Method of additional boundary conditions in the problem of heat transfer for non-newtonian fluid moving in laminar mode in circular pipe

Abstract


Taking into account the dissipation of mechanical energy the problem of heat transfer is formulated for non-Newtonian fluid moving in stable laminar mode in circular pipe. Two variants were considered: 1) non-stationary problem taking into account the diffusion component of heat transfer along the pipe; 2) the stationary problem without taking into account the longitudinal diffusion component of heat transfer in fluids. The synthesis of method of initial functions and method of complementary boundary conditions were used for the approximate solving of problems that was possible to reduce by one the dimensionality of the problem by spatial variables. In the stationary case, due to the additional boundary conditions it was able to obtain a higher degree of approximation of the temperature field than in the nonstationary case. Different methods of approximation of boundary conditions for the temperature of the liquid were studied at the entrance to the pipe with coordination and without coordination for the wall temperature. Calculations of temperature fields were conducted for melting of high-pressure polyethylene in accounting and neglect of dissipation of mechanical energy in the polymer. Comparison with calculations on the basis of other approximate method, previously developed, different from the one proposed in this study, was performed.

Full Text

Введение. В ряде современных технических устройств для эффективного отвода тепла используются элементы конструкций с каналами, по которым движется жидкий теплоноситель: системы охлаждения ядерных реакторов [1], зеркал технологических лазеров [2], лопаток современных газотурбинных установок [3] и др. С точки зрения технологической реализации таких элементов, по-видимому, наиболее целесообразно каналы в них создавать за счёт системы трубок, упакованных в связующий материал, так как трубки при этом выполняют как роль каналов, так и роль армирующих элементов, которые можно укладывать по достаточно сложным траекториям [4, 5]. Как показано в работах [6, 7], для математического описания процессов теплопереноса в таких трубчато-армированных конструкциях предварительно нужно решить задачу о теплопереносе в отдельно взятой тепловой трубке, причём это решение должно быть достаточно простым по структуре, чтобы оно было удобным для дальнейшего анализа проблемы в целом и при этом достаточно точным с точки зрения последующего инженерного приложения. Этим условиям удовлетворяет метод дополнительных граничных условий, предложенный в [8] для приближённого решения задачи Гретца-Нуссельта и использованный в [6, 7] для определения температурного поля в отдельно взятой тепловой трубке при стационарном и нестационарном теплопереносе. Однако решения, полученные в [6-8], основывались на предположении о том, что по трубе в стабилизированном ламинарном режиме протекает жидкость, распределение скорости течения которой в поперечном сечении подчиняется закону Пуазеля-Гагена и диссипация механической энергии которой не учитывается. В действительности же в качестве жидкого теплоносителя могут быть использованы достаточно вязкие вещества (например, масла [9]), профиль скорости которых в круглой трубе при стабилизированном ламинарном режиме течения не соответствует закону Пуазеля-Гагена, т. е. такой теплоноситель представляет собой неньютоновскую жидкость. Кроме того, при исследовании тепловых процессов в таком теплоносителе целесообразно учитывать и диссипацию механической энергии, вызванную неравномерностью профиля скорости по сечению трубы [10]. В связи с этим настоящее исследование посвящено построению приближённого решения задачи теплопереноса для неньютоновской жидкости, прокачиваемой в стабилизированном ламинарном режиме по круглой трубе, методом дополнительных граничных условий с учётом диссипации механической энергии в теплоносителе. Из сравнения решений, приведённых в [6, 7] для ньютоновской жидкости, прокачиваемой по тепловой трубке, можно заключить, что в случае стационарного теплообмена методом дополнительных граничных условий можно получить более точное решение, чем в нестационарной задаче, без увеличения порядка разрешающего дифференциального уравнения теплопереноса внутри трубки. В силу этого в настоящем исследовании также раздельно изучаются стационарный и нестационарный случаи. 1. Нестационарный случай. Рассматривается стабилизированный ламинарный режим течения несжимаемой нетермочувствительной неньютоновской жидкости в круглой трубе, профиль скорости которой подчиняется степенному закону Освальда-де Виля. При этом уравнение теплового баланса жидкости с учётом диссипации механической энергии в цилиндрической системе координат в предположении об осевой симметрии задачи имеет вид [10] ∂T ∂T ∂2T 1 ∂T ∂2T k dv + v(r) =a + + + ∂t ∂z ∂z 2 r ∂r ∂r2 ρcp dr 0 r r0 , 0 z L, t 0, n+1 , (1) 579 Я н к о в с к и й А. П. где a= λ = const, ρcp r r0 v(r) = v0 1 - (n+1)/n ; (2) λ, ρ, cp - коэффициент теплопроводности, плотность и удельная теплоемкость (при постоянстве давления) жидкости; k, n - реологические постоянные жидкости: k - постоянная консистентности (k 0), n - индекс течения (0 < n 1); v - скорость жидкости в продольном (осевом) направлении z; v0 - скорость жидкости на оси трубы (при r = 0); r - полярный радиус; r0 - радиус внутренней стенки трубы; L - длина трубы; T - температура жидкости; t - время. При n = 1 согласно (2) получаем профиль течения жидкости, соответствующий закону Пуазеля-Гагена. Уравнение (1) с учётом (2) целесообразно переписать так: ∂2T 1 ∂T v(r) ∂T r + = + D(T ) - W 2 ∂r r ∂r a ∂z r0 0 r r0 , 0 z L, t 0, (n+1)/n , (3) где k n + 1 v0 n+1 1 ∂( · ) ∂ 2 ( · ) - ; (4) = const, D( · ) = λ n r0 a ∂t ∂z 2 D - параболический оператор одномерной задачи теплопроводности. Последние слагаемые в правых частях уравнений (1), (3) порождены диссипацией механической энергии в жидкости [10]. Для приближённого решения начально-краевой задачи, соответствующей уравнению (3), используем метод начальных функций, совмещённый с методом дополнительных граничных условий. Согласно идее метода начальных функций [11], разложим функцию T в ряд Маклорена по переменной r: W = ∞ T (t, z, r) = T0 (t, z) + m=1 rm ∂ m T m! ∂rm r=0 , 0 r r0 , (5) где T0 (t, z) ≡ T (t, z, 0) - температура жидкости в точках, лежащих на оси трубы («начальная» функция). Так как распределение температуры T в трубе считается осесимметричным, в (5) ∂mT lim = 0, m = 1, 3, 5, 7, . . . (6) r→0 ∂r m Ограничиваясь частичной суммой ряда (5), с учётом (6) получим M T (t, z, r) = T0 (t, z) + T2m (t, z) m=1 0 r r0 , 0 z L, t r r0 0, 2m , (7) где T0 , T2m - функции, подлежащие определению и зависящие только от времени t и от осевой координаты z. 580 Метод дополнительных граничных условий в задаче теплопереноса . . . Выразим в (7) все функции T2m через T0 . Для этого будем использовать уравнение (3) и его производные по r при r → 0. Так как левая часть уравнения (3) полностью совпадает с левой частью равенства (9) в работе [7], то, повторяя почти дословно рассуждения (14)-(26) из [7], с учётом (4), (6) получим T2 (t, z) = 2 r0 ¯ D (T0 ) , 4 T4 (t, z) = 4 r0 ¯ 2 D (T0 ) , 64 0 < n < 1, (8) где v0 ∂( · ) 1 ∂( · ) ∂ 2 ( · ) v0 ∂( · ) ¯ D( · ) = D( · ) + = - + . a ∂z a ∂t ∂z 2 a ∂z (9) Второе равенство (8) справедливо только при выполнении строгого неравенства n < 1. В случае же n = 1 выражение для T4 содержит еще одно слагаемое (см. формулу (26) в [7]). Так как при n = 1 профиль скорости соответствует закону Пуазеля-Гагена (стабилизированному ламинарному режиму течения ньютоновской жидкости), этот случай далее не рассматривается. Согласно (8) с учётом (9) функции T2 , T4 определяются через производные от начальной функции T0 (t, z). Аналогично можно получить выражения и для функций T2m (3 m M ) в разложении (7) через производные от T0 . На основании (8), (9) эти зависимости можно представить в таком виде: T2m (t, z) = (m) (T0 (t, z); W ), 1 m M, (10) где (m) - дифференциальный оператор порядка m по времени t и порядка 2m по пространственной переменной z, который при m 3 может зависеть и от величины W , характеризующей диссипацию механической энергии в жидкости. Подставив (10) в (7), получим выражение для температуры жидкости T (t, z, r) = (M ) (r; 0 0 r r0 , z T0 (t, z); W ), L, t (11) 0, где (M ) - линейный дифференциальный оператор порядка M по времени t и порядка 2M по пространственной переменной z от начальной функции T0 , коэффициенты которого зависят от переменной r и величины W . Для определения функции T0 необходимо использовать основное граничное условие на стенке трубы (при r = r0 ), например, граничное условие I рода: T (t, z, r0 ) = Tw (t, z), 0 z L, t 0, (12) где Tw - заданная температура стенки трубы. Подставив (11) в (12), получим разрешающее дифференциальное уравнение параболического типа порядка 2M : (M ) (r0 ; T0 (t, z); W ) = Tw (t, z), 0 z L, t 0, (13) где правая часть - известная функция. 581 Я н к о в с к и й А. П. Для однозначного интегрирования уравнения (13) для начальной функции T0 необходимо задать соответствующее количество начальных (при t = 0) и граничных условий на входе (z = 0) и выходе (z = L) жидкости из трубы. Таким образом строится приближённое решение уравнения (3) (или (1)) в рамках метода начальных функций. Повысить точность приближённого решения (7) без увеличения порядка разрешающего уравнения можно за счёт совмещения метода начальных функций с методом дополнительных граничных условий [8]. С этой целью откажемся от выражений (11) при m 3 и воспользуемся дополнительным граничным условием, которое получается из (3) с учётом (2), (4) при r = r0 : ∂2T 1 ∂T + 2 ∂r r ∂r r=r0 = D(Tw ) - W, 0 z L, t 0, (14) где в правой части использовано основное граничное условие (12). Подставив в (12), (14) разложение (7) и ограничившись рассмотрением случая M = 4, получим систему уравнений 4 T2m (t, z) = Tw (t, z), m=0 4 (15) r2 m T2m (t, z) = 0 D(Tw ) - W . 4 2 m=0 Из системы (15), являющейся системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), с учётом (8) определим функции 1 r2 - 0 [D(Tw ) - W ] + 16(Tw - T0 )- 7 4 15 2 ¯ 3 4¯ - r0 D(T0 ) - r0 D2 (T0 ) , 4 16 2 1 r0 [D(Tw ) - W ] - 9(Tw - T0 )+ T8 (t, z) = 7 4 5 4¯ 2¯ +2r0 D(T0 ) + r0 D2 (T0 ) . 64 T6 (t, z) = (16) Таким образом, функции T6 , T8 , как и T2 , T4 (см. (8)), также удалось выразить через начальную функцию T0 . Для определения функции T0 используем интегральное уравнение теплового баланса жидкости в трубе [8], т. е. уравнение (3) проинтегрируем по r от 0 до r0 с весом r: v0 a r0 1- 0 r r0 (n+1)/n ∂T r dr+ ∂z r0 0 r0 = 0 582 r0 r r0 D(T )r dr - W + 0 ∂2T 1 ∂T + rdr = ∂r2 r ∂r r0 0 (n+1)/n r dr = ∂ ∂T ∂T r dr = r0 ∂r ∂r ∂r r=r0 , (17) Метод дополнительных граничных условий в задаче теплопереноса . . . где учтён предельный переход (6) при m = 1. Подставим в левую и правую части цепочки равенств (17) выражение (7) при M = 4, тогда с учётом (8), (9), (16) получим 6 6 v0 r0 r0 1 ∂ 2 D3 (T0 ) + D (T0 )+ a3 + 2688 2a 672 ∂z v2 r6 1 37 4 2 ∂2 + 0 2 0 a3 + D(T0 ) + r D (T0 )+ 2 a 2688 ∂z 1120 0 4 v0 r0 47 ∂ v 3 r6 a3 ∂ 3 T0 27 2 + a2 + D(T0 ) + 0 03 + r0 D(T0 )+ 2a 560 ∂z 2a ∂z 3 35 2 4 2 v0 r0 1 ∂ 2 T0 v0 r0 a1 3 ∂T0 + + + - a2 + 2a2 56 ∂z 2 a 2 7 ∂z 4 r4 v0 r0 a5 ∂ - 0 D2 (Tw ) - D(Tw )+ 1120 2a ∂z 2 3 2 v0 r0 a4 ∂Tw 24 + r0 D(Tw ) + - (Tw - T0 ) = 35 2a ∂z 7 1 n 2 - W, (18) = r0 3n + 1 14 где 24(n + 1)(127n2 + 22n + 1) a1 = , 35(3n + 1)(9n + 1)(11n + 1) 3(n + 1)(1415n2 + 216n + 9) a2 = , 560(5n + 1)(9n + 1)(11n + 1) (n + 1)(189n2 + 26n + 1) (19) a3 = , 1344(7n + 1)(9n + 1)(11n + 1) (n + 1)(139n + 11) , a4 = 35(9n + 1)(11n + 1) (n + 1)(19n + 1) a5 = , 0 < n < 1. 560(9n + 1)(11n + 1) Последнее слагаемое в левой части уравнения (18) содержит разность (Tw - T0 ), характеризующую величину температурного напора от стенки к жидкости. Согласно (4), разрешающее уравнение (18) с учётом (19) содержит высшие производные от T0 по времени t третьего порядка (∂ 3 T0 /∂t3 ) и шестого порядка по z (∂ 6 T0 /∂t6 ), поэтому для однозначного интегрирования уравнения (18) необходимо задать три начальных условия (для T0 , ∂T0 /∂t, ∂ 2 T0 /∂t2 при t = 0) и по три граничных условия на входе и выходе жидкости из трубы (для T0 , ∂T0 /∂z, ∂ 2 T0 /∂z 2 или их линейных комбинаций при z = 0 и z = L). Получим сначала все необходимые начальные условия для функции T0 . Пусть в момент времени t = 0 в трубе задано начальное распределение температуры T (0, z, r) = T 0 (z, r), 0 r r0 , 0 z L, (20) где T 0 - заданная функция. Так как в настоящем исследовании рассматривается лишь конечное разложение температуры T (см. формулу (7)), в общем случае равенство (20) 583 Я н к о в с к и й А. П. выполнить точно не удается, поэтому начальное условие (20) можно удовлетворить лишь приближённо, используя либо метод коллокаций [12], либо метод наименьших квадратов [13], либо метод взвешенных невязок [14]. При использовании последнего метода вместо равенства (20) применим, например, следующие интегральные соотношения: r0 T (0, z, r) 0 r r0 2m r dr = r0 = 0 T 0 (z, r) r r0 2m 0 r dr ≡ θm (z), m = 0, 1, 2, (21) 0 0 0 где θ0 , θ1 , θ3 - известные функции переменной z ∈ [0, L]. Подставим в (21) разложение (7) при M = 4 и учтём (8), (9), (16), тогда после приведения подобных слагаемых получим: 24 27 2 ¯ r4 ¯ T0 + r0 D(T0 ) + 0 D2 (T0 ) = 35 560 1344 2 0 = 2 θ0 (z) + r0 2 r0 ¯ 11 4 ¯ 2 9 T0 + D(T0 ) + r D (T0 ) = 35 42 26880 0 2 0 = 2 θ1 (z) + r0 4 20 11 2 ¯ r0 ¯ 2 T0 + r D(T0 ) + D (T0 ) = 147 784 0 3920 2 0 = 2 θ2 (z) + r0 2 r0 11 [D(Tw ) - W ] - Tw , 560 35 2 r0 17 [D(Tw ) - W ] - Tw , 840 70 (22) 2 r0 29 [D(Tw ) - W ] - Tw , 1176 147 где в правые части перенесены значения всех известных в момент времени t = 0 функций и величин. Из системы (22), как из СЛАУ, в каждой точке z ∈ [0, L] в начальный мо¯ ¯ мент времени можем определить значения функций T0 , D(T0 ), D2 (T0 ). Тогда с учётом (9) получаем следующие начальные условия: ¯ T0 (0, z) = T0 (z), ¯ ¯ ∂T0 ∂ 2 T0 ∂ T0 ¯ ¯ = aD(T0 ) + a 2 - v0 , ∂t t=0 ∂z ∂z t=0 2¯ ¯ ∂ 2 T0 ∂ 4 T0 2 ∂ T0 ¯ ¯ = a2 D2 (T0 ) - a2 - v0 + ∂t2 t=0 ∂z 4 ∂z 2 ¯ ∂ 2 ∂T0 ∂ ∂T0 ∂ 3 T0 +2a 2 - 2v0 + 2v0 a 3 ∂z ∂t ∂z ∂t ∂z (23) t=0 , ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ где T0 , D(T0 ), D2 (T0 ) - значения функций, известных из решения системы (22) в каждой точке z ∈ [0, L]. Последовательно определяя из (23) T0 , ∂T0 /∂t, ∂ 2 T0 /∂t2 , получим все необходимые начальные условия для интегрирования уравнения (18) с учётом (19). (При таком последовательном вычислении правые части в (23) - известные функции переменной z.) 584 Метод дополнительных граничных условий в задаче теплопереноса . . . Определим теперь граничные условия для уравнения (18). Пусть на входе (z = z∗ = 0) и на выходе (z = z∗∗ = L) жидкости из трубы заданы, например, распределения температуры по поперечному сечению T (t, z∗ , r) = T∗ (t, r), T (t, z∗∗ , r) = T∗∗ (t, r), 0 r r0 , t 0, (24) где T∗ , T∗∗ - известные функции. По-прежнему в силу использования конечного разложения температуры (7) в общем случае граничные условия (24) выполнить не удается, поэтому, как и в случае начальных условий, равенства (24) можно удовлетворить лишь приближённо, используя, например, метод коллокаций, метод наименьших квадратов или метод взвешенных невязок [12-14]. В случае применения последнего метода вместо (24) используем интегральные равенства, аналогичные (21): r0 r r0 T (t, z∗ , r) 0 2m r dr = r0 = T∗ (t, r) 0 r r0 2m ∗ rdr ≡ θm (t), m = 0, 1, 2 (∗ → ∗∗), (25) ∗ ∗∗ где θm и θm (m = 0, 1, 2) - известные функции переменной t. Подставим в (25) разложение (7) при M = 4, тогда с учётом (8), (9), (16) получим систему, аналогичную (22), в которой следует сделать замены 0 ∗ θm (z) → θm (t) (z = z∗ ), 0 ∗∗ θm (z) → θm (t) (z = z∗∗ ), m = 0, 1, 2. (26) ∗ ∗∗ Так как функции θm (t) и θm (t) (m = 0, 1, 2) известны (в силу правых равенств в (25)), а зависимость температуры стенки Tw от t и z предполагается заданной (см. (12)), правые части в (22) с учётом замены (26) также известны. Следовательно, из (22) с учётом (26), как из СЛАУ, можем определить ¯ ¯ значения функций T0 , D(T0 ), D2 (T0 ) (в сечениях z = z∗ , z = z∗∗ ), зависящих только от времени t. При этом с учётом (9) в точке z = z∗ (или z = z∗∗ ) получаем требуемые граничные условия: ¯ T0 (t, z∗ ) = T0 (t), ¯ ∂T0 ∂ T0 ∂ 2 T0 ¯ ¯ - v0 = - aD(T0 ) , 2 ∂z ∂z ∂t z=z∗ 2 ∂ 4 T0 ∂ 3 T0 2 ∂ T0 a2 - 2v0 a 3 + v0 = ∂z 4 ∂z ∂z 2 2 ¯ ∂ T0 ∂ ¯ ¯ ¯ ¯ = a2 D2 (T0 ) + - 2a D(T0 ) 2 ∂t ∂t a (27) z=z∗ (z∗ → z∗∗ ), ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ где функции T0 (t), D(T0 ), D2 (T0 ) известны из решения системы (22) с учётом замены (26) в точке z = z∗ (или z = z∗∗ ) в каждый момент времени t 0. Последовательно определяя в (27) правые части, получим в точках z = z∗ и z = z∗∗ по три граничных условия, необходимых для однозначного интегрирования разрешающего уравнения (18), если в сечениях z = z∗ и z = z∗∗ заданы граничные условия I рода для температуры жидкости (24). 585 Я н к о в с к и й А. П. Таким образом, исходя из начальных (20) и граничных (24) условий, заданных для температуры жидкости T , удалось определить начальные (23) и граничные (27) условия для начальной функции T0 , необходимые для однозначного интегрирования разрешающего уравнения (18). После решения начально-краевой задачи (18), (23), (27) определим начальную функцию T0 (t, z) (t 0, 0 z L), затем по формулам (8), (16) с учётом (9), (4) можем вычислить и функции T2m (t, z) (m = 1, 4), подставив которые в разложение (7), получим приближённое распределение температуры жидкости в трубе T (t, z, r), найденное совместным применением метода начальных функций и метода дополнительных граничных условий в нестационарном случае с учётом диффузионной составляющей теплопереноса в осевом направлении z. Уточнить полученное приближённое решение можно лишь за счёт использования равенства (10) при m 3, но в конечном итоге это приведёт к увеличению порядка разрешающего уравнения по сравнению с (18). 2. Стационарный случай. Предполагается, что в трубе установился стационарный режим теплопереноса. Кроме того, как это обычно делается [8, 10], будем пренебрегать диффузионной составляющей теплопереноса в жидкости вдоль трубы по сравнению с её конвективной составляющей. В этом случае по сравнению с ранее изложенным (см. п. 1) за счёт еще одного дополнительного граничного условия на стенке трубы (r = r0 ) удаётся уточнить решение рассматриваемой задачи без повышения порядка разрешающего дифференциального уравнения. Согласно сделанным предположениям, в уравнении (1) не учитываем слагаемые, содержащие производные ∂T /∂t и ∂ 2 T /∂z 2 , т. е. вместо (3) используем уравнение ∂2T 1 ∂T v(r) ∂T r + = -W ∂r2 r ∂r a ∂z r0 0 r r0 , z 0, (n+1)/n , (28) где T = T (z, r); обозначения W , a, v(r) даны в (2), (4). Приближённое решение уравнения (28) по-прежнему разыскивается в виде (5)-(7). При этом на основании (8), (9) с учётом сделанных выше предположений получаем1 T2 (z) = 2 r0 v0 dT0 , 4a dz T4 (z) = 4 2 r0 v0 d2 T0 , 64a2 dz 2 T0 = T0 (z). (29) Справедливыми остаются рассуждения (10)-(13), где все функции не зависят от переменной t. Для дальнейшего уточнения решения рассматриваемой задачи теплопереноса вновь помимо основного граничного условия (12) используем дополнительные граничные условия на стенке трубы. С этой целью рассмотрим уравнение (28) при r = r0 , тогда вместо (14) с учётом (2) получим ∂2T 1 ∂T + 2 ∂r r ∂r r=r0 = -W = const, z 0. (30) 1 Соотношения (29), как и (8), имеют место при выполнении неравенств 0 < n < 1; случай n = 1 по-прежнему не рассматривается. 586 Метод дополнительных граничных условий в задаче теплопереноса . . . Для получения второго дополнительного граничного условия продифференцируем (28) по r: ∂3T 1 ∂2T 1 ∂T + - 2 = ∂r3 r ∂r2 r ∂r v(r) ∂ ∂T = a ∂z ∂r - n + 1 v0 r an r0 r0 1/n ∂T ∂z - 1/n W n+1 r n r0 r0 . (31) Рассмотрим уравнение (31) при r = r0 . С учётом (2) получим следующее дополнительное граничное условие: ∂3T 1 ∂2T 1 ∂T + - 2 3 2 ∂r r ∂r r ∂r r=r0 =- n + 1 v0 dTw n+1W - , an r0 dz n r0 z 0, (32) где в правой части использовано основное граничное условие (12). Подставим в равенства (12), (30), (32) разложение (7), в котором в отличие от нестационарного случая (см. п. 1) примем M = 5. Тогда после элементарных преобразований с учётом (29) получим 2 r4 v 2 d2 T0 r0 v0 dT0 2 + c2m 0 20 + d2m r0 W + a dz a dz 2 n + 1 2 v0 dTw + e2m r + W + f2m Tw , m = 3, 4, 5, (33) n 0 a dz T2m (z) = a2m T0 + b2m где 225 72 200 , a8 = -f8 = , a10 = -f10 = - , 47 47 47 87 46 57 b6 = - , b8 = , b10 = - , 94 47 188 93 13 57 , c8 = , c10 = - , c6 = - 1504 3008 1504 13 41 15 d6 = , d8 = - , d10 = , 94 188 188 9 1 7 e6 = - , e8 = , e10 = - . 752 47 752 a6 = -f6 = - (34) Для определения функции T0 (z) по-прежнему используем интегральное уравнение теплового баланса жидкости в трубе, т. е. уравнение (17), в котором, согласно сделанным предположениям, следует принять D(T ) ≡ 0, тогда с учётом (33), (34), (29) вместо (18) получим A1 6 3 r0 v0 d3 T0 r4 v 2 d2 T0 r2 v0 dT0 + A2 0 2 0 + A3 0 + 240T0 + a3 dz 3 a dz 2 a dz r4 v 2 d2 Tw r2 v0 dTw 2 + A4 0 2 0 + A5 0 - 240Tw + A6 r0 W = 0, a dz 2 a dz z 0, (35) 587 Я н к о в с к и й А. П. где n+1 47 57 93 13 - + - , 64 3(7n + 1) 2(9n + 1) 5(11n + 1) 3(13n + 1) 1 47 87 368 57 = 3 + (n + 1) - + - 8 5n + 1 9n + 1 5(11n + 1) 3(13n + 1) 47 50 45 12 = 24 + (n + 1) - + - , 3n + 1 9n + 1 11n + 1 13n + 1 9 32 7 (n + 1)2 - + - , = 32n 2(9n + 1) 5(11n + 1) 3(13n + 1) 50 45 12 1 + - + , = (n + 1) - 2n 9n + 1 11n + 1 13n + 1 94n n+1 + . = 11 - 2n 3n + 1 A1 = A2 A3 A4 A5 A6 , (36) Разрешающее уравнение (35) с учётом (36) определяет начальную функцию T0 (z) при заданной температуре стенки Tw (z). Так как в рассматриваемом случае диффузионная составляющая теплопроводности жидкости в осевом направлении z не учитывалась, для однозначного интегрирования уравнения (35) необходимо задать соответствующие краевые условия только на входе трубы (z = z∗ = 0). В силу того что уравнение (35) содержит третью производную от T0 (z), в точке z = z∗ нужно получить значения для T0 , dT0 /dz, d2 T0 /dz 2 , которые определим из традиционного краевого условия, задающего распределение температуры T во входном сечении трубы [8, 10] (см. первое равенство (24) при условии ∂T∗ /∂t ≡ 0). Вновь используя метод взвешенных невязок для приближённого выполнения первого равенства (24), ∗ получим, что справедливыми остаются равенства (25), где θm (m = 0, 1, 2) - постоянные величины. Подставим в (25) разложение (7) при M = 5 и учтём равенства (33), (34), (29), тогда после приведения подобных слагаемых будем иметь 2 2 r4 v 2 d2 T0 n + 1 r0 v0 dTw r0 v0 dT0 + Bm3 0 20 - Bm4 + Bm5 Tw + a dz a dz 2 n a dz n+1 2 ∗ 2 + Bm6 + Bm7 r0 W = 2 θm , m = 0, 1, 2, z = 0, (37) n r0 Bm1 T0 + Bm2 где B01 = 30 , 47 B02 = B04 = B06 = - B11 = 75 , 329 B14 = B16 = B21 = B12 = 1 , 5640 115 , 987 B24 = B26 = - 588 13 , B05 = 45120 B15 = B22 = 5 , B25 = 42112 219 , 5640 17 , 47 89 , 4935 179 , 658 107 , 10528 214 , 987 B03 = B07 = B13 = B17 = B23 = B27 = 43 , 90240 1 , 235 103 , 421120 107 , 39480 61 , 421120 59 . 31584 (38) Метод дополнительных граничных условий в задаче теплопереноса . . . Если, как и предполагалось, температура стенки Tw задана, то в (37) все слагаемые, содержащие сомножители W , Tw , dTw /dz (при z = z∗ = 0), извест∗ ны и их следует перенести в правую часть, где θm , согласно правым равенствам в (25), также известные величины. Таким образом, преобразованная система (37) с учётом (38) представляет собой замкнутую СЛАУ, состоящую из трёх уравнений и содержащую в качестве неизвестных величин T0 , dT0 /dz, d2 T0 /dz 2 при z = z∗ = 0. Решив эту систему, определим все необходимые краевые условия для однозначного интегрирования уравнения (35). Если температура жидкости на входе в трубу постоянна по сечению z = = z∗ = 0, т. е. (см. первые равенства (24)) ¯ T (z∗ , r) = T∗ (r) = T∗ = const, (39) то выражения для величин в правых частях (37) согласно (25) имеют вид ∗ θm = 2 r0 ¯ T∗ = const, 2(m + 1) m = 0, 1, 2. (40) В случае, когда для аппроксимации краевого условия на входе трубы (см. (39) или первое равенство (24)) используется метод наименьших квадратов, следует рассмотреть минимизацию функции r0 ¯ ¯ ¯ J(T0 , T0 , T0 ) = 2 ¯ ¯ ¯ T (z, r; T0 , T0 , T0 ) - T∗ (r) dr, z = z∗ = 0 (41) 0 трёх переменных dT0 d2 T0 ¯ ¯ T0 ≡ , T0 ≡ , z = z∗ = 0. (42) dz dz 2 Необходимое условие минимума функции (41) приводит к трём равенствам ¯ T0 ≡ T0 (z), r0 0 0 r0 r0 0 ∂T ¯ ¯ ¯ T (z, r; T0 , T0 , T0 ) - T∗ (r) ¯ dr = 0, ∂ T0 ∂T ¯ ¯ ¯ T (z, r; T0 , T0 , T0 ) - T∗ (r) ¯ dr = 0, ∂T ∂T ¯ ¯ ¯ T (z, r; T0 , T0 , T0 ) - T∗ (r) ¯ dr = 0, ∂ T0 (43) z = z∗ = 0. Подставляя в (43) разложение (7) и учитывая зависимости функций T2m (1 m M ) от величин (42) (см. (29), (33)), после элементарных преобразований будем иметь систему M Dlm T2m (z) = Tl∗ , l = 0, 1, 2, z = z∗ = 0, M = 5, (44) m=0 где Tl∗ r0 M 1 = r0 Clm 0 M Dlm = j=0 m=0 r r0 Clj , 2(m + j) + 1 2m T∗ (r)dr, (45) l = 0, 1, 2, M = 5; 589 Я н к о в с к и й А. П. ненулевые значения коэффициентов Clj следующие: C00 C05 C15 C25 = C11 = C22 = 47, C03 = -200, C04 = 225, = -72, C13 = -174, C14 = 184, = -57, C23 = -114, C24 = 93, = -26. (46) Подставим в (44) выражения (29), (33) и соберём подобные слагаемые, после чего с учётом (42), (45), (46) окончательно получим r 2 v0 ¯ r4 v2 ¯ ¯ Fl1 T0 + Fl2 0 T0 + Fl3 0 20 T0 = a a M = Tl∗ 2 Dlm d2m r0 W + e2m - m=3 n + 1 2 v0 dTw r + W + f2m Tw , n 0 a dz l = 0, 1, 2, z = z∗ = 0, M = 5, (47) где Fl1 = Fl2 = Fl3 = 1 47Dl0 + 47 5 C0m Dlm , m=3 5 1 47Dl1 + 188 (48) C1m Dlm , m=3 5 1 47Dl2 + 3008 C2m Dlm , l = 0, 1, 2; m=3 коэффициенты d2m , e2m , f2m определены в (34). В правые части равенств (47) перенесены все известные в сечении z = z∗ = 0 величины. Система трёх уравнений (47) с учётом (34), (45), (46), (48) образует замк¯ ¯ ¯ нутую СЛАУ относительно неизвестных T0 , T0 , T0 . После решения этой системы с учётом обозначений (42) получим в рамках метода наименьших квадратов (41) все необходимые краевые условия для однозначного интегрирования разрешающего уравнения (35). 3. Модельная задача. В качестве модельной задачи рассмотрим случай стационарного теплопереноса при постоянной температуре стенки Tw (z) = Tw = const, z 0. (49) Для удобства дальнейшего анализа результатов расчетов введём в рассмотрение безразмерные переменные и величины r2 W 3n + 1 β T0 (z) - Tw ¯ , W = ¯ 0 = , ¯∗ - Tw 2n 0.097 T T∗ - Tw a z v r0 ¯ n+1 Z = 2z = , Pe = , v= ¯ v0 , r0 Pe a 3n + 1 v r0 ¯ θ0 (Z) = (50) ¯ где v - средняя скорость жидкости по сечению [10]; Pe - число Пекле; T∗ - ¯ характерное значение температуры жидкости на входе в трубу; β - безразмерный параметр, характеризующий влияние диссипации механической энергии на теплообмен и введённый в [10]; числовой множитель 1/0.097 введён 590 Метод дополнительных граничных условий в задаче теплопереноса . . . для того, чтобы значения параметра β в настоящем исследовании и в [10] полностью совпадали. Разрешающее уравнение (35) с учётом (49), (50) примет вид E3 d2 θ0 dθ0 d3 θ0 ¯ + E2 2 + E1 + 240θ0 = -A6 W = const, 3 dZ dZ dZ Z 0, (51) где E1 = N A3 , E2 = N 2 A2 , E3 = N 3 A1 , N= 3n + 1 ; n+1 (52) постоянные Ai определены в (36). Предположим, что на входе в трубу (z = z∗ = 0) температура жидкости постоянна по сечению (см. (39)), т. е. рассматривается аналог задачи Гретца- Нуссельта. Тогда на основании метода взвешенных невязок для однозначного интегрирования уравнения (51) из системы (37) с учётом (40), (49), (50), (52) получим следующие краевые условия при Z = 0: Bm3 N 2 dθ0 d2 θ0 + Bm2 N + Bm1 θ0 = 2 dZ dZ 1 n+1 ¯ = - Bm6 + Bm7 W , m+1 n m = 0, 1, 2, (53) где значения коэффициентов Bmi определены в (38). Если же необходимые краевые условия для уравнения (51) определяются методом наименьших квадратов, то из системы (47) с учётом (39), (45), (49), (50), (52) получим Fl3 N 2 d2 θ0 dθ0 + Fl3 N + Fl1 θ0 = dZ 2 dZ n+1 n+1 Dl3 - 164 - 16 Dl4 + = Dl0 - 104 - 9 n n ¯ n+1 W + 60 - 7 Dl5 , l = 0, 1, 2, Z = 0, (54) n 752 где значения коэффициентов Fli , Dlj определены в (45), (48). На основании (7), (29), (33), (49), (50), (52) безразмерная температура жидкости в трубе имеет выражение M θ2m (Z)R2m , θ(Z, R) = θ0 (Z) + 0 R 1, Z 0, M = 5, (55) r N dθ0 N 2 d2 θ0 , θ2 (Z) = , θ4 (Z) = , r0 4 dZ 64 dZ 2 dθ0 d2 θ0 n+1 ¯ θ2m (Z) = a2m θ0 + b2m N + c2m N 2 2 + d2m + e2m W , dZ dZ n m = 3, 4, 5; (56) m=1 где T - Tw θ= ¯ , T∗ - Tw R= 591 Я н к о в с к и й А. П. коэффициенты a2m , b2m , c2m , d2m , e2m определены в (34). Согласно (50), (52) уравнение (51) является обыкновенным неоднородным дифференциальным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициентами и постоянной правой частью, поэтому его решение имеет вид ¯ A6 W θ0 (Z) = - + 240 3 Gm exp(αm Z), Z 0, (57) m=1 где αm - характеристические числа уравнения (51); Gm - постоянные интегрирования, определяемые из краевых условий, например, (53) или (54). В качестве конкретного примера рассмотрим течение расплавленного полиэтилена высокого давления П153-01К (n = 0.463 [10]). При этом значении n корни характеристического уравнения, соответствующего (51), с учётом (52) имеют следующие значения (см. (57)): α1 = -3.9547, α2 = -23.2203, α3 = -42.7902. (58) На рис. 1 пунктирные линии характеризуют заданное распределение температуры жидкости на входе в трубу (Z = 0), а сплошные кривые - аппроксимации этих температур, полученные разными методами. Горизонтальная пунктирная прямая 1 на рис. 1, а соответствует безразмерной температуре жидкости, заданной постоянной по входному сечению трубы (см. (39) с учётом (56)). Кривая 2 получена при Z = 0, β = 0 (отсутствие диссипации) по формулам (53), (55)-(57) с учётом (58), т. е. при использовании метода взвешенных невязок для аппроксимации краевого условия (39). Кривая 3 определена при Z = 0, β = 0 на основании соотношений (54)-(58), т. е. при использовании метода наименьших квадратов для аппроксимации краевого условия для температуры жидкости на входе в трубу. Сопоставление кривых 2 и 3 с линией 1 показывает, что применение метода взвешенных невязок (в его варианте (53) или (37), (38)) оказалось в данной задаче неудачным (кривая 2). Метод же наименьших квадратов (кривая 3) позволяет удовлетворительно аппроксимировать температуру жидкости, заданную на входе в трубу. В работе [10] для приближённого решения рассматриваемой задачи использовался другой аналитический (а именно, вариационный) метод с применением преобразования Лапласа по продольной координате z. Решение, приведённое в [10], имеет следующую структуру: 3 3 (γmi + βδmi ) exp(χi Z)(1 - R2m ), θ(Z, R) = m=1 i=1 0 R 1, Z (59) 0, где [10] χ1 = -4.0008, χ2 = -14.8547, χ3 = -145.3775; (60) числовые значения коэффициентов γmi , δmi приведены в формуле (2.34) в [10]. Сравнение значений (58), (60) показывает, что первые характеристические числа, полученные разными методами, в этой задаче практически совпадают, а вторые и третьи характеристические числа (отвечающие за распределение температурного поля на входном термическом участке [8]) различаются 592 Метод дополнительных граничных условий в задаче теплопереноса . . . a b Рис. 1. Аппроксимация температуры жидкости на входе в трубу: а) случай без учета температуры стенки; b) случай с учетом температуры стенки [Figure 1. An approximation of the fluid temperature at the inlet of the pipe in case without the wall temperature (a), and in case with the wall temperature (b); dashed lines describe the predetermined fluid temperature at the inlet of the pipe; solid lines describe the fluid temperature approximations (they were obtained by various methods); line 1 in Fig. 1, a describe the dimensionless fluid temperature at the inlet of the pipe (look at Eq. (39) with considering (56)); line 2 in Fig. 1, a is obtained by Eqs. (53), (55)-(57) with considering Eqs. (58) when Z = 0, β = 0 (the parameter β characterizes the mechanical energy dissipation, look at Eq. (50)); line 3 in Fig. 1, a is obtained by Eqs. (54)-(58) when Z = 0, β = 0; line 4 in Fig. 1, a is obtained by Eqs. (59), (60) when Z = 0, β = 0; line 1 in Fig. 1, b corresponds to the boundary condition (61) when η = 10; line 2 in Fig. 1, b approximates the line 1 (Fig. b) when β = 0 (look at Eq. (50)); line 3 in Fig. 1, b approximates the line 1 (Fig. b) when β = 1; dashed line 4 in Fig. 1, b describes the relationship (59) obtained when β = 1 with considering (65); solid line 4 in Fig. 1, b approximate the line 4 (Fig. b) by the least squares method (look at Eq. (54) with considering Eqs. (62), (63), (65))] 593 Я н к о в с к и й А. П. существенно. Кроме того, сопоставление приближённых решений (55), (59) с учётом (56), (57) указывает на то, что оба решения представляют собой линейную комбинацию трёх экспоненциальных функций, зависящих от продольной координаты Z, но решение (55) по сравнению с (59) имеет на два порядка более высокую аппроксимацию по переменной R, т. е. более точно описывает распределение температуры в поперечных сечениях трубы. Кривая 4 на рис. 1, а определена по формулам (59), (60) при Z = 0, β = 0. Сравнение кривых 3 и 4 с линией 1 показывает, что кривая 3 лучше аппроксимирует пунктирную прямую 1, чем линия 4. Дополнительные расчёты показали, что при наличии диссипации (например, при β = 1) расчётные кривые визуально практически не отличаются от кривых 3 и 4. Строго говоря, краевое условие (39) не согласовано с граничным усло¯ вием на стенке (T∗ (r0 ) = T∗ = Tw ), это приводит к необходимости построения обобщённого (разрывного) решения задачи теплопереноса в жидкости, протекающей по трубе [15]. Приближённые же методы, разработанные в настоящем исследовании или в [8, 10], позволяют построить решения, близкие лишь к классическим решениям соответствующих краевых задач, в которых все краевые условия согласованы. Исходя из этого зададим на входе в трубу краевое условие для температуры жидкости, согласованное с граничным условием на стенке трубы. С этой целью вместо (39) используем, например, следующее краевое условие: ¯ ¯ T (z∗ , r) = T∗ (r) = T∗ - (T∗ - Tw ) exp(-η(r0 - r)), (61) 0 r r0 , η = const > 0. Из равенства (61) следует, что T (z∗ , r0 ) = T∗ (r0 ) = Tw , т. е. условие согласования выполняется. Однако при подстановке (61) в (6) равенства в последнем строго выполняться не будут, но при достаточно больших значениях параметра η можно считать, что условия (6) выполняются приближённо с приемлемой точностью, по крайней мере при m = 1. Так, на рис. 1, b пунктирная кривая 1 соответствует краевому условию (61) при η = 10, а кривые 2 и 3 аппроксимируют линию 1 при β = 0 и β = 1 соответственно. Кривые 2 и 3 определены методом наименьших квадратов, т. е. на основе системы (54), из правых частей которой согласно (61) нужно вычесть величины Pl (l = 0, 1, 2), определяемые так: P0 = 47R0 - 200R6 + 225R8 - 72R10 , P1 = 47R2 - 174R6 + 184R8 - 57R10 , P2 = 47R4 - 114R6 + 93R8 - 26R10 , (62) где [16] Ri = 1 eη 1 Ri eηR dR = 0 = 1 Ri eηR + eη η i (-1)k k=1 i(i - 1) . . . (i - k + 1) i-k R η k+1 1 . (63) 0 Из сравнения кривых 2 и 3 с линией 1 на рис. 1, b видно, что в случае задания согласованного краевого условия на входе в трубу метод дополнительных граничных условий позволяет хорошо аппроксимировать входную 594 Метод дополнительных граничных условий в задаче теплопереноса . . . температуру жидкости, причём при наличии диссипации механической энергии (см. кривую 3) аппроксимация улучшается. Если потребовать, чтобы краевое условие на входе в трубу было согласовано не только с основным граничным условием на стенке (T∗ (r0 ) = Tw ), но и с дополнительным граничным условием (30), то после подстановки (61) в (30) с учётом (50) получим ¯ (r0 η)2 + r0 η = W . (64) Так как согласно (61) интерес представляет только значение η > 0, из (64) имеем √ -1 + D ¯ , D = 1 + 4W , (65) η= 2r0 ¯ откуда следует, что при W > 0 (β > 0) выполняется строгое неравенство η > 0. На рис. 1, b пунктирная кривая 4 характеризует зависимость (61), полученную при β = 1 с учётом (65), а сплошная линия 5 соответствует аппроксимации кривой 4 по методу наименьших квадратов (см. (54) с учётом (62), (63), (65)). Как видно из рис. 1, b, кривые 4 и 5 визуально практически не различаются, что свидетельствует об очень хорошей степени аппроксимации краевого условия для температуры на входе в трубу. На рис. 2, 3 изображены профили температур в разных сечениях трубы, определённые без учёта (β = 0, рис. 2) и с учётом (β = 1, рис. 3) механической диссипации энергии. На рис. 2, а и 3, а приведены результаты расчётов, выполненных на основе метода дополнительных граничных условий, а на рис. 2, б и 3, б для сравнения приведены результаты расчёта по формулам из [10] (см. (59), (60)). Пунктирная горизонтальная прямая на рис. 2, 3 характеризует заданную постоянную безразмерную температуру на входе в трубу (см. (39), (56)), остальные же линии определены на основе указанных методов. Кривые 1 определены при Z = 0, линии 2 - при Z = 0.01, кривые 3 - при Z = 0.05, линии 4 - при Z = 0.1, кривые 5 - при Z = 0.5, линии 6 - при Z = 1, т. е. кривые 1 аппроксимируют горизонтальные пунктирные прямые. Согласно этому, линия 1 на рис. 2, а совпадает с кривой 3 на рис. 1, а, а линия 1 на рис. 2, b совпадает с кривой 4 на рис. 1, a. Из сравнения кривых с одинаковыми номерами на рис. 2, а и 2, b следует, что при отсутствии диссипации (β = 0) расчёт по формулам из [10] (рис. 2, b) приводит к более быстрому выравниванию температуры жидкости и стенки вдоль трубы, чем в расчётах по методу дополнительных граничных условий (рис. 2, а). Ещё большее различие в расчётах наблюдается при учёте диссипации (β = 1). Действительно, в этом случае расчёт по методу дополнительных граничных условий приводит к тому, что температурное поле вдоль трубы достаточно быстро стабилизируется и уже при Z 0.5 почти не изменяется (см. кривые 5, 6 на рис. 3, a, которые визуально неразличимы), причём на оси трубы (R = 0) температура практически не отличается от температуры на входе (θ(Z, 0) ≈ 1). Согласно же расчёту по формулам, приведённым в [10] 595 Я н к о в с к и й А. П. a b Рис. 2. Профили температуры жидкости в разных сечениях трубы, рассчитанные без учёта диссипации механической энергии (β = 0) по методу дополнительных граничных условий (a); по методу, предложенному в [10] (b) [Figure 2. Temperature profiles for fluid at the different sections of the pipe calculated without taking into account mechanical energy dissipation (when β = 0) by the additional boundary conditions method (look at Eqs. (54)-(58)) (a), and by the method proposed in [10] (look at Eqs. (59), (60)) (b); lines with the label 1 determined at Z = 0; lines with the label 2 determined at Z = 0.01; lines with the label 3 determined at Z = 0.05; lines with the label 4 determined at Z = 0.1; lines with the label 5 determined at Z = 0.5; lines with the label 5 determined at Z = 1; dashed lines characterize the given dimensionless constant temperature at the inlet of the pipe (look at Eqs. (39), (56)); line 1 in Fig. 2, a coincides with the line 3 in Fig. 1, a, and line 1 in Fig. 2, b coincides with the line 4 in Fig. 1, a] 596 Метод дополнительных граничных условий в задаче теплопереноса . . . a b Рис. 3. Профили температуры жидкости в разных сечениях трубы, рассчитанные c учётом диссипации механической энергии (β = 1) по методу дополнительных граничных условий (a); по методу, предложенному в [10] (b) [Figure 3. Temperature profiles for fluid at the different sections of the pipe calculated with taking into account mechanical energy dissipation (when β = 1) by the additional boundary conditions method (look at Eqs. (54)-(58)) (a), and by the method proposed in [10] (look at Eqs. (59), (60)) (b); lines with the label 1 determined at Z = 0; lines with the label 2 determined at Z = 0.01; lines with the label 3 determined at Z = 0.05; lines with the label 4 determined at Z = 0.1; lines with the label 5 determined at Z = 0.5; lines with the label 5 determined at Z = 1] (рис. 3, b), даже при наличии существенной диссипации механической энергии температура жидкости вдоль трубы существенно изменяется, постепенно выравниваясь с температурой стенки. Это существенное различие в профилях температуры, приведённых на рис. 3, a и 3, b, объясняется, очевидно, тем, что кривые, изображённые на 597 Я н к о в с к и й А. П. рис. 3, a, получены по формулам, которые имеют на два порядка более высокую аппроксимацию температуры по R, чем формулы, по которым рассчитаны кривые на рис. 3, b (см. соответственно (55)-(58) и (59), (60)).

About the authors

Andrey P Yankovskii

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: lab4nemir@rambler.ru
4/1, Institutskaya st., Novosibirsk, 630090, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci.; lab4nemir@rambler.ru), Leading Research Scientist, Lab. of Fast Processes Physic

References

  1. Митрофанова О. В. Гидродинамика и теплообмен закрученных потоков в каналах ядерно-энергетических установок. М.: Физматлит, 2010. 288 с.
  2. Теплообмен: Избранные работы члена-корреспондента РАН Б. С. Петухова и его учеников. М.: Шанс, 2012. 209 с.
  3. Лаптев А. Г., Николаев Н. А., Башаров М. М. Методы интенсификации и моделирования тепломассообменных процессов. М.: Теплотехник, 2011. 288 с.
  4. Композиционные материалы / ред. В. В. Васильев, Ю. М. Тарнопольский. М.: Машиностроение, 1990. 512 с.
  5. Тарнопольский Ю. М., Жигун И. Г., Поляков В. А. Пространственно-армированные композиционные материалы. М.: Машиностроение, 1987. 224 с.
  6. Янковский А. П. Уточненная модель стационарного теплопереноса в композитных телах, армированных трубками с жидким теплоносителем, движущимся в ламинарном режиме. 1. Постановка задачи // Механика композитных материалов, 2014. Т. 50, № 1. С. 115-132.
  7. Янковский А. П. Моделирование теплопереноса в композитных телах, армированных трубками с движущимся в ламинарном режиме жидким несжимаемым теплоносителем // Теплофизика и аэромеханика, 2015. Т. 22, № 1. С. 107-129.
  8. Кудинов В. А., Кудинов И. В. Методы решения параболических и гиперболических уравнений теплопроводности / ред. Э. М. Карташов. М.: Либроком, 2012. 280 с.
  9. Варгафтик Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Физматгиз, 1963. 708 с.
  10. Шишлянников В. В. Течение и теплообмен расплавов полимеров в трубах и каналах. Волгоград: ВолгГТУ, 2011. 164 с.
  11. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Теплопроводность однородных и композитных тонкостенных конструкций. Новосибирск: Арт-Авеню, 2008. 512 с.
  12. Агаловян Л. А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М.: Физматлит, 1997. 414 с.
  13. Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1973. 631 с.
  14. Washizu K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity / International Series of Monographs in Aeronautics and Astronautics. vol. 9. Oxford, New York: Pergamon Press, 1982. xv+630 pp.
  15. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 735 с.
  16. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М.: Физматгиз, 1981. 798 с.

Statistics

Views

Abstract - 18

PDF (Russian) - 13

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies