An inverse problem for a nonlinear Fredholm integro-differential equation of fourth order with degenerate kernel

Abstract


We consider the questions of one value solvability of the inverse problem for a nonlinear partial Fredholm type integro-differential equation of the fourth order with degenerate kernel. The method of degenerate kernel is developed for the case of inverse problem for the considering partial Fredholm type integro-differential equation of the fourth order. After denoting the Fredholm type integro-differential equation is reduced to a system of integral equations. By the aid of differentiating the system of integral equations reduced to the system of differential equations. When a certain imposed condition is fulfilled, the system of differential equations is changed to the system of algebraic equations. For the regular values of spectral parameterthe system of algebraic equations is solved by the Kramer metod. Using the given additional condition the nonlinear Volterra type integral equation of second kind with respect to main unknowing function and the nonlinear Volterra special type integral equation of first kind with respect to restore function are obtained. We use the method of successive approximations combined with the method of compressing maps. Further the restore function is defined. This paper developes the theory of Fredholm integro-differential equations with degenerate kernel.

Full Text

Постановка задачи. Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, часто приводит к необходимости изучения прямых и обратных задач для уравнений неклассической математической физики. С точки зрения физических приложений представляют большой интерес дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков. Многие задачи газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводят к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков [1]. Изучению уравнений в частных производных четвертого порядка посвящено большое количество работ (см., например, [2-10]). Теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной теории дифференциальных уравнений. Интенсивное исследование обратных задач обусловлено и необходимостью разработки математических методов решения прикладных проблем. Обратную задачу называют линейной, если функция восстановления входит в данное уравнение линейно. Линейные обратные задачи рассматривались, в частности, в [11-20]. Нелинейные обратные задачи рассматривались в работах [21-25]. В настоящей работе предлагается методика изучения обратной задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма в частных производных четвертого порядка с вырожденным ядром. Она является дальнейшим продолжением и совершенствованием методики работ [26-29]. Итак, в области Ω ≡ ΩT × Ωl , ΩT ≡ [0, T ], Ωl ≡ [0, l], рассматривается интегро-дифференциальное уравнение типа Фредгольма с вырожденным ядром: ∂ 4 u(t, x) +λ ∂t2 ∂x2 T K(t, s) 0 ∂ 2 u(s, x) ds = ∂s∂x T l = p(t)β(x) + f x, H(s, y)u(s, y)dyds 0 (1) 0 с условиями u(0, x) = ϕ1 (x), ut (0, x) = ϕ2 (x), x ∈ Ωl , u(t, 0) = ψ1 (t), utx (t, 0) = ψ2 (t), t ∈ ΩT , u(t0 , x) = η(x), 0 < t0 < T, x ∈ Ωl , (2) (3) (4) где p(t) ∈ C(ΩT ), ϕk (x) ∈ C 2 (Ωl ), ψ1 (0) = ϕ1 (0), f (x, γ) ∈ C(Ωl × R); ψk (t) ∈ C 2 (ΩT ), ψ1 (0) = ϕ2 (0), k = 1, 2; ψ2 (0) = ϕ2 (0); n K(t, s) = ai (t)bi (s), 0 < ai (t), bi (s) ∈ C(ΩT ); i=1 η(x) ∈ C 2 (Ωl ); β(x) ∈ C(Ωl ) - функция восстановления; λ - параметр; T l |H(t, x)|dxdt < ∞. 0< 0 0 Под решением обратной задачи (1)-(4) будем понимать пару функций u(t, x) ∈ C 2,2 (Ω), β(x) ∈ C(Ωl ) , удовлетворяющую уравнению (1) и условиям (2)-(4). 737 Ю л д а ш е в Т. К. 1. Начальная задача (1)-(3). В уравнении (1) сделаем замену utx (t, x) = = ϑ(t, x). Тогда оно приобретает вид ∂ 2 ϑ(t, x) +λ ∂t∂x T K(t, s)ϑ(s, x)ds = 0 T l H(s, y)u(s, y)dyds . (5) = p(t)β(x) + f x, 0 0 С помощью обозначения T ci (x) = bi (s)ϑ(s, x)ds (6) 0 уравнение (5) перепишется в следующем виде: ∂ 2 ϑ(t, x) = -λ ∂t∂x n T l ai (t)ci (x) + p(t)β(x) + f x, H(s, y)u(s, y)dyds . 0 i=1 0 В силу постановки задачи правая часть этого выражения суть непрерывные функции своих аргументов. Путем интегрирования по x и по t из последнего равенства получаем n t t E1 (s)ds - λ ϑ(t, x) = D1 (x) + 0 β(y)dy + t 0 ci (y)dy+ 0 i=1 x x + q(t) x ai (s)ds 0 T l f y, 0 H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy, (7) 0 0 где D1 (x) ∈ C 2 (Ωl ), E1 (t) ∈ C 2 (ΩT ) - произвольные функции, которые подлежат определению, t q(t) = p(s)ds. 0 Подставляя (7) в (6), имеем T ci (x) = n s 0 0 x β(y)dy + s 0 0 T ci (y)dy+ 0 l f y, 0 x ai (θ)dθ i=1 x + q(s) s E1 (θ)dθ - λ bi (s) D1 (x) + H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy ds. (8) 0 0 Обозначим T Bi (x) = s bi (s) D1 (x) + 0 E1 (θ)dθ+ 0 x + q(s) 0 738 x β(y)dy + s T l f y, 0 H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy ds. (9) 0 0 Обратная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма . . . Пусть T Aij = s bi (s) 0 ai (θ)dθds > 0. (10) 0 Тогда (8) запишем в виде следующей системы интегральных уравнений (СИУ): n x ci (x) + λ cj (y)dy = Bi (x), Aij i = 1, n. (11) 0 j=1 Функции, входящие в СИУ (11), являются непрерывно дифференцируемыми по x. Поэтому, дифференцируя систему (11) получим n ci (x) + λ Aij cj (x) = Bi (x), i = 1, n. (12) j=1 Вместо СИУ (11) рассмотрим систему дифференциальных уравнений (СДУ) (12). Будем решать СДУ (12) при выполнении следующего условия: ci (x) = -ωci (x), 0 < ω = const, i = 1, n. (13) Если условие (13) выполняется, то из СДУ (12), получим систему алгебраических уравнений (САУ) λ ci (x) - ω n j=1 1 Aij cj (x) = - Bi (x), i = 1, n. ω (14) САУ (14) однозначно разрешима при любых конечных Bi (x), если выполняется условие ∆(λ) = λ λ λ 1 - ω A11 - ω A12 . . . - ω A1n λ λ λ - ω A21 1 - ω A22 . . . - ω A2n . . . .. . . . . . . . λ λ λ - ω An2 . . . 1 - ω Ann - ω An1 = 0. (15) Определитель ∆(λ) в (15) есть многочлен относительно λ степени не выше n. Уравнение ∆(λ) = 0 имеет не более n различных корней. Эти корни являются собственными числами ядра интегро-дифференциального уравнения (1). Другие значения λ являются регулярными, при которых условие (15) выполняется. Для регулярных значений λ система (14) имеет единственное решение при любой конечной правой части. В настоящей работе для таких регулярных значений параметра λ устанавливается однозначная разрешимость поставленной обратной задачи (1)-(4). Решение системы алгебраических уравнений (14) запишем в виде ci (x) = ∆i (λ, x) , ∆(λ) i = 1, n, (16) 739 Ю л д а ш е в Т. К. где λ 1 - ω A11 λ - ω A21 . . . λ - ω A1(i-1) λ - ω A2(i-1) . . . 1 - ω B1 (x) 1 - ω B2 (x) . . . λ - ω A1(i+1) λ - ω A2(i+1) . . . ... ... .. . λ - ω A1n λ - ω A2n . . . λ - ω An1 ∆i (λ, x) = ... ... . . . ... λ - ω An(i-1) 1 λ - ω Bn (x) - ω An(i+1) ... λ 1 - ω Ann . Среди элементов определителей ∆i (λ, x) находятся функции Bi (x). В свою очередь, в составе функций Bi (x) находятся пока неизвестные функции D1 (x), u(t, x) и β(x). В самом деле, эти неизвестные функции находились в правой части САУ (14). Чтобы вывести их из знака определителей, продифференцируем (9), а полученное выражение запишем в следующем виде: T l Bi (x) = D1 (x)B1i + f x, H(θ, y)u(θ, y)dydθ B2i + β(x)B3i , 0 0 где T B1i = T bi (s)ds, B2i = T sbi (s)ds, 0 0 B3i = q(s)bi (s)ds. 0 В этом случае, согласно свойству определителей имеем T l ∆i (λ, x) = D1 (x)∆1i (λ) + f x, H(θ, y)u(θ, y)dydθ ∆2i (λ) + β(x)∆3i (λ), 0 0 где λ λ 1 λ λ 1 - ω A11 . . . - ω A1(i-1) - ω Bk1 - ω A1(i+1) . . . - ω A1n λ λ 1 λ λ - ω A21 . . . - ω A2(i-1) - ω Bk2 - ω A2(i+1) . . . - ω A2n . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . λ 1 λ λ λ - ω An1 . . . - ω An(i-1) - ω Bkn - ω An(i+1) . . . 1 - ω Ann ∆ki (λ) = , k = 1, 3. Тогда формула (16) переписывается в виде ci (x) = D1 (x) ∆1i (λ) + ∆(λ) T l + f x, ∆2i (λ) ∆3i (λ) + β(x) , ∆(λ) ∆(λ) H(θ, y)u(θ, y)dydθ 0 0 i = 1, n. (17) Итак, решена САУ (14): ci (x) - λ ω n Aij cj (x) = j=1 =- 740 1 D1 (x)B1i + f ω T l x, H(θ, y)u(θ, y)dydθ B2i + β(x)B3i , 0 0 Обратная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма . . . i = 1, n, a решения представлены в виде функций (17). Чтобы получить решение СДУ (12), функции (17) подставим в условие (13): ∆1i (λ) + ∆(λ) ci (x) = -ω D1 (x) T l ∆2i (λ) ∆3i (λ) , + β(x) ∆(λ) ∆(λ) H(θ, y)u(θ, y)dydθ + f x, 0 0 i = 1, n. (18) В (6) учтем второе условие из (3). Тогда из (6) получим следующее начальное условие для интегрирования функций (18): T ci (0) = i = 1, n. bi (s)ψ2 (s)ds, 0 Из (18) интегрированием получаем решение системы неоднородного дифференциального уравнения (12): T bi (s)ψ2 (s)ds - ω D1 (x) ci (x) = 0 x + T f ∆1i (λ) + ∆(λ) l y, ∆2i (λ) + ∆(λ) x ∆3i (λ) + β(y)dy , i = 1, n. (19) ∆(λ) 0 H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy 0 0 0 Подстановка (19) в (7) дает следующее выражение: t utx (t, x) = D1 (x) + E1 (s)ds+ 0 n t +λ i=1 + ωD1 (y) x 0 ∆1i (λ) +ω ∆(λ) bi (s)ψ2 (s)ds+ 0 0 y T f H(θ, ξ)u(θ, ξ)dξdθ 0 +ω 0 l z, 0 y 0 ∆3i (λ) β(z)dz ∆(λ) x + q(t) T - ai (s)ds x 0 dy+ T β(y)dy + t f l y, 0 ∆2i (λ) + ∆(λ) H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy. (20) 0 0 Интегрированием по x и по t из (20) получаем t u(t, x) = D2 (x) + n x E2 (s)ds + t 0 t i=1 0 (t - s)E1 (s)ds+ 0 0 T x (t - s)ai (s)ds +λ t D1 (y)dy + x (x - y) - 0 bi (s)ψ2 (s)ds+ 0 741 Ю л д а ш е в Т. К. + ωD1 (y) y ∆1i (λ) +ω ∆(λ) y +ω 0 T f H(θ, ξ)u(θ, ξ)dξdθ 0 0 0 (x - y)β(y)dy+ dy + q(t) 0 T x t2 2 ∆2i (λ) + ∆(λ) x ∆3i (λ) β(z)dz ∆(λ) + l z, (x - y)f l H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy, (21) y, 0 0 0 где D2 (x) ∈ C 2 (Ωl ), E2 (t) ∈ C 2 (ΩT ) - произвольные функции, которые подлежат определению; t D2 (0) = E2 (0) = 0, q(t) = q(s)ds. 0 Используя условия (2) и (3), из (21) приходим к следующим равенствам: t ϕ1 (x) = D2 (x), ψ1 (t) = E2 (s)ds, 0 x ϕ2 (x) = t D1 (y)dy, ψ2 (t) = 0 E1 (s)ds. 0 Тогда интегральное уравнение (21) запишется в виде x u(t, x) = Q(t, x) + y F1 (t, x, y) β(y) + β(z)dz dy+ 0 0 x + T F2 (t, x, y) f l y, H(θ, z)u(θ, z)dzdθ + 0 0 0 T y f + l H(θ, ξ)u(θ, ξ)dξdθ dz dy, (22) z, 0 0 0 где t Q(t, x) = ϕ1 (x) + ψ1 (t) + tϕ2 (x) + x ψ2 (s)ds- 0 n t -λ x (t - s)ai (s)ds i=1 0 T (x - y) bi (s)ψ2 (s)ds - ωϕ2 (y) 0 0 F1 (t, x, y) = µ(t)(x - y), F2 (t, x, y) = ν(t)(x - y), n t (t - s)ai (s)ds µ(t) = q(t) + ωλ i=1 t2 ν(t) = + ωλ 2 742 0 n t (t - s)ai (s)ds i=1 0 ∆3i (λ) , ∆(λ) ∆2i (λ) . ∆(λ) ∆1i (λ) dy, ∆(λ) Обратная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма . . . Итак, начальная задача (1)-(3) свелась к интегральному уравнению (22). Уравнение (22) относительно основной неизвестной функции u(t, x) является интегральным уравнением типа Вольтерра второго рода, а относительно функции восстановления β(x) является интегральным уравнением типа Вольтерра первого рода. 2. Теорема об однозначной разрешимости обратной задачи. Учет дополнительного условия (4) в (22) дает x y F1 (t0 , x, y) β(y) + β(z)dz dy+ 0 0 x + T F2 (t0 , x, y) f H(θ, z)u(θ, z)dzdθ + 0 y + 0 l T f l y, z, 0 