On nonlocal problem with fractional Riemann-Liouville derivatives for a mixed-type equation

Abstract


The unique solvability is investigated for the problem of equation with partial fractional derivative of Riemann-Liouville and boundary condition that contains the generalized operator of fractional integro-differentiation. The uniqueness theorem for the solution of the problem is proved on the basis of the principle of optimality for a nonlocal parabolic equation and the principle of extremum for the operators of fractional differentiation in the sense of Riemann-Liouville. The proof of the existence of solutions is equivalent to the problem of solvability of differential equations of fractional order. The solution is obtained in explicit form.

Full Text

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение α uxx - D0+,y u = 0, y > 0, m -1 m 2 (-y) uxx - uyy + a(-y) ux = 0, y < 0, (1) α где D0+,y - частная дробная производная Римана-Лиувилля от функции u(x, y) порядка α (0 < α < 1) [1, с. 42, 44]: α D0+,y u (x, y) = ∂ 1 ∂y Γ(1 - α) y 0 u(x, t) dt , (y - t)α 0 < α < 1, y > 0, 112 О нелокальной задаче с дробной производной Римана-Лиувилля для уравнения смешанного типа a - вещественная постоянная, m > 2, в конечной области Ω, ограниченной отрезками AA0 , BB0 , A0 B0 прямых x = 0, x = 1, y = 1 соответственно, лежащих в полуплоскости y > 0, и характеристиками AC : x - m+2 2 (-y) 2 = 0, m+2 BC : x + m+2 2 (-y) 2 = 1 m+2 уравнения (1) в полуплоскости y < 0. Пусть Ω1 = Ω ∩ (y > 0), Ω2 = Ω ∩ (y < 0), I ≡ AB - единичный интервал 0 < x < 1 прямой y = 0. Задача.Найти решение u(x, y) уравнения (1) в области Ω при y = 0, удовлетворяющее краевым условиям u(0, y) = ϕ1 (y), -β ∗ ,0,β ∗ +β-1 A1 I0+ u(1, y) = ϕ2 (y), 0 y 1, (2) u[Θ0 (t)] (x) + A2 u(x, 0) = A3 g(x), (3) а также условиям сопряжения lim y 1-α u(x, y) = lim u(x, y), y→0+ lim y 1-α y→0+ y→0- y 1-α u(x, y) y ∀ x ∈ I, (4) ∀ x ∈ I, = lim uy (x, y), y→0- (5) где Ai (i = 1, 2, 3) - действительные константы такие, что - Γ(β)A2 < A1 < 0 Γ(β ∗ + β) либо 0 < A1 < - Γ(β)A2 , Γ(β ∗ + β) (6) ϕi (y) (i = 1, 2), g(x) - заданные функции такие, что g(x) ∈ C 1 (I) ∩ C 3 (I), ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = 0, y 1-α ϕ1 (y), y 1-α (7) ϕ2 (y) ∈ C([0, 1]), Θ0 (x) - точка пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ I, с характеристикой AC; β∗ = m - 2a , 2(m + 2) β= m + 2a , 2(m + 2) |a| < m , 2 1 0 < β∗ < , 2 1 0<β< . 2 Будем искать решение u(x, y) поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых функций в области Ω таких, что y 1-α u(x, y) ∈ C(Ω1 ), u(x, y) ∈ C(Ω2 ), y 1-α y 1-α u y ∈ C(Ω1 ∪ {(x, y) : 0 < x < 1, y = 0}), uxx ∈ C(Ω1 ∪ Ω2 ), uyy ∈ C(Ω2 ). α,β,η (I0+ f )(x) - оператор обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса F (a, b; c; z), введенный М. Сайго [2] 113 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. (см. также [1, с. 326-327]) и имеющий при действительных α, β, η и x > 0 вид  -α-β x t x   (x - t)α-1 F α + β, -η; α; 1 - f (t)dt, α > 0,  Γ(α) x α,β,η 0 (8) I0+ f (x) =  n  d α+n,β-n,η-n  I0+ f (x), α 0, n = [-α] + 1, dx Заметим, что если α > 0, то справедливы формулы α,-α,η α f (x), f (x) = I0+ I0+ в частности -α,α,η α f (x), f (x) = D0+ I0+ 0,0,η I0+ f (x) = f (x), 0,0,η I1- f (x) = f (x), (9) (10) α f (x) и D α f (x) - операторы дробного интегрирования и диффегде I0+ 0+ ренцирования Римана-Лиувилля порядка α > 0 [1, с. 42, 44]: x 1 (x - t)α-1 f (t)dt, α > 0, x > 0, Γ(α) 0 x d n 1 α D0+ f (x) = (x - t)n-α-1 f (t)dt, α > 0, n = [α] + 1. dx Γ(n - α) 0 Истоком настоящей задачи послужили публикации [3, 4]. α I0+ f (x) = 2. Единственность решения задачи. Пусть существует решение исследуемой задачи. Введем обозначения lim y 1-α u(x, y) = τ1 (x), y→0+ lim y 1-α y→0+ y 1-α u(x, y) y lim u(x, y) = τ2 (x), y→0- = ν1 (x), lim uy (x, y) = ν2 (x). y→0- (11) Известно (см., например, [5, 6]), что решение уравнения (1) в области Ω1 , удовлетворяющее условию (2) и условию lim y 1-α u(x, y) = τ1 (x), y→0+ x ∈ I, дается формулой y u(x, y) = ϕ1 (η)Gξ (x, y, 0, η)dη- 0 y - 1 ϕ2 (η)Gξ (x, y, 1, η)dη + Γ(α) 0 τ1 (ξ)G(x, y, ξ, 0)dξ, (12) 0 где (y - η)β-1 G(x, y, ξ, η) = 2 114 ∞ e1,β 1,β - n=-∞ |x - ξ + 2n| - (y - η)β О нелокальной задаче с дробной производной Римана-Лиувилля для уравнения смешанного типа -e1,β 1,β - ∞ ep,q b,c (z) = k=0 zk , Γ(bk + p)Γ(q - ck) |x + ξ + 2n| (y - η)β b > c, b > 0, , β= α , 2 z ∈ C. Также известно (см., например, [5]), что функциональное соотношение между τ1 (x) и ν1 (x), принесенное из параболической части Ω1 на линию y = 0, имеет вид 1 ν1 (x) = τ (x). (13) Γ(1 + α) 1 Найдем соотношение между τ2 (x) и ν2 (x), принесенное на линию y = 0 из гиперболической части Ω2 области Ω. Для этого воспользуемся решением задачи Коши, которое в области Ω2 имеет вид [7] u(x, y) = Γ(β ∗ + β) × Γ(β ∗ )Γ(β) 1 × m+2 2 ∗ (-y) 2 (2t - 1) tβ-1 (1 - t)β -1 dt+ m+2 0 Γ(2 - β ∗ - β) + (-y) × Γ(1 - β ∗ )Γ(1 - β) 1 m+2 2 ∗ × ν2 x + (-y) 2 (2t - 1) t-β (1 - t)-β dt. (14) m+2 0 τ2 x + Используя формулу (14) и соотношения (8), получим u[Θ0 (x)] = Γ(β ∗ + β) β ∗ ,0,β-1 I0+ τ2 (t) (x)+ Γ(β) Γ(2 - β ∗ - β) m + 2 + Γ(1 - β ∗ ) 4 2 m+2 1-β,β I0+ ∗ +β-1,β-1 ν2 (t) (x). Подставляя u[Θ0 (x)] в краевое условие (3), учитывая (9) и (10), получим A1 Γ(β ∗ + β) + A2 τ2 (x)+ Γ(β) Γ(2 - β ∗ - β) m + 2 + A1 Γ(1 - β ∗ ) 4 2 m+2 ∗ 1-β-β I0+ ν2 (t) (x) = A3 g(x). (15) ∗ 1-β-β Применив к обеим частям полученного равенства оператор D0+ , с учетом α α D0+ (I0+ f )(t) (x) = f (x), α > 0 будем иметь A1 Γ(β ∗ + β) 1-β-β ∗ + A2 D0+ τ2 (t) (x)+ Γ(β) Γ(2 - β ∗ - β) m + 2 + A1 Γ(1 - β ∗ ) 4 2 m+2 ∗ 1-β-β ν2 (x) = A3 D0+ g(t) (x). 115 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. Рассмотрим соответствующую однородную задачу: g(x) = 0. Выразим из последнего выражения ν2 (x), в результате получим ∗ 1-β-β ν2 (x) = λ1 D0+ τ2 (t) (x), где Γ(β ∗ + β) + A2 Γ(β) λ1 = - Γ(2 - β ∗ - β) m + 2 A1 Γ(1 - β ∗ ) 4 (16) A1 2 m+2 . Докажем две леммы. Лемма 1. Если функция τ1 (x) достигает положительного максимума (отрицательного минимума) на отрезке [0, 1] в точке x = x0 (0 < x0 < 1), то ν1 (x0 ) 0 (ν1 (x0 ) 0). Лемма 2. Если функция τ2 (x) достигает положительного максимума (отрицательного минимума) на отрезке [0, 1] в точке x = x0 (0 < x0 < 1) и выполняются условия g(x) = 0 и (6), то ν2 (x0 ) > 0 (ν2 (x0 ) < 0). Справедливость леммы 1 непосредственно следует из соотношения (13). Справедливость леммы 2 вытекает из соотношения (16), условий (6) и g(x) = 0 и свойства строгой положительности (строгой отрицательности) γ τ2 (t) (x) в точке положительного максипроизводной дробного порядка D0+ мума (отрицательного минимума) [8, с. 105]. Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Пусть выполняются неравенства (6) и условия сопряжения (4), (5). Тогда, если существует решение исследуемой задачи, то оно единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем ранее введенные обозначения точек A0 (0, 1) и B0 (1, 1). Пусть u(x, y) - решение однородной задачи, но u(x, y) = 0 в области Ω = Ω1 ∪ AB ∪ AA0 ∪ A0 B0 ∪ BB0 . Пусть точка Q - точка положительного максимума и точка Q ∈ Ω. В силу однородных условий точка Q не может принадлежать AA0 ∪ BB0 . На основании принципа экстремума для нелокального параболического уравнения [9, с. 47] точка Q не может принадлежать Ω1 ∪ A0 B0 и поэтому точка Q ∈ I = AB, точка Q(x0 , 0). По лемме 1 ν1 (x0 ) 0, x0 ∈ I. Так как τ1 (x) = τ2 (x) = τ (x), maxτ (x) = τ (x0 ). I В силу условий (2), (11) по лемме 2 имеем ν2 (x0 ) > 0, что противоречит условию (5). 116 О нелокальной задаче с дробной производной Римана-Лиувилля для уравнения смешанного типа Следовательно, u(x, y) ≡ 0 в Ω1 и, в частности, τ1 (x0 ) = 0 на I. Но тогда из равенства τ1 (x) = τ2 (x) следует, что ν2 (x) = 0. Отсюда по формуле (14) получаем, что u(x, y) ≡ 0 и в области Ω2 . 3. Существование решения задачи. Продифференцируем обе части (15) по x и учтем -α,α,η α D0+ ϕ (x) = I0+ ϕ (x) = d dx n n-α I0+ ϕ (x), в результате получим A1 Γ(β ∗ + β) + A2 τ2 (x)+ Γ(β) Γ(2 - β ∗ - β) m + 2 + A1 Γ(1 - β ∗ ) 4 2 m+2 ∗ 1+β+β ν2 (t) (x) = A3 g (x). D0+ Полагая τ1 (x) = τ2 (x) = τ (x), ν1 (x) = ν2 (x) = ν(x) и учитывая (13), получим дифференциальное уравнение дробного порядка 1 + β + β ∗ : ∗ 1+β+β ν(t) (x) = λ2 ν(x) + λ3 g (x), D0+ (17) где Γ(β ∗ + β) + A2 Γ(1 + α) Γ(β) λ2 = - 2 , Γ(2 - β ∗ - β) m + 2 m+2 A1 Γ(1 - β ∗ ) 4 A1 λ3 = - A3 Γ(2 - - β) m + 2 A1 Γ(1 - β ∗ ) 4 β∗ 2 m+2 . Известно [1], что общее решение дифференциального уравнения дробного порядка α > 0 α D0+ y(t) (x) - λy(x) = h(x), α > 0, n = -[-α] (18) дается формулой n x ck xα-k Eα,1+α-k (λxα ) + y(x) = (x - t)α-1 Eα,α λ(x - t)α h(t)dt. (19) 0 k=1 Здесь c1 , c2 , . . . , cn - произвольные постоянные, а функции Eα,1+α-k (λxα ) и Eα,α λ(x - t)α - специальные случаи функции Миттаг-Леффлера Eα,β (z), определяемой равенством ∞ Eα,β (z) = m=0 zm , Γ(αm + β) α > 0, β > 0; Eα (z) ≡ Eα,1 (z) и являющейся целой функцией от z [1]. 117 Т а р а с е н к о А. В., Е г о р о в а И. П. Уравнение (17) - уравнение вида (18) с y(x) = ν(x), α = 1 + β + β ∗ , λ = λ2 и h(x) = λ3 g (x). Так как 1 < 1 + β + β ∗ < 2, общее решение вида (19) для уравнения (17) дается формулой ∗ ∗ ν(x) = c1 xβ+β E1+β+β ∗ ,1+β+β ∗ λ1 x1+β+β + + c2 xβ+β x ∗ -1 ∗ E1+β+β ∗ ,β+β ∗ λ1 x1+β+β + ∗ ∗ (x - t)β+β E1+β+β ∗ ,1+β+β ∗ λ1 (x - t)1+β+β g (t) dt, (20) + λ2 0 где c1 , c2 - произвольные постоянные. Подставляя (20) в (15) (с τ2 = τ , ν2 = ν), получаем выражение для τ (x): ∗ ∗ 1-β-β β+β τ (x) = c∗1 I0+ t E1+β+β ∗ ,1+β+β ∗ λ1 t1+β+β + 1-β-β + λ4 I0+ ∗ ∗ (x)+ ∗ 1-β-β ∗ β+β ∗ -1 t E1+β+β ∗ ,β+β ∗ λ1 t1+β+β (x)+ c∗2 I0+ t ∗ ∗ (t - s)β+β E1+β+β ∗ ,1+β+β ∗ λ1 (t - s)1+β+β λ2 g 0 + где λ4 = - A3 Γ(β) g(x), (21) A1 Γ(β + β ∗ ) + A2 Γ(β) Γ(2 - β - β ∗ ) A1 Γ(β) m+2 ∗ ∗ Γ(1 - β ) A1 Γ(β + β ) + A2 Γ(β) 4 c∗1 = λ4 c1 , (s)ds (x)+ 2 m+2 , c∗2 = λ4 c2 . Для приведения выражения (21) к более простому виду воспользуемся двумя леммами, доказанными в работе [3]. Лемма 3. Если 0 < β < 1/2, λ ∈ C, то 1-2β 2β I0+ t E2β+1,2β+1 λt2β+1 (x) = xE2β+1,2 λx2β+1 и 1-2β 2β-1 I0+ t E2β+1,2β λt2β+1 (x) = E2β+1,1 λx2β+1 ≡ E2β+1 λx2β+1 . Лемма 4. Если 0 < β < 1/2, λ ∈ C, то 1-2β I0+ t (t - s)2β E2β+1,2β+1 λ(t - s)2β+1 h(s) ds (x) = 0 x (x - s)E2β+1,2 λ(x - s)2β+1 h(s) ds. = 0 Полагая 2β = β + β ∗ , λ = λ1 , h(s) = λ2 g (s), из равенства (21) находим формулу для τ (x): 118 О нелокальной задаче с дробной производной Римана-Лиувилля для уравнения смешанного типа τ (x) = c∗1 xE1+β+β ∗ ,2 λ1 x1+β+β ∗ ∗ + c∗2 E1+β+β ∗ λ1 x1+β+β + x ∗ (x - t)E1+β+β ∗ ,2 λ1 (x - t)1+β+β λ2 g (s)ds+ + λ4 0 + A3 Γ(β) g(x). (22) A1 Γ(β + β ∗ ) + A2 Γ(β) Для нахождения постоянных c∗1 , c∗2 мы можем использовать соотношение τ (0) = τ (1) = 0, вытекающее из условия (7). Подставляя x = 0 в (22) и учитывая вытекающее из (18) равенство E1+β+β ∗ (0) = 1, получим c∗2 = λ5 g(0), λ5 = - A1 Γ(β ∗ A3 Γ(β) . + β) + A2 Γ(β) (23) Подставляя x = 1 в формулу (22) и учитывая выражение (23), находим c∗1 = 1 E1+β+β ∗ ,2 (λ1 ) λ5 g(1) - λ5 g(0)E1+β+β ∗ (λ1 ) - 1 ∗ (1 - s)E1+β+β ∗ ,2 λ1 (1 - s)1+β+β g(s)ds . - λ2 λ4 0 Таким образом, подставляя (22) в формулу (12) (с τ1 = τ ), получим явное решение u(x, y) исследуемой задачи. Это завершает доказательство существования решения исходной задачи. Конкурирующие интересы. Мы не имеем конкурирующих интересов. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование. Исследование не имело спонсорской поддержки.

About the authors

Anna V Tarasenko

Samara State Technical University

Email: tarasenko.a.v@mail.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Higher Mathematics of the Architectural Engineering Institute

Irina P Egorova

Samara State Technical University

Email: ira.egorova81@yandex.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Higher Mathematics of the Architectural Engineering Institute

References

  1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  2. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function // Math. Rep. Coll. Gen. Educ., Kyushu Univ., 1978. vol. 11, no. 2. pp. 135-143.
  3. Килбас А. А., Репин О. А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Дифференц. уравнения, 2003. Т. 39, № 5. С. 638-644.
  4. Геккиева С. Х. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Известия КБНЦ РАН, 2001. № 2(7). С. 78-80.
  5. Килбас А. А., Репин О. А. Аналог задачи Трикоми для дифференциального уравнения с частными производными, содержащего уравнение диффузии дробного порядка // Докл. АМАН, 2010. Т. 12, № 1. С. 31-39.
  6. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
  7. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.
  8. Нахушев А. М. Дробное исчисление его применение. М.: Физматлит, 2009. 272 с.
  9. Нахушева В. А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 173 с.

Statistics

Views

Abstract - 15

PDF (Russian) - 20

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies