A conditions of solvability of the Goursat problem in quadratures for the two-dimensional system of high order

Abstract


In this paper we consider the Goursat problem for the two-dimensional system of high order. The purpose is to find sufficient conditions of solvability of the considered problem in quadratures. The method of finding solutions of these problems in explicit calculation based on factorization of equations is devised. As a result the initial problem is reduced to 5 simpler problems: to four Goursat problems for equation and the Goursat problem for hyperbolic system of the second order. The final result in terms of the coefficients of the original system is formulated in two theorems.

Full Text

Введение. В работах [2-18], [19, гл. 3], [20, гл. 1, 3] с различных точек зрения изучалось уравнение r s u(r,s) + a(i,j) u(i,j) = f, i=0 j=0 i+j<r+s (1) где u(i,j) = ∂ i+j u . ∂xi ∂y j Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного автором на 69 научной конференции «Герценовские чтения - 2016» (Россия, Санкт-Петербург, 11-15 апреля 2016). 94 К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для двумерной системы высокого порядка В частности, в [7-9], [19, гл. 3], [20, гл. 1] для уравнения (1) при определенных r и s были исследованы варианты задачи Гурса: доказана однозначная разрешимость этой задачи, а для некоторых отдельных случаев получены достаточные условия разрешимости задачи Гурса в явном виде [19, гл. 3], [20, гл. 3]. В работах [13-17] на основе редукции к задаче Гурса изучены различные краевые задачи для уравнения (1). Целью нашего исследования является выделение случаев разрешимости задачи Гурса в квадратурах для двумерной системы уравнений n-ного порядка: r s (i,j) uk(r,s) + (i,j) ak1 u1(i,j) + ak2 u2(i,j) = fk , k = 1, 2, r > 1, s > 1, (2) i=0 j=0 i+j<r+s ∂ i+j uk (i,j) , a , fk являются функциями переменных x и y, причем ∂xi ∂y j kl ∈ C (i,j) (D), fk ∈ C (0,0) (D), k, l = 1, 2, D = {x0 < x < x1 , y0 < y < y1 }. где uk(i,j) = (i,j) akl 1. Вспомогательные результаты. Рассмотрим сначала в области D систему (2) при r = n - 1, s = 1, т. е. систему вида n-1 1 (i,j) uk(n-1,1) + (i,j) ak1 u1(i,j) + ak2 u2(i,j) = fk , k = 1, 2, n > 2 (3) i=0 j=0 i+j<n (результаты исследования системы (3) необходимы нам для исследования (2) при произвольных r и s). Задача 1. В области D найти регулярное решение системы (3), удовлетворяющее условиям uk(0,0) (x, y0 ) = ψk0 (x), uk(p,0) (x0 , y) = ϕkp (y), k = 1, 2, p = 0, n - 2. (4) Предполагается, что ϕkp ∈ C 1 (X), ψk0 ∈ C n-1 (Y ) (X, Y - стороны характеристического прямоугольника D при x = x0 , y = y0 соответственно), и выполняются условия согласования (p) ϕkp (y0 ) = ψk0 (x0 ), k = 1, 2, p = 0, n - 2. Теорема 1. Пусть коэффициенты системы (3) удовлетворяют условиям ∂ n-2-i (n-2,1) (i,1) akl - akl ≡ 0, n-2-i ∂xn-2-i ∂ (n-2,0) (n-1,0) i Cn-2 a - (n - 2)aklx + ∂xn-2-i kl n-1-i (n-1,0) (i,0) n-1-i ∂ +h11 Cn-2 a - akl ≡ 0, ∂xn-1-i kl i Cn-2 (5) 95 С о з о н т о в а Е. А. k, l = 1, 2, i = 0, n - 3, h11 = 0, если i = 0 и h11 = 1 в остальных случаях. Тогда система (3) представима в виде ∂ n-2 ∂xn-2 1 1 (i,j) uk(1,1) + (i,j) βk1 u1(i,j) + βk2 u2(i,j) = fk , k = 1, 2, (6) i=0 j=0 i+j<2 где (1,0) = akl (0,1) = akl (0,0) = akl βkl βkl βkl (n-1,0) , (n-2,1) , (n-2,0) (7) (n-1,0) - (n - 2)aklx , k, l = 1, 2. Д о к а з а т е л ь с т в о. Перепишем (3) в виде n-1 1 (i,j) uk(n-1,1) + (i,j) ak1 u1(i,j) + ak2 u2(i,j) + i=n-2 j=0 i+j<n n-3 2 n-3 2 (i,0) + (i,1) akl ul(i,0) + i=0 l=1 akl ul(i,1) = fk , k = 1, 2. i=0 l=1 Применяя тождества (5), получим n-1 1 (i,j) uk(n-1,1) + (i,j) ak1 u1(i,j) + ak2 u2(i,j) + i=n-2 j=0 i+j<n n-3 2 i Cn-2 + i=0 l=1 ∂ n-2-i (n-2,0) (n-1,0) akl - (n - 2)aklx + n-2-i ∂x n-1-i + h11 Cn-2 ∂ n-1-i (n-1,0) a ul(i,0) + ∂xn-1-i kl n-3 2 i Cn-2 + i=0 l=1 ∂ n-2-i (n-2,1) a ul(i,1) = fk , ∂xn-2-i kl Используя формулу Лейбница, преобразуем слагаемые в (8): uk(n-1,1) = n-3 2 i Cn-2 i=0 l=1 ∂ n-2-i (n-2,0) (n-1,0) (a - (n - 2)aklx ul(i,0) = ∂xn-2-i kl 2 = l=1 96 ∂ n-2 uk(1,1) ; ∂xn-2 ∂ n-2 (n-2,0) (n-1,0) akl - (n - 2)aklx ul(0,0) - n-2 ∂x k = 1, 2. (8) К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для двумерной системы высокого порядка 2 (n-2,0) - akl (n-1,0) - (n - 2)aklx ul(n-2,0) ; (9) l=1 n-3 2 n-1-i h11 Cn-2 i=0 l=1 2 ∂ n-1-i (n-1,0) a ul(i,0) = ∂xn-1-i kl l=1 2 ∂ n-2 (n-1,0) a ul(1,0) - ∂xn-2 kl 2 (n-1,0) - (n - 2)aklx (n-1,0) ul(n-2,0) - l=1 akl ul(n-1,0) ; l=1 n-3 2 i Cn-2 i=0 l=1 2 ∂ n-2-i ∂xn-2-i (n-2,1) akl ul(i,1) = ∂ n-2 (n-2,1) a ul(0,1) - ∂xn-2 kl = l=1 2 (n-2,1) akl ul(n-2,1) . l=1 Подставляя теперь (9) в (8), получаем (6) с коэффициентами (7). Теорема доказана. Таким образом, задача 1 редуцируется к трем задачам: ∂ n-2 wk = fk , ∂xn-2 ∂ϕk,p+1 ∂ p wk (x0 , y) = + p ∂x ∂y 1 1 p (i,j) Cpq-p i=0 j=0 q=0 i+j<2 q-p β (i,j) j ∂ k2 ∂ ϕ2,p+i +Cpq-p ∂xq-p ∂y j 1 , ∂ q-p βk1 ∂ j ϕ1,p+i + ∂xq-p ∂y j (10) k = 1, 2, p = 0, n - 3. 1 (i,j) uk(1,1) + (i,j) βk1 u1(i,j) + βk2 u2(i,j) = wk , (11) i=0 j=0 i+j<2 uk(0,0) (x0 , y) = ϕk0 (y), uk(0,0) (x, y0 ) = ψk0 (x), ϕk0 (y0 ) = ψk0 (x0 ), k = 1, 2. (12) Задачи (10), (11)-(12) следует решать последовательно начиная с первой из них. Функции wk (k = 1, 2) из (10) вычисляются непосредственным интегрированием уравнений, при этом y выступает в качестве параметра. Условия, обеспечивающие возможность разрешимости задачи (11)-(12) в квадратурах, получены в [21] (формулы (3)-(5) в [21]). Учитывая (7), запишем эти условия через коэффициенты системы (3): (n-2,1) a12 (n-1,0) ≡ 0, a21 (n-2,1) + a11 - a1l (n-1,0) + - a2l a12 a1ly a2lx (n-2,1) = 0, (n-1,0) a21 = 0. (13) ≡ 0, (n-1,0) (n-2,1) a1l (n-1,0) (n-2,1) a2l a22 (n-2,0) - (n - 2)a1lx (n-1,0) ≡ 0, (n-2,0) - (n - 2)a2lx (n-1,0) ≡ 0, l = 1, 2. (14) 97 С о з о н т о в а Е. А. (n-1,0) - a11y (n-1,0) ≡ 0; (n-1,0) - a11y 1) a22x 2) a21 3) a22x (n-2,1) a11y (n-2,1) (n-2,1) (n-2,1) 4) 2 a11y (n-1,0) - a22x (n-1,0) - a11y 5) a22x (n-2,1) )xy ≡ 0, (n-2,1) + (ln a12 (n-1,0) + (ln a12 (n-2,1) - (ln a12 (n-1,0) ≡ ξ0 (x)η0 (y) = 0; (n-1,0) (n-2,1) a12 , )xy ≡ ξ1 (x)η1 (y) = 0; (n-2,1) )xy ≡ (15) (n-1,0) (n-2,1) a21 a12 )xy - a11y (n-2,1) - a22x ≡ ma11y ≡ 0; )xy ≡ a21 (n-2,1) - (ln a12 (n-1,0) (n-2,1) a12 - a21 (n-2,1) ≡ 6) m a22x (n-1,0) (n-2,1) a12 (n-2,1) (ln a12 )xy + - a22x (n-2,1) a11y )xy + a21 - (ln a12 (n-1,0) a22x - (n-2,1) - (ln a12 (n-2,1) (n-1,0) ≡ ξ2 (x)η2 (y) = 0; ≡ (n-2,1) + (ln a12 )xy ≡ (n-1,0) (n-2,1) a12 ≡ (m - 1) a21 2sk (x)tk (y) , (2 - m)[sk (x) + tk (y)]2 sk (x) + tk (y) (m - 2)sk (x)tk (y) = 0, (n-2,1) - a11y ; 7) σk = (n-2,1) ≡ 0; (n-2,1) - a22x (n-1,0) - a11y 1) a12 2) a11y 3) a22x (n-1,0) - (ln a21 (n-2,1) + (ln a12 (n-1,0) (n-2,1) -a21 a12 (n-2,1) 4) a11y k = 1, 2. (n-1,0) )xy + a21 (n-1,0) (n-2,1) a12 (n-1,0) )xy ≡ 0, ≡ ξ0 (x)η0 (y) = 0; (n-1,0) - a22x (n-1,0) - (ln a21 )xy ≡ (n-1,0) (n-2,1) a12 ≡ a21 (n-1,0) 5) 2[a22x (n-1,0) a22x (n-1,0) 6) ma22x (n-2,1) - a11y - (n-2,1) a11y (n-1,0) + (ln a12 + (n-2,1) - a11y ≡ 0; (n-1,0) (n-2,1) a12 , )xy ] ≡ a21 (n-1,0) (ln a21 )xy (n-1,0) + (ln a21 (n-2,1) ≡ m(a11y ≡ ξ1 (x)η1 (y) = 0; (16) ≡ ξ2 (x)η2 (y) = 0; )xy ≡ (n-1,0) - (ln a21 (n-1,0) )xy ) - a22x ≡ (n-1,0) (n-2,1) a12 - a22x ≡ (m - 1) a21 2sk (x)tk (y) , (2 - m)[sk (x) + tk (y)]2 [sk (x) + tk (y)](m - 2)sk (x)tk (y) = 0, (n-1,0) ; 7) σk = k = 1, 2. Здесь ξk , ηk ∈ C 1 (k = 0, 2); sk , tk , m ∈ C 2 (k = 1, 2); σ1 , σ2 равны соответственно левым частям тождеств 1), 2) рассматриваемой совокупности. 98 К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для двумерной системы высокого порядка Каждого из тождеств 1), 2) и наборов 3)-5) из (15), (16) достаточно для разрешимости в квадратурах задачи (11)-(12). Формулами же 6), 7) следует пользоваться совместно: при выполнении набора 6) задача (11)-(12) разрешима в квадратурах, когда левая часть хотя бы одного из соотношений 1), 2) имеет вид σk , указанный в 7). Аналогом теоремы 1 из [21] является Теорема 2. Если наряду с выполнением условий (5), (14), первого неравенства (13) (второго неравенства (13)) или удовлетворяется одно из условий 1), 2) совокупности (15) (совокупности (16)), или существуют такие функции m, ξk , ηk (k = 0, 2), sk , tk (k = 1, 2) указанных выше классов, что для совокупности (15) (совокупности (16)) либо выполнена одна из трех групп соотношений 3)-5), либо вместе с условием 6) имеет место представление 7) для одной из двух функций σ1 , σ2 , то задача 1 разрешима в квадратурах. Рассмотрим теперь в области D систему (2) при r = 1, s = n - 1: 1 n-1 (i,j) uk(1,n-1) + (i,j) ak1 u1(i,j) + ak2 u2(i,j) = fk , k = 1, 2, n > 2. (17) i=0 j=0 i+j<n Задача 2. В области D найти регулярное решение системы (17), удовлетворяющее условиям uk(0,0) (x0 , y) = ϕk0 (y), uk(0,p) (x, y0 ) = ψkp (x), k = 1, 2, p = 0, n - 2. Предполагается, что ψkp ∈ C 1 (Y ), ϕk0 ∈ C n-1 (X) и выполняются условия согласования (p) ψkp (x0 ) = ϕk0 (y0 ), k = 1, 2, p = 0, n - 2. Теорема 3. Пусть коэффициенты системы (17) удовлетворяют условиям ∂ n-2-j (1,n-2) (1,j) - akl ≡ 0, akl n-2-i ∂y ∂ n-2-j (0,n-2) (0,n-1) j Cn-2 n-2-j akl - (n - 2)akly + ∂y n-1-j (0,n-1) (0,j) n-1-j ∂ +h12 Cn-2 akl - akl ≡ 0, n-1-j ∂y j Cn-2 (18) k, l = 1, 2, j = 0, n - 3, h12 = 0, если j = 0, и h12 = 1 в остальных случаях. Тогда система (17) представима в виде ∂ n-2 ∂y n-2 1 1 (i,j) uk(1,1) + (i,j) βk1 u1(i,j) + βk2 u2(i,j) = fk , k = 1, 2, i=0 j=0 i+j<2 99 С о з о н т о в а Е. А. где (1,0) βkl (0,0) βkl (0,n-2) = akl (1,n-2) , βkl (0,n-1) , k, l = 1, 2. = akl - (n - 2)akly (0,1) (0,n-1) = akl , Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 1. Аналогами условий (13)-(16) соответственно являются (0,n-1) a12 (1,n-2) ≡ 0, (0,n-1) + a11 - a1l (1,n-2) + - a2l a12 a1ly a2lx (0,n-1) a21 (1,n-2) - a11y (0,n-1) (1,n-2) ≡ 0; (1,n-2) - a11y (0,n-1) - a22x 2) a21 3) a22x a11y 4) 2 (0,n-1) a11y (0,n-2) - (n - 2)a2ly (0,n-1) )xy + a21 (0,n-1) )xy ≡ 0, (0,n-1) )xy - a21 - (ln a12 (1,n-2) + (ln a12 (1,n-2) a22x - a22x (1,n-2) - a11y 5) a22x - (n - 2)a1ly - (ln a12 (0,n-1) a11y = 0. (0,n-2) (0,n-1) - a21 + + (ln a12 (0,n-1) - (ln a12 - (0,n-1) ≡ 0, ≡ (0,n-1) )xy ≡ ξ1 (x)η1 (y) = 0; (0,n-1) )xy ≡ (0,n-1) (ln a12 )xy ] ≡ ma11y (0,n-1) - (0,n-1) a11y (1,n-2) - a22x (20) l = 1, 2. ≡ 0; ≡ ξ0 (x)η0 (y) = 0; (1,n-2) (0,n-1) a21 a12 , (21) (1,n-2) (0,n-1) a12 6) ≡ 0, (1,n-2) (0,n-1) a12 (0,n-1) (ln a12 )xy (1,n-2) (0,n-1) (1,n-2) (0,n-1) a12 ≡ a21 (1,n-2) m[a22x (19) ≡ 0, (1,n-2) (0,n-1) a1l (1,n-2) (0,n-1) a2l a22 1) a22x (1,n-2) = 0, ≡ ξ2 (x)η2 (y) = 0; ≡ (0,n-1) + (ln a12 )xy ≡ (1,n-2) (0,n-1) a12 ≡ (m - 1)(a21 2sk (x)tk (y) , (2 - m)[sk (x) + tk (y)]2 [sk (x) + tk (y)](m - 2)sk (x)tk (y) = 0, (0,n-1) - a11y 7) σk = (n-2,1) 1) a12 2) ≡ 0; (1,n-2) -a22x (1,n-2) 3) a22x (0,n-1) + a11y (0,n-1) - a11y (1,n-2) (0,n-1) a12 -a21 100 k = 1, 2. (1,n-2) - (ln a21 (1,n-2) + (ln a12 (1,n-2) (0,n-1) a12 )xy + a21 )xy ≡ 0, ≡ ξ0 (x)η0 (y) = 0; ≡ 0; ); К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для двумерной системы высокого порядка (0,n-1) 4) a11y (1,n-2) - a22x (1,n-2) - (ln a21 )xy ≡ (1,n-2) (0,n-1) a12 ≡ a21 5) 2 (1,n-2) a22x (1,n-2) a22x - (0,n-1) a11y (0,n-1) - a11y (1,n-2) 6) ma22x (1,n-2) + (ln a21 (0,n-1) - a11y + (1,n-2) (ln a12 )xy (0,n-1) ≡ m a11y (22) )xy ≡ ξ2 (x)η2 (y) = 0; (1,n-2) + (ln a21 ≡ ≡ ξ1 (x)η1 (y) = 0; (1,n-2) (0,n-1) a21 a12 , )xy ≡ (1,n-2) - (ln a21 (1,n-2) )xy - a22x (1,n-2) (0,n-1) a12 ≡ (m - 1) a21 2sk (x)tk (y) , (2 - m)[sk (x) + tk (y)]2 [sk (x) + tk (y)](m - 2)sk (x)tk (y) = 0, ≡ (1,n-2) - a22x ; 7) σk = k = 1, 2. Таким образом, справедлива Теорема 4. Пусть при выполнении условий (18), (20), первого неравенства (19) (второго неравенства (19)) или удовлетворяется одно из условий 1), 2) совокупности (21) (совокупности (22)), или существуют такие функции m, ξk , ηk (k = 0, 2), sk , tk (k = 1, 2), что для совокупности (21) (совокупности (22)) либо выполнена одна из трех групп соотношений 3)-5), либо вместе с условием 6) имеет место представление 7) для одной из двух функций σ1 , σ2 . Тогда задача 2 разрешима в квадратурах. 2. Условия разрешимости основной задачи в квадратурах. Перейдем теперь к отысканию условий разрешимости задачи Гурса в квадратурах для системы (2) при произвольных r и s. Задача 3. В области D найти регулярное решение системы (2), удовлетворяющее условиям uk(p,0) (x0 , y) = ϕkp (y), uk(0,m) (x, y0 ) = ψkm (x), k = 1, 2, p = 0, r - 1, m = 0, s - 1. Здесь ϕkp ∈ (p = 1, r - 1), ψkm ∈ C 1 (Y ) (m = 1, s - 1), ϕk0 ∈ C s (X), ψk0 ∈ C r (Y ) и выполняются условия согласования C 1 (X) (p) ϕkp (y0 ) = ψk0 (x0 ), (m) ψkm (x0 ) = ϕk0 (y0 ), k = 1, 2, p = 0, r - 1, m = 0, s - 1. Теорема 5. Пусть коэффициенты системы (2) удовлетворяют условиям j Cs-1 ∂ s-1-j (i,s-1) (i,s) (i,j) a - h21 (s - 1)akly - akl ≡ 0, ∂y s-1-j kl i = 0, r ∧ j = 0, j = 1, s - 2 ∧ i = r; (23) s-j Cs-1 ∂ s-j (i,s) ∂ s-1-j (i,s-1) (i,s) (i,j) j a + C akl - (s - 1)akly - akl ≡ 0, s-1 kl s-j s-1-j ∂y ∂y i = 0, r - 1 ∧ j = 1, s - 2; 101 С о з о н т о в а Е. А. k, l = 1, 2, h21 = 0, если i = r и h21 = 1 в остальных случаях. Тогда система (2) представима в виде r ∂ s-1 ∂y s-1 1 (i,j) uk(r,1) + (i,j) βk1 u1(i,j) + βk2 u2(i,j) = fk , k = 1, 2, (24) i=0 j=0 i+j<r+1 где (r,0) (i,0) βkl (r,s-1) (i,1) (i,s) βkl = akl , βkl = akl , (i,s-1) (i,s) = akl - (s - 1)akly , k, l = 1, 2, i = 0, r - 1. (25) Д о к а з а т е л ь с т в о. Перепишем (2) в виде r 2 s-2 2 (i,0) uk(r,s) + (r,j) akl ul(i,0) + i=0 l=1 akl ul(r,j) + j=1 l=1 r-1 s-2 r 2 s 2 (i,j) (i,j) akl ul(i,j) + + akl ul(i,j) = fk , k = 1, 2. (26) i=0 j=s-1 l=1 i+j<r+s i=0 j=1 l=1 Применяя (23), (25) и формулу Лейбница, преобразуем слагаемые в (26): uk(r,s) = r 2 ∂ s-1 uk(r,1) ; ∂y s-1 r 2 (i,0) (i,0) akl ul(i,0) = i=0 l=1 s-2 2 i=0 l=1 s-2 2 (r,j) j=1 l=1 j=1 l=1 2 = l=1 r-1 s-2 (r,0) j Cs-1 akl ul(r,j) = ∂ s-1 βkl ul(i,0) ; ∂y s-1 ∂ s-1 (r,0) β ul(r,0) - ∂y s-1 kl ∂ s-1-j βkl ∂y s-1-j 2 l=1 ul(r,j) = (r,0) ∂ s-1 βkl ul(r,0) - ∂y s-1 2 (r,0) βkl ul(r,s-1) ; (27) l=1 2 (i,j) akl ul(i,j) = i=0 j=1 l=1 r-1 s-2 2 = i=0 j=1 l=1 r-1 2 = i=0 l=1 102 s-j ∂ Cs-1 s-j β (i,1) kl ∂y s-j + ∂ s-1 (i,1) β u + ∂y s-1 kl l(i,1) ∂ j Cs-1 r-1 2 i=0 l=1 s-1-j β (i,0) kl ∂y s-1-j ul(i,j) = ∂ s-1 (i,0) β u - ∂y s-1 kl l(i,0) К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для двумерной системы высокого порядка r-1 2 (i,1) - (i,1) βkl ul(i,s) + (s - 1)βkly ul(i,s-1) - i=0 l=1 r-1 2 - i=0 l=1 r s 2 r-1 2 (i,j) (i,1) akl ul(i,j) = i=0 j=s-1 l=1 i+j<r+s (i,0) ∂ s-1 βkl (i,0) ul(i,0) + βkl ul(i,s-1) ; s-1 ∂y βkl ul(i,s) + i=0 l=1 r-1 2 (i,0) βkl + (i,1) (r,0) + (s - 1)βkly ul(i,s-1) + βkl ul(r,s-1) . i=0 l=1 Подставляя (27) в (26), получаем (24) с коэффициентами (25). Теорема доказана. Аналогичным образом доказывается теорема Теорема 6. Пусть коэффициенты системы (2) удовлетворяют условиям i Cr-1 ∂ r-1-i (r-1,j) (r,j) (i,j) a - h22 (r - 1)aklx - akl ≡ 0, ∂xr-1-i kl j = 0, s ∧ i = 0, i = 1, r - 2 ∧ j = s; (28) r-i ∂ r-1-i (r-1,j) (r,j) (r,j) (i,j) r-i ∂ i Cr-1 a akl + C - (r - 1)aklx - akl ≡ 0, r-1 kl r-i r-1-i ∂x ∂x i = 1, r - 2 ∧ j = 0, s - 1; k, l = 1, 2, h22 = 0, если j = s и h22 = 1 в остальных случаях. Тогда система (2) представима в виде 1 ∂ r-1 ∂xr-1 s (i,j) uk(1,s) + (i,j) βk1 u1(i,j) + βk2 u2(i,j) = fk , k = 1, 2, i=0 j=0 i+j<s+1 где (0,s) (0,j) βkl (r-1,s) (1,j) (r,j) βkl = akl , βkl = akl , (r-1,j) (r,j) = akl - (r - 1)aklx , k, l = 1, 2, j = 0, s - 1. Пусть теперь для системы (2) выполнены условия теоремы 5, т. е. имеют место тождества (23). Тогда задача 3 оказывается редуцированной к трем задачам: 103 С о з о н т о в а Е. А. ∂ s-1 wk = fk , ∂y s-1 ∂ r ψk,p+1 ∂ p wk (x, y0 ) = + ∂y p ∂xr p r 1 q-p β (i,j) i q-p β (i,j) i q-p ∂ q-p ∂ k2 ∂ ψ2,p+j k1 ∂ ψ1,p+j + Cp , + Cp ∂y q-p ∂xi ∂y q-p ∂xi (29) i=0 j=0 q=0 i+j<r+1 k = 1, 2, p = 0, s - 2. r 1 (i,j) uk(r,1) + (i,j) βk1 u1(i,j) + βk2 u2(i,j) = wk , i=0 j=0 i+j<r+1 (30) uk(0,0) (x0 , y) = ϕk0 (y), ϕk0 (y0 ) = ψk0 (x0 ), uk(0,0) (x, y0 ) = ψk0 (x), k = 1, 2. Задачи (29), (30) следует решать последовательно начиная с первой из них. Функции wk (k = 1, 2) из (29) вычисляются непосредственным интегрированием уравнений, при этом x выступает в качестве параметра. Задача (30) аналогична задаче (3)-(4). Как известно из п. 1, условия, обеспечивающие разрешимость этой задачи в квадратурах, определяются неравенствами (13), тождествами (5), (14) и соотношениями (15), (16). Учитывая (25), запишем указанные условия через коэффициенты системы (2) (для этого в указанных (i,j) (i,j) формулах akl необходимо заменить соответственно на βkl и затем воспользоваться формулами (25)): (r-1,s) a12 i Cr-1 i Cr-1 = 0, (r,s-1) a21 (31) ∂ r-1-i (r-1,s) (i,s) a - akl ≡ 0; ∂xr-1-i kl ∂ r-1-i (r-1,s-1) (r-1,s) (r,s-1) akl - (s - 1)akly - (r - 1)aklx + r-1-i ∂x r-i (r,s-1) (i,s-1) (i,s) r-i ∂ +h11 Cr-1 akl - akl - (s - 1)akly ≡ 0, ∂xr-i i = 0, r - 2, (r,s-1) a12 (r-1,s) a1ly (r,s-1) a2lx ≡ 0, (r,s-1) (r-1,s) a1l - (r-1,s-1) - a1l - (r,s-1) (r-1,s) a2l a22 - (r-1,s-1) - a2l - k = 1, 2, (r-1,s) a21 (32) l = 1, 2. ≡ 0, + a11 + (r-1,s) (s - 1)a1ly (r-1,s) (s - 1)a2ly l = 1, 2. 104 = 0. (r,s-1) - (r - 1)a1lx (r,s-1) - (r - 1)a2lx ≡ 0, ≡ 0, (33) К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для двумерной системы высокого порядка (r,s-1) - a11y (r,s-1) ≡ 0; (r,s-1) - a11y 1) a22x 2) a21 3) a22x (r-1,s) a11y (r-1,s) (r-1,s) - (r-1,s) (r-1,s) 5) (r,s-1) a22x (r,s-1) (r-1,s) a11y - (r,s-1) 6) m a22x (r-1,s) )xy ≡ 0, (r-1,s) + (ln a12 (r-1,s) + (ln a12 - (r-1,s) (r,s-1) (r-1,s) a12 - a21 )xy ≡ ξ1 (x)η1 (y) = 0; ≡ (r,s-1) (r-1,s) a21 a12 (r-1,s) - ≡ ξ0 (x)η0 (y) = 0; (r,s-1) (r-1,s) a12 , )xy - a11y (r-1,s) ma11y ≡ 0; )xy ] ≡ a21 (r-1,s) (ln a12 )xy - (ln a12 ≡ (r,s-1) (r-1,s) a12 (r-1,s) (ln a12 )xy + (r,s-1) - a22x )xy + a21 - (ln a12 - a22x 4) 2[a11y a11y (r,s-1) a22x (r-1,s) - (ln a12 (r,s-1) a22x (34) ≡ ξ2 (x)η2 (y) = 0; ≡ (r-1,s) )xy ≡ (r,s-1) (r-1,s) (r-1,s) a21 a12 - a11y + (ln a12 ≡ (m - 1) 2sk (x)tk (y) , (2 - m)[sk (x) + tk (y)]2 [sk (x) + tk (y)](m - 2)sk (x)tk (y) = 0, ; 7) σk = (r-1,s) ≡ 0; (r-1,s) - a22x 1) a12 2) a11y 3) (r,s-1) a22x (r,s-1) - (r-1,s) a11y (r,s-1) (r-1,s) a12 -a21 (r-1,s) 4) a11y (r,s-1) (r,s-1) (r,s-1) a22x (r,s-1) (r-1,s) (r-1,s) ≡ 0; ≡ 0, (r,s-1) (r-1,s) a12 )xy ≡ a21 (r,s-1) + (ln a21 (r,s-1) + (ln a21 (r-1,s) - a11y (r,s-1) (ln a21 )xy - (ln a21 - a11y - a11y (r,s-1) 6) ma22x + (r,s-1) (r-1,s) a12 )xy + a21 ≡ ξ0 (x)η0 (y) = 0; - a22x 5) 2[a22x (r,s-1) - (ln a21 k = 1, 2. (r-1,s) ≡ m(a11y (r,s-1) (r-1,s) a12 , )xy ] ≡ a21 (35) )xy ≡ ξ2 (x)η2 (y) = 0; (r,s-1) + (ln a21 ≡ ξ1 (x)η1 (y) = 0; )xy ≡ (r,s-1) - (ln a21 (r,s-1) )xy ) - a22x ≡ (r,s-1) (r-1,s) a12 - a22x ≡ (m - 1) a21 2sk (x)tk (y) , (2 - m)[sk (x) + tk (y)]2 [sk (x) + tk (y)](m - 2)sk (x)tk (y) = 0, (r,s-1) ; 7) σk = k = 1, 2. Таким образом, справедливо следующее утверждение. Теорема 7. Пусть выполняются условия (23), (32), (33), первое неравенство (31) (второе неравенство (31)) и для совокупности (34) (совокупности (35)) или удовлетворяется одно из условий 1), 2), или существуют такие функции m, ξk , ηk (k = 0, 2), sk , tk (k = 1, 2), что либо выполнена одна из трех групп соотношений 3)-5), либо вместе с условием 6) имеет 105 С о з о н т о в а Е. А. место представление 7) для одной из двух функций σ1 , σ2 . Тогда задача 3 разрешима в квадратурах. Пусть теперь для системы (2) выполнены условия теоремы 6. Нетрудно проверить, что в этом случае получим те же условия (34)-(35). При этом должны выполняться неравенства (31), тождества (28), (33) и j Cs-1 j Cs-1 ∂ s-1-j (r,s-1) (r,j) (a ) - akl ≡ 0; ∂y s-1-j kl ∂ s-1-j (r-1,s-1) (r,s-1) (r-1,s) a - (r - 1)aklx - (s - 1)akly + (36) ∂y s-1-j kl s-j (r-1,s) (r-1,j) (r,j) s-j ∂ +h12 Cs-1 s-j akl - akl - (r - 1)aklx ≡ 0, ∂y j = 0, s - 2, k = 1, 2, l = 1, 2. Итак, справедлива Теорема 8. Если выполняются условия (28), (33), (36), первое неравенство (31) (второе неравенство (31)) и для совокупности (34) (совокупности (35)) или удовлетворяется одно из условий 1), 2), или существуют такие функции m, ξk , ηk (k = 0, 2), sk , tk (k = 1, 2), что либо выполнена одна из трех групп соотношений 3)-5), либо вместе с условием 6) имеет место представление 7) для одной из двух функций σ1 , σ2 , то задача 3 разрешима в квадратурах. 3. Пример. Приведем конкретный пример системы, иллюстрирующий изложенный выше теоретический материал. Пример. В области D найти решение системы  u + a1 uxx + a2 uxy + a3 vxx + a4 vxy + a5 ux +   xxy +a6 uy + a7 vx + a8 vy + a9 u + a10 v = f1 , v + b u + b u  xxy 1 xx 2 xy + b3 vxx + b4 vxy + b5 ux +  +b6 uy + b7 vx + b8 vy + b9 u + b10 v = f2 , (37) удовлетворяющее условиям u(x0 , y) = ϕ1 (y), v(x0 , y) = ϕ2 (y), ux (x0 , y) = χ1 (y), ϕ1 (y0 ) = ψ1 (x0 ), χ1 (y0 ) = ψ1 (x0 ), u(x, y0 ) = ψ1 (x), v(x, y0 ) = ψ2 (x), vx (x0 , y) = χ2 (y), ϕ2 (y0 ) = ψ2 (x0 ), χ2 (y0 ) = ψ2 (x0 ), (38) где ϕ1 , ϕ2 , χ1 , χ2 ∈ C 1 (X), ψ1 , ψ2 ∈ C 2 (Y ). Данная задача является частным случаем задачи 3 при r = 2, s = 1. Найдем такие функции αi (i = 1, 6), чтобы первое уравнение (37) имело вид ∂ ∂x 106 uxy + α1 ux + α2 uy + α3 vx + α4 vy + α5 u + α6 v = f1 . (39) К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для двумерной системы высокого порядка Произведя указанные в (39) действия, убеждаемся, что совпадение (371 ) с (39) имеет место, если выполняются тождества a2x - a6 ≡ 0, a4x - a8 ≡ 0, a5x - a1xx - a9 ≡ 0, a7x - a3xx - a10 ≡ 0, (40) и при этом α1 = a1 , α2 = a2 , α3 = a3 , α4 = a4 , α5 = a5 - a1x , α6 = a7 - a3x . (41) Аналогично получаем, что если имеют место тождества b2x - b6 ≡ 0, b4x - b8 ≡ 0, b5x - b1xx - b9 ≡ 0, b7x - b3xx - b10 ≡ 0, (42) то второе уравнение (38) представимо в виде ∂ ∂x vxy + β1 ux + β2 uy + β3 vx + β4 vy + β5 u + β6 v = f2 , где β1 = b1 , β2 = b2 , β3 = b3 , β4 = b4 , β5 = b5 - b1x , β6 = b7 - b3x . (43) Соотношения (41), (43) могут быть получены непосредственно из (25), а условия (40), (42) - из (23). Таким образом, рассматриваемую задачу можно редуцировать к трем задачам: w1x = f1 , w1 (x0 , y) = χ1y + α1 χ1 + α2 ϕ1y + α3 χ2 + α4 ϕ2y + α5 ϕ1 + α6 ϕ2 , (44) w2x = f2 , w2 (x0 , y) = χ2y + β1 χ1 + β2 ϕ1y + β3 χ2 + β4 ϕ2y + β5 ϕ1 + β6 ϕ2 , (45) uxy + α1 ux + α2 uy + α3 vx + α4 vy + α5 u + α6 v = w1 , vxy + β1 ux + β2 uy + β3 vx + β4 vy + β5 u + β6 v = w2 , u(x0 , y) = ϕ1 (y), v(x0 , y) = ϕ2 (y), u(x, y0 ) = ψ1 (x), v(x, y0 ) = ψ2 (x), ϕ1 (y0 ) = ψ1 (x0 ), ϕ2 (y0 ) = ψ2 (x0 ). (46) (47) Задачи (44), (45), (46)-(47) следует решать последовательно начиная с первой из них. Функции w1 , w2 вычисляются непосредственным интегрированием, причем y рассматривается как параметр. Таким образом, остается решить задачу (46)-(47), которая аналогична задаче (30). Как известно из п. 2, условия разрешимости этой задачи в квадратурах определяются неравенствами (31), тождествами (32), (33) и соотношениями (34)-(35). В качестве примера запишем через коэффициенты системы (38) (используя (41), (43)) набор условий, отвечающий соотношениям (5) из (34): a4 = 0, a3 ≡ 0, a2y + a1 a2 - a5 + a1x ≡ 0, a4y + a1 a4 - a7 + a3x ≡ 0, b2 ≡ 0, 2b1x + b1 b4 - b5 ≡ 0, 2b3x + b3 b4 - b7 ≡ 0, b3x - a2y - (ln a4 )xy ≡ a4 b1 ≡ ξ2 (x)η2 (y) = 0. (48) 107 С о з о н т о в а Е. А. Таким образом, при выполнении тождеств (40), (42) и условий (48) рассматриваемая задача разрешима в квадратурах. Конкурирующие интересы. Я заявляю, что не имею конкурирующих интересов. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование не имело спонсорской поддержки.

About the authors

Elena A Sozontova

Elabuga Branch of Kazan (Volga Region) Federal University

Email: sozontova-elena@rambler.ru
89, Kazanskaya st., Elabuga, 423600, Russian Federation
Assistant; Dept. of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry

References

  1. Созонтова Е. А. Об условиях разрешимости задачи Гурса в квадратурах для системы уравнений n-го порядка / Материалы LXIX научной конференции «Герценовские чтения - 2016». СПб., 2016. С. 104-106.
  2. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // Journal of Differential Equations, 1972. vol. 12, no. 3. pp. 559-565. doi: 10.1016/0022-0396(72)90025-3.
  3. Rundell W. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equations // Proc. Amer. Math. Soc., 1979. vol. 76, no. 2. pp. 253-257. doi: 10.1090/s0002-9939-1979-0537083-3.
  4. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, № 2. С. 280-285.
  5. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. РАН, 1987. Т. 297, № 3. С. 547-552.
  6. Джохадзе О. М. Задача типа Дарбу для уравнения третьего порядка с доминирующими младшими членами // Дифференц. уравнения, 1996. Т. 32, № 4. С. 523-535.
  7. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, № 4. С. 689-699.
  8. Мамедов И. Г. Формула интегрирования по частям неклассического типа при исследовании задачи Гурса для одного псевдопараболического уравнения // Владикавк. матем. журн., 2011. Т. 13, № 4. С. 40-51.
  9. Utkina E. A. Characteristic boundary value problem for a fourth-order equation with a pseudoparabolic operator and with shifted arguments of the unknown function // Differ. Equ., 2015. vol. 51, no. 3. pp. 426-429. doi: 10.1134/s0012266115030143.
  10. Mamedov I. G. On a Problem with Conditions on All Boundary for a Pseudoparabolic Equation // American Journal of Operational Research, 2013. vol. 13, no. 2. pp. 51-56. doi: 10.5923/j.ajor.20130302.04.
  11. Бештоков М. Х. Априорные оценки решения нелокальных краевых задач для псевдопараболического уравнения // Владикавк. матем. журн., 2013. Т. 15, № 3. С. 19-36.
  12. Бештоков М. Х. Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 4(33). С. 15-24. doi: 10.14498/vsgtu1238.
  13. Напсо А. Ф. Задача с внутренними условиями для псевдопараболического уравнения // Владикавк. матем. журн., 2001. Т. 3, № 4. С. 36-39.
  14. Карсанова Ж. Т., Нахушева Ф. М. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка // Владикавк. матем. журн., 2002. Т. 4, № 2. С. 31-37.
  15. Уткина Е. А. О задачах со смещениями в граничных условиях для двух уравнений с частными производными / Физико-математические науки / Учён. зап. Казан. Гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки, Т. 148. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2006. С. 76-82.
  16. Уткина Е. А. Об уравнениях третьего порядка с псевдопараболическим оператором и смещением аргументов искомой функции // Изв. вузов. Матем., 2015. № 5. С. 62-68.
  17. Сопуев А., Аркабаев Н. К. Задачи сопряжения для линейных псевдопараболических уравнений третьего порядка // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2013. № 1(21). С. 16-23.
  18. Миронов А. Н., Миронова Л. Б. Об инвариантах Лапласа для одного уравнения четвертого порядка с двумя независимыми переменными // Изв. вузов. Матем., 2014. № 10. С. 27-34.
  19. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское математическое общество, 2001. 226 с.
  20. Жегалов В. И., Миронов А. Н., Уткина Е. А. Уравнения с доминирующей частной производной. Казань: Казанский ун-т, 2014. 385 с.
  21. Созонтова Е. А. Об условиях разрешимости задачи Гурса в квадратурах для гиперболической системы второго порядка / Материалы XII молодежной научной школыконференции «Лобачевские чтения - 2015». Казань, 2015. С. 140-143.

Statistics

Views

Abstract - 31

PDF (Russian) - 2

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies