Cauchy problem for a parabolic equation with Bessel operator and Riemann-Liouville partial derivative

Abstract


In this paper Cauchy problem for a parabolic equation with Bessel operator and with Riemann-Liouville partial derivative is considered. The representation of the solution is obtained in terms of integral transform with Wright function in the kernel. It is shown that when this equation becomes the fractional diffusion equation, obtained solution becomes the solution of Cauchy problem for the corresponding equation. The uniqueness of the solution in the class of functions that satisfy the analogue of Tikhonov condition is proved.

Full Text

Введение. Пусть Day - оператор интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля дробного порядка γ с началом в точке a и с концом в точке y, который определяется следующим образом [1, 2]: g(t) sign(y - a) y dt, γ < 0; γ+1 Γ(-γ) a |y - t| γ Day g(y) = g(y), γ = 0; dn γ-n γ Day g(y) = signn (y - a) n Day g(y), n - 1 < γ n, n ∈ N. dy γ Day g(y) = Здесь Γ(s) - гамма-функция Эйлера. В области Ω = {(x, y) : -∞ < x < ∞, 0 < y < T } рассмотрим уравнение α Lu(x, y) ≡ Bx u(x, y) - D0y u(x, y) = 0, (1) © 2016 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования 74 Задача Коши для параболического уравнения. . . где ∂ ∂ ∂2 b ∂ |x|b = + 2 ∂x ∂x ∂x x ∂x - оператор Бесселя, |b| < 1, 0 < α 1. Уравнение (1) при α = 1 совпадает с уравнением Bx = |x|-b uy = uxx + b ux , x (2) исследованным в работе [3]. Для уравнения (2) при b > -1 в работе [4] была исследована задача Коши. В работе [5] методом интегральных преобразований исследована задача Коши для уравнения α D0t u(x, t) = λ2 ∆x u(x, t), x ∈ Rm , t > 0, (3) 1и1<α<2 где ∆x = m ∂ 2 /∂x2 , n - 1 < α < n, n ∈ N. При 0 < α j j=1 решения выписаны в терминах H-функции Фокса. Решение задачи Коши для уравнения (3) при λ = 1, 0 < α 1 в терминах функции Райта выписано в работе [6]. Задача Коши для уравнения (3) в случае, когда вместо оператора Римана-Лиувилля стоит оператор Капуто, была исследована в работе [7]. Уравнение диффузии с оператором Капуто и эллиптическим оператором с коэффициентами, зависящими от пространственных переменных, было исследовано в работах [8, 9]. В работе [10] построено фундаментальное решение и исследована задача Коши для многомерного диффузионно-волнового уравнения с оператором Джрбашяна-Нерсесяна. В работе [11] исследована задача Коши для уравнения β α D0y + bD0y u(x, y) - uxx (x, y) + cu(x, y) = f (x, y), где 1 < α = 2β < 2, b и c - заданные действительные числа. Интерес к изучению уравнения (1) вызван его приложениями при моделировании процессов переноса в средах, имеющих фрактальную размерность [12-17]. ¯ 1. Постановка задачи. Пусть Ω+ = Ω ∩ {x > 0}, Ω- = Ω ∩ {x < 0}, Ω - замыкание области Ω. Определение. Регулярным решением уравнения (1) в области Ω назовем функцию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (1) в области Ω+ ∪ Ω- α ¯ и такую, что y 1-α u ∈ C(Ω), |x|b ux ∈ C(Ω), uxx , D0y u ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ). Задача 1. Найти регулярное в области Ω решение уравнения (1), удовлетворяющее условию α-1 lim D0y u(x, y) = ϕ(x), y→0 -∞ < x < ∞, (4) где ϕ(x) - заданная функция. 2. Вспомогательные сведения. В работе [2, с. 72] определено интегральное преобразование для функции v(y), заданной на положительной полуоси ∞ Aα,µ v(y) ≡ (Aα,µ v)(y) = v(t)y µ-1 φ -α, µ; -ty -α dt, 0 < α < 1, 0 75 Х у ш т о в а Ф. Г. где φ(ρ, δ; z) - функция Райта [18]. В случае, когда µ = 0, введено обозначение Aα,0 v(y) = Aα v(y). Если преобразование Aα,µ применяется к функции, зависящей от нескольких переменных, то в случае необходимости с помощью нижнего индекса обозначается переменная, по которой проводится преобразование. Например, Aα,µ v(x, y). y Для степенной функции справедлива формула [2, с. 74] Aα,µ y δ-1 = y αδ+µ-1 Γ(δ) , Γ(αδ + µ) δ > 0, µ = 0; δ = 0, µ = 0. (5) , (6) Докажем справедливость формулы Aα,µ y δ-1 exp - c2 4y 2,0 = y αδ+µ-1 H1,2 c2 4y α αδ + µ, α 0, 1 , ∆, 1 m,n где Hp,q (z) - H-функция Фокса [19, 20], δ = 0, ±1, ±2, . . . Вычислим интеграл Aα,µ y δ-1 exp - ∞ c2 4y tδ-1 exp - = y µ-1 0 c2 φ -α, µ; -ty -α dt. 4t Сделав замену τ = ty -α , перепишем его в виде Aα,µ y δ-1 exp - ∞ c2 4y = y αδ+µ-1 τ δ-1 exp - 0 Интеграл ∞ τ δ-1 exp - J= 0 c2 φ (-α, µ; -τ ) dτ. 4y α τ c2 φ (-α, µ; -τ ) dτ 4y α τ (7) (8) вычислим, воспользовавшись методом, изложенным О. И. Маричевым в [21]. Положив K1 (τ ) = e-τ , K2 (τ ) = τ δ φ (-α, µ; -τ ) , x= c2 , 4y α преобразуем интеграл (8) к виду ∞ J= 0 K1 dτ x K2 (τ ) , τ τ x > 0. Из строки 3.1 (1) § 10 [21] базовой таблицы найдем преобразование Меллина первой функции K1∗ (s) = Γ(s), Re s > 0. Преобразование Меллина функции Райта можно найти из формулы (5), приведенной выше в настоящей работе. Положив в ней δ = s и сделав замену t = y α τ в определении преобразования Aα,µ , получим ∞ τ s-1 φ (-α, µ; -τ ) dτ = 0 76 Γ(s) , Γ(µ + αs) Re s > 0. Задача Коши для параболического уравнения. . . Тогда образ второй функции K2 (τ ) можно найти, если к подынтегральной функции в последнем равенстве добавить множитель τ δ , а в правой части заменить s на s + δ: K2∗ (s) = Γ(δ + s) , Γ(µ + αδ + αs) Re s > -δ. Перемножив образы Ki ∗ (s), i = 1, 2, придем к значению K ∗ (s) = Γ(s)Γ(δ + s) , Γ(µ + αδ + αs) Re s > - min{δ, 0}. Вычисляя прообраз функции K ∗ (s), получим значение интеграла J= 1 2πi Li∞ Γ(s) Γ(δ + s) Γ(µ + αδ + αs) c2 4y α -s 2,0 ds = H1,2 c2 4y α µ + αδ, α 0, 1 , δ, 1 , где Li∞ = (ω - i∞, ω + i∞), ω > - min{δ, 0}, δ = 0, ±1, ±2, . . . Подставляя найденное значение интеграла в (7), приходим к (6). Приведем здесь еще асимптотическую формулу при z → ∞ для H-функции из формулы (6) [20, с. 17]: 2,0 H1,2 z µ + αδ, α 0, 1 , δ, 1 =O z δ(1-α)-µ 2-α α 1 exp -(2 - α) α 2-α z 2-α . (9) 3. Основные результаты. Обозначим через Γ(x, ξ, y) = Aα g(x, ξ, y), y g(x, ξ, y) = x2 + ξ 2 |x|β |ξ|β exp - 4y 4y Iβ |xξ| |xξ| + I-β 2y 2y , β= 1-b , 2 где Iν (z) - модифицированная функция Бесселя первого рода порядка ν [22, 23]. Приведем здесь следующие свойства функции Γ(x, ξ, y), доказанные в работе [24]. Свойство 1◦ . Для функции Γ(x, ξ, y) при |xξ| 2y имеют место следующие оценки: |Γ(x, ξ, y)| const · y αβ-1 , ∂ n+1 Γ(x, ξ, y) const · |x|2β-n-1 |ξ|2β y -αβ-1 , β = 1/2, ∂xn+1 ∂ 2n Γ(x, ξ, y) const · y -α(2n+1)/2+α-1 , β = 1/2, ∂x2n ∂ 2n+1 Γ(x, ξ, y) const · |ξ|y -α(2n+1)/2-1 , β = 1/2, ∂x2n+1 α D0y Γ(x, ξ, y) const · y αβ-α-1 , 77 Х у ш т о в а Ф. Г. а при |xξ| > 2y - следующие оценки: ∂n Γ(x, ξ, y) ∂xn const · |x|β+(2n-1)/2 |ξ|β-1/2 Aα y -(2n-1)/2-1 exp - y const · |x|β+3/2 |ξ|β-1/2 Aα y -5/2 exp - y α D0y Γ(x, ξ, y) (x - ξ)2 , 4y (x - ξ)2 , 4y где n = 0, 1, 2, . . . Используя формулу (6) при µ = 0, δ = -(2n - 1)/2 и c = x, затем асимптотическую формулу (9), оценкам при |xξ| > 2y можно придать вид ∂n Γ(x, ξ, y) ∂xn const · Pn (x, ξ, y) exp -α0 |x - ξ| 2-α y - 2-α , α D0y Γ(x, ξ, y) const · P2 (x, ξ, y) exp -α0 |x - ξ| 2-α y - 2-α , 2 2 2 α α (10) α где n = 0, 1, 2, . . . , α0 = (2 - α)2- 2-α α 2-α , Pn (x, ξ, y) = xβ+ 2n-1 2 1 ξ β- 2 |x - ξ|- (2n-1)(1-α) 2-α y - α(2n-1) -1 2(2-α) . Свойство 2◦ . Функция Γ(x, ξ, y) при x = 0, y > 0 и фиксированном ξ является решением уравнения L Γ(x, ξ, y) = 0. Свойство 3◦ . Функция Γ(x, ξ, y - η) = Aα g(x, ξ, t) t t=y-η при фиксированных x и y как функция переменных ξ и η, ξ = 0, 0 < η < y, является решением сопряженного уравнения α L∗ Γ(x, ξ, y - η) ≡ Bξ Γ(x, ξ, y - η) - Dyη Γ(x, ξ, y - η) = 0. (11) Свойство 4◦ . Для любой функции h(x) ∈ C[ x1 ; x2 ] выполняется соотношение x2 lim η→y α-1 |ξ|b h(ξ)Dyη Γ(x, ξ, y - η)dξ = h(x), x1 < x < x 2 . x1 Справедливы следующие теоремы. Теорема 1. Пусть ϕ(x) ∈ C(-∞, ∞) и выполняется условие 2 lim ϕ(x) exp -ρ|x| 2-α |x|→∞ Тогда функция 2 α ρ < (2 - α)2- 2-α (α/T ) 2-α . ∞ |ξ|1-2β Γ(x, ξ, y)ϕ(ξ)dξ u(x, y) = -∞ 78 = 0, (12) Задача Коши для параболического уравнения. . . является решением задачи 1. Теорема 2. Существует не более одного регулярного решения задачи 1 в классе функций, удовлетворяющих условию 2 lim y 1-α u(x, y) exp - k|x| 2-α = 0 (13) |x|→∞ при некотором положительном k, причем сходимость в (13) является равномерной на множестве {y ∈ (0; T )}. 4. Доказательство теоремы 1. Доказательство того, что функция (12) удовлетворяет уравнению (1), следует из свойства 2◦ . Перестановки знаков производных и интегралов при дифференцировании по x и взятии дробной производной по y порядка α допустимы в силу свойства 1◦ . Выполнимость начального условия (4) следует из свойства 4◦ . Заметим, что при β = 1/2 (b = 0) из результатов работы [24] следует, что функция ∞ u(x, y) = Γ(x, ξ, y)ϕ(ξ)dξ, -∞ где Γ(x, ξ, y) = |x - ξ| y σ-1 φ -σ, σ; - , 2 yσ σ= α , 2 совпадает с решением задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка, приведенным в [2, с. 127]. 5. Доказательство теоремы 2. Пусть hr (ξ) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, обладающая следующими свойствами: hr (ξ) = 0 hr (ξ) 1, 1, |ξ| 0, |ξ| r, r + 1, |hr (ξ)| + |hr (ξ)| (14) H, где H - постоянная, не зависящая от r. Рассмотрим функцию v(x, ξ, y - η) = hr (ξ) Γ(x, ξ, y - η). Учитывая, что функция Γ(x, ξ, y -η) удовлетворяет уравнению (11), получим L∗ v(x, ξ, y - η) = 2hr (ξ)Γξ (x, ξ, y - η)+ b + hr (ξ)Γ(x, ξ, y - η) + hr (ξ)Γ(x, ξ, y - η). (15) ξ Докажем сначала, что если ϕ(x) ≡ 0, то u(x, y) ≡ 0 при 0 < y < δ для достаточно малого δ. Из теоремы 1 [24] следует, что регулярное в области Ωr = {(x, y) : |x| < r, 0 < y < δ} 79 Х у ш т о в а Ф. Г. решение однородной задачи, соответствующей задаче 1, представимо в виде r+1 y u(x, y) = -r-1 |ξ|1-2β u(ξ, η)L∗ v(x, ξ, y - η) dη dξ. 0 Из (14) и (15) следует, что L∗ v(x, ξ, y - η) = 0, если |ξ| -r r+1 u(x, y) = y + -r-1 r r, откуда |ξ|1-2β u(ξ, η) L∗ v(x, ξ, y - η) dη dξ. 0 Далее в силу свойств функции hr (ξ) и оценок (10) из (15) получим | L∗ v(x, ξ, y - η) | 2 α const · P1 (x, ξ, y - η) exp -α0 |x - ξ| 2-α (y - η)- 2-α . Учитывая эту оценку, а также условие (13), находим -r |u(x, y)| r+1 const · y + -r-1 P (x, ξ, y, η)× r 0 2 α 2 × exp -α0 |x - ξ| 2-α (y - η)- 2-α + kξ 2-α dη dξ, где P (x, ξ, y, η) = |ξ|1-2β η α-1 P1 (x, ξ, y - η). При δ < (α0 /k)(2-α)/α и r → ∞ правая часть последнего неравенства стремится к нулю. Это означает, что функция u(x, y) ≡ 0 в области Ω1 = {(x, y) : -∞ < x < ∞, 0 < y < δ}. Докажем, что u(x, y) ≡ 0 для любого y > 0. Пусть t = y - δ, δ y < 2δ. Рассмотрим функцию w(x, t) = u(x, δ + t). Так как u(x, y) ≡ 0 при 0 < y < δ, α α α D0y u(x, y) = Dδy u(x, y) = D0t w(x, t). Отсюда следует, что функция w(x, t) удовлетворяет уравнению α Bx w(x, t) - D0t w(x, t) = 0, условиям (13) и α-1 lim D0t w(x, t) = 0, -∞ < x < ∞. t→0 Тогда, согласно доказанному выше, w(x, t) ≡ 0 в Ω2 = {(x, t) : -∞ < x < ∞, 0 < t < δ}, то есть u(x, y) ≡ 0 в Ω2 = {(x, y) : -∞ < x < ∞, δ < y < 2δ}. Точно так же доказывается, что u(x, y) ≡ 0 в полосах (n - 1)δ n = 3, 4, . . . Теорема 2 доказана. 80 y < nδ, Задача Коши для параболического уравнения. . . Заключение. В работе исследуется задача Коши в полосе для дифференциального уравнения параболического типа с оператором Бесселя и частной производной Римана-Лиувилля. Используя фундаментальное решение исследуемого уравнения и его свойства, полученные ранее автором настоящей работы, доказывается теорема существования решения. Показано, что когда рассматриваемое уравнение обращается в уравнение диффузии дробного порядка, полученное решение переходит в решение задачи Коши для соответствующего уравнения. Доказана теорема единственности решения в классе функций, удовлетворяющих аналогу условия Тихонова.

About the authors

Fatima G Khushtova

Institute of Applied Mathematics and Automation

Email: khushtova@yandex.ru
89 a, Shortanova st., Nal'chik, 360000, Russian Federation
Research Fellow, Dept. CAD of Mixed Systems and Management

References

  1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  2. Псху А. B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
  3. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. М.: Наука, 1985. 105 с.
  4. Arena O. On a Singular Parabolic Equation Related to Axially Symmetric Heat Potentials // Annali di Matematica Pura ed Applicata, 1975. vol. 105, no. 1. pp. 347-393. doi: 10.1007/BF02414938.
  5. Ворошилов А. А., Килбас А. А. Задача типа Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Римана-Лиувилля // Доклады Академии наук, 2006. Т. 406, № 1. С. 12-16.
  6. Геккиева С. Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2000. Т. 5, № 1. С. 16-19.
  7. Ворошилов А. А., Килбас А. А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто // Дифференц. уравнения, 2006. Т. 42, № 5. С. 599-609.
  8. Кочубей А. Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения, 1989. Т. 25, № 8. С. 1359-1368.
  9. Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения, 1990. Т. 26, № 4. С. 660-670.
  10. Псху А. В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Изв. РАН. Сер. матем., 2009. Т. 73, № 2. С. 141-182. doi: 10.4213/im2429.
  11. Мамчуев М. О. Видоизмененная задача типа Коши для нагруженного параболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2012. Т. 14, № 2. С. 22-28.
  12. Metzler R., Glöckle W. G., Nonnenmacher T. F. Fractional model equation for anomalous diffusion // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 1994. vol. 211, no. 1. pp. 13-24. doi: 10.1016/0378-4371(94)90064-7.
  13. Giona M., Roman H. E. Fractional diffusion equation on fractals: one-dimensional case and asymptotic behavior // Phys. A: Math. Gen., 1992. vol. 25, no. 8. pp. 2093-2105. doi: 10.1088/0305-4470/25/8/023.
  14. Metzler R., Klafter J. The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Physics Reports, 2000. vol. 339, no. 1. pp. 1-77. doi: 10.1016/s0370-1573(00)00070-3.
  15. Metzler R., Klafter J. The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics // Phys. A: Math. Gen., 2004. vol. 37, no. 31. pp. R161-R208. doi: 10.1088/0305-4470/37/31/r01.
  16. Учайкин В. В. Анизотропия космических лучей в дробно-дифференциальных моделях аномальной диффузии // ЖЭТФ, 2013. Т. 143, № 6. С. 1039-1047. doi: 10.7868/S0044451013060037.
  17. Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers / Nonlinear Physical Science. vol. I: Background and Theory. Berlin: Springer, 2013. xii+385 pp. doi: 10.1007/978-3-642-33911-0.
  18. Gorenflo R., Luchko Y., Mainardi F. Analytical properties and applications of the Wright function // Fractional Calculus and Applied Analysis, 1999. vol. 2, no. 4. pp. 383-414, arXiv: math-ph/0701069.
  19. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 3: Специальные функции. Дополнительные главы. М.: Наука, 2003. 688 с.
  20. Kilbas A. A., Saigo M. H-Transform. Theory and Applications / Analytical Methods and Special Functions. vol. 9. Boca Raton, etc.: Chapman and Hall, 2004. xii+389 pp.
  21. Маричев О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций (теория и таблицы формул). Мн.: Наука и техника, 1978. 312 с.
  22. Кузнецов Д. С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965. 248 с.
  23. Erdélyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. vol. II. / Bateman Manuscript Project. New York, Toronto, London: McGraw-Hill Book Co., 1953. xvii+396 pp.
  24. Хуштова Ф. Г. Фундаментальное решение модельного уравнения аномальной диффузии дробного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. Т. 19, № 4. С. 722-735. doi: 10.14498/vsgtu1445.

Statistics

Views

Abstract - 16

PDF (Russian) - 22

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies