-β + I - 3 3 -β 2y 2(2y) 2y 2(2y) xβ+1 ξ β+1 xξ xξ xβ ξ β - I-β I-β - (2y)2 2y (2y)3 2y exp - x2 + ξ 2 , 4y exp - x2 + ξ 2 . 4y Подставляя (22) и (23) в уравнение (19), видим, что оно обращается в тождество. Обозначим через Ωy = {(ξ, η) : r1 < ξ < r2 , 0 < η < y}. Свойство 3◦ . В области Ωy функция Γ(x, ξ, y - η) = Aα g(x, ξ, t) t t=y-η при фиксированных x и y как функция переменных ξ и η, ξ = 0, 0 < η < y, является решением сопряженного уравнения L∗ Γ(x, ξ, y - η) ≡ |ξ|-b ∂ ∂ α |ξ|b Γ(x, ξ, y - η) - Dyη Γ(x, ξ, y - η) = 0. ∂ξ ∂ξ Свойство 3◦ является следствием свойства 2◦ . Свойство 4◦ . Для любой функции h(x) ∈ C[ x1 ; x2 ] выполняется соотношение x2 lim η→y α-1 |ξ|b h(ξ)Dyη Γ(x, ξ, y - η)dξ = h(x), x1 < x < x 2 . (24) x1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначив через t = y - η, перепишем левую часть равенства (24) в виде x2 lim η→y α-1 |ξ|b h(ξ)Dyη Γ(x, ξ, y - η)dξ = lim t→0 x 1 x1 Тогда в силу формулы (13) можно записать x2 lim t→0 x 1 728 x2 α-1 |ξ|b h(ξ) D0t Γ(x, ξ, t)dξ = α-1 |ξ|b h(ξ)D0t Γ(x, ξ, t)dξ. Фундаментальное решение модельного уравнения аномальной диффузии. . . x2 = lim t→0 |ξ|b g(x, ξ, t)[h(ξ) - h(x)]dξ + h(x) x2 |ξ|b g(x, ξ, t)dξ = x1 x1 = lim [J1 (x, t) + J2 (x, t)] . t→0 Разбивая промежуток интегрирования на части, представим J1 (x, t) в виде суммы трех слагаемых: x-ε |ξ|b g(x, ξ, t)[h(ξ) - h(x)]dξ+ J1 (x, t) = x1 x+ε x2 |ξ|b g(x, ξ, t)[h(ξ) - h(x)]dξ + + x-ε |ξ|b g(x, ξ, t)[h(ξ) - h(x)]dξ, (25) x+ε где ε - произвольное малое положительное число. Из (3), (4) и (18) следуют оценки const ·tβ-1 , |g(x, ξ, t)| |xξ| 2t, (26) (x - ξ)2 , |xξ| > 2t. (27) 4t В силу оценки (27) первое и третье слагаемые в (25) стремятся к нулю при t → 0. Обозначим через ω(ε) = sup |h(x) - h(ξ)|, ξ ∈ [x - ε, x + ε]. Функция ω(ε) → 0 при ε → 0, так как функция h(x) ∈ C[x - ε, x + ε]. В силу произвольности выбора ε и оценок (26) и (27) легко заметить, что второе слагаемое в (25) тоже стремится к нулю. Преобразуем интеграл J2 (x, t). Для этого, учитывая (4) и (18), запишем |g(x, ξ, t)| const ·xβ-1/2 ξ β-1/2 t-1/2 exp - lim J2 (x, t) = t→0 = |x|β-1/2 h(x) √ lim t→0 2 π x x1 (x - ξ)2 |ξ|1/2-β √ exp - dξ+ 4t t x2 + x (x - ξ)2 |ξ|1/2-β √ exp - dξ . 4t t В последних двух интегралах сделаем замену переменной интегрирования по √ √ формулам ξ = x - 2 t s и ξ = x + 2 t s соответственно. В результате будем иметь lim J2 (x, t) = t→0 |x|β-1/2 h(x) √ = lim t→0 π x-x1 √ 2 t 0 x2 -x √ 2 t 2 e-s ds √ + |x - 2 ts|β-1/2 0 2 e-s ds √ . |x + 2 ts|β-1/2 Переходя к пределу в последнем равенстве и учитывая известную формулу +∞ 2 2 e-s ds = √ π, 0 729 Х у ш т о в а Ф. Г. получим: x2 lim η→y α-1 |ξ|b h(ξ) Dyη Γ(x, ξ, y - η) dξ = lim J2 (x, t) = h(x). t→0 x1 Из свойств 3◦ и 4◦ следует, что функция Γ(x, ξ, y), определяемая равенством (17), является фундаментальным решением уравнения (1). При β = 1/2 (b = 0) из (9), (17) и (18) следует Γ(x, ξ, y - η) = Aα g(x, ξ, t) t , t=y-η 1 (x - ξ)2 g(x, ξ, t) = √ exp - . 4t 2 πt Учитывая (10), последнее равенство можно записать в виде 1 1 |x - ξ| 1 . g(x, ξ, t) = √ φ - , ; - √ 2 2 2 t t Тогда, используя формулу (16) при µ = 0, δ = 1/2, ρ = -1/2 и c = |x - ξ|, получим функцию Γ(x, ξ, y - η) = (y - η)σ-1 |x - ξ| φ -σ, σ; - , 2 (y - η)σ σ= α , 2 которая совпадает с фундаментальным решением уравнения диффузии дробного порядка, приведенным в [2, с. 127]. 4. Общее представление решения. Имеет место следующая теорема об общем представлении решения уравнения (1). ¯ Теорема. Пусть y 1-α f (x, y) ∈ C(Ω), ϕ(x) ∈ C[r1 ; r2 ], а функция v = = v(x, y; ξ, η) удовлетворяет следующим условиям: 1) в области Ωy \ {ξ = 0} функция v является решением уравнения L∗ v(x, y; ξ, η) = q(x, y; ξ, η), где η 1-α q ∈ L(Ωy ); 2) для любой функции h(x) ∈ C[x1 ; x2 ], r1 соотношение x2 lim η→y (28) x1 < x 2 α-1 |ξ|b h(ξ) Dyη v(x, y; ξ, η)dξ = h(x), r2 , выполняется x1 < x < x2 ; (29) x1 α ¯ ¯ 3) функция v непрерывна в Ω × Ωy \ {y = η} вместе с |ξ|b vξ , Dyη v и y 1-α v, и для любых точек (x, y) ∈ Ω и (ξ, η) ∈ Ωy выполняется неравенство |v(x, y; ξ, η)| const · (y - η)αβ-1 . Если функция u(x, y) является регулярным решением уравнения (1), имеет непрерывную и интегрируемую производную с весом |x|b ux (x, y) вплоть до участков границы x = r1 и x = r2 и удовлетворяет условию Γ(α) lim y 1-α u(x, y) = ϕ(x), r1 < x < r2 , y→0 730 Фундаментальное решение модельного уравнения аномальной диффузии. . . то для любой точки (x, y) ∈ Ω имеет место соотношение r2 u(x, y) = |ξ|b v(x, y; ξ,0) ϕ(ξ)dξ+ r1 y |r2 |b v(x, y; r2 , η)uξ (r2 , η) - |r1 |b v(x, y; r1 , η)uξ (r1 , η)- + 0 - |r2 |b vξ (x, y; r2 , η)u(r2 , η) + |r1 |b vξ (x, y; r1 , η)u(r1 , η) dη+ r2 y |ξ|b u(ξ, η)q(x, y; ξ, η) - v(x, y; ξ, η)f (ξ, η) dη dξ. (30) + r1 0 Предварительно, воспользовавшись оператором δ δ Sst g (η) ≡ Sst g(η) = sign(t - s) π t s g(ξ) ξ - s δ dξ, ξ-η s-η приведем лемму [2, c. 118], которая понадобится при доказательстве теоремы. Лемма. Пусть 0 η < yε < y, yε = y - ε. Если const · (y - η)αβ-1 , g(η) то для любого θ ∈ [0; 1] справедлива оценка δ |Syε y g(η)| const · εαβ+δ-θ (yε - η)θ-δ-1 . Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы. Рассмотрим выражение r2 yε |ξ|b v(x, y; ξ, η) Lu(ξ, η) - u(ξ, η) L∗ v(x, y; ξ, η) dη dξ, (31) 0 r1 где yε = y - ε, ε > 0. В работе [2, c. 121] доказано равенство yε 0 α α α-1 v D0η u - u Dyη v dη = u(ξ, yε ) Dyyε v(x, y; ξ, yε )- - ϕ(ξ)v(x, y; ξ,0) + R (x, y, yε , ξ), (32) где yε R(x, y, yε , ξ) = sin π(α - 1) · 0 1-α α 1-α Syε y v · D0η u dη - sin πα · ϕ(ξ)Syε y v η=0 . Учитывая (32) и соотношение v ∂u ∂ ∂v ∂ |ξ|b -u |ξ|b ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ = ∂ ∂u ∂v |ξ|b v - |ξ|b u , ∂ξ ∂ξ ∂ξ 731 Х у ш т о в а Ф. Г. преобразуем (31): r2 yε |ξ|b v(x, y; ξ, η)Lu(ξ, η) - u(ξ, η)L∗ v(x, y; ξ, η) dη dξ = 0 r1 yε = ξ=r2 |ξ|b v(x, y; ξ, η)uξ (ξ, η) - vξ (x, y; ξ, η)u(ξ, η) 0 r2 + r1 dη+ ξ=r1 α-1 |ξ|b v(x, y; ξ,0)ϕ(ξ) - u(ξ, yε )Dyyε v(x, y; ξ, yε ) - R(x, y, yε , ξ) dξ. (33) Из выше приведенной леммы следует, что r2 lim ε→0 r 1 |ξ|b R (x, y, yε , ξ)dξ = 0. Поэтому из (1), (28), (29) и (33), устремляя ε к нулю, получим соотношение (30). Заключение. В работе в терминах интегрального преобразования с функцией Райта в ядре построено и исследованы свойства фундаментального решения модельного уравнения аномальной диффузии дробного порядка, которое может быть использовано при моделировании задач переноса в средах с фрактальной структурой. Показано, что когда исследуемое уравнение переходит в уравнение диффузии дробного порядка, построенное фундаментальное решение переходит в фундаментальное решение соответствующего уравнения. Построено общее представление решения рассматриваемого уравнения в прямоугольной области.

About the authors

Fatima G Khushtova

Institution of Applied Mathematics and Automation

Email: khushtova@yandex.ru
Research Fellow, Dept. CAD of Mixed Systems and Management 89 a, Shortanova st., Nal'chik, 360000, Russian Federation

References

Supplementary files