An approximate group classification of a perturbed subdiffusion equation

Abstract


A problem of the Lie point approximate symmetry group classification of a perturbed subdiffusion equation with a small parameter is solved. The classification is performed with respect to anomalous diffusion coefficient which is considered as a function of an independent variable. The perturbed subdiffusion equation is derived from a fractional subdiffusion equation with the Riemann-Liouville time-fractional derivative under an assumption that the order of fractional differentiation is close to unity. As it is follow from the classification results, the perturbed subdiffusion equation admits a more general Lie point symmetry group than the initial fractional subdiffusion equation. The obtained results permit to construct approximate invariant solutions for the perturbed subdiffusion equation corresponding to different functions of the anomalous diffusion coefficient. These solutions will also be the approximate solutions of the initial fractional subdiffusion equation.

Full Text

Введение. Разработка методов исследования качественных свойств нелинейных дробно-дифференциальных уравнений, то есть дифференциальных уравнений, содержащих производные дробных порядков различных типов, становится все более актуальной задачей в связи с активным внедрением теории интегро-дифференцирования дробного порядка [1,2] в практику математического моделирования [3-9]. Одним из эффективных подходов к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений с производными целого порядка и построению их точных решений является групповой анализ дифференциальных уравнений [10,11]. В работах [12-14] базовые методы группового анализа были успешно распространены на дробно-дифференциальные уравнения с дробными производными Римана-Лиувилля и Капуто. Были 603 Л у к а щ у к С. Ю. предложены алгоритмы нахождения групп точечных перобразований, допускаемых такими уравнениями, решен ряд задач групповой классификации, найдены новые инвариантные решения некоторых классов нелинейных дробно-дифференциальных уравнений. Тем не менее даже в случае двух независимых переменных задача построения инвариантного решения нелинейного уравнения с частными дробными производными по его известной допускаемой однопараметрической группе в результате процедуры симметрийной редукции часто сводится к нелинейному обыкновенному дробно-дифференциальному уравнению, решение которого остается нетривиальной задачей. В ряде случаев для дробно-дифференциальных уравнений возможно построение приближенных аналитических решений. Характерной особенностью таких уравнений является возможность выделить малый параметр из порядка дробного дифференцирования в том случае, если он оказывается близок к целому числу. Такой подход был использован, в частности, в работах [15- 17]. В результате дробно-дифференциальное уравнение заменяется приближенным уравнением с малым параметром. При этом в нулевом порядке по малому параметру такое уравнение является классическим дифференциальным уравнением в целых производных. К уравнениям с малым параметром могут быть применены методы теории возмущений [18], позволяющие строить различные виды приближенных решений. Исследование симметрийных свойств таких уравнений может быть выполнено с использованием методов теории приближенных групп преобразований, основы которой были заложены в работах [19-21]. По известной группе преобразований, приближенно допускаемой уравнением с малым параметром, могут быть построены приближенно инвариантные решения этого уравнения. Среди дробно-дифференциальных уравнений, используемых в настоящее время на практике, особое место занимают уравнения диффузионного типа. Эти уравнения представляют собой различные математические модели процессов аномальной диффузии, то есть диффузионных процессов, кинетика протекания которых не подчиняется нормальной (гауссовой) статистике [6, 9, 22, 23]. Линейные дробно-дифференциальные уравнения аномальной диффузии в настоящее время являются одним из наиболее хорошо изученных классов дробно-дифференциальных моделей [24-26]. Вместе с тем проблема построения решений и исследования качественных свойств нелинейных дробно-дифференциальных диффузионных моделей остается мало исследованной. Вопросы построения точных решений таких уравнений обсуждаются, в частности, в работах [27-29]. В работах [13,30] проведено исследование симметрийных свойств некоторых классов нелинейных уравнений аномальной диффузии с дробными производными Римана- Лиувилля и Капуто по времени. В данной статье рассматривается нелинейное уравнение субдиффузии с дробной производной Римана-Лиувилля по времени, в котором порядок дробного дифференцирования близок к единице, а коэффициент аномальной диффузии является функцией зависимой переменной. Для этого уравнения строится соответствующее приближенное уравнение с малым параметром и проводится его групповая классификация по допускаемым группам приближенных точечных преобразований относительно коэффициента аномальной диф604 Групповая классификация одного нелинейного приближенного уравнения субдиффузии фузии, являющегося функцией зависимой переменной. 1. Приближенное уравнение субдиффузии. Рассмотрим нелинейное дробно-дифференциальное уравнение субдиффузии α 0 Dt u = (kα (u)ux )x , где α 0 Dt u = u = u(t, x), ∂ 1 Γ(1 - α) ∂t t 0 (1) α ∈ (0, 1), u(τ, x)dτ (t - τ )α (2) - левосторонняя дробная производная Римана-Лиувилля порядка α ∈ (0, 1) по переменной t [1, 2]. Групповая классификация уравнения (1) по группам точечных преобразований относительно элемента kα (u) выполнена в работе [13]. Рассмотрим случай, когда свойства субдиффузионного процесса таковы, что порядок дробного дифференцирования α оказывается близок к единице, то есть α = 1 - ε, где ε > 0 - малый параметр. Тогда дробная производная в уравнении (1) может быть разложена в ряд по ε, а само уравнение заменено на приближенное уравнение с малым параметром. Лемма. Пусть функция u(t) является аналитической при t > 0 и параметр α = 1-ε, где ε > 0 и ε 1. Тогда при всех t, удовлетворяющих условию |ε ln(t)| = O(ε), для дробной производной Римана-Лиувилля (2) справедливо разложение 1-ε u = ut + ε (ln t + γ - 1)ut + 0 Dt u + t ∞ n=1 (-1)n tn n+1 D u n(n + 1)! t + O(ε2 ). (3) Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся известным (см., например, [1, формула (15.4)]) разложением дробной производной Римана-Лиувилля от аналитической функции в ряд по производным целого порядка, которое для дробной производной (2) имеет вид ∞ α 0 Dt u = n=0 α tn-α Dn u. n Γ(1 - α + n) t С использованием определения биномиальных коэффициентов и известных свойств гамма-функции (см., например, [31]) это разложение преобразуется к виду ∞ sin(π(α - n)) tn-α n α D u = Γ(1 + α) D u. (4) 0 t π(α - n) n! t n=0 Выполним формальное разложение правой части этого равенства по ε при α = 1 - ε. Для отдельных множителей справедливы следующие разложения: Γ(1 + α) ≡ Γ(2 - ε) = Γ(2) - Γ (2)ε + O(ε2 ) = 1 - ε(1 - γ) + O(ε2 ), где γ ≈ 0.577216 - постоянная Эйлера; 605 Л у к а щ у к С. Ю. sin(π(α - n)) sin(π(1 - n - ε)) sin(π(1 - n)) - πε cos(π(1 - n)) ≡ = + π(α - n) π(1 - n - ε) π(1 - n - ε)  2   1 + O(ε ), n = 1; (-1)1-n ε 2 + O(ε ) = - + O(ε ) = 1-n  1-n-ε  - (-1) ε + O(ε2 ), n = 1. 1-n 2 При выполнении условия |ε ln(t)| = O(ε) также справедливо разложение t1-α ≡ tε = 1 + ε ln(t) + O(ε2 ). Подстановка полученных разложений в (4) после элементарных преобразований дает искомое разложение (3). Подставляя разложение (3) в уравнение (1), с точностью до O(ε2 ) получаем уравнение с малым параметром: ut + ε (ln t + γ - 1)ut + u + t ∞ n=1 (-1)n tn n+1 D u n(n + 1)! t = kα (u)ux x . (5) Уравнение (5) будем называть приближенным уравнением субдиффузии. При решении задачи групповой классификации коэффициент аномальной диффузии kα (u) должен полагаться зависящим от α, то есть в рассматриваемом случае он будет являться функцией малого параметра ε. Будем полагать, что справедливо разложение (6) kα (u) ≡ k1-ε (u) = k(0) (u) + εk(1) (u) + O(ε2 ). Тогда уравнение (5) принимает вид u ut + ε (ln t + γ - 1)ut + + t ∞ n=1 (-1)n tn n+1 D u n(n + 1)! t = = k(0) (u)uxx + k(0) (u)u2x + ε k(1) (u)uxx + k(1) (u)u2x . (7) 2. Групповая классификация уравнения (7). Проведем классификацию уравнения (7) по группам приближенных точечных преобразований, определяемых инфинитезимальным оператором 0 0 X = (ξ(0) + εξ(1) ) ∂ ∂ ∂ 1 1 + (ξ(0) + εξ(1) + (η(0) + εη(1) ) . ) ∂t ∂x ∂u (8) i , η Координаты ξ(j) (j) (i, j = 0, 1) данного оператора являются функциями переменных t, x, u. Оператор (8) продолжается на все переменные, входящие в уравнение (7): ˜ = X + (ζ 1 + εζ 1 ) ∂ + (ζ 1 + εζ 1 ) ∂ + X 0(0) 0(1) 1(0) 1 (1) ∂ut ∂ux + 606 2 (ζ1(0) + 2 εζ1(1) ) ∂ + ∂uxx ∞ n ζ0(0) n=2 ∂ , (9) ∂ (Dtn u) Групповая классификация одного нелинейного приближенного уравнения субдиффузии k где координаты ζi(j) продолженного оператора определяются по классическим формулам продолжения (см., например, [10, 11]). При ε = 0 уравнение (7) переходит в классическое нелинейное уравнение теплопроводности ut = k(0) (u)ux x , результаты групповой классификации которого по элементу k(0) (u) хорошо известны [10]. А именно, в случае произвольного k(0) (u) допускаемая уравнением группа является трехмерной, при k(0) (u) = eu и k(0) (u) = uσ (σ = -4/3) группа расширяется до четырехмерной, при k(0) (u) = u-4/3 является пятимерной и в случае линейного уравнения (k(0) (u) = 1) является бесконечномерной. На основе этой классификации проводится групповая классификация приближенного уравнения субдиффузии (7) по группам приближенных точечных преобразований относительно элемента k(1) (u). Случай I. Пусть k(0) (u) - произвольная функция. Тогда (см. [10]) 0 ξ(0) = C1(0) + 2C3(0) t, 1 ξ(0) = C2(0) + C3(0) x, η(0) = 0 (10) и координаты продолженного оператора (9) в нулевом по ε порядке имеют вид n ζ0(0) = -2nC3(0) Dtn u (n = 1, 2, . . .), (11) 1 2 ζ1(0) = -C3(0) ux , ζ1(0) = -2C3(0) uxx . 0 , ξ1 и η Координаты ξ(1) (1) находятся из определяющего уравнения, по(1) лучающегося в результате действия на уравнение (7) продолженным оператором (9) с учетом исходного уравнения (7) и уже известных координат (10) и (11). В результате расщепления этого определяющего уравнения по степеням Dtn u (n 2) находим C1(0) = 0, 0 ξ(1)u = 0. Таким образом, оператор группы переносов по времени X = ∂/∂t, допускаемый классическим уравнением теплопроводности и соответствующий постоянной C1(0) , не наследуется уравнением (7). В работе [13] показано, что этот оператор не допускается и исходным дробно-дифференциальным уравнением субдиффузии (1). Расщепление определяющего уравнения по переменным ut ux , ut u2x , utx , utx ux приводит, в силу произвольности функции k(0) (u), к уравнениям 1 ξ(1)u = 0, 0 ξ(1)x = 0. Дальнейшее расщепление по ut дает 1 0 k(0) (2ξ(1)x - ξ(1)t + 2C3(0) ) - k(0) η(1) = 0 или, с учетом произвольности k(0) (u), η(1) = 0, 1 0 2ξ(1)x - ξ(1)t + 2C3(0) = 0. 607 Л у к а щ у к С. Ю. Расщепление по ux приводит к уравнениям 1 = 0, ξ(1)t 1 = 0. ξ(1)xx Оставшаяся после указанных расщеплений часть определяющего уравнения выполнена тождественно для любой функции k(1) (u). Решение полученных в результате расщепления уравнений имеет вид 0 = C1(1) + 2C3(1) t + 2C3(0) t, ξ(1) 1 = C2(1) + C3(1) x, ξ(0) η(1) = 0, C1(0) = 0, где C1(1) , C2(1) , C3(1) - произвольные постоянные. Случай II. Пусть k(0) (u) = eu . Из известной [10] классификации нелинейного уравнения теплопроводности в нулевом порядке по ε имеем 0 ξ(0) = C1(0) + (2C3(0) - C4(0) )t, 1 ξ(0) = C2(0) + C3(0) x, η(0) = C4(0) . (12) Расщепление соответствующего определяющего уравнения по ut ux , ut u2x , utx , utx ux и Dtn u (n 2) дает C1(0) = 0, 0 ξ(1)u = 0, 0 ξ(1)x = 0, 1 ξ(1)u = 0. С учетом этих уравнений дальнейшее расщепление определяющего уравнения по ut , ux , u2x приводит к следующей системе: 1 0 2ξ(1)x - ξ(1)t - η(1) = C4(0) - 2C3(0) + C4(0) (k(1) e-u )u , 1 1 eu (2η(1)xu + 2η(1)x - ξ(1)xx ) + ξ(1)t = 0, η(1)uu + η(1)u = -C4(0) (k(1) e-u )uu , η(1)t - eu η(1)xx = -C4(0) t-1 . Так как C4(0) = 0 (иначе (12) совпадает с (10) и получаем уже разобранный выше случай I), из первого, третьего и четвертого уравнений этой системы вытекает следующее классифицирующее соотношение для k(1) (u): (e-u k(1) )uu = 2A2 , где A2 - произвольная постоянная. Решение этого уравнения имеет вид k(1) (u) = eu A0 + A1 u + A2 u2 , где A0 и A1 - также произвольные постоянные. Только при таком виде функции k(1) (u) будет иметь место расширение группы. Подставляя найденный вид k(1) (u) в исходную систему и разрешая ее, находим 0 ξ(1) = C1(1) + (2C3(1) - C4(1) )t + 2C3(0) t + C4(0) t(ln t - 2) - A1 C4(0) t, 1 ξ(0) = C2(1) + C3(1) x, η(1) = C4(1) - C4(0) ln t - 2A2 C4(0) u, 608 Групповая классификация одного нелинейного приближенного уравнения субдиффузии где Ci(1) (i = 1, 2, 3, 4) - произвольные постоянные. Случай III. Пусть k(0) (u) = uσ (σ = 0). Из классификации [10] уравнения теплопроводности имеем 0 = C1(0) + 2C3(0) t, ξ(0) 1 ξ(0) = C2(0) + C3(0) x + C4(0) σx - C5(0) x2 , η(0) = 2C4(0) u + 3C5(0) xu, где C5(0) = 0 только при σ = -4/3. Аналогично предыдущим случаям, расщепление соответствующего определяющего уравнения по Dtn u (n 2), ut ux , ut u2x , utx , utx ux дает уравнения C1(0) = 0, 0 ξ(1)u = 0, 0 ξ(1)x = 0, 1 ξ(1)u = 0, с учетом которых дальнейшее расщепление по ut , ux , u2x приводит к системе 1 0 2ξ(1)x - ξ(1)t - σu-1 η(1) = -2C3(0) + (2C4(0) + 3C5(0) x) u(u-σ k(1) )u , 1 1 2(uσ η(1)x )u - uσ ξ(1)xx + ξ(1)t = -2C5(0) (4k(1) + 3k(1) u), η(1)uu + σu-1 η(1)u - σu-2 η1 = -(2C4(0) + 3C5(0)x ) u(u-σ k(1) )u u , η(1)t - uσ η(1)xx = 0. Из первого и третьего уравнений имеем η(1)uu = 0. Тогда из первого уравнения получаем классифицирующее соотношение на функцию k(1) (u) в виде (2C4(0) + 3C5(0) x) u2 (u-σ k(1) )u uu = 0. Так как постоянные C4(0) и C5(0) одновременно не равны нулю (иначе имеем случай I), то расширение группы возможно только при k(1) (u) = uσ A0 + σ A1 + A2 ln u , u (13) где A0 , A1 , A2 - произвольные постоянные. Подставляя (13) в приведенную выше систему и разрешая ее, приходим к следующим результатам. Для k(0) (u) = uσ (σ = 0), k(1) (u) вида (13) и C5(0) = 0 имеем 0 ξ(1) = C1(1) + 2C3(1) t + 2C3(0) t - 2A2 C4(0) t, 1 ξ(1) = C2(1) + C3(1) x + C4(1) σx, η(1) = 2C4(1) u + 2A1 C4(0) . Для k(0) (u) = u-4/3 и C5(0) = 0 система имеет решение, только если в функции k(1) (u) вида (13) A2 = 0: 0 ξ(1) = C1(1) + 2C3(1) t + 2C3(0) t, 609 Л у к а щ у к С. Ю. 1 ξ(1) = C2(1) + C3(1) x - 2C4(1) x - C5(1) x2 , η(1) = 3C4(1) u + 3C5(1) xu + A1 2C4(0) + 3C5(0) x . Случай IV. Возмущение линейного уравнения k(0) (u) = 1. В этом случае из [10] имеем 0 ξ(0) = C1(0) + 2C3(0) t - 4C5(0) t2 , (14) 1 ξ(0) = C2(0) + C3(0) x - 2C4(0) t - 4C5(0) xt, η(0) = (C6(0) + C4(0) x + C5(0) x2 + 2C5(0) t)u + g(t, x), где g(t, x) - произвольное решение уравнения gt = gxx и Ci(0) (i = 1, . . . , 6) - произвольные постоянные. С учетом (14) для координат продолженного оператора имеем 1 ζ1(0) = (C6(0) - C3(0) + C4(0) x + C5(0) x2 + 6C5(0) t)ux + (C4(0) + 2C5(0) x)u + gx , 2 ζ1(0) = (C6(0) - 2C3(0) + C4(0) x + C5(0) x2 + 10C5(0) t)uxx + + 2(C4(0) + 2C5(0) x)ux + C5(0) u + gxx , n ζ0(0) 2 = (C6(0) + C4(0) x + C5(0) x + 2C5(0) t - 2kC3(0) + 8C5(0) t)Dtn u+ + 2k(2k - 1)C5(0) Dtn-1 u + 2k(C4(0) + 2C5(0) x)Dtn-1 ux + Dtn g. Расщепление соответствующего определяющего уравнения по переменным Dtn u и Dtn ux (n 2) дает C1(0) = 0, C4(0) = 0, C5(0) = 0, 1 ξ(1)u = 0. Дальнейшее расщепление по ut ux , ut u2x , utx , utx ux приводит к уравнениям 0 ξ(1)u = 0, 0 ξ(1)x = 0. С учетом приведенных уравнений расщепление оставшейся части определяющего уравнения по ut , ux , u2x дает систему 1 0 2ξ(1)x - ξ(1)t = -2C3(0) + (C6(0) u + g)k(1) , 1 1 2η(1)xu - ξ(1)xx + ξ(1)t = -2gx k(1) , η(1)uu = -C6(0) (uk(1) )u - gk(1) , ∞ η(1)t - η(1)xx = k(1) gxx - (ln t + γ - 1)g - t n=1 (-1)n tn n+1 D g. n(n + 1)! t Дифференцирование по u первого уравнения данной системы приводит к классифицирующему соотношению для k(1) (u): C6(0) k(1) + (C6(0) u + g)k(1) = 0. 610 Групповая классификация одного нелинейного приближенного уравнения субдиффузии Возможны следующие четыре случая: a) k(1) (u) - произвольная функция и g(t, x) = 0, C6(0) = 0; b) k(1) (u) = A0 + A1 u, C6(0) = 0; c) k(1) (u) = A0 + A1 ln u, g(t, x) = 0; d) k(1) (u) = A0 , где A0 и A1 - произвольные постоянные. Для каждого из этих случаев было получено решение приведенной выше системы. a) Для произвольной k(1) (u): C1(0) = C4(0) = C5(0) = C6(0) = g(t, x) = 0, 0 ξ(1) = C1(1) + 2C3(1) t - 4C5(1) t2 + 2C3(0) t, 1 ξ(1) = C2(1) + C3(1) x - 2C4(1) t - 4C5(1) xt, η(1) = (C6(1) + C4(1) x + C5(1) x2 + 2C5(1) t)u + h(t, x), ht = hxx . b) Для k(1) (u) = A1 u + A0 : C1(0) = C4(0) = C5(0) = C6(0) = 0, 1 ξ(1) x4 x3 + G2 tx + + G3 (2t + x2 ) + G4 x + G5 ; 12 6 4 = C1(1) + 2C3(1) t - 4C5(1) t2 + 2C3(0) t - A1 G1 t3 , 3 = C2(1) + C3(1) x - 2C4(1) t - 4C5(1) xt+ η(1) 3t2 x tx3 x5 3t2 tx2 x4 + + + G2 - + + + 2 6 120 4 4 48 x3 x2 x + G3 tx + + G4 + G5 , 6 4 2 2 = C6(1) + C4(1) x + C5(1) x + 2C5(1) t u+ g(t, x) = G1 t2 + tx2 + 0 ξ(1) + A1 G1 - x3 3 x4 - G2 - G3 x2 - G4 x u+ 12 6 4 9 2 + G1 2A0 - 3 ln t - 2γ + t + 2 x4 + A0 - 2 ln t - γ + 2 tx2 - ln t + 12 x3 + G2 (A0 - 2 ln t - γ + 2)xt - ln t + 6 + G3 2(A0 - 2 ln t - γ + 2)t - x2 ln t + t + G4 (t + x2 ) - G5 ln t + h(t, x), 4 ht = hxx . + A1 G1 t2 - c) Для k(1) (u) = A1 ln u + A0 : C1(0) = C4(0) = C5(0) = g(t, x) = 0, 611 Л у к а щ у к С. Ю. 0 ξ(1) = C1(1) + 2C3(1) t - 4C5(1) t2 + 2C3(0) t - A1 C6(0) t, 1 ξ(1) = C2(1) + C3(1) x - 2C4(1) t - 4C5(1) xt, η(1) = (C6(1) + C4(1) x + C5(1) x2 + 2C5(1) t)u + h(t, x), ht = hxx . d) Для k(1) (u) = A0 : C1(0) = C4(0) = C5(0) = 0, 0 ξ(1) = C1(1) + 2C3(1) t - 4C5(1) t2 + 2C3(0) t, 1 ξ(1) = C2(1) + C3(1) x - 2C4(1) t - 4C5(1) xt, η(1) = (C6(1) + C4(1) x + C5(1) x2 + 2C5(1) t)u + h(t, x), ∞ ht = hxx + A0 gxx - (ln t + γ - 1)g - t n=1 (-1)n tn n+1 D g. n(n + 1)! t В результате доказана следующая Теорема. Приближенное уравнение субдиффузии (7) в случае произвольной функции k(u) = k(0) (u)+εk(1) (u) допускает пятипараметрическую группу приближенных точечных преобразований, порождаемую операторами X1 = X3 = ε ∂ , ∂t ∂ , ∂x ∂ ∂ + (1 - ε)x , ∂t ∂x ∂ ∂ ∂ X4 = ε , X5 = 2εt + εx . ∂x ∂t ∂x X2 = 2t Расширение группы имеет место в следующих случаях. I. k(u) = eu 1 + ε(A0 + A1 u + A2 u2 ) . Группа является семипараметрической и расширяется операторами X6 = 1 - ε(ln t - 2 - A1 ) t ∂ ∂ - 1 - ε(ln t + 2A2 u) , ∂t ∂u X7 = εt ∂ ∂ -ε . ∂t ∂u A1 II. k(u) = uσ 1 + ε A0 + σ + A2 ln u (σ = 0). Группа является семиu параметрической и расширяется операторами X6 = -2A2 εt ∂ ∂ ∂ + σx + 2(u + εA1 ) , ∂t ∂x ∂u X7 = εσx ∂ ∂ + 2εu . ∂x ∂u 4 4A1 III. k(u) = u- 3 1 + ε A0 - . Группа является девятипараметриче3u ской и расширяется операторами ∂ ∂ - 3(u + εA1 ) , ∂x ∂u ∂ ∂ X8 = 2εx - 3εu , ∂x ∂u X6 = 2x 612 ∂ ∂ - 3x(u + εA1 ) , ∂x ∂u ∂ ∂ X9 = εx2 - 3εxu . ∂x ∂u X 7 = x2 Групповая классификация одного нелинейного приближенного уравнения субдиффузии IV. k(u) = 1 + εk1 (u). IV.1) k1 (u) - произвольная функция. Группа является бесконечномерной и расширяется операторами X6 = 2εt ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ - εxu , X7 = -4εt2 - 4εtx + ε(2t + x2 )u , ∂x ∂u ∂t ∂x ∂u ∂ ∂ X8 = εu , X∞ = εh(t, x) , ∂u ∂u где h(t, x) - произвольное решение уравнения ht = hxx . IV.2) k1 (u) = A = const. Группа является бесконечномерной и расширяется операторами X6 = u ∂ ∂ ∂ - 4εtx + ε(2t + x2 )u , ∂t ∂x ∂u ∂ ∂ ∂ X8 = 2εt - εxu , X9 = εu , ∂x ∂u ∂u ∂ ∂ X1∞ = g(t, x) , X2∞ = εh(t, x) , ∂u ∂u ∂ , ∂u X7 = -4εt2 где g(t, x) и h(t, x) - соответственно произвольные решения уравнений ∞ (-1)n tn n+1 gt = gxx , ht = hxx + Agxx - (ln t + γ - 1)g t - D g. n(n + 1)! t n=1 IV.3) k1 (u) = A0 + A1 ln u. Группа является бесконечномерной и расширяется операторами ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ - u , X7 = -4εt2 - 4εtx + ε(2t + x2 )u , ∂t ∂u ∂t ∂x ∂u ∂ ∂ ∂ ∂ X8 = εu , X9 = 2εt - εxu , X∞ = εh(t, x) , ∂u ∂x ∂u ∂u X6 = εA1 t где h(t, x) - произвольное решение уравнения ht = hxx . IV.4) k1 (u) = A0 + A1 u. Группа является бесконечномерной и расширяется операторами X6 = 2εt ∂ ∂ + εx , ∂t ∂x X7 = -4εtx ∂ ∂ ∂ - 4εt2 + ε(2t + x2 )u , ∂x ∂t ∂u ∂ 4 ∂ 3t2 x tx3 x5 ∂ , X9 = -ε A1 t3 + εA1 - + + + ∂u 3 ∂t 2 6 120 ∂x 9 + 1 + ε 2A0 - 3 ln t - 2γ + + A1 u t2 + 2 x4 ∂ + 1 + ε(A0 - 2 ln t - γ + 2) tx2 + 1 - ε(A1 u + ln t) , 12 ∂u X8 = εu 613 Л у к а щ у к С. Ю. X10 = εA1 - + 3t2 tx2 x4 ∂ + + + 4 4 48 ∂x 1 + ε(A0 - 2 ln t - γ + 2) tx + 1 - ε(A1 u + ln t) X11 = εA1 tx + x3 ∂ + 6 ∂x x3 ∂ , 6 ∂u 2 1 + ε(A0 - 2 ln t - γ + 2) t+ + 1 - ε(A1 u + ln t) x2 ∂ , ∂u x2 ∂ ε ∂ + x - (3A1 xu - t2 - tx2 ) , 4 ∂x 4 ∂u x ∂ ∂ ∂ = εA1 + (1 - ε ln t) , X∞ = εh(t, x) . 2 ∂x ∂u ∂u X12 = εA1 X13 Сравнение полученных результатов с результатами групповой классификации уравнения (1) из работы [13] показывает, что приближенное уравнение субдиффузии (7) обладает более широкой группой симметрий по сравнению с исходным дробно-дифференциальным уравнением субдиффузии (1). В частности, имеет место наследование группы в случае k(0) (u) = eu (см. п. I расширения группы в доказанной теореме). При групповой классификации дробно-дифференциального уравнения субдиффузии (1) было показано, что случай kα (u) = eu не приводит к расширению допускаемой группы точечных преобразований. С другой стороны, в [13] получено расширение допускаемой группы уравнения (1) в случае 2α kα (u) = u- α-1 , который при α = 1 - ε переходит в 2 k1-ε (u) = u-2+ ε . Для приближенного уравнения субдиффузии (5) этот случай является особым, поскольку данная функция k1-ε (u) не допускает разложения вида (6) по малому параметру ε и не приводит, таким образом, к уравнению (7). Заключение. Проведенная в работе групповая классификация приближенного уравнения субдиффузии дает возможность построения приближенно инвариантных решений этого уравнения, которые будут являться приближенными решениями исходного дробно-дифференциального уравнения субдиффузии (1). Поскольку допускаемая группа приближенного уравнения оказалась более широкой, чем группа исходного уравнения, не все такие приближенные решения могут быть получены из точных инвариантных решений уравнения (1) путем разложения по малому параметру ε = 1 - α, то есть 614 Групповая классификация одного нелинейного приближенного уравнения субдиффузии ряд таких решений будут новыми. Для нахождения всех таких неподобных приближенно инвариантных решений требуется построение оптимальной системы подалгебр алгебр Ли приближенных инфинитезимальных операторов, соответствующих отдельно каждому случаю групповой классификации из доказанной в данной работе теоремы, что представляет собой самостоятельную задачу для продолжения исследований. Декларация о финансовых и других взаимоотношениях. Исследование не имело спонсорской поддержки. Автор несет полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена автором. Автор не получал гонорар за статью.

About the authors

Stanislav Yu Lukashchuk

Ufa State Aviation Technical University

Email: lsu@ugatu.su
12, K. Marx st., Ufa, 450000, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; lsu@ugatu.su), Associate Professor, Dept. of High Performance Computing Technologies and Systems

References

  1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  2. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo Y. Y. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies. vol. 204 / ed. J. van Mill. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 pp.
  3. Нахушев А. М. Дробное исчисление его применение. М.: Физматлит, 2009. 272 с.
  4. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
  5. Mainardy F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. An introduction to mathematical models. Singapore: World Scientific, 2010. xx+367 pp. doi: 10.1142/9781848163300.
  6. Головизнин В. М., Кондратенко П. С., Матвеев Л. В., Короткин И. А., Драников И. Л. Аномальная диффузия радионуклидов в сильно-неоднородных геологических формациях. М.: Наука, 2010. 342 с.
  7. Tarasov V. E. Fractional dynamics: Application of fractional calculus to dynamics of particles, fields and media / Nonlinear Physical Science. Heidelberg: Springer, 2011. xv+495 pp. doi: 10.1007/978-3-642-14003-7.
  8. Baleanu D., Diethelm K., Scalas E., Trujillo J. J. Fractional calculus: Models and numerical methods / Series on Complexity, Nonlinearity and Chaos. vol. 3. Singapore: World Scientific, 2012. 400 pp. doi: 10.1142/9789814355216.
  9. Uchaikin V., Sibatov R. Fractional kinetics in solids: Anomalous charge transport in semiconductors, dielectrics and nanosystems. Singapore: World Scientific, 2013. 276 pp. doi: 10.1142/8185.
  10. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
  11. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.
  12. Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестник УГАТУ, 2007. Т. 9, № 32(21). С. 125-135.
  13. Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Yu. Symmetry properties of fractional diffusion equations // Physica Scripta, 2009. vol. 2009, no. T136, 014016. doi: 10.1088/0031-8949/2009/t136/014016.
  14. Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии // Уфимск. матем. Журн., 2012. Т. 4, № 4. С. 54-68.
  15. Tarasov V. E., Zaslavsky G. M. Dynamics with low-level fractionality // Phys. A, 2006. vol. 368, no. 2. pp. 399-415. doi: 10.1016/j.physa.2005.12.015.
  16. Tofighi A., Golestani A. A perturbative study of fractional relaxation phenomena // Phys. A, 2008. vol. 387, no. 8-9. pp. 1807-1817. doi: 10.1016/j.physa.2007.11.046.
  17. Tofighi A. An Especial Fractional Oscillator // International Journal of Statistical Mechanics, 2013. vol. 2013, 175273. 5 pp. doi: 10.1155/2013/175273.
  18. Nayfeh A. H. Perturbation Methods. Mörlenbach: Willey, 2000. xii+495 pp. doi: 10.1002/9783527617609.
  19. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные симметрии // Матем. сб., 1988. Т. 136(178), № 4(8). С. 435-450.
  20. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Методы возмущений в групповом анализе / Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж., Т. 20. М.: ВИНИТИ, 1989. С. 85-147.
  21. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные группы преобразований // Дифференц. уравнения, 1993. Т. 29, № 10. С. 1712-1732.
  22. Metzler R., Klafter J. The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Rep., 2000. vol. 339, no. 1. pp. 1-77. doi: 10.1016/s0370-1573(00)-00070-3.
  23. Учайкин В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФН, 2003. Т. 173, № 8. С. 847-876. doi: 10.3367/UFNr.0173.200308c.0847.
  24. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
  25. Luchko Yu. Anomalous diffusion: models, their analysis, and interpretation / Advances in Applied Analysis. Trends in Mathematics; eds. S. Rogosin, A. Koroleva. Basel: Birkhäuser, 2012. pp. 115-145. doi: 10.1007/978-3-0348-0417-2_3.
  26. Хуштова Ф. Г. Фундаментальное решение модельного уравнения аномальной диффузии дробного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. Науки, 2015. Т. 19, № 4. С. 722-735. doi: 10.14498/vsgtu1445.
  27. Bologna M., Tsallis C., Grigolini P. Anomalous diffusion associated with nonlinear fractional derivative Fokker-Planck-like equation: Exact time-dependent solutions // Phys. Rev. E, 2000. vol. 62, no. 2. pp. 2213-2218. doi: 10.1103/physreve.62.2213.
  28. Lenzi E. K., Lenzi M. K., Evangelista L. R., Malacarne L. C., Mendes R. S. Solutions for a fractional nonlinear diffusion equation with external force and absorbent term // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2009. vol. 2009, no. 2, P02048. doi: 10.1088/1742-5468/2009/02/p02048.
  29. Bonforte M., Vázquez J. L. Fractional nonlinear degenerate diffusion equations on bounded domains part I. Existence, uniqueness and upper bounds // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2016. vol. 131. pp. 363-398. doi: 10.1016/j.na.2015.10.005.
  30. Lukashchuk S. Yu., Makunin A. V. Group classification of nonlinear time-fractional diffusion equation with a source term // Applied Mathematics and Computation, 2015. vol. 257. pp. 335-343. doi: 10.1016/j.amc.2014.11.087.
  31. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables / eds. Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1984. xiv+1046 pp.

Statistics

Views

Abstract - 42

PDF (Russian) - 26

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies