Aeroelastic stability of plate interacting with a flowing fluid

Full Text

Введение. Интенсивные теоретические и экспериментальные исследования [1-6], проведенные за последние десятилетия, позволили получить обширные сведения о динамических процессах, протекающих в тонкостенных пластинах, обтекаемых потоком газа. Достигнутые успехи в изучении явления потери устойчивости конструкций, возникающей при превышении скоростью течения пороговой величины, в немалой степени обязаны построенному на основе поршневой теории аналитическому выражению для аэродинамического давления [1, 2]. Сегодня такой подход, по сути дела, является основным инструментом, применяемым многими авторами для изучения панельного флаттера в случае сверхзвукового течения, в том числе и при использовании конечно-элементных алгоритмов [7]. При дозвуковом течении газа его поведение описывается в рамках потенциальной теории. Полученные результаты показали, что тип неустойчивости определяется не только параметрами течения, но и кинематическими граничными условиями, задаваемыми на краях пластины. Было установлено [8, 9], что свободно опертая и жестко защемленная пластины теряют устойчивость в виде дивергенции в дозвуковом потоке газа и в виде флаттера в сверхзвуковом. В случае консольного закрепления неустойчивость наступает в виде флаттера. История изучения этого явления достаточно подробно отражена в монографии [8]. Учет нелинейных членов в соотношениях для деформаций позволил авторам более точно моделировать колебания большой амплитуды, возникающие в процессе флаттера [10-14]. В [12, 13] нелинейная проблема на собственные значения сводится к последовательности линейных задач с помощью итерационного алгоритма, основанного на построении собственных форм колебаний. Аэроупругая устойчивость пластин, выполненных из функциональноградиентных (ФГ) и композиционных материалов, рассмотрена в [14-16]. В работах [14, 15] оценено влияние показателя объемной доли на величину критического динамического давления газа. В ходе решения нелинейной задачи в [14] обнаружено, что ФГ материал существенно изменяет поведение конструкции в закритической зоне. В [15] показано, что температурный нагрев приводит к снижению критических скоростей флаттера. Анализ анизотропных пластин выполнен в [16]. Здесь показано, что немонотонная зависимость собственных частот колебаний от угла намотки волокна приводит к аналогичному качественному изменению критических значений аэродинамического давления. Исследования пластин, взаимодействующих с текущей жидкостью, также имеют более чем полувековую историю. Изучению этого феномена с помощью численно-аналитических методов посвящено значительное количество работ, начиная от анализа поведения бесконечных или полубесконечных пластин и заканчивая анализом конечномерных пространственных конструкций. История развития методов решения и моделей отражена в статьях [17, 18] и монографии [8]. Трехмерная постановка задачи о гидроупругой устойчивости пластин и ее решение методом конечных элементов (МКЭ) выполнены в работах [17-19]. Здесь проанализировано влияние на критические скорости потери устойчивости нескольких вариантов кинематических граничных условий, задаваемых на краях одиночной [17, 19] или входящей в сборку пластины [18, 19]. В работе [17] дополнительно рассмотрена расчетная схема, где 553 Б о ч к а р е в С. А., Л е к о м ц е в С. В. жидкость в направлении потока не ограничена по размерам пластины. Полученные результаты показали, что для представленных комбинаций граничных условий используемое допущение об ограниченности объема жидкости приводит к незначительно заниженным значениям критических скоростей дивергенции и завышенным скоростям флаттера. Приведенные в литературе исследования аэроупругой устойчивости пластин, взаимодействующих с жидкостью, весьма ограничены. Комбинация метода конечных и граничных элементов используется в [20] для моделирования динамического взаимодействия упругой пластины со сверхзвуковым потоком газа снизу и со слоем неподвижной жидкости сверху. Аэродинамическое давление вычисляется согласно поршневой теории. Поведение жидкости с учетом плескания свободной поверхности описывается уравнениями потенциальной теории, для численного решения которых применяется метод граничных элементов. Результаты продемонстрировали, что критические скорости газа и мода, по которой осуществляется потеря устойчивости, зависят от высоты слоя жидкости. При анализе устойчивости цилиндрических оболочек, взаимодействующих одновременно с внешним сверхзвуковым потоком газа и внутренним потоком жидкости, было установлено [21], что комбинированное воздействие не только влияет на критические скорости, но и приводит к смене типа потери устойчивости. Можно предположить, что аналогичные эффекты будут наблюдаться и для пластины. Таким образом, целью данной работы является как проверка этой гипотезы, так и анализ других факторов, оказывающих влияние на границы устойчивости. 1. Постановка задачи. Рассматривается прямоугольная упругая пластина толщиной h, которая обтекается сверху сверхзвуковым потоком газа, а снизу взаимодействует с текущей идеальной жидкостью (рис. 1). Область газообразной среды представляет собой бесконечное полупространство, в то время как жидкость ограничена каналом прямоугольного поперечного сечения, имеющим абсолютно жесткие боковые и нижнюю стенки. Целью работы является исследование взаимного влияния скоростей жидкости U и газа U∞ на границу аэро-/гидроупругой устойчивости при различных вариантах кинематических граничных условий, задаваемых на краях конструкции. Малые деформации упругих пластин, возникающие в результате аэро-/ гидроупругого воздействия, определяются с помощью теории на основе ги- Рис. 1. Прямоугольная пластина, взаимодействующая с потоками газа и жидкости [Figure 1. Rectangular plate interacting with gas and fluid flows] 554 Аэроупругая устойчивость пластины, взаимодействующей с текущей жидкостью потез Тимошенко [22]: ˜ ˜ + z k, ε = {εxx εyy γxy γxz γyz } = ε 0 0 ˜ = ε0xx ε0yy ε0xy γxz ε γyz = ˜ = ε1 ε1 ε1 0 0 k xx yy xy ∂w ∂u ∂v ∂u ∂v ∂w + + θx + θy ,(1) ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y = ∂θx ∂θy ∂x ∂y ∂θx ∂θy + 0 0 ∂y ∂x , где u, v и w - перемещения точек серединной поверхности в направлении соответствующих осей системы координат (x, y, z); θx и θy - углы поворота нормали вокруг осей y и x. Физические соотношения, устанавливающие связь между вектором усилий и моментов T и вектором деформаций ε, представляются в матричном виде: T = {Nxx Nyy Nxy Mxx Myy Mxy Qx Qy } = Dε. (2) Элементы матрицы D для изотропного материала определяются через модуль упругости E, коэффициент Пуассона ν и модуль сдвига известным образом. Математическая постановка задачи динамики пластины основана на вариационном принципе возможных перемещений, в который включаются слагаемые, учитывающие работу аэро-/ и гидродинамического давлений, а также сил инерции. В матричной форме он может быть записан следующим образом: ¨ δε DεdS + ρs δd ddV - δd P dS, (3) Ss Vs Sσ где ρs - плотность материала пластины, d и P = 0 0 pa + pf 0 0 - векторы обобщенных перемещений и поверхностных нагрузок; pa и pf - аэродинамическое и гидродинамическое давления, действующие на наружную и внутреннюю поверхности пластины; Ss - поверхность, ограничивающая объем пластины Vs . Точками обозначены первая и вторая производная по времени. Аэродинамическое давление, действующее со стороны потока газа на упругую поверхность Ss , вычисляется согласно квазистатической аэродинамической теории [1, 2]: ∂w ∂w + q1 , ∂x ∂t q1 = q(M2∞ - 2)/(U∞ β 2 ). pa = - q 2 q = ρ∞ U∞ β, (4) Здесь M∞ = U∞ /c∞ - число Маха в газе; ρ∞ и c∞ - плотность и скорость звука в невозмущенном потоке газа; q - модифицированное динамическое давление; β = (M2∞ - 1)1/2 . Гидродинамическое давление, действующее со стороны идеальной жидкости на смоченную поверхность пластины Sσ = Sf ∩ Ss , вычисляется с использованием линеаризованного уравнения Бернулли [8, 23]: pf = -ρf ∂φ ∂φ +U . ∂t ∂x (5) 555 Б о ч к а р е в С. А., Л е к о м ц е в С. В. Здесь ρf - плотность жидкости; Sf - поверхность, ограничивающая объем жидкости Vf ; φ - потенциал возмущения скорости, который должен удовлетворять следующему уравнению: ∇2 φ = 2 1 ∂ 2 φ 2U ∂ 2 φ 2∂ φ + + M , c2 ∂t2 c2 ∂t∂x ∂x2 (6) где c и M - скорость звука и число Маха в жидкости. На границе жидкости с упругой пластиной задаются условия равенства нормальных скоростей и нормальных напряжений: s f σnn = σnn . w˙ = vn , (7) Здесь vn - скорость жидкости в направлении внешней нормали к плоскости s и σ f - нормальные напряжения упругой конструкции и жидкости на Sσ , σnn nn границе контакта. В случае малых перемещений вектор нормали к плоскости Sσ незначительно отклоняется от координаты z, тогда из граничных условий (7) получим ∂w ∂φ ∂w +U = , ∂t ∂x ∂z s σnn = pf . (8) На границе жидкости и жесткой стенки Sw задается условие ∂φ/∂n = 0. (9) Потенциал возмущения скорости на входе в канал и выходе из него подчиняется следующим граничным условиям: x = 0 : φ = 0, x = a : ∂φ/∂x = 0. (10) 2. Численная реализация. Уравнение в частных производных для потенциала возмущения скорости (6) вместе с граничными условиями (9), (10) и условием непроницаемости (8) преобразуются с помощью слабой постановки метода Бубнова-Галеркина. Применение стандартных процедур МКЭ к полученному уравнению и выражению (3) с учетом (1), (2), (4), (5) приводит к следующему матричному соотношению: M ¨ φ ¨ d +C d˙ φ˙ + (K + A) d φ = 0, где Ks 0 0 Kf , M= Ms 0 0 Mf Cs Csf Cf s Cf , A= As Asf Af s Af K= C= Ks = B DBdS, ms 556 Ss Ms = , , ρs N NdV, ms Vs (11) Аэроупругая устойчивость пластины, взаимодействующей с текущей жидкостью Mf = Vf mf F F dV, c2 F,x F,x + F,y F,y + F,z F,z dV, Kf = Vf mf ¯ F NdS, Cf s = - Sσ ms ms ¯ F,x dS, ρf U N Asf = ms ¯ FdS, ρf N Csf = M2 F,x F,x dV, Af = - mf Vf ms Ss Sσ Cf = mf Vf 2U F, FdV, c2 x ms ¯ ¯ NdS, q1 N Cs = ¯ ,x dS, UF N Af s = - Sσ Sσ ¯ TN ¯ ,x dS. qN As = ms Ss Здесь mf и ms - число конечных элементов, на которые разбиваются области ¯ - матрицы функций формы для конечного жидкости и пластины, N, F и N элемента пластины, потенциала возмущения скорости и нормальной составляющей вектора перемещений пластины. Рассмотрим возмущенное движение конструкции и жидкости в виде (d, φ) = (q, f ) exp(λt), где q и f - некоторые функции координат, λ = δ + iω - характеристический показатель. Здесь полагается, что ω - собственная частота колебаний, а δ характеризует демпфирование. В результате исходная система уравнений (11) преобразуется к обобщенной задаче на собственные значения вида C K+A -I 0 λx x +λ M 0 0 I λx x = 0, (12) . где I - единичная матрица, x = q f Вычисление комплексных собственных значений связанной системы двух уравнений (12) осуществляется с помощью алгоритма на основе неявно перезапускаемого метода Арнольди [24]. Оценка устойчивости основана на анализе комплексных собственных значений задачи (12), полученной при последовательно возрастающей скорости течения жидкости или газа. 3. Результаты расчетов. В численных примерах рассматривается выполненная из алюминия прямоугольная пластина со следующими вариантами кинематических граничных условий (ГУ): свободный край (F) и жесткое закрепление (u = v = w = θx = θy = 0, C). При указании заданной комбинации ограничений перечисление ведется по часовой стрелке начиная с левого края. Например, вариант CFFF соответствует консольной пластине, закрепленной только на стороне, где втекает жидкость. В расчетах варьируемыми переменными выступают модифицированное динамическое давление газа q (ρ∞ = 0.413 кг/м3 , c∞ = 299.5 м/с, M∞ = 3) и скорость течения жидкости U (ρf = 1000 кг/м3 , c = 1500 м/с). Все остальные геометрические и физикомеханические параметры модели аналогичны таковым в работах [17, 18]. Для 557 Б о ч к а р е в С. А., Л е к о м ц е в С. В. отображения полученных результатов используются следующие безразмерные величины (собственное значение Λ, скорость Υ и динамическое давление γ): Λ = ΛRe + iΛIm = a2 Υ=a γ=q a3 × 10-3 , D ρs h λ, D ρs h U, D D= Eh3 . 12 (1 - ν 2 ) Достоверность решения задачи аэроупругой устойчивости подтверждена сравнением с известными численными [15, 25] и аналитическим [1] результатами. Полученные значения динамического давления γ и соответствующие им частоты флаттера Λ приведены в таблице. Здесь под SSSS обозначен следующий вариант закрепления прямоугольной (a/b = 1) пластины: x = 0, a : v = w = θx = 0; y = 0, b : u = w = θy = 0. Из представленных данных следует, что полученные в рамках разработанного конечно-элементного алгоритма результаты хорошо согласуются с ранее опубликованными данными. В ходе сравнения полагалось, что второе слагаемое в выражении (4) равно нулю (аэродинамическое демпфирование отсутствует). Верификация алгоритма для задач о собственных колебаниях и гидроупругой устойчивости одной или нескольких параллельных пластин, взаимодействующих с жидкостью, представлена в предыдущих работах авторов [17, 18]. Исследование взаимного влияния скоростей течения жидкости и газа на границу аэро-/гидроупругой устойчивости пластины основано на построении диаграмм в области параметров Υ-γ (см. рис. 2). Такое представление результатов позволяет получить полную картину поведения системы, но требует значительных вычислительных затрат. В связи с этим было рассмотрено только два варианта граничных условий (СССС и ССFC), способных отразить основные особенности. При указанных способах закрепления и отсутствии внешнего потока газа потеря устойчивости осуществляется в виде Сравнение критических давлений γcr и частот флаттера Λcr [Comparison of critical dynamic pressure γcr and flutter frequencies Λcr ] 558 Boundary conditions Parameters Present paper FEM [25] FEM [15] Analytical solution [1] CCCC γcr × 103 Λ2cr 849.1 4280.2 850.418 4282.03 852.34 4274.32 - - SSSS γcr × 103 Λ2cr 512.2 1846.7 511.786 1843.29 511.11 1840.29 512.65 1848.21 Аэроупругая устойчивость пластины, взаимодействующей с текущей жидкостью Рис. 2. Диаграммы устойчивости пластины, расположенной на слое текущей жидкости и обтекаемой сверхзвуковым потоком газа, полученные при различных вариантах граничных условий: a - CCCC; b - CCFC [Figure 2. Stability diagrams for the plate placed on the layer of flowing fluid and subjected to the external supersonic gas flow for different types of boundary conditions: a-the CCCC boundary conditions; b-the CCFC boundary conditions] дивергенции (Υ = 1.875) и одномодового флаттера (Υ = 10.782) соответственно. Учет аэродинамической нагрузки приводит к стабилизации системы, даже если скорость течения жидкости Υ больше критической. Представленные на рис. 2 диаграммы устойчивости демонстрируют это явление. Однако чрезмерно большая величина параметра γ при фиксированном значении Υ приводит к возникновению неустойчивости. Таким образом, система остается устойчивой, только если точка с координатами (Υ, γ) попадает внутрь закрашенной области. Характерной особенностью обеих диаграмм, приведенных на рис. 2, является наличие изломов и вогнутых участков. Причина их появления обусловлена или сменой моды, по которой происходит потеря устойчивости, или сменой типа неустойчивости. На рис. 2, a участки границы, которым ставятся в соответствие разные моды, обозначены цифрами 1-3, а на рис. 3 приведены соответствующие им формы колебаний. В зависимости от параметров течения обоих потоков мода, по которой осуществляется потеря устойчивости, меняется, формируя таким образом границу с резкими изломами. Другая причина нарушения гладкости имеет место на участке 5-4-3. Здесь дивергенция сменяется одномодовым флаттером в точке A. Для граничных условий CCFC характерна аналогичная картина, но с более выраженными пиками (см. рис. 2, b). При этом варианте закрепления потеря устойчивости всегда осуществлялась в виде флаттера по одной моде. Еще одним фактором, заметно влияющим на границу устойчивости рассматриваемых конструкций, является высота слоя жидкости H. В случае отсутствия внешнего потока газа для граничных условий вида CCCC и CCFC асимптотическое поведение критических скоростей Υ от отношения H/b наступает при H/b > 0.5 и H/b > 0.25 соответственно (см. рис. 4, пунктирные линии). На рис. 4 сплошной линией обозначены аналогичные зависимости, полученные при фиксированной величине аэродинамического давления γ. Из представленных данных видно различие в результатах, полученных с уче559 Б о ч к а р е в С. А., Л е к о м ц е в С. В. a b c Рис. 3. Формы колебаний, по которым осуществляется потеря устойчивости: a - участок 1; b - участок 2; c - участок 3 (см. рис. 2, a) [Figure 3. Mode shapes on which the stability is loss: a-the segment 1; b-the segment 2; c-the segment 3 (see Fig. 2, a)] 560 Аэроупругая устойчивость пластины, взаимодействующей с текущей жидкостью Рис. 4. Зависимости безразмерных критических скоростей Υ от высоты слоя жидкости H: a - CCCC; b - CCFC. Сплошные линии при γ = 0.4, пунктирные линии при γ = 0 [Figure 4. Dependencies of dimensionless critical velocities Υ of the fluid height H: a-the CCCC boundary conditions; b-the CCFC boundary conditions. Solid lines when γ = 0.4, dashed lines when γ = 0] том и без учета внешнего обтекания. Для жестко закрепленной по всем сторонам пластины (см. рис. 4, a) немонотонное поведение кривой обусловлено сменой типа потери устойчивости с дивергенции на одномодовый флаттер в точке A и изменением моды в точке B. Кроме этого, начиная с H/b > 0.32 стабилизирующее влияние потока газа сменяется на дестабилизирующее. При другом варианте граничных условий (см. рис. 4, b) существенное повышение критических скоростей Υ имеет место на всем интервале изменения отношения H/b. Смены типа потери устойчивости в этом случае не происходит - на всем диапазоне рассмотренных значений имеет место флаттер по одной моде. Заключение. Представлены результаты численного исследования динамической устойчивости прямоугольной пластины, взаимодействующей сверху со сверхзвуковым потоком газа и снизу с текущей идеальной жидкостью. Проанализировано влияние кинематических граничных условий, задаваемых на краях пластины, высоты слоя жидкости и взаимного влияния скоростей обоих потоков на границу аэро-/гидроупругой устойчивости. Из анализа полученных диаграмм устойчивости установлено, что внешний сверхзвуковой поток воздуха оказывает стабилизирующее воздействие и повышает границу гидроупругой устойчивости. Данный эффект имеет место в ограниченном диапазоне динамического давления газа и зависит от отношения скоростей обоих потоков. Установлено, что тип потери устойчивости определяется граничными условиями для пластины, высотой слоя жидкости и параметрами течения. Декларация о финансовых и других взаимоотношениях.

About the authors

Sergey A Bochkarev

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of RAS

Email: bochkarev@icmm.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; bochkarev@icmm.ru; Corresponding Author), Senior Researcher, Dept. of Complex Problems of Mechanics of Deformable Bodies 1, Akad. Korolyova st., Perm, 614013, Russian Federation

Sergey V Lekomtsev

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of RAS

Email: lekomtsev@icmm.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; lekomtsev@icmm.ru), Researcher, Dept. of Complex Problems of Mechanics of Deformable Bodies 1, Akad. Korolyova st., Perm, 614013, Russian Federation

References

Supplementary files