On nonlocal problem with fractional Riemann-Liouville derivatives for a mixed-type equation

Full Text

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение α uxx - D0+,y u = 0, y > 0, m -1 m 2 (-y) uxx - uyy + a(-y) ux = 0, y < 0, (1) α где D0+,y - частная дробная производная Римана-Лиувилля от функции u(x, y) порядка α (0 < α < 1) [1, с. 42, 44]: α D0+,y u (x, y) = ∂ 1 ∂y Γ(1 - α) y 0 u(x, t) dt , (y - t)α 0 < α < 1, y > 0, 112 О нелокальной задаче с дробной производной Римана-Лиувилля для уравнения смешанного типа a - вещественная постоянная, m > 2, в конечной области Ω, ограниченной отрезками AA0 , BB0 , A0 B0 прямых x = 0, x = 1, y = 1 соответственно, лежащих в полуплоскости y > 0, и характеристиками AC : x - m+2 2 (-y) 2 = 0, m+2 BC : x + m+2 2 (-y) 2 = 1 m+2 уравнения (1) в полуплоскости y < 0. Пусть Ω1 = Ω ∩ (y > 0), Ω2 = Ω ∩ (y < 0), I ≡ AB - единичный интервал 0 < x < 1 прямой y = 0. Задача.Найти решение u(x, y) уравнения (1) в области Ω при y = 0, удовлетворяющее краевым условиям u(0, y) = ϕ1 (y), -β ∗ ,0,β ∗ +β-1 A1 I0+ u(1, y) = ϕ2 (y), 0 y 1, (2) u[Θ0 (t)] (x) + A2 u(x, 0) = A3 g(x), (3) а также условиям сопряжения lim y 1-α u(x, y) = lim u(x, y), y→0+ lim y 1-α y→0+ y→0- y 1-α u(x, y) y ∀ x ∈ I, (4) ∀ x ∈ I, = lim uy (x, y), y→0- (5) где Ai (i = 1, 2, 3) - действительные константы такие, что - Γ(β)A2 < A1 < 0 Γ(β ∗ + β) либо 0 < A1 < - Γ(β)A2 , Γ(β ∗ + β) (6) ϕi (y) (i = 1, 2), g(x) - заданные функции такие, что g(x) ∈ C 1 (I) ∩ C 3 (I), ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = 0, y 1-α ϕ1 (y), y 1-α (7) ϕ2 (y) ∈ C([0, 1]), Θ0 (x) - точка пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ I, с характеристикой AC; β∗ = m - 2a , 2(m + 2) β= m + 2a , 2(m + 2) |a| < m , 2 1 0 < β∗ < , 2 1 0<β< . 2 Будем искать решение u(x, y) поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых функций в области Ω таких, что y 1-α u(x, y) ∈ C(Ω1 ), u(x, y) ∈ C(Ω2 ), y 1-α y 1-α u y ∈ C(Ω1 ∪ {(x, y) : 0 < x < 1, y = 0}), uxx ∈ C(Ω1 ∪ Ω2 ), uyy ∈ C(Ω2 ). α,β,η (I0+ f )(x) - оператор обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса F (a, b; c; z), введенный М. Сайго [2] 113 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. (см. также [1, с. 326-327]) и имеющий при действительных α, β, η и x > 0 вид  -α-β x t x   (x - t)α-1 F α + β, -η; α; 1 - f (t)dt, α > 0,  Γ(α) x α,β,η 0 (8) I0+ f (x) =  n  d α+n,β-n,η-n  I0+ f (x), α 0, n = [-α] + 1, dx Заметим, что если α > 0, то справедливы формулы α,-α,η α f (x), f (x) = I0+ I0+ в частности -α,α,η α f (x), f (x) = D0+ I0+ 0,0,η I0+ f (x) = f (x), 0,0,η I1- f (x) = f (x), (9) (10) α f (x) и D α f (x) - операторы дробного интегрирования и диффегде I0+ 0+ ренцирования Римана-Лиувилля порядка α > 0 [1, с. 42, 44]: x 1 (x - t)α-1 f (t)dt, α > 0, x > 0, Γ(α) 0 x d n 1 α D0+ f (x) = (x - t)n-α-1 f (t)dt, α > 0, n = [α] + 1. dx Γ(n - α) 0 Истоком настоящей задачи послужили публикации [3, 4]. α I0+ f (x) = 2. Единственность решения задачи. Пусть существует решение исследуемой задачи. Введем обозначения lim y 1-α u(x, y) = τ1 (x), y→0+ lim y 1-α y→0+ y 1-α u(x, y) y lim u(x, y) = τ2 (x), y→0- = ν1 (x), lim uy (x, y) = ν2 (x). y→0- (11) Известно (см., например, [5, 6]), что решение уравнения (1) в области Ω1 , удовлетворяющее условию (2) и условию lim y 1-α u(x, y) = τ1 (x), y→0+ x ∈ I, дается формулой y u(x, y) = ϕ1 (η)Gξ (x, y, 0, η)dη- 0 y - 1 ϕ2 (η)Gξ (x, y, 1, η)dη + Γ(α) 0 τ1 (ξ)G(x, y, ξ, 0)dξ, (12) 0 где (y - η)β-1 G(x, y, ξ, η) = 2 114 ∞ e1,β 1,β - n=-∞ |x - ξ + 2n| - (y - η)β О нелокальной задаче с дробной производной Римана-Лиувилля для уравнения смешанного типа -e1,β 1,β - ∞ ep,q b,c (z) = k=0 zk , Γ(bk + p)Γ(q - ck) |x + ξ + 2n| (y - η)β b > c, b > 0, , β= α , 2 z ∈ C. Также известно (см., например, [5]), что функциональное соотношение между τ1 (x) и ν1 (x), принесенное из параболической части Ω1 на линию y = 0, имеет вид 1 ν1 (x) = τ (x). (13) Γ(1 + α) 1 Найдем соотношение между τ2 (x) и ν2 (x), принесенное на линию y = 0 из гиперболической части Ω2 области Ω. Для этого воспользуемся решением задачи Коши, которое в области Ω2 имеет вид [7] u(x, y) = Γ(β ∗ + β) × Γ(β ∗ )Γ(β) 1 × m+2 2 ∗ (-y) 2 (2t - 1) tβ-1 (1 - t)β -1 dt+ m+2 0 Γ(2 - β ∗ - β) + (-y) × Γ(1 - β ∗ )Γ(1 - β) 1 m+2 2 ∗ × ν2 x + (-y) 2 (2t - 1) t-β (1 - t)-β dt. (14) m+2 0 τ2 x + Используя формулу (14) и соотношения (8), получим u[Θ0 (x)] = Γ(β ∗ + β) β ∗ ,0,β-1 I0+ τ2 (t) (x)+ Γ(β) Γ(2 - β ∗ - β) m + 2 + Γ(1 - β ∗ ) 4 2 m+2 1-β,β I0+ ∗ +β-1,β-1 ν2 (t) (x). Подставляя u[Θ0 (x)] в краевое условие (3), учитывая (9) и (10), получим A1 Γ(β ∗ + β) + A2 τ2 (x)+ Γ(β) Γ(2 - β ∗ - β) m + 2 + A1 Γ(1 - β ∗ ) 4 2 m+2 ∗ 1-β-β I0+ ν2 (t) (x) = A3 g(x). (15) ∗ 1-β-β Применив к обеим частям полученного равенства оператор D0+ , с учетом α α D0+ (I0+ f )(t) (x) = f (x), α > 0 будем иметь A1 Γ(β ∗ + β) 1-β-β ∗ + A2 D0+ τ2 (t) (x)+ Γ(β) Γ(2 - β ∗ - β) m + 2 + A1 Γ(1 - β ∗ ) 4 2 m+2 ∗ 1-β-β ν2 (x) = A3 D0+ g(t) (x). 115 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. Рассмотрим соответствующую однородную задачу: g(x) = 0. Выразим из последнего выражения ν2 (x), в результате получим ∗ 1-β-β ν2 (x) = λ1 D0+ τ2 (t) (x), где Γ(β ∗ + β) + A2 Γ(β) λ1 = - Γ(2 - β ∗ - β) m + 2 A1 Γ(1 - β ∗ ) 4 (16) A1 2 m+2 . Докажем две леммы. Лемма 1. Если функция τ1 (x) достигает положительного максимума (отрицательного минимума) на отрезке [0, 1] в точке x = x0 (0 < x0 < 1), то ν1 (x0 ) 0 (ν1 (x0 ) 0). Лемма 2. Если функция τ2 (x) достигает положительного максимума (отрицательного минимума) на отрезке [0, 1] в точке x = x0 (0 < x0 < 1) и выполняются условия g(x) = 0 и (6), то ν2 (x0 ) > 0 (ν2 (x0 ) < 0). Справедливость леммы 1 непосредственно следует из соотношения (13). Справедливость леммы 2 вытекает из соотношения (16), условий (6) и g(x) = 0 и свойства строгой положительности (строгой отрицательности) γ τ2 (t) (x) в точке положительного максипроизводной дробного порядка D0+ мума (отрицательного минимума) [8, с. 105]. Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Пусть выполняются неравенства (6) и условия сопряжения (4), (5). Тогда, если существует решение исследуемой задачи, то оно единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем ранее введенные обозначения точек A0 (0, 1) и B0 (1, 1). Пусть u(x, y) - решение однородной задачи, но u(x, y) = 0 в области Ω = Ω1 ∪ AB ∪ AA0 ∪ A0 B0 ∪ BB0 . Пусть точка Q - точка положительного максимума и точка Q ∈ Ω. В силу однородных условий точка Q не может принадлежать AA0 ∪ BB0 . На основании принципа экстремума для нелокального параболического уравнения [9, с. 47] точка Q не может принадлежать Ω1 ∪ A0 B0 и поэтому точка Q ∈ I = AB, точка Q(x0 , 0). По лемме 1 ν1 (x0 ) 0, x0 ∈ I. Так как τ1 (x) = τ2 (x) = τ (x), maxτ (x) = τ (x0 ). I В силу условий (2), (11) по лемме 2 имеем ν2 (x0 ) > 0, что противоречит условию (5). 116 О нелокальной задаче с дробной производной Римана-Лиувилля для уравнения смешанного типа Следовательно, u(x, y) ≡ 0 в Ω1 и, в частности, τ1 (x0 ) = 0 на I. Но тогда из равенства τ1 (x) = τ2 (x) следует, что ν2 (x) = 0. Отсюда по формуле (14) получаем, что u(x, y) ≡ 0 и в области Ω2 . 3. Существование решения задачи. Продифференцируем обе части (15) по x и учтем -α,α,η α D0+ ϕ (x) = I0+ ϕ (x) = d dx n n-α I0+ ϕ (x), в результате получим A1 Γ(β ∗ + β) + A2 τ2 (x)+ Γ(β) Γ(2 - β ∗ - β) m + 2 + A1 Γ(1 - β ∗ ) 4 2 m+2 ∗ 1+β+β ν2 (t) (x) = A3 g (x). D0+ Полагая τ1 (x) = τ2 (x) = τ (x), ν1 (x) = ν2 (x) = ν(x) и учитывая (13), получим дифференциальное уравнение дробного порядка 1 + β + β ∗ : ∗ 1+β+β ν(t) (x) = λ2 ν(x) + λ3 g (x), D0+ (17) где Γ(β ∗ + β) + A2 Γ(1 + α) Γ(β) λ2 = - 2 , Γ(2 - β ∗ - β) m + 2 m+2 A1 Γ(1 - β ∗ ) 4 A1 λ3 = - A3 Γ(2 - - β) m + 2 A1 Γ(1 - β ∗ ) 4 β∗ 2 m+2 . Известно [1], что общее решение дифференциального уравнения дробного порядка α > 0 α D0+ y(t) (x) - λy(x) = h(x), α > 0, n = -[-α] (18) дается формулой n x ck xα-k Eα,1+α-k (λxα ) + y(x) = (x - t)α-1 Eα,α λ(x - t)α h(t)dt. (19) 0 k=1 Здесь c1 , c2 , . . . , cn - произвольные постоянные, а функции Eα,1+α-k (λxα ) и Eα,α λ(x - t)α - специальные случаи функции Миттаг-Леффлера Eα,β (z), определяемой равенством ∞ Eα,β (z) = m=0 zm , Γ(αm + β) α > 0, β > 0; Eα (z) ≡ Eα,1 (z) и являющейся целой функцией от z [1]. 117 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. Уравнение (17) - уравнение вида (18) с y(x) = ν(x), α = 1 + β + β ∗ , λ = λ2 и h(x) = λ3 g (x). Так как 1 < 1 + β + β ∗ < 2, общее решение вида (19) для уравнения (17) дается формулой ∗ ∗ ν(x) = c1 xβ+β E1+β+β ∗ ,1+β+β ∗ λ1 x1+β+β + + c2 xβ+β x ∗ -1 ∗ E1+β+β ∗ ,β+β ∗ λ1 x1+β+β + ∗ ∗ (x - t)β+β E1+β+β ∗ ,1+β+β ∗ λ1 (x - t)1+β+β g (t) dt, (20) + λ2 0 где c1 , c2 - произвольные постоянные. Подставляя (20) в (15) (с τ2 = τ , ν2 = ν), получаем выражение для τ (x): ∗ ∗ 1-β-β β+β τ (x) = c∗1 I0+ t E1+β+β ∗ ,1+β+β ∗ λ1 t1+β+β + 1-β-β + λ4 I0+ ∗ ∗ (x)+ ∗ 1-β-β ∗ β+β ∗ -1 t E1+β+β ∗ ,β+β ∗ λ1 t1+β+β (x)+ c∗2 I0+ t ∗ ∗ (t - s)β+β E1+β+β ∗ ,1+β+β ∗ λ1 (t - s)1+β+β λ2 g 0 + где λ4 = - A3 Γ(β) g(x), (21) A1 Γ(β + β ∗ ) + A2 Γ(β) Γ(2 - β - β ∗ ) A1 Γ(β) m+2 ∗ ∗ Γ(1 - β ) A1 Γ(β + β ) + A2 Γ(β) 4 c∗1 = λ4 c1 , (s)ds (x)+ 2 m+2 , c∗2 = λ4 c2 . Для приведения выражения (21) к более простому виду воспользуемся двумя леммами, доказанными в работе [3]. Лемма 3. Если 0 < β < 1/2, λ ∈ C, то 1-2β 2β I0+ t E2β+1,2β+1 λt2β+1 (x) = xE2β+1,2 λx2β+1 и 1-2β 2β-1 I0+ t E2β+1,2β λt2β+1 (x) = E2β+1,1 λx2β+1 ≡ E2β+1 λx2β+1 . Лемма 4. Если 0 < β < 1/2, λ ∈ C, то 1-2β I0+ t (t - s)2β E2β+1,2β+1 λ(t - s)2β+1 h(s) ds (x) = 0 x (x - s)E2β+1,2 λ(x - s)2β+1 h(s) ds. = 0 Полагая 2β = β + β ∗ , λ = λ1 , h(s) = λ2 g (s), из равенства (21) находим формулу для τ (x): 118 О нелокальной задаче с дробной производной Римана-Лиувилля для уравнения смешанного типа τ (x) = c∗1 xE1+β+β ∗ ,2 λ1 x1+β+β ∗ ∗ + c∗2 E1+β+β ∗ λ1 x1+β+β + x ∗ (x - t)E1+β+β ∗ ,2 λ1 (x - t)1+β+β λ2 g (s)ds+ + λ4 0 + A3 Γ(β) g(x). (22) A1 Γ(β + β ∗ ) + A2 Γ(β) Для нахождения постоянных c∗1 , c∗2 мы можем использовать соотношение τ (0) = τ (1) = 0, вытекающее из условия (7). Подставляя x = 0 в (22) и учитывая вытекающее из (18) равенство E1+β+β ∗ (0) = 1, получим c∗2 = λ5 g(0), λ5 = - A1 Γ(β ∗ A3 Γ(β) . + β) + A2 Γ(β) (23) Подставляя x = 1 в формулу (22) и учитывая выражение (23), находим c∗1 = 1 E1+β+β ∗ ,2 (λ1 ) λ5 g(1) - λ5 g(0)E1+β+β ∗ (λ1 ) - 1 ∗ (1 - s)E1+β+β ∗ ,2 λ1 (1 - s)1+β+β g(s)ds . - λ2 λ4 0 Таким образом, подставляя (22) в формулу (12) (с τ1 = τ ), получим явное решение u(x, y) исследуемой задачи. Это завершает доказательство существования решения исходной задачи. Конкурирующие интересы. Мы не имеем конкурирующих интересов. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование. Исследование не имело спонсорской поддержки.

About the authors

Anna V Tarasenko

Samara State Technical University

Email: tarasenko.a.v@mail.ru
Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Higher Mathematics of the Architectural Engineering Institute 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Irina P Egorova

Samara State Technical University

Email: ira.egorova81@yandex.ru
Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Higher Mathematics of the Architectural Engineering Institute 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files