Cauchy problem for a parabolic equation with Bessel operator and Riemann-Liouville partial derivative

Full Text

Введение. Пусть Day - оператор интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля дробного порядка γ с началом в точке a и с концом в точке y, который определяется следующим образом [1, 2]: g(t) sign(y - a) y dt, γ < 0; γ+1 Γ(-γ) a |y - t| γ Day g(y) = g(y), γ = 0; dn γ-n γ Day g(y) = signn (y - a) n Day g(y), n - 1 < γ n, n ∈ N. dy γ Day g(y) = Здесь Γ(s) - гамма-функция Эйлера. В области Ω = {(x, y) : -∞ < x < ∞, 0 < y < T } рассмотрим уравнение α Lu(x, y) ≡ Bx u(x, y) - D0y u(x, y) = 0, (1) © 2016 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования 74 Задача Коши для параболического уравнения. . . где ∂ ∂ ∂2 b ∂ |x|b = + 2 ∂x ∂x ∂x x ∂x - оператор Бесселя, |b| < 1, 0 < α 1. Уравнение (1) при α = 1 совпадает с уравнением Bx = |x|-b uy = uxx + b ux , x (2) исследованным в работе [3]. Для уравнения (2) при b > -1 в работе [4] была исследована задача Коши. В работе [5] методом интегральных преобразований исследована задача Коши для уравнения α D0t u(x, t) = λ2 ∆x u(x, t), x ∈ Rm , t > 0, (3) 1и1<α<2 где ∆x = m ∂ 2 /∂x2 , n - 1 < α < n, n ∈ N. При 0 < α j j=1 решения выписаны в терминах H-функции Фокса. Решение задачи Коши для уравнения (3) при λ = 1, 0 < α 1 в терминах функции Райта выписано в работе [6]. Задача Коши для уравнения (3) в случае, когда вместо оператора Римана-Лиувилля стоит оператор Капуто, была исследована в работе [7]. Уравнение диффузии с оператором Капуто и эллиптическим оператором с коэффициентами, зависящими от пространственных переменных, было исследовано в работах [8, 9]. В работе [10] построено фундаментальное решение и исследована задача Коши для многомерного диффузионно-волнового уравнения с оператором Джрбашяна-Нерсесяна. В работе [11] исследована задача Коши для уравнения β α D0y + bD0y u(x, y) - uxx (x, y) + cu(x, y) = f (x, y), где 1 < α = 2β < 2, b и c - заданные действительные числа. Интерес к изучению уравнения (1) вызван его приложениями при моделировании процессов переноса в средах, имеющих фрактальную размерность [12-17]. ¯ 1. Постановка задачи. Пусть Ω+ = Ω ∩ {x > 0}, Ω- = Ω ∩ {x < 0}, Ω - замыкание области Ω. Определение. Регулярным решением уравнения (1) в области Ω назовем функцию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (1) в области Ω+ ∪ Ω- α ¯ и такую, что y 1-α u ∈ C(Ω), |x|b ux ∈ C(Ω), uxx , D0y u ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ). Задача 1. Найти регулярное в области Ω решение уравнения (1), удовлетворяющее условию α-1 lim D0y u(x, y) = ϕ(x), y→0 -∞ < x < ∞, (4) где ϕ(x) - заданная функция. 