The nonlocal problem for a hyperbolic equation with bessel operator in a rectangular domain

Full Text

1. Постановка задачи. Рассмотрим гиперболическое уравнение с оператором Бесселя ∂u -k ∂ xk = 0, (1) B u(x, t) ≡ utt - x ∂x ∂x где k -1 - заданное действительное число, в прямоугольной области D = {(x, t) | 0 < x < l, 0 < t < T }, 589 З а й ц е в а Н. В. где l, T > 0 - заданные действительные числа. Обозначим боковые стороны прямоугольника D через Γ0 = {(x, t) | t = 0, 0 x l}, Γl = {(x, t) | x = l, 0 t T }. По аналогии c [1] уравнение (1) будем называть B-гиперболическим уравнением. В работе [2, c. 164-225] изучены краевые задачи Коши и Коши- Гурса для уравнения (1) при k 1. В работе [3] показана некорректность постановки таких задач при k < 0. Работы [4, 5] посвящены изучению задачи Трикоми для уравнения смешанного типа, у которого гиперболическая часть совпадает с уравнением (1). В данной работе для уравнения (1) в области D исследуем следующую начально-граничную задачу с нелокальным граничным условием первого рода. Нелокальная задача. Найти функцию u(x, t), которая удовлетворяет следующим условиям: u(x, t) ∈ C(D) ∩ C 1 (D ∪ Γ0 ∪ Γl ) ∩ C 2 (D), (x, t) ∈ D, B u(x, t) ≡ 0, u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x), 0 x l, u(0, t) = 0, 0 t T, l u(x, t) x dx = A = const, 0 t T, (2) (3) (4) (5) (6) 0 где A - заданное число, ϕ(x), ψ(x) - заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования l l ϕ(x) x dx = A, 0 ψ(x) x dx = 0. (7) 0 В поставленной задаче (2)-(7) граничное условие (6) является нелокальным. Интегральное условие такого типа ранее возникло в работах [6-8] для уравнения теплопроводности, например, в [8] при изучении вопроса об устойчивости разрежения плазмы. Физически нелокальное условие (6) означает постоянство внутренней энергии системы. Термин «интегральное условие первого рода» был введен в работе [9]. Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений изучаются с начала 90-х годов прошлого столетия и до сих пор вызывают большой интерес у математиков, так как ряд процессов, изучаемых в физике, химии, биологии, нередко приводит к постановкам задач с такими нелокальными условиями. Этим и обусловлено появление в математической литературе за последние десятилетия большого количества публикаций в этом направлении. В работах [10, 11] впервые методами функционального анализа изучены краевые задачи с интегральными условиями типа (6) и более сложными условиями для уравнения (1) при k = 0, для телеграфного уравнения и для более общих уравнений гиперболического типа с гладкими коэффициентами вида utt - a(x, t)ux 590 x + c(x, t)u = f (x, t). Нелокальная краевая задача для B-гиперболического уравнения . . . Исследованию нелокальных задач для уравнений с оператором Бесселя посвящены работы [12-15]. В работах [16-19] впервые исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа в прямоугольной области с нелокальным интегральным условием типа (6). В данной работе методом спектрального анализа [16-19] доказаны теоремы единственности и существования решения задачи (2)-(7) при всех k -1. При этом решение построено в виде суммы ряда Фурье-Бесселя и приведено обоснование сходимости ряда в классе регулярных решений (2) и (3). Нами также был изучен случай, когда k 1 [20], но уже с другими граничными условиями. Умножим уравнение (1) на x и проинтегрируем при фиксированном t ∈ (0, T ) по переменной x на промежутке от ε до l - ε, где ε > 0 - достаточно малое число. В результате получим l-ε l-ε utt x dx - ε или d2 dt2 (xuxx + kux ) dx = 0, ε l-ε l-ε u(x, t)x dx - ε ε ∂ xux + (k - 1)u dx = 0. ∂x Отсюда будем иметь d2 dt2 l-ε u(x, t)x dx - (xux + (k - 1)u) ε l-ε ε = 0. В силу условий (2), (5) и (6) в последнем равенстве можно перейти к пределу при ε → 0, в результате чего получим граничное условие третьего рода lux (l, t) + (k - 1)u(l, t) = 0, 0 t T. (8) В дальнейшем будем рассматривать задачу (2)-(5), (8). 2. Единственность решения задачи. Частные решения уравнения (1), не равные нулю в области D и удовлетворяющие условиям (2), (5) и (8), будем искать в виде u(x, t) = X(x)T (t). Подставляя данную функцию в уравнение (1) и условия (5) и (8), получим относительно функции X(x) спектральную задачу: k (9) X (x) + X (x) + λ2 X(x) = 0, 0 < x < l, x X(0) = 0, lX (l) + (k - 1)X(l) = 0, где λ2 - постоянная разделения. Общее решение уравнения (9) при k X(x) = C1 x 1-k 2 -1 определяется формулой J 1-k (λx) + C2 x 2 (10) 1-k 2 Y 1-k (λx), 2 (11) где Jν (ξ), Yν (ξ) - функции Бесселя первого и второго рода, соответственно, порядка ν = (1 - k)/2; C1 , C2 - произвольные постоянные. 591 З а й ц е в а Н. В. Для того чтобы функция (11) удовлетворяла первому условию из (10), необходимо положить значения констант C1 = 1 и C2 = 0. В результате данное решение принимает вид X(x) = x 1-k 2 (12) J 1-k (λx). 2 Теперь подставим функцию (12) во второе граничное условие из (10) и получим уравнение µJν (µ) - νJν (µ) = 0, µ = λl, ν= 1-k . 2 (13) В силу теоремы 2 [19, c. 310] уравнение (13) при ν > -1 имеет лишь вещественные простые нули. С другой стороны, на основании формулы [19, c. 305] zJν (z) - νJν (z) = -zJν+1 (z) уравнение (13) равносильно уравнению J 3-k (µ) = 0, (14) µ = λl. 2 Для нулей уравнения (14), согласно [21, c. 317], при больших n справедлива асимптотическая формула µn = λn l = πn + π π 1 . - k+O 2 4 n (15) Таким образом, система собственных функций задачи (9) и (10) имеет вид Xn (x) = x 1-k 2 J 1-k 2 1-k µn x = x 2 J 1-k (λn x), 2 l n ∈ N, (16) а собственные значения µn определяются как нули уравнения (14). Известно [19, c. 308-315], что система собственных функций (16) ортогональна и полна в пространстве L2 [0, l] с весом xk . Далее, следуя [22, 23], рассмотрим функции l u(x, t)xk Xn (x) dx, un (t) = n = 1, 2, . . . , (17) 0 где Xn (x) определяются по формуле (16). На основании (17) введем в рассмотрение вспомогательные функции вида l-ε u(x, t)xk Xn (x) dx, un,ε (t) = n = 1, 2, . . . , (18) ε где ε > 0 - достаточно малое число. Продифференцируем равенство (18) по переменной t дважды при 0 < t < T и с учетом уравнения (1) получим l-ε ε 592 l-ε utt (x, t)xk Xn (x) dx = un,ε (t) = uxx + ε k ux xk Xn (x) dx = x Нелокальная краевая задача для B-гиперболического уравнения . . . l-ε = ε ∂ k (x ux )Xn (x) dx = xk ux Xn (x) ∂x l-ε ε l-ε - xk ux Xn (x) dx. (19) ε Из (18) в силу уравнения (9) будем иметь un,ε (t) = - 1 λ2n l-ε u(x, t)xk Xn (x) + ε =- 1 λ2n l-ε u(x, t) ε =- k X (x) dx = x n d xk Xn (x) dx = dx 1 u(x, t)xk Xn (x) λ2n l-ε ε l-ε xk ux Xn (x) dx , - ε откуда находим l-ε xk ux Xn (x) dx = λ2n un,ε (t) + u(x, t)xk Xn (x) ε l-ε ε (20) . Подставляя (20) в (19), будем иметь un,ε (t) = xk ux Xn (x) l-ε ε - λ2n un,ε (t) - u(x, t)xk Xn (x) l-ε ε . (21) Из формулы (16) следует, что Xn (x) = O(x1-k ) и Xn (x) = O(x-k ) при x → 0. И, переходя в (21) к пределу при ε → 0, с учетом условий (2), (5), (8) и (10) получим для определения функций un (t) уравнение un (t) + λ2n un (t) = 0, t ∈ (0, T ), общее решение которого имеет вид un (t) = an cos λn t + bn sin λn t, (22) где an , bn - произвольные постоянные. Для определения этих постоянных функции (17) удовлетворим начальным условиям (4): l l u(x, 0)xk Xn (x) dx = un (0) = 0 l (23) ψ(x)xk Xn (x) dx = ψn . (24) l ut (x, 0)xk Xn (x) dx = un (0) = ϕ(x)xk Xn (x) dx = ϕn , 0 0 0 С учетом (23) и (24) из (22) будем иметь un (0) = an = ϕn , un (0) = bn λn = ψn , откуда находим a n = ϕn , bn = ψn . λn (25) 593 З а й ц е в а Н. В. Подставляя значения (25) в (22), найдем окончательный вид функции un (t) = ϕn cos λn t + ψn sin λn t. λn (26) Пусть ϕ(x) ≡ 0 и ψ(x) ≡ 0, тогда из (23) и (24) при всех n ∈ N следует, что ϕn = ψn ≡ 0. Из (26) получим, что un (t) = 0 при всех n ∈ N. Тогда из (17) при любом t ∈ [0, T ] имеем l u(x, t)xk Xn (x) dx = 0. 0 Отсюда в силу полноты системы (16) в пространстве L2 [0, l] с весом xk следует, что u(x, t) = 0 почти всюду на промежутке [0, l] при любом t ∈ [0, T ]. Поскольку, согласно (2), функция u(x, t) ∈ C(D), она тождественно равна нулю в D. Таким образом, доказана Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(5), (8), то оно единственно. 3. Существование решения задачи. На основании найденных частных решений (16) и (26) решение задачи (2)-(5), (8) запишем в виде ряда Фурье- Бесселя ∞ u(x, t) = (27) un (t)Xn (x), n=1 где функции un (t) определяются по формуле (26), а функции Xn (x) - по формуле (16). Рассмотрим следующие ряды, полученные формально из ряда (27) почленным дифференцированием: ∞ ut (x, t) = ∞ un (t)Xn (x), ux (x, t) = n=1 ∞ utt (x, t) = un (t)Xn (x). (28) n=1 ∞ un (t)Xn (x), uxx (x, t) = n=1 un (t)Xn (x). (29) n=1 Теперь покажем, что при определенных условиях относительно функций ϕ(x) и ψ(x), входящих в начальные условия (4) задачи, ряд (27) и ряды (28), (29) сходятся равномерно в области D. Лемма 1. Для достаточно больших n и при любом t ∈ [0, T ] справедливы оценки |un (t)| |un (t)| |un (t)| 594 |ψn | , n C2 (n|ϕn | + |ψn |) , C1 |ϕn | + 2 C3 n |ϕn | + n|ψn | , (30) (31) (32) Нелокальная краевая задача для B-гиперболического уравнения . . . где Ci - здесь и далее положительные постоянные. Д о к а з а т е л ь с т в о оценок (30)-(32) непосредственно следует из формул (26) и (15). Лемма 2. Для достаточно больших n и при всех x ∈ [0, l] выполнены оценки 1 C4 n - 2 , |Xn (x)| |Xn (x)| |Xn (x)| (34) 3 2 (35) C5 n , C6 n . Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция Xn (x) = x больших ξ справедлива оценка Jν (ξ) = O (33) 1 2 1 1-k 2 J 1-k (λn x) ∈ C 2 [0, l] и при 2 . ξ 1/2 (36) Тогда из (36) следует справедливость оценки (33). Вычислим теперь Xn (x) = λn x 1-k 2 J- k+1 (λn x) . 2 (37) Тогда из (36) и (37) следует справедливость оценки (34). Из уравнения (9) запишем k Xn (x) = - Xn (x) - λ2n Xn (x). x Отсюда в силу неравенств (33) и (34) следует справедливость оценки (35). Согласно леммам 1 и 2 и формуле (15), при любом (x, t) ∈ D ряды (27), (28) и (29) мажорируются соответственно рядами ∞ 3 1 n- 2 |ϕn | + n- 2 |ψn | , C7 (38) n=1 ∞ 1 1 n 2 |ϕn | + n- 2 |ψn | , C8 (39) n=1 ∞ 3 C9 1 n 2 |ϕn | + n 2 |ψn | . (40) n=1 Исследуем ряды (38)-(40) на сходимость. Лемма 3. Если функции ϕ(x) ∈ C 3 [0, l], ψ(x) ∈ C 2 [0, l] и ϕ(0) = ϕ(l) = ϕ (l) = ϕ (0) = ϕ (l) = ψ(0) = ψ(l) = ψ (l) = 0, то выполняются оценки |ϕn | C10 , n4 |ψn | C11 . n2 (41) 595 З а й ц е в а Н. В. Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом (9), (10) и условий леммы из (23) будем иметь l ϕ(x)xk Xn (x)dx = - ϕn = 0 =- 1 ϕ(x)xk Xn (x) - λ2n 0 l 0 ϕ(x)(xk Xn (x)) dx = 0 l l l 1 = 2 ϕ (x)xk Xn (x) - λn 0 l 1 λ2n ϕ (x)xk Xn (x)dx = 0 l 1 λ2n ϕ (x)xk Xn (x)dx = 0 l 1 (ϕ (x)xk ) Xn (x)dx = - 2 λn 1 =- 2 λn l 0 (ϕ (x)xk ) Xn (x)dx = 0 k ϕ (x)xk Xn (x)dx - 2 λn l 0 ϕ (x) k x Xn (x)dx. x Введем обозначения l ϕ(2) n = l ϕ (x)xk Xn (x)dx, ϕ1n = 0 ϕ1 (x)xk Xn (x)dx, ϕ1 (x) = 0 В результате получим ϕn = - ϕ (x) . (42) x 1 (2) k ϕn - 2 ϕ1n . 2 λn λn (43) В силу (9) и (10) и условий ϕ (0) = ϕ (l) = 0 из первого интеграла в (42) получим l ϕ(2) n = ϕ (x)xk Xn (x)dx = - 0 =- 1 λ2n l ϕ (x) xk Xn (x) l 1 k ϕ (x)x X (x) - n λ2n 0 = где dx = 0 l ϕ (x)xk Xn (x)dx = 0 1 λ2n (3) l ϕ (x)xk Xn (x)dx = 0 ϕn , (44) λ2n l ϕ(3) n = ϕ (x)xk Xn (x)dx. 0 Аналогично на основании (9), (10) и ϕ(0) = ϕ (l) = 0 проинтегрируем по частям два раза второй интеграл из (42): l ϕ1 (x)xk Xn (x)dx = - ϕ1n = 0 =- 1 λ2n l ϕ1 (x) xk Xn (x) l 1 ϕ1 (x)xk Xn (x) - 2 λn 0 l ϕ1 (x)xk Xn (x)dx = 0 1 = 2 λn 596 dx = 0 l (1) ϕ ϕ1 (x)x Xn (x)dx = 1n , (45) λ2n k 0 Нелокальная краевая задача для B-гиперболического уравнения . . . где l (1) ϕ1n = ϕ1 (x)xk Xn (x)dx, 0 и этот интеграл в силу (37) сходится. Подставив (44) и (45) в равенство (43), найдем ϕn = - 1 (3) k (1) ϕ - 4 ϕ1n . λ4n n λn (46) Из (46) следует первая оценка из (41). На основании (23) при ψ(0) = ψ(l) = ψ (l) = 0, производя аналогичные вычисления, получим l ψ(x)xk Xn (x)dx = ψn = 0 =- l 1 λ2n ψ (x)xk Xn (x)dx - 0 где k λ2n l 0 ψ (x) k x Xn (x)dx = x 1 k = - 2 ψn(2) - 2 ψ1n , (47) λn λn l ψn(2) = l ψ (x)xk Xn (x)dx, ψ1n = 0 0 ψ (x) k x Xn (x)dx. x Из (47) следует вторая оценка из (41). Согласно лемме 3, ряды (38)-(40) мажорируются сходящимся числовым рядом ∞ 3 n- 2 , C12 n=1 а следовательно, ряды (27)-(29) в области D по признаку Вейерштрасса сходятся равномерно. Таким образом, построена функция u(x, t), определяемая рядом (27), которая удовлетворяет всем условиям задачи (2)-(5), (8). Тем самым доказана Теорема 2. Если функции ϕ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям леммы 3, то существует единственное решение u(x, t) задачи (2)-(5), (8), определяемое рядом (27), при этом u(x, t) ∈ C 2 (D). Теорема 3. Если функции ϕ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям леммы 3 и условиям согласования (7), то существует единственное решение задачи (2)-(7), определяемое рядом (27), при этом u(x, t) ∈ C 2 (D). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u(x, t) - решение задачи (2)-(5), (8) и функции ϕ(x) и ψ(x) удовлетворяют условиям теоремы. Тогда уравнение (1) выполняется всюду в области D. Умножим уравнение (1) на x и проинтегрируем при фиксированном t ∈ (0, T ) по переменной x на промежутке от ε до l - ε, где ε > 0 - достаточно малое число. В результате получим l-ε utt (x, t)x dx - (xux + (k - 1)u) ε l-ε ε = 0. 597 З а й ц е в а Н. В. В последнем равенстве, переходя к пределу при ε → 0, с учетом условий (5) и (8) будем иметь l utt (x, t)x dx = 0. (48) 0 Проинтегрируем равенство (48) по переменной t, в результате имеем l ut (x, t)x dx = C1 = const. (49) 0 Полученное равенство (49) проинтегрируем еще раз по переменной t. Тогда справедливо равенство l u(x, t)x dx = C1 t + C2 , C2 = const. (50) 0 Полагая в равенстве (49) t = 0, с учетом условий (4) и (7) найдем l l ut (x,0)x dx = 0 ψ(x)x dx = C1 = 0. 0 Положим теперь t = 0 в равенстве (50), откуда с учетом условий (4) и (7) и найденного значения C1 = 0 получим l l u(x,0)x dx = 0 ϕ(x)x dx = C2 = A. 0 Подставляя найденные значения констант C1 = 0 и C2 = A в формулу (50), имеем l u(x, t)x dx = A. 0 Тем самым мы показали, что при выполнении условий согласования (7), условия (6) и (8) эквивалентны. Значит, эквивалентны и задачи (2)-(7) и (2)-(5), (8). Декларация о финансовых и других взаимоотношениях. Исследование не имело спонсорской поддержки. Автор несет полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена автором. Автор не получал гонорар за статью.

About the authors

Natalya V Zaitseva

Kazan (Volga Region) Federal University

Email: n.v.zaiceva@yandex.ru
(Assistant), Dept. of Higher Mathematics and Mathematical Modeling 18, Kremlyovskaya str., Kazan, 420008, Russian Federation

References

Supplementary files