Том 21, № 1 (2017)

Исследуется одномерная система уравнений для дискретной модели газа (система уравнений Карлемана). Система Карлемана является кинетическим уравнением Больцмана модельного одномерного газа, состоящего из двух частиц. Для этой модели не сохраняются импульс и энергия. На примере модели Карлемана хорошо видна суть уравнения Больцмана, которое описывает смесь «конкурирующих» процессов: релаксацию и свободное движение. Доказывается существование глобального решения задачи Коши для возмущения состояния равновесия с периодическими начальными данными. Впервые устанавливается скорость стабилизации к состоянию равновесия (экспоненциальная стабилизация).

Представлено второе сообщение цикла из двух статей, в котором исследованы закономерности изменения порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования в зависимости от используемой степени в разложении в многочлен Тейлора решений краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами с граничными условиями второго и третьего рода. Использование многочлена Тейлора второй степени при аппроксимации производных конечными разностями приводит ко второму порядку аппроксимации традиционного метода сеток во внутренних точках области интегрирования. В работе при исследовании краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка рассмотрен предложенный ранее метод численного интегрирования, использующий средства матричного исчисления, в котором аппроксимация производных конечными разностями не производилась. Согласно указанному методу при составлении системы разностных уравнений степень многочлена Тейлора может быть выбрана произвольно. Вычислена невязка и дана оценка порядка аппроксимации метода в зависимости от выбранной степени многочлена Тейлора. Теоретически установлено следующее: а) для краевых задач с граничными условиями второго и третьего рода порядок аппроксимации пропорционален используемой степени многочлена Тейлора и меньше этой степени, независимо от ее четности, на единицу; б) при четной степени порядок аппроксимации в граничных точках области интегрирования на единицу меньше порядка аппроксимации во внутренних точках; в) при нечетной степени порядки аппроксимации в граничных точках и во внутренних точках области интегрирования совпадают и меньше этой степени на единицу. Для четной степени дан метод повышения порядка аппроксимации на единицу в граничных точках области интегрирования до порядка аппроксимации во внутренних точках. Теоретические выводы подтверждены численным экспериментом для краевых задач с граничными условиями третьего рода.

Рассматривается задача Гурса для двумерной системы дифференциальных уравнений высокого порядка. Целью исследования является отыскание достаточных условий разрешимости рассматриваемой задачи в квадратурах. Предлагается способ отыскания решения указанной задачи в явном виде, основанный на факторизации уравнений системы. В результате исходная задача редуцируется к пяти более простым задачам: четырем задачам Гурса для уравнения и задаче Гурса для гиперболической системы второго порядка. Окончательный результат в терминах коэффициентов исходной системы формулируется в двух теоремах.

В качестве модели мезоскопического структурного элемента мягкого магнитного эластомера рассмотрена пара намагничивающихся частиц, заключенных в цилиндр из высокоэластичного (гиперупругого) материала. Под действием внешнего магнитного поля частицы намагничиваются, и между ними возникает силовое взаимодействие. Частицы меняют свое положение в эластомерной матрице, насколько это позволяет ее упругое сопротивление. Равновесное положение частиц в образце определяется балансом магнитных и упругих сил и соответствует минимуму общей энергии системы. При ее вычислении учитывались как нелинейность и неоднородность намагничивания частиц, так и нелинейность упругих свойств эластомера. Это существенно приближает нас к случаю реального магнитореологического композита, представляющего собой мягкий эластомер наполненный микронными частицами ферромагнетика. Рассматриваемая система проявляет бистабильность - при увеличении и уменьшении приложенного магнитного поля расстояние между частицами сокращается гистерезисным образом, от величины порядка нескольких радиусов до плотного контакта (коллапс). Такое поведение значительно влияет на способность мезоскопического элемента сопротивляться внешней нагрузке. Коллапс частиц под действием магнитного поля или сжимающей нагрузки приводит к резкому росту жесткости. Зависимость механических характеристик от приложенного магнитного поля изучена для элементов различной относительной податливости. Эта зависимость также имеет гистерезисный характер. Несмотря на свою простоту, модель в целом верно описывает индуцированную полем перестройку внутренней структуры мягких магнитных эластомеров. Полученные результаты использованы для качественного рассмотрения макроскопической магнитомеханики композита, это сделано с помощью процедуры гомогенизации, основанной на гипотезе Фойгта. Полученная зависимость жесткости мягкого магнитного эластомера от внешнего магнитного поля качественно совпадает с экспериментальными результатами, опубликованными в литературе.

Исследуются область применимости, арсенал возможностей и способы идентификации и настройки нелинейного определяющего соотношения типа Максвелла для вязкоупругопластичных материалов с двумя произвольными материальными функциями и двумя параметрами (в случае одноосного изотермического нагружения). Оно нацелено на описание комплекса основных реологических эффектов, типичных для реономных материалов, обладающих наследственностью, высокой скоростной чувствительностью и разносопротивляемостью, для которых характерны установившаяся ползучесть, стадия течения при постоянном напряжении и возрастание податливости, скоростей диссипации, релаксации, ползучести и рэтчетинга и скоростной чувствительности с увеличением температуры. К ним относятся, в частности, многие полимеры, их расплавы и растворы, композиты, твердые топлива, асфальтобетоны, титановые и алюминиевые сплавы, углеродные и керамические материалы при высоких температурах и др. Для учета влияния температуры на механическое поведение материалов (при изотермических процессах) два материальных параметра модели (коэффициент вязкости и «модуль упругости») рассматриваются как функции температуры. Найдены ограничения на свойства этих функций, необходимые и достаточные для адекватного описания качественных характеристик влияния температуры на экспериментальные кривые ползучести, релаксации, деформирования с постоянными скоростями, ползучести при ступенчатом нагружении, на касательный модуль и предел текучести, скоростную чувствительность и скорость накопления пластической деформации, типичных для стабильных вязкоупругопластичных материалов в изотермических квазистатических испытаниях. Они получены в результате аналитического изучения свойств кривых релаксации, ползучести и деформирования, порождаемых определяющим соотношением типа Максвелла с произвольными материальными функциями, и их сопоставления с типичными свойствами экспериментальных кривых реономных материалов. Доказано, что коэффициент вязкости, «модуль упругости» и их отношение (время релаксации ассоциированной линейной модели Максвелла) должны быть убывающими функциями температуры, и это обеспечивает адекватное качественное описание десятка наблюдаемых базовых термомеханических эффектов, свидетельствующих о возрастании податливости материалов (в частности, убывании касательного модуля и предела текучести), ускорении релаксации, ползучести и рэтчетинга и повышении скоростной чувствительности с ростом температуры.

При совместном использовании ортогональных методов Л. В. Канторовича, Бубнова-Галеркина и интегрального метода теплового баланса получено точное аналитическое решение нестационарной задачи теплопроводности для бесконечной пластины при симметричных граничных условиях первого рода. Нахождение точного решения при использовании приближенных методов оказалось возможным вследствие использования тригонометрических координатных функций, обладающих свойством ортогональности. Их применение позволяет находить собственные числа не через решение краевой задачи Штурма-Лиувилля, в котором интегрированию подлежит дифференциальное уравнение второго порядка, а через решение дифференциального уравнения относительно неизвестной функций времени, являющегося уравнением первого порядка. Благодаря этому же свойству координатных функций при нахождении из начальных условий констант интегрирования удается избежать решения больших систем алгебраических линейных уравнений с плохо обусловленными матрицами коэффициентов. В связи с чем значительно упрощается как процесс получения решения, так и окончательная формула для него при возможности нахождения не только приближенного, но и точного аналитического решения в форме бесконечного ряда.