2. Вспомогательные сведения. В работе [2, с. 72] определено интегральное преобразование для функции v(y), заданной на положительной полуоси ∞ Aα,µ v(y) ≡ (Aα,µ v)(y) = v(t)y µ-1 φ -α, µ; -ty -α dt, 0 < α < 1, 0 75 Х у ш т о в а Ф. Г. где φ(ρ, δ; z) - функция Райта [18]. В случае, когда µ = 0, введено обозначение Aα,0 v(y) = Aα v(y). Если преобразование Aα,µ применяется к функции, зависящей от нескольких переменных, то в случае необходимости с помощью нижнего индекса обозначается переменная, по которой проводится преобразование. Например, Aα,µ v(x, y). y Для степенной функции справедлива формула [2, с. 74] Aα,µ y δ-1 = y αδ+µ-1 Γ(δ) , Γ(αδ + µ) δ > 0, µ = 0; δ = 0, µ = 0. (5) , (6) Докажем справедливость формулы Aα,µ y δ-1 exp - c2 4y 2,0 = y αδ+µ-1 H1,2 c2 4y α αδ + µ, α 0, 1 , ∆, 1 m,n где Hp,q (z) - H-функция Фокса [19, 20], δ = 0, ±1, ±2, . . . Вычислим интеграл Aα,µ y δ-1 exp - ∞ c2 4y tδ-1 exp - = y µ-1 0 c2 φ -α, µ; -ty -α dt. 4t Сделав замену τ = ty -α , перепишем его в виде Aα,µ y δ-1 exp - ∞ c2 4y = y αδ+µ-1 τ δ-1 exp - 0 Интеграл ∞ τ δ-1 exp - J= 0 c2 φ (-α, µ; -τ ) dτ. 4y α τ c2 φ (-α, µ; -τ ) dτ 4y α τ (7) (8) вычислим, воспользовавшись методом, изложенным О. И. Маричевым в [21]. Положив K1 (τ ) = e-τ , K2 (τ ) = τ δ φ (-α, µ; -τ ) , x= c2 , 4y α преобразуем интеграл (8) к виду ∞ J= 0 K1 dτ x K2 (τ ) , τ τ x > 0. Из строки 3.1 (1) § 10 [21] базовой таблицы найдем преобразование Меллина первой функции K1∗ (s) = Γ(s), Re s > 0. Преобразование Меллина функции Райта можно найти из формулы (5), приведенной выше в настоящей работе. Положив в ней δ = s и сделав замену t = y α τ в определении преобразования Aα,µ , получим ∞ τ s-1 φ (-α, µ; -τ ) dτ = 0 76 Γ(s) , Γ(µ + αs) Re s > 0. Задача Коши для параболического уравнения. . . Тогда образ второй функции K2 (τ ) можно найти, если к подынтегральной функции в последнем равенстве добавить множитель τ δ , а в правой части заменить s на s + δ: K2∗ (s) = Γ(δ + s) , Γ(µ + αδ + αs) Re s > -δ. Перемножив образы Ki ∗ (s), i = 1, 2, придем к значению K ∗ (s) = Γ(s)Γ(δ + s) , Γ(µ + αδ + αs) Re s > - min{δ, 0}. Вычисляя прообраз функции K ∗ (s), получим значение интеграла J= 1 2πi Li∞ Γ(s) Γ(δ + s) Γ(µ + αδ + αs) c2 4y α -s 2,0 ds = H1,2 c2 4y α µ + αδ, α 0, 1 , δ, 1 , где Li∞ = (ω - i∞, ω + i∞), ω > - min{δ, 0}, δ = 0, ±1, ±2, . . . Подставляя найденное значение интеграла в (7), приходим к (6). Приведем здесь еще асимптотическую формулу при z → ∞ для H-функции из формулы (6) [20, с. 17]: 2,0 H1,2 z µ + αδ, α 0, 1 , δ, 1 =O z δ(1-α)-µ 2-α α 1 exp -(2 - α) α 2-α z 2-α . (9) 3. Основные результаты. Обозначим через Γ(x, ξ, y) = Aα g(x, ξ, y), y g(x, ξ, y) = x2 + ξ 2 |x|β |ξ|β exp - 4y 4y Iβ |xξ| |xξ| + I-β 2y 2y , β= 1-b , 2 где Iν (z) - модифицированная функция Бесселя первого рода порядка ν [22, 23]. Приведем здесь следующие свойства функции Γ(x, ξ, y), доказанные в работе [24]. Свойство 1◦ . Для функции Γ(x, ξ, y) при |xξ| 2y имеют место следующие оценки: |Γ(x, ξ, y)| const · y αβ-1 , ∂ n+1 Γ(x, ξ, y) const · |x|2β-n-1 |ξ|2β y -αβ-1 , β = 1/2, ∂xn+1 ∂ 2n Γ(x, ξ, y) const · y -α(2n+1)/2+α-1 , β = 1/2, ∂x2n ∂ 2n+1 Γ(x, ξ, y) const · |ξ|y -α(2n+1)/2-1 , β = 1/2, ∂x2n+1 α D0y Γ(x, ξ, y) const · y αβ-α-1 , 77 Х у ш т о в а Ф. Г. а при |xξ| > 2y - следующие оценки: ∂n Γ(x, ξ, y) ∂xn const · |x|β+(2n-1)/2 |ξ|β-1/2 Aα y -(2n-1)/2-1 exp - y const · |x|β+3/2 |ξ|β-1/2 Aα y -5/2 exp - y α D0y Γ(x, ξ, y) (x - ξ)2 , 4y (x - ξ)2 , 4y где n = 0, 1, 2, . . . Используя формулу (6) при µ = 0, δ = -(2n - 1)/2 и c = x, затем асимптотическую формулу (9), оценкам при |xξ| > 2y можно придать вид ∂n Γ(x, ξ, y) ∂xn const · Pn (x, ξ, y) exp -α0 |x - ξ| 2-α y - 2-α , α D0y Γ(x, ξ, y) const · P2 (x, ξ, y) exp -α0 |x - ξ| 2-α y - 2-α , 2 2 2 α α (10) α где n = 0, 1, 2, . . . , α0 = (2 - α)2- 2-α α 2-α , Pn (x, ξ, y) = xβ+ 2n-1 2 1 ξ β- 2 |x - ξ|- (2n-1)(1-α) 2-α y - α(2n-1) -1 2(2-α) . Свойство 2◦ . Функция Γ(x, ξ, y) при x = 0, y > 0 и фиксированном ξ является решением уравнения L Γ(x, ξ, y) = 0. Свойство 3◦ . Функция Γ(x, ξ, y - η) = Aα g(x, ξ, t) t t=y-η при фиксированных x и y как функция переменных ξ и η, ξ = 0, 0 < η < y, является решением сопряженного уравнения α L∗ Γ(x, ξ, y - η) ≡ Bξ Γ(x, ξ, y - η) - Dyη Γ(x, ξ, y - η) = 0. (11) Свойство 4◦ . Для любой функции h(x) ∈ C[ x1 ; x2 ] выполняется соотношение x2 lim η→y α-1 |ξ|b h(ξ)Dyη Γ(x, ξ, y - η)dξ = h(x), x1 < x < x 2 . x1 Справедливы следующие теоремы. Теорема 1. Пусть ϕ(x) ∈ C(-∞, ∞) и выполняется условие 2 lim ϕ(x) exp -ρ|x| 2-α |x|→∞ Тогда функция 2 α ρ < (2 - α)2- 2-α (α/T ) 2-α . ∞ |ξ|1-2β Γ(x, ξ, y)ϕ(ξ)dξ u(x, y) = -∞ 78 = 0, (12) Задача Коши для параболического уравнения. . . является решением задачи 1. Теорема 2. Существует не более одного регулярного решения задачи 1 в классе функций, удовлетворяющих условию 2 lim y 1-α u(x, y) exp - k|x| 2-α = 0 (13) |x|→∞ при некотором положительном k, причем сходимость в (13) является равномерной на множестве {y ∈ (0; T )}. 4. Доказательство теоремы 1. Доказательство того, что функция (12) удовлетворяет уравнению (1), следует из свойства 2◦ . Перестановки знаков производных и интегралов при дифференцировании по x и взятии дробной производной по y порядка α допустимы в силу свойства 1◦ . Выполнимость начального условия (4) следует из свойства 4◦ . Заметим, что при β = 1/2 (b = 0) из результатов работы [24] следует, что функция ∞ u(x, y) = Γ(x, ξ, y)ϕ(ξ)dξ, -∞ где Γ(x, ξ, y) = |x - ξ| y σ-1 φ -σ, σ; - , 2 yσ σ= α , 2 совпадает с решением задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка, приведенным в [2, с. 127]. 5. Доказательство теоремы 2. Пусть hr (ξ) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, обладающая следующими свойствами: hr (ξ) = 0 hr (ξ) 1, 1, |ξ| 0, |ξ| r, r + 1, |hr (ξ)| + |hr (ξ)| (14) H, где H - постоянная, не зависящая от r. Рассмотрим функцию v(x, ξ, y - η) = hr (ξ) Γ(x, ξ, y - η). Учитывая, что функция Γ(x, ξ, y -η) удовлетворяет уравнению (11), получим L∗ v(x, ξ, y - η) = 2hr (ξ)Γξ (x, ξ, y - η)+ b + hr (ξ)Γ(x, ξ, y - η) + hr (ξ)Γ(x, ξ, y - η). (15) ξ Докажем сначала, что если ϕ(x) ≡ 0, то u(x, y) ≡ 0 при 0 < y < δ для достаточно малого δ. Из теоремы 1 [24] следует, что регулярное в области Ωr = {(x, y) : |x| < r, 0 < y < δ} 79 Х у ш т о в а Ф. Г. решение однородной задачи, соответствующей задаче 1, представимо в виде r+1 y u(x, y) = -r-1 |ξ|1-2β u(ξ, η)L∗ v(x, ξ, y - η) dη dξ. 0 Из (14) и (15) следует, что L∗ v(x, ξ, y - η) = 0, если |ξ| -r r+1 u(x, y) = y + -r-1 r r, откуда |ξ|1-2β u(ξ, η) L∗ v(x, ξ, y - η) dη dξ. 0 Далее в силу свойств функции hr (ξ) и оценок (10) из (15) получим | L∗ v(x, ξ, y - η) | 2 α const · P1 (x, ξ, y - η) exp -α0 |x - ξ| 2-α (y - η)- 2-α . Учитывая эту оценку, а также условие (13), находим -r |u(x, y)| r+1 const · y + -r-1 P (x, ξ, y, η)× r 0 2 α 2 × exp -α0 |x - ξ| 2-α (y - η)- 2-α + kξ 2-α dη dξ, где P (x, ξ, y, η) = |ξ|1-2β η α-1 P1 (x, ξ, y - η). При δ < (α0 /k)(2-α)/α и r → ∞ правая часть последнего неравенства стремится к нулю. Это означает, что функция u(x, y) ≡ 0 в области Ω1 = {(x, y) : -∞ < x < ∞, 0 < y < δ}. Докажем, что u(x, y) ≡ 0 для любого y > 0. Пусть t = y - δ, δ y < 2δ. Рассмотрим функцию w(x, t) = u(x, δ + t). Так как u(x, y) ≡ 0 при 0 < y < δ, α α α D0y u(x, y) = Dδy u(x, y) = D0t w(x, t). Отсюда следует, что функция w(x, t) удовлетворяет уравнению α Bx w(x, t) - D0t w(x, t) = 0, условиям (13) и α-1 lim D0t w(x, t) = 0, -∞ < x < ∞. t→0 Тогда, согласно доказанному выше, w(x, t) ≡ 0 в Ω2 = {(x, t) : -∞ < x < ∞, 0 < t < δ}, то есть u(x, y) ≡ 0 в Ω2 = {(x, y) : -∞ < x < ∞, δ < y < 2δ}. Точно так же доказывается, что u(x, y) ≡ 0 в полосах (n - 1)δ n = 3, 4, . . . Теорема 2 доказана. 80 y < nδ, Задача Коши для параболического уравнения. . . Заключение. В работе исследуется задача Коши в полосе для дифференциального уравнения параболического типа с оператором Бесселя и частной производной Римана-Лиувилля. Используя фундаментальное решение исследуемого уравнения и его свойства, полученные ранее автором настоящей работы, доказывается теорема существования решения. Показано, что когда рассматриваемое уравнение обращается в уравнение диффузии дробного порядка, полученное решение переходит в решение задачи Коши для соответствующего уравнения. Доказана теорема единственности решения в классе функций, удовлетворяющих аналогу условия Тихонова.

About the authors

Fatima G Khushtova

Institute of Applied Mathematics and Automation

Email: khushtova@yandex.ru
Research Fellow, Dept. CAD of Mixed Systems and Management 89 a, Shortanova st., Nal'chik, 360000, Russian Federation

References

Supplementary files