H(θ, ξ)u(θ, ξ)dξdθ dz dy = g(x), (23) 0 0 0 где g(x) = η(x) - Q(t0 , x). Двукратным дифференцированием из (23) для функции восстановления β(x) получаем следующее соотношение: x T β(y)dy = g(x) - F (t0 ) f β(x) + H(θ, z)u(θ, z)dzdθ + 0 0 T x + l x, f 0 l y, H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy , (24) 0 0 0 где g(x) = g (x)/µ(t0 ), F (t0 ) = ν(t0 )/µ(t0 ). Подставляя (24) в (22), относительно основной неизвестной функции u(t, x) окончательно получим следующее интегральное уравнение типа Вольтерра второго рода: x u(t, x) = h(t, x) + T Φ(t, x, y) f H(θ, z)u(θ, z)dzdθ + 0 0 T y f + l y, 0 l z, 0 H(θ, ξ)u(θ, ξ)dξdθ dz dy, (25) 0 где 0 x h(t, x) = Q(t, x) + F1 (t, x, y)g(y)dy, 0 Φ(t, x, y) = F2 (t, x, y) - F (t0 )F1 (t, x, y). Для произвольной функции l(t, x) ∈ C 2,2 (Ω) рассматривается следующая норма: l(t, x) C = max l(t, x) : (t, x) ∈ Ω . Теорема. Пусть 1) выполняются условия условия (10), (13), (15), µ(t0 ) = 0; 2) σ = max h(t, x) : (t, x) ∈ Ω < ∞; 743 Ю л д а ш е в Т. К. y x f (z, γ) dz dy : (t, x) ∈ Ω Φ(t, x, y) f (y, γ) + 3) M = max 0 0 x l H(t, x) dxdt < ∞; 0 y |Φ(t, x, y)| L(y) + 5) δ2 = max T L(x) γ1 - γ2 , δ1 = |γ| 4) f (x, γ1 ) - f (x, γ2 ) 0 < ∞; 0 L(z)dz dy : (t, x) ∈ Ω < ∞, 0 ρ = δ1 δ2 < 1. Тогда существует единственная пара решений C(Ωl ) обратной задачи (1)-(4). u(t, x) ∈ C 2,2 (Ω), β(x) ∈ Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим следующий итерационный процесс для уравнения (25): u0 (t, x) = 0, uk+1 (t, x) = h(t, x)+ T x Φ(t, x, y) f + 0 y + T f (26) H(θ, z)uk (θ, z)dzdθ + 0 l z, 0 l y, 0 H(θ, ξ)uk (θ, ξ)dξdθ dz dy, k = 0, 1, 2, . . . . 0 0 В силу условий теоремы из (26) получаем следующие оценки: u1 (t, x) - u0 (t, x) uk+1 (t, x) - uk (t, x) C σ + M, (27) C y x |Φ(t, x, y)| L(y) + δ1 max L(z)dz × 0 0 × uk (t, y) - uk-1 (t, y) C dy : (t, x) ∈ Ω ρ uk (t, x) - uk-1 (t, x) C . (28) В силу последнего условия теоремы из оценки (28) следует, что оператор в правой части (25) является сжимающим. Из оценок (27) и (28) заключаем, что для оператора (25) существует единственная неподвижная точка (см., например, [30, стр. 389-401]). Следовательно, в области Ω интегральное уравнение (25) имеет единственное решение. Кроме того, справедлива оценка скорости сходимости ρk+1 uk+1 (t, x) - u(t, x) C (σ + M ). 1-ρ Подставляя решение уравнения (25) в формулу (24), получим интегральное уравнение для однозначного восстановления вторую неизвестную функцию β(x): x β(x) + β(y)dy = α(x), 0 744 (29) Обратная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма . . . где T α(x) = g(x) - F (t0 ) f l H(θ, z)u(θ, z)dzdθ + x, 0 0 T x + f 0 l y, H(θ, z)u(θ, z)dzdθ dy . 0 0 Поскольку α(x) ∈ C(Ωl ), интегральное уравнение (29) имеет единственное решение на отрезке Ωl .

About the authors

Tursun K Yuldashev

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University

Email: tursunbay@rambler.ru
31, pr. “Krasnoyarski Rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; tursunbay@rambler.ru), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics

References

  1. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 248 с.
  2. Абзалимов Р. Р., Саляхова Е. В. Разностно-аналитический метод вычисления собственных значений для уравнений четвертого порядка с разделенными краевыми условиями // Изв. вузов. Матем., 2008. № 11. С. 3-11.
  3. Джураев Т. Д., Сопуев А. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. Ташкент: Фан, 2000. 144 с.
  4. Мукминов Ф. Х., Биккулов И. М. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неограниченной области // Матем. сб., 2004. Т. 195, № 3. С. 115-142. doi: 10.4213/sm810.
  5. Никишкин В. А. Об асимптотике решения задачи Дирихле для уравнения четвертого порядка в слое // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2014. Т. 54, № 8. С. 1249-1255. doi: 10.7868/S0044466914080122.
  6. Смирнов М. М. Модельные уравнения смешанного типа четвертого порядка. Л.: ЛГУ, 1972. 123 с.
  7. Юлдашев Т. К. О смешанной задаче для нелинейного уравнения в частных производных четвертого порядка с отражающим отклонением // Вестн. Южно-Ур. ун-та. Сер. Матем. Мех. Физ., 2011. № 4. С. 40-48.
  8. Юлдашев Т. К. О смешанной задаче для нелинейного дифференциального уравнения, содержащего квадрат гиперболического оператора и нелинейное отражающее отклонение // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2011. № 2(14). С. 59-69.
  9. Юлдашев Т. К. Смешанная задача для нелинейного дифференциального уравнения четвертого порядка с малым параметром при параболическом операторе // Ж. Вычисл. матем. и матем. физ., 2011. Т. 51, № 9. С. 1703-1711.
  10. Юлдашев Т. К. О смешанной задаче для одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка // Журнал СВМО, 2012. Т. 14, № 2. С. 137-142.
  11. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 285 с.
  12. Денисов А. М. Обратная задача для квазилинейной системы уравнений в частных производных с нелокальным краевым условием // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2014. Т. 54, № 10. С. 1571-1579. doi: 10.7868/S004446691410007X.
  13. Костин А. Б. Обратная задача восстановления источника в параболическом уравнении по условию нелокального наблюдения // Матем. сб., 2013. Т. 204, № 10. С. 3-46. doi: 10.4213/sm8104.
  14. Лаврентьев М. М., Савельев Л. Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991. 331 с.
  15. Мегралиев Я. Т. Об одной обратной краевой задаче для эллиптического уравнения второго порядка с интегральным условием первого рода / Тр. ИММ УрО РАН, Т. 19, 2013. С. 226-235.
  16. Прилепко А. И., Костин А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Матем. сб., 1992. Т. 183, № 4. С. 49-68.
  17. Прилепко А. И., Ткаченко Д. С. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003. Т. 43, № 4. С. 562-570.
  18. Романов В. Г. Обратные задачи для математической физики. М.: Наука, 1984. 264 с.
  19. Юлдашев T. K. Обратная задача для одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2013. № 9/1(110). С. 58-66.
  20. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений высшего порядка // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика, 2014. № 1. С. 153-163.
  21. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2012. № 2(18). С. 56-62.
  22. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка // Вестн. Южно-Ур. ун-та. Сер. Матем. Мех. Физ., 2012. № 6. С. 35-41.
  23. Юлдашев T. K. Обратная задача для нелинейного уравнения с псевдопараболическим оператором высокого порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 3(28). С. 17-29. doi: 10.14498/vsgtu1041.
  24. Юлдашев T. K. Обратная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с гиперболическим оператором высокой степени // Вестн. Южно-Ур. ун-та. Сер. Матем. Мех. Физ., 2013. Т. 5, № 1. С. 69-75.
  25. Юлдашев Т. К., Середкина А. И. Обратная задача для квазилинейных интегродифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 3(32). С. 46-55. doi: 10.14498/ vsgtu1133.
  26. Юлдашев Т. К. О разрешимости смешанной задачи для линейного параболо-гиперболического интегро-дифференциального уравнения Фредгольма // Журнал СВМО, 2013. Т. 15, № 3. С. 158-163.
  27. Юлдашев Т. К. Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1(34). С. 56-65. doi: 10.14498/vsgtu1299.
  28. Юлдашев Т. К. Двойная обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма эллиптического типа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2(35). С. 39-49. doi: 10.14498/vsgtu1306.
  29. Юлдашев Т. К., Шабадиков К. Х. Обратная задача для гиперболического интегро-дифференциального уравнения Фредгольма // Таврический вестник информатики и математики, 2014. № 1. С. 73-81, http://tvim.info/files/73_81_Yuldashev.pdf.
  30. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 495 с.

Statistics

Views

Abstract - 17

PDF (Russian) - 9

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies