The nonlocal problem for a hyperbolic equation with bessel operator in a rectangular domain

Abstract


We consider a boundary value problem for a hyperbolic equation with Bessel differential operator in a rectangular domain with integral nonlocal boundary value condition of the first kind. The equivalence between boundary value problem with integral nonlocal condition of the first kind and a local boundary value problem with mixed boundary conditions of the first and third kinds is proved. The existence and uniqueness of solution of the equivalent problem are established by means of the spectral method. At the uniqueness proof the completeness of the eigenfunction system of the spectral problem is used . At the existence proof the assessment of coefficients of series, the asymptotic formula for Bessel function of the first kind and asymptotic formula for eigenvalues are used. Sufficient conditions on the functions defining initial data of the problem are received. The solution of the problem is obtained in explicit form. The solution is obtained in the form of the Fourier-Bessel series. Its convergence is proved in the class of regular solutions.

Full Text

1. Постановка задачи. Рассмотрим гиперболическое уравнение с оператором Бесселя ∂u -k ∂ xk = 0, (1) B u(x, t) ≡ utt - x ∂x ∂x где k -1 - заданное действительное число, в прямоугольной области D = {(x, t) | 0 < x < l, 0 < t < T }, 589 З а й ц е в а Н. В. где l, T > 0 - заданные действительные числа. Обозначим боковые стороны прямоугольника D через Γ0 = {(x, t) | t = 0, 0 x l}, Γl = {(x, t) | x = l, 0 t T }. По аналогии c [1] уравнение (1) будем называть B-гиперболическим уравнением. В работе [2, c. 164-225] изучены краевые задачи Коши и Коши- Гурса для уравнения (1) при k 1. В работе [3] показана некорректность постановки таких задач при k < 0. Работы [4, 5] посвящены изучению задачи Трикоми для уравнения смешанного типа, у которого гиперболическая часть совпадает с уравнением (1). В данной работе для уравнения (1) в области D исследуем следующую начально-граничную задачу с нелокальным граничным условием первого рода. Нелокальная задача. Найти функцию u(x, t), которая удовлетворяет следующим условиям: u(x, t) ∈ C(D) ∩ C 1 (D ∪ Γ0 ∪ Γl ) ∩ C 2 (D), (x, t) ∈ D, B u(x, t) ≡ 0, u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x), 0 x l, u(0, t) = 0, 0 t T, l u(x, t) x dx = A = const, 0 t T, (2) (3) (4) (5) (6) 0 где A - заданное число, ϕ(x), ψ(x) - заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования l l ϕ(x) x dx = A, 0 ψ(x) x dx = 0. (7) 0 В поставленной задаче (2)-(7) граничное условие (6) является нелокальным. Интегральное условие такого типа ранее возникло в работах [6-8] для уравнения теплопроводности, например, в [8] при изучении вопроса об устойчивости разрежения плазмы. Физически нелокальное условие (6) означает постоянство внутренней энергии системы. Термин «интегральное условие первого рода» был введен в работе [9]. Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений изучаются с начала 90-х годов прошлого столетия и до сих пор вызывают большой интерес у математиков, так как ряд процессов, изучаемых в физике, химии, биологии, нередко приводит к постановкам задач с такими нелокальными условиями. Этим и обусловлено появление в математической литературе за последние десятилетия большого количества публикаций в этом направлении. В работах [10, 11] впервые методами функционального анализа изучены краевые задачи с интегральными условиями типа (6) и более сложными условиями для уравнения (1) при k = 0, для телеграфного уравнения и для более общих уравнений гиперболического типа с гладкими коэффициентами вида utt - a(x, t)ux 590 x + c(x, t)u = f (x, t). Нелокальная краевая задача для B-гиперболического уравнения . . . Исследованию нелокальных задач для уравнений с оператором Бесселя посвящены работы [12-15]. В работах [16-19] впервые исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа в прямоугольной области с нелокальным интегральным условием типа (6). В данной работе методом спектрального анализа [16-19] доказаны теоремы единственности и существования решения задачи (2)-(7) при всех k -1. При этом решение построено в виде суммы ряда Фурье-Бесселя и приведено обоснование сходимости ряда в классе регулярных решений (2) и (3). Нами также был изучен случай, когда k 1 [20], но уже с другими граничными условиями. Умножим уравнение (1) на x и проинтегрируем при фиксированном t ∈ (0, T ) по переменной x на промежутке от ε до l - ε, где ε > 0 - достаточно малое число. В результате получим l-ε l-ε utt x dx - ε или d2 dt2 (xuxx + kux ) dx = 0, ε l-ε l-ε u(x, t)x dx - ε ε ∂ xux + (k - 1)u dx = 0. ∂x Отсюда будем иметь d2 dt2 l-ε u(x, t)x dx - (xux + (k - 1)u) ε l-ε ε = 0. В силу условий (2), (5) и (6) в последнем равенстве можно перейти к пределу при ε → 0, в результате чего получим граничное условие третьего рода lux (l, t) + (k - 1)u(l, t) = 0, 0 t T. (8) В дальнейшем будем рассматривать задачу (2)-(5), (8). 2. Единственность решения задачи. Частные решения уравнения (1), не равные нулю в области D и удовлетворяющие условиям (2), (5) и (8), будем искать в виде u(x, t) = X(x)T (t). Подставляя данную функцию в уравнение (1) и условия (5) и (8), получим относительно функции X(x) спектральную задачу: k (9) X (x) + X (x) + λ2 X(x) = 0, 0 < x < l, x X(0) = 0, lX (l) + (k - 1)X(l) = 0, где λ2 - постоянная разделения. Общее решение уравнения (9) при k X(x) = C1 x 1-k 2 -1 определяется формулой J 1-k (λx) + C2 x 2 (10) 1-k 2 Y 1-k (λx), 2 (11) где Jν (ξ), Yν (ξ) - функции Бесселя первого и второго рода, соответственно, порядка ν = (1 - k)/2; C1 , C2 - произвольные постоянные. 591 З а й ц е в а Н. В. Для того чтобы функция (11) удовлетворяла первому условию из (10), необходимо положить значения констант C1 = 1 и C2 = 0. В результате данное решение принимает вид X(x) = x 1-k 2 (12) J 1-k (λx). 2 Теперь подставим функцию (12) во второе граничное условие из (10) и получим уравнение µJν (µ) - νJν (µ) = 0, µ = λl, ν= 1-k . 2 (13) В силу теоремы 2 [19, c. 310] уравнение (13) при ν > -1 имеет лишь вещественные простые нули. С другой стороны, на основании формулы [19, c. 305] zJν (z) - νJν (z) = -zJν+1 (z) уравнение (13) равносильно уравнению J 3-k (µ) = 0, (14) µ = λl. 2 Для нулей уравнения (14), согласно [21, c. 317], при больших n справедлива асимптотическая формула µn = λn l = πn + π π 1 . - k+O 2 4 n (15) Таким образом, система собственных функций задачи (9) и (10) имеет вид Xn (x) = x 1-k 2 J 1-k 2 1-k µn x = x 2 J 1-k (λn x), 2 l n ∈ N, (16) а собственные значения µn определяются как нули уравнения (14). Известно [19, c. 308-315], что система собственных функций (16) ортогональна и полна в пространстве L2 [0, l] с весом xk . Далее, следуя [22, 23], рассмотрим функции l u(x, t)xk Xn (x) dx, un (t) = n = 1, 2, . . . , (17) 0 где Xn (x) определяются по формуле (16). На основании (17) введем в рассмотрение вспомогательные функции вида l-ε u(x, t)xk Xn (x) dx, un,ε (t) = n = 1, 2, . . . , (18) ε где ε > 0 - достаточно малое число. Продифференцируем равенство (18) по переменной t дважды при 0 < t < T и с учетом уравнения (1) получим l-ε ε 592 l-ε utt (x, t)xk Xn (x) dx = un,ε (t) = uxx + ε k ux xk Xn (x) dx = x Нелокальная краевая задача для B-гиперболического уравнения . . . l-ε = ε ∂ k (x ux )Xn (x) dx = xk ux Xn (x) ∂x l-ε ε l-ε - xk ux Xn (x) dx. (19) ε Из (18) в силу уравнения (9) будем иметь un,ε (t) = - 1 λ2n l-ε u(x, t)xk Xn (x) + ε =- 1 λ2n l-ε u(x, t) ε =- k X (x) dx = x n d xk Xn (x) dx = dx 1 u(x, t)xk Xn (x) λ2n l-ε ε l-ε xk ux Xn (x) dx , - ε откуда находим l-ε xk ux Xn (x) dx = λ2n un,ε (t) + u(x, t)xk Xn (x) ε l-ε ε (20) . Подставляя (20) в (19), будем иметь un,ε (t) = xk ux Xn (x) l-ε ε - λ2n un,ε (t) - u(x, t)xk Xn (x) l-ε ε . (21) Из формулы (16) следует, что Xn (x) = O(x1-k ) и Xn (x) = O(x-k ) при x → 0. И, переходя в (21) к пределу при ε → 0, с учетом условий (2), (5), (8) и (10) получим для определения функций un (t) уравнение un (t) + λ2n un (t) = 0, t ∈ (0, T ), общее решение которого имеет вид un (t) = an cos λn t + bn sin λn t, (22) где an , bn - произвольные постоянные. Для определения этих постоянных функции (17) удовлетворим начальным условиям (4): l l u(x, 0)xk Xn (x) dx = un (0) = 0 l (23) ψ(x)xk Xn (x) dx = ψn . (24) l ut (x, 0)xk Xn (x) dx = un (0) = ϕ(x)xk Xn (x) dx = ϕn , 0 0 0 С учетом (23) и (24) из (22) будем иметь un (0) = an = ϕn , un (0) = bn λn = ψn , откуда находим a n = ϕn , bn = ψn . λn (25) 593 З а й ц е в а Н. В. Подставляя значения (25) в (22), найдем окончательный вид функции un (t) = ϕn cos λn t + ψn sin λn t. λn (26) Пусть ϕ(x) ≡ 0 и ψ(x) ≡ 0, тогда из (23) и (24) при всех n ∈ N следует, что ϕn = ψn ≡ 0. Из (26) получим, что un (t) = 0 при всех n ∈ N. Тогда из (17) при любом t ∈ [0, T ] имеем l u(x, t)xk Xn (x) dx = 0. 0 Отсюда в силу полноты системы (16) в пространстве L2 [0, l] с весом xk следует, что u(x, t) = 0 почти всюду на промежутке [0, l] при любом t ∈ [0, T ]. Поскольку, согласно (2), функция u(x, t) ∈ C(D), она тождественно равна нулю в D. Таким образом, доказана Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(5), (8), то оно единственно. 3. Существование решения задачи. На основании найденных частных решений (16) и (26) решение задачи (2)-(5), (8) запишем в виде ряда Фурье- Бесселя ∞ u(x, t) = (27) un (t)Xn (x), n=1 где функции un (t) определяются по формуле (26), а функции Xn (x) - по формуле (16). Рассмотрим следующие ряды, полученные формально из ряда (27) почленным дифференцированием: ∞ ut (x, t) = ∞ un (t)Xn (x), ux (x, t) = n=1 ∞ utt (x, t) = un (t)Xn (x). (28) n=1 ∞ un (t)Xn (x), uxx (x, t) = n=1 un (t)Xn (x). (29) n=1 Теперь покажем, что при определенных условиях относительно функций ϕ(x) и ψ(x), входящих в начальные условия (4) задачи, ряд (27) и ряды (28), (29) сходятся равномерно в области D. Лемма 1. Для достаточно больших n и при любом t ∈ [0, T ] справедливы оценки |un (t)| |un (t)| |un (t)| 594 |ψn | , n C2 (n|ϕn | + |ψn |) , C1 |ϕn | + 2 C3 n |ϕn | + n|ψn | , (30) (31) (32) Нелокальная краевая задача для B-гиперболического уравнения . . . где Ci - здесь и далее положительные постоянные. Д о к а з а т е л ь с т в о оценок (30)-(32) непосредственно следует из формул (26) и (15). Лемма 2. Для достаточно больших n и при всех x ∈ [0, l] выполнены оценки 1 C4 n - 2 , |Xn (x)| |Xn (x)| |Xn (x)| (34) 3 2 (35) C5 n , C6 n . Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция Xn (x) = x больших ξ справедлива оценка Jν (ξ) = O (33) 1 2 1 1-k 2 J 1-k (λn x) ∈ C 2 [0, l] и при 2 . ξ 1/2 (36) Тогда из (36) следует справедливость оценки (33). Вычислим теперь Xn (x) = λn x 1-k 2 J- k+1 (λn x) . 2 (37) Тогда из (36) и (37) следует справедливость оценки (34). Из уравнения (9) запишем k Xn (x) = - Xn (x) - λ2n Xn (x). x Отсюда в силу неравенств (33) и (34) следует справедливость оценки (35). Согласно леммам 1 и 2 и формуле (15), при любом (x, t) ∈ D ряды (27), (28) и (29) мажорируются соответственно рядами ∞ 3 1 n- 2 |ϕn | + n- 2 |ψn | , C7 (38) n=1 ∞ 1 1 n 2 |ϕn | + n- 2 |ψn | , C8 (39) n=1 ∞ 3 C9 1 n 2 |ϕn | + n 2 |ψn | . (40) n=1 Исследуем ряды (38)-(40) на сходимость. Лемма 3. Если функции ϕ(x) ∈ C 3 [0, l], ψ(x) ∈ C 2 [0, l] и ϕ(0) = ϕ(l) = ϕ (l) = ϕ (0) = ϕ (l) = ψ(0) = ψ(l) = ψ (l) = 0, то выполняются оценки |ϕn | C10 , n4 |ψn | C11 . n2 (41) 595 З а й ц е в а Н. В. Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом (9), (10) и условий леммы из (23) будем иметь l ϕ(x)xk Xn (x)dx = - ϕn = 0 =- 1 ϕ(x)xk Xn (x) - λ2n 0 l 0 ϕ(x)(xk Xn (x)) dx = 0 l l l 1 = 2 ϕ (x)xk Xn (x) - λn 0 l 1 λ2n ϕ (x)xk Xn (x)dx = 0 l 1 λ2n ϕ (x)xk Xn (x)dx = 0 l 1 (ϕ (x)xk ) Xn (x)dx = - 2 λn 1 =- 2 λn l 0 (ϕ (x)xk ) Xn (x)dx = 0 k ϕ (x)xk Xn (x)dx - 2 λn l 0 ϕ (x) k x Xn (x)dx. x Введем обозначения l ϕ(2) n = l ϕ (x)xk Xn (x)dx, ϕ1n = 0 ϕ1 (x)xk Xn (x)dx, ϕ1 (x) = 0 В результате получим ϕn = - ϕ (x) . (42) x 1 (2) k ϕn - 2 ϕ1n . 2 λn λn (43) В силу (9) и (10) и условий ϕ (0) = ϕ (l) = 0 из первого интеграла в (42) получим l ϕ(2) n = ϕ (x)xk Xn (x)dx = - 0 =- 1 λ2n l ϕ (x) xk Xn (x) l 1 k ϕ (x)x X (x) - n λ2n 0 = где dx = 0 l ϕ (x)xk Xn (x)dx = 0 1 λ2n (3) l ϕ (x)xk Xn (x)dx = 0 ϕn , (44) λ2n l ϕ(3) n = ϕ (x)xk Xn (x)dx. 0 Аналогично на основании (9), (10) и ϕ(0) = ϕ (l) = 0 проинтегрируем по частям два раза второй интеграл из (42): l ϕ1 (x)xk Xn (x)dx = - ϕ1n = 0 =- 1 λ2n l ϕ1 (x) xk Xn (x) l 1 ϕ1 (x)xk Xn (x) - 2 λn 0 l ϕ1 (x)xk Xn (x)dx = 0 1 = 2 λn 596 dx = 0 l (1) ϕ ϕ1 (x)x Xn (x)dx = 1n , (45) λ2n k 0 Нелокальная краевая задача для B-гиперболического уравнения . . . где l (1) ϕ1n = ϕ1 (x)xk Xn (x)dx, 0 и этот интеграл в силу (37) сходится. Подставив (44) и (45) в равенство (43), найдем ϕn = - 1 (3) k (1) ϕ - 4 ϕ1n . λ4n n λn (46) Из (46) следует первая оценка из (41). На основании (23) при ψ(0) = ψ(l) = ψ (l) = 0, производя аналогичные вычисления, получим l ψ(x)xk Xn (x)dx = ψn = 0 =- l 1 λ2n ψ (x)xk Xn (x)dx - 0 где k λ2n l 0 ψ (x) k x Xn (x)dx = x 1 k = - 2 ψn(2) - 2 ψ1n , (47) λn λn l ψn(2) = l ψ (x)xk Xn (x)dx, ψ1n = 0 0 ψ (x) k x Xn (x)dx. x Из (47) следует вторая оценка из (41). Согласно лемме 3, ряды (38)-(40) мажорируются сходящимся числовым рядом ∞ 3 n- 2 , C12 n=1 а следовательно, ряды (27)-(29) в области D по признаку Вейерштрасса сходятся равномерно. Таким образом, построена функция u(x, t), определяемая рядом (27), которая удовлетворяет всем условиям задачи (2)-(5), (8). Тем самым доказана Теорема 2. Если функции ϕ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям леммы 3, то существует единственное решение u(x, t) задачи (2)-(5), (8), определяемое рядом (27), при этом u(x, t) ∈ C 2 (D). Теорема 3. Если функции ϕ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям леммы 3 и условиям согласования (7), то существует единственное решение задачи (2)-(7), определяемое рядом (27), при этом u(x, t) ∈ C 2 (D). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u(x, t) - решение задачи (2)-(5), (8) и функции ϕ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям теоремы. Тогда уравнение (1) выполняется всюду в области D. Умножим уравнение (1) на x и проинтегрируем при фиксированном t ∈ (0, T ) по переменной x на промежутке от ε до l - ε, где ε > 0 - достаточно малое число. В результате получим l-ε utt (x, t)x dx - (xux + (k - 1)u) ε l-ε ε = 0. 597 З а й ц е в а Н. В. В последнем равенстве, переходя к пределу при ε → 0, с учетом условий (5) и (8) будем иметь l utt (x, t)x dx = 0. (48) 0 Проинтегрируем равенство (48) по переменной t, в результате имеем l ut (x, t)x dx = C1 = const. (49) 0 Полученное равенство (49) проинтегрируем еще раз по переменной t. Тогда справедливо равенство l u(x, t)x dx = C1 t + C2 , C2 = const. (50) 0 Полагая в равенстве (49) t = 0, с учетом условий (4) и (7) найдем l l ut (x,0)x dx = 0 ψ(x)x dx = C1 = 0. 0 Положим теперь t = 0 в равенстве (50), откуда с учетом условий (4) и (7) и найденного значения C1 = 0 получим l l u(x,0)x dx = 0 ϕ(x)x dx = C2 = A. 0 Подставляя найденные значения констант C1 = 0 и C2 = A в формулу (50), имеем l u(x, t)x dx = A. 0 Тем самым мы показали, что при выполнении условий согласования (7), условия (6) и (8) эквивалентны. Значит, эквивалентны и задачи (2)-(7) и (2)-(5), (8). Декларация о финансовых и других взаимоотношениях. Исследование не имело спонсорской поддержки. Автор несет полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена автором. Автор не получал гонорар за статью.

About the authors

Natalya V Zaitseva

Kazan (Volga Region) Federal University

Email: n.v.zaiceva@yandex.ru
18, Kremlyovskaya str., Kazan, 420008, Russian Federation
(Assistant), Dept. of Higher Mathematics and Mathematical Modeling

References

  1. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Физматлит, 1997. 208 с.
  2. Пулькин С. П. Избранные труды. Самара: Универс групп, 2007. 264 с.
  3. Пулькин С. П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта // Изв. вузов. Матем., 1960. № 6. С. 214-225.
  4. Сабитов К. Б., Ильясов Р. Р. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений // Изв. вузов. Матем., 2001. № 5. С. 59-63.
  5. Сабитов К. Б., Ильясов Р. Р. Решение задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом спектральным методом // Изв. вузов. Матем., 2004. № 2. С. 64-71.
  6. Cannon J. R. The solution of heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math, 1963. vol. 21, no. 2. pp. 155-160. doi: 10.1090/qam/160437.
  7. Камынин Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1964. Т. 4, № 6. С. 1006-1024.
  8. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения, 1977. Т. 13, № 2. С. 294-304.
  9. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения, 2004. Т. 40, № 7. С. 887-892.
  10. Пулькина Л. С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода // Изв. вузов. Матем., 2012. № 4. С. 74-83.
  11. Пулькина Л. С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений. Самара: Самарский университет, 2012. 194 с.
  12. Бенуар Нур-Эддин, Юрчук Н. И. Смешанная задача с интегральным условием для параболических уравнений с оператором Бесселя // Дифференц. уравнения, 1991. Т. 27, № 12. С. 2094-2098.
  13. Beilin S. A. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with nonlocal conditions // Electronic Journal of Differential Equations, 2001. vol. 2001, no. 76. pp. 1-8, http://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2001/76/abstr.html.
  14. Mesloub S., Bouziani A., Kechkar N. A strong solution of an envolution problem with integral condition // Georgian Mathematical Journal, 2002. vol. 9, no. 1. pp. 149-159. doi: 10.1515/GMJ.2002.149.
  15. Сабитова Ю. К. Нелокальные начально-граничные задачи для вырождающегося гиперболического уравнения // Изв. вузов. Матем., 2009. № 12. С. 49-58.
  16. Сабитов К. Б. Краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным интегральным условием // Дифференц. уравнения, 2010. Т. 46, № 10. С. 1468-1478.
  17. Сабитов К. Б. Нелокальная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области // Матем. заметки, 2011. Т. 89, № 4. С. 596-602. doi: 10.4213/mzm8462.
  18. Сабитова Ю. К. Краевая задача с нелокальным интегральным условием для уравнений смешанного типа с вырождением на переходной линии // Матем. заметки, 2015. Т. 98, № 3. С. 393-406. doi: 10.4213/mzm9135.
  19. Сабитов К. Б. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2013. 352 с.
  20. Zaitseva N. V. Keldysh type problem for B-hyperbolic equation with integral boundary value condition of the first kind // Lobachevskii J. Math., 2017. vol. 38, no. 1 (to appear).
  21. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Мир, 1986. 381 с.
  22. Сабитов К. Б., Вагапова Э. В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // Дифференц. уравнения, 2013. Т. 49, № 1. С. 68-78.
  23. Сафина Р. М. Задача Келдыша для уравнения смешанного типа второго рода с оператором Бесселя // Дифференц. уравнения, 2015. Т. 51, № 10. С. 1354-1366.

Statistics

Views

Abstract - 39

PDF (Russian) - 10

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies