Finite-difference method for solving Tricomi problem for the Lavrent’ev-Bitsadze equation

Full Text

Введение. Уравнение Лаврентьева-Бицадзе (ЛБ) в работах [1, 2] было предложено как более простая модель уравнений смешанного типа в смысле постановки и исследования смешанных задач. Методом сингулярных интегральных уравнений в работах [1-6] решена задача Трикоми для уравнения ЛБ для различных областей в эллиптической части. Исследованию однозначной разрешимости локальных и нелокальных краевых задач для уравнения ЛБ, а также его обобщениям посвящено достаточно много работ. Отметим, например, работы [7-13]. Однако, несмотря на обширную библиографию работ по исследованию однозначной разрешимости различных форм дифференциальных задач, приближенным методам исследования краевых задач для Статья cb Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования Б а л к и з о в Ж. А., С о к у р о в А. А. Об одном разностном методе решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 2. С. 221-235. doi: 10.14498/vsgtu1534. 221 Б а л к и з о в Ж. А., С о к у р о в А. А. уравнений смешанного типа уделено мало внимания. Среди них отметим работы [14-19], в которых различными методами были получены приближенные решения задачи Трикоми для уравнения ЛБ с первым порядком аппроксимации. В данной работе получена априорная оценка решения задачи Трикоми для уравнения ЛБ в случае, когда область эллиптичности ограничена прямоугольником, а также предложен метод приближенного решения исследуемой задачи со вторым порядком точности. Отметим, что уравнение ЛБ встречается при решении таких важных вопросов прикладного характера, как задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения, задачи безмоментной теории оболочек и т. д. Значительную роль такие уравнения играют и в задачах газовой динамики [20]. 1. Постановка задачи. На евклидовой плоскости независимых переменных x и t рассмотрим уравнение Лаврентьева-Бицадзе uxx + sgn(t)utt = -f (x, t), (1) где sgn(t) - знак числа t; f (x, t) - заданная функция; u = u(x, t) - искомая функция. Через Ω обозначим область, ограниченную при t < 0 характеристиками AC : x + t = 0 и CB : x - t = l уравнения (1), выходящими из точек A = (0, 0) и B = (l, 0) и пересекающимися в точке C = (l/2, -l/2), а при t > 0 - прямоугольником с вершинами в точках A, B, A0 = (0, T ), B0 = (l, T ), l > 0, T > 0. Верхнюю часть области Ω при t > 0 обозначим через Ω+ , а нижнюю часть при t < 0 через Ω- . Уравнение (1) является уравнением смешанного типа: оно эллиптично в области Ω+ и гиперболично в Ω- . Регулярным в области Ω решением уравнения (1) назовем всякую функ+ цию u = u(x, t) из класса C(Ω) ∩ C 1 (Ω) ∩ C 2 (Ω ) ∩ C 2 (Ω- ), при подстановке которой уравнение (1) обращается в тождество. В работе рассматривается задача Трикоми для уравнения (1) в следующей постановке. Задача T. Найти регулярное в области Ω решение u = u(x, t) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям u(l, t) = u1 (t), u(0, t) = u3 (t), 0 t u(x, T ) = u2 (x), 0 x l, u(x, -x) = ψ(x), 0 x l/2, T, (2) (3) (4) где u1 (t), u2 (x), u3 (t), ψ(x) - заданные достаточно гладкие функции, для которых выполнены следующие условия согласования: u3 (0) = ψ(0), u3 (T ) = u2 (0), u2 (l) = u1 (T ). В работах [14-19] были предложены различные методы нахождения приближенного решения задачи T для однородного уравнения Лаврентьева-Бицадзе с первым порядком точности. В настоящей работе предлагается конечно-разностный метод, позволяющий найти приближенное решение задачи T 222 Об одном разностном методе решения задачи Трикоми. . . для неоднородного уравнения Лаврентьева-Бицадзе со вторым порядком точности. В дальнейшем будем предполагать, что f (x, t) ∈ C(Ω) и решение задачи - (1)-(4) существует. Решение задачи Коши для уравнения (1) в области Ω можно представить в виде u(x, t) = τ (x + t) + τ (x - t) 1 + 2 2 x+t ν (ξ) dξ + x-t t 1 2 x+t-η f (ξ, η)dξdη, (5) 0 x-t+η где τ (x) = u(x, 0), ν(x) = ut (x, 0). Учитывая условие (4), из (5) получим u(x, -x) = τ (0) + τ (2x) 1 + 2 2 0 ν (ξ) dξ + 2x -x 1 2 -η f (ξ, η)dξdη = ψ(x), 0 2x+η или же τ (0) + τ (x) 1 + 2 2 0 ν (ξ) dξ + x -x/2 1 2 -η f (ξ, η)dξdη = ψ 0 x+η x . 2 (6) Дифференцируя (6), находим -x/2 x + 2 τ (x) - ν(x) = ux (x, 0) - ut (x, 0) = ψ f (x + η, η) dη, (7) 0 откуда ν(x) = τ (x) - ψ x - 2 -x/2 f (x + η, η)dη. (8) 0 Соотношение (8) - фундаментальное соотношение между функциями τ (x) и ν(x), принесенное из области Ω- на линию y = 0. Подставляя ν(x) из (8) в (5), находим решение первой задачи Дарбу для уравнения (1) в области Ω- : u(x, t) = τ (x + t) - ψ - 1 2 x+t x-t +ψ - 2 2 -ξ/2 x+t f (ξ + η, η) dηdξ + x-t 0 1 2 t x+t-η f (ξ, η)dξdη. 0 x-t+η Для определения значения искомой функции u в области Ω+ с учетом найденного выше фундаментального соотношения приходим к задаче (2), (3) и (7) для уравнения (1). 2. Априорная оценка. Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Для любого регулярного решения задачи (1)-(3) и (7) с однородными условиями (2)-(3) имеет место априорная оценка u 2 0 M1 f где χ(x) = ψ x + 2 2 0 + M2 χ 2 0, -x/2 f (x + η, η) dη, 0 223 Б а л к и з о в Ж. А., С о к у р о в А. А. M1 , M2 - известные положительные числа. Д о к а з а т е л ь с т в о. Полагая условия (2), (3) однородными, умножим уравнение (1) на u(x, t) и проинтегрируем по области Ω+ : u(x, t) [uxx (x, t) + utt (x, t)] dxdt = Ω+ u2x (x, t) + u2t (x, t) dxdt = -u(x, t)ut (x, t)dx + u(x, t)ux (x, t)dt - = Ω+ Γ =- u(x, t)f (x, t)dxdt, Ω+ откуда l u(x, 0)ut (x, 0)dx + ux 0 2 0 + ut 2 0 = u(x, t)f (x, t)dxdt. (9) Ω+ Подставляя ut (x, 0) из (7) в (9), приходим к равенству l - u(x, 0)χ(x)dx + ux 0 2 0 + ut 2 0 = u(x, t)f (x, t)dxdt. (10) Ω+ Пользуясь ε-неравенством, убеждаемся в справедливости неравенств ε1 u2 (x, t) + u(x, t)f (x, t)dxdt Ω+ Ω+ 1 2 f (x, t) dxdt = 4ε1 = ε1 u 2 0 + 1 f 4ε1 2 0 (11) 2 0. (12) и l - l -ε2 u2 (x, 0) - u(x, 0)χ(x)dx 0 0 1 2 χ (x) dx = 4ε2 l u2 (x, 0)dx - = -ε2 0 1 χ 4ε2 С учетом (11), (12) неравенство (10) перепишется в следующем виде: l u2 (x, 0)dx - -ε2 0 1 χ 4ε2 2 0 + ux 2 0 2 0 + ut ε1 u 2 0 + 1 f 4ε1 2 0. (13) l u2 (x, 0)dx. Воспользовавшись неравенством Найдем теперь оценку для 0 Коши-Буняковского с учетом условия (3) получаем l l u (x, 0)dx = 0 224 2 T 2 ut (x, t)dt 0 0 l dx T u2t (x, t)dt dx = T 0 0 Об одном разностном методе решения задачи Трикоми. . . l T u2t (x, t)dxdt = T =T 0 Ω+ 0 u2t (x, t)dxdt = T ut 2 0. (14) С учетом (14) неравенство (13) перепишется в следующем виде: ux 2 0 2 0 + (1 - ε2 T ) ut 2 0 ε1 u + 1 f 4ε1 2 0 + 1 χ 4ε2 2 0. (15) Оценим далее ux 20 . Для этого заметим, что 2 x u2 (x, t) = x us (s, t) ds l u2s (s, t) ds x 0 u2x (x, t)dx. x 0 (16) 0 Проинтегрируем неравенство (16) сначала по x от 0 до l, а затем по t от 0 до T : l l2 l 2 u2 (x, t)dx u (x, t)dx; 2 0 x 0 T l u2 (x, t)dx dt = 0 u2 (x, t)dxdt Ω+ 0 T l2 2 u2x (x, t)dx dt = 0 Или окончательно Для оценки ut 2 0 l 0 2 u l2 2 0 l2 2 Ω+ 2 0. ux u2x (x, t)dxdt. (17) проинтегрируем неравенство 2 T u2 (x, t) = - T us (x, s)ds u2t (x, t)dt t t 0 по области Ω+ и, рассуждая аналогично, найдем 2 u T2 2 0 ut 2 0. + 1 χ 4ε2 (18) С учетом (17) и (18) из (15) получаем 2 0 M u 1 f 4ε1 2 0 2 0, где 2 2 2ε2 + - - ε1 . l2 T 2 T В силу произвольности ε1 и ε2 число M можно выбрать положительным. Тогда окончательно получим M= u 2 0 M1 f 2 0 + M2 χ 2 0, (19) 225 Б а л к и з о в Ж. А., С о к у р о в А. А. где M1 = 1 , 4ε1 M M2 = 1 . ε2 M Из априорной оценки (19) следует единственность регулярного решения исследуемой задачи. 3. Разностная схема. Для нахождения приближенного численного ре+ шения задачи (1)-(3), (7) для уравнения (1) в области Ω воспользуемся ме+ тодом конечных разностей. В Ω введем сетку ω hx ht = ω hx × ω ht , где ω hx = {xi = ihx , i = 0, Nx }, ω ht = {tj = jht , j = 0, Nt }, hx = l/Nx , ht = T /Nt , Nx и Nt - натуральные числа. Исходной дифференциальной задаче поставим в соответствие следующую разностную схему: (yxx )ji + (ytt )ji = -ϕji , j yN x = u1 (tj ), y0j i = 1, Nx - 1, j = 1, Nt - 1, (20) = u3 (tj ), (21) j = 0, Nt , yiNt = u2 (xi ), i = 1, Nx - 1, ht 0 0 (y˚ (yxx )0i = wi , i = 1, Nx - 1. x )i - (yt )i - 2 (22) (23) где ϕji = f (xi , tj ), wi = xi ht f (xi , 0) + ψ + 2 2 -xi /2 f (xi + η, η)dη. 0 Введем следующие обозначения: Nt Nx y ]|20 yij = Nt -1 Nx -1 2 ht hx , y C(ω) j=1 i=1 = max |y(x)|, x∈ ω yij vij ht hx . (y, v) = j=1 i=1 Теорема 2. Для любого решения y(x), x ∈ ω hx ht , задачи (20)-(23) с однородными условиями (21)-(22) справедлива априорная оценка y ]|20 M3 w ]|20 + M4 ϕ ]|20 , где M3 , M4 - известные положительные числа. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь методом энергетических неравенств [21, c. 110], умножим (20) скалярно на y: (y, yxx ) + (y, ytt ) = -(y, ϕ). Проведем следующие вычисления: 226 Об одном разностном методе решения задачи Трикоми. . . Nt -1 Nx -1 Nt -1 Nx -1 (yxx )ji yij ht hx = (y, yxx ) = j=1 i=1 j=1 i=1 (yx )ji+1 - (yx )ji j yi hx ht = hx Nt -1 Nx -1 j j (yx )ji+1 yij - (yx )ji yi-1 - (yx )ji yij + (yx )ji yi-1 ht = = j=1 i=1 Nt -1 Nx -1 Nt -1 Nx -1 j yij - yi-1 (yx )ji ht hx = hx j ht - (yx )ji+1 yij - (yx )ji yi-1 = j=1 j=1 i=1 Nt -1 Nx -1 Nt -1 j - (yx )j1 y0j ht - (yx )jNx yN x -1 = j=1 Nt -1 =- Nt -1 2 (yx )jNx Nt -1 Nx -1 (yx )ji ht hx - j=1 j=1 (yx )ji 2 2 ht hx = i=1 Nt -1 Nx 2 (yx )ji ht hx = - i=1 Nt -1 Nx =- 2 ht hx = i=1 j j Nt -1 Nx -1 - yN yN x -1 x (yx )ji (yx )jNx hx ht - hx j=1 j=1 2 (yx )ji j=1 =- i=1 ht hx = j=1 i=1 Nx t (yx )N i ht hx - j=1 i=1 2 ht hx = i=1 Nt Nx (yx )ji =- 2 ht hx = - yx ]|20 j=1 i=1 и Nx -1 Nt -1 Nx -1 Nt -1 (ytt )ji yij ht hx = (y, ytt ) = i=1 i=1 j=1 j=1 - (yt )ji j (yt )j+1 i yi hx ht = ht Nx -1 Nt -1 (yt )j+1 yij - (yt )ji yij-1 - (yt )ji yij + (yt )ji yij-1 hx = i = i=1 j=1 Nx -1 Nt -1 Nx -1 Nt -1 yij - yij-1 (yt )ji ht hx = ht (yt )j+1 yij - (yt )ji yij-1 hx - i = i=1 j=1 i=1 Nx -1 Nx -1 Nt -1 i=1 =- (yt )ji t Nt -1 (yt )N - (yt )1i yi0 hx - i yi = Nx -1 j=1 yiNt i=1 i=1 yiNt -1 - ht Nx -1 t (yt )N i =- i=1 Nx -1 Nt -1 (yt )ji (yt )1i yi0 hx - i=1 2 Nx -1 i=1 i=1 (yt )ji i=1 2 ht hx = j=1 Nx -1 Nt -1 (yt )0i yi0 hx - ht hx - ht hx = j=1 Nx -1 t (yt )N i ht hx - 2 2 ht hx = j=1 227 Б а л к и з о в Ж. А., С о к у р о в А. А. Nx -1 Nx -1 Nt i=1 Nx -1 Nt (yt )ji (yt )0i yi0 hx - i=1 2 ht hx = Nt 2 ht hx = j=1 Nx Nt (yt )ji (yt )0i yi0 hx - i=1 (yt )jNx ht hx - i=1 j=1 Nx -1 =- 2 i=1 j=1 Nx -1 =- (yt )ji (yt )0i yi0 hx - =- 2 Nx -1 (yt )0i yi0 hx - yt ]|20 . ht hx = - i=1 j=1 i=1 Таким образом, Nx -1 yx ]|20 + yt ]|20 + (yt )0i yi0 hx = (y, ϕ). (24) i=1 Выразим (yt )0i из (23) и подставим в (24). Тогда Nx -1 0 (y˚ x ) i - wi - yx ]|20 + yt ]|20 + i=1 ht (yxx )0i yi0 hx = (y, ϕ). 2 (25) Легко заметить, что Nx -1 0 0 0 0 0 0 (y˚ x )i yi hx = yNx yNx -1 - y0 y1 = 0, (26) i=1 ht hx 2 Nx -1 (yxx )0i yi0 = i=1 ht 0 ht hx (yNx yx 0Nx - y00 yx 01 ) - 2 2 Nx 0 yx2 i = i=1 ht hx =- 2 Nx 0 yx2 i . (27) i=1 С учетом (26), (27) из (25) получаем yx ]|20 yt ]|20 + ht hx + 2 Nx 0 yx2 i Nx -1 wi yi0 hx = (y, ϕ), - i=1 i=1 откуда Nx -1 yx ]|20 + yt ]|20 - hx wi yi0 (y, ϕ). i=1 Применим к третьему слагаемому слева в (28) ε-неравенство: Nx -1 i=1 228 Nx wi yi0 hx hx i=1 1 2 2 w + ε1 yi0 . 4ε1 i (28) Об одном разностном методе решения задачи Трикоми. . . Тогда из (28) получим yx ]|20 + yt ]|20 - 1 4ε1 Nx Nx 2 wi2 hx - ε1 yi0 hx i=1 ε2 y ]|20 + i=1 Nx 1 1 w ]|20 + ϕ ]|20 , 4ε1 4ε2 2 yx ]|20 + yt ]|20 - ε2 y ]|20 - ε1 1 ϕ ]|20 , 4ε2 yi0 hx i=1 (29) x 2 где w ]|20 = N i=1 wi hx . 2 x 0 Оценим N i=1 yi hx . Для этого заметим, что Nt (yt )ji ht , yi0 = - j=1 откуда Nt (yi0 )2 Nt 2 (yt )ji ht = (yt )ji T j=1 2 ht . (30) j=1 Суммируя обе части неравенства (30) по i от i = 1 до i = Nx , приходим к оценке Nx Nx Nt (yi0 )2 hx (yt )ji T i=1 2 ht hx = T yt ]|20 . (31) 1 1 w ]|20 + ϕ ]|20 . 4ε1 4ε2 (32) i=1 j=1 С учетом (31) неравенство (29) примет вид yx ]|20 + (1 - ε1 T ) yt ]|20 - ε2 y ]|20 Найдем теперь разностные аналоги неравенств (17) и (18). Имеем i (yij )2 = i 2 (yx )jk hx Nx (yij )2 hx i=1 Nx 2 hx (yx )jk ih2x hx i=1 k=1 Nt Nx (yij )2 ht hx j=1 i=1 2 hx , k=1 Nx 2 (yx )jk ihx k=1 k=1 Nx (yx )jk ihx l(l + hx ) 2 l(l + hx ) = 2 Nt Nx (yx )ji Nx (yx )ji 2 hx , i=1 2 ht hx , j=1 i=1 откуда 2 y ]|20 l(l + hx ) yx ]|20 . (33) Аналогично получаем оценку 2 y ]|20 T2 yt ]|20 . (34) 229 Б а л к и з о в Ж. А., С о к у р о в А. А. С учетом (33), (34) из (32) приходим к оценке вида 1 1 w ]|20 + ϕ ]|20 , 4ε1 4ε2 M y ]|20 (35) где 2 2ε1 2 - + - ε2 . l(l + hx ) T 2 T M= Выбирая значения постоянных ε1 и ε2 так, чтобы M > 0, из (35) окончательно приходим к априорной оценке y ]|20 M3 w ]|20 + M4 ϕ ]|20 , (36) где 1 1 , M4 = . 4ε1 M 4ε2 M Из априорной оценки (36) следует существование и единственность решения разностной задачи (20)-(23). M3 = 4. Порядок аппроксимации и сходимость разностной схемы. Пусть + u - точное решение задачи (1)-(3), (7) из класса C 4 (Ω ) (завышенного условия гладкости на точное решение u будем требовать для получения 2-го порядка аппроксимации), a y - решение соответствующей разностной задачи (20)-(23). Тогда для погрешности z = y - u получаем задачу (zxx )ji + (ztt )ji = -ϕji , j zN = 0, x i = 1, Nx - 1, j = 1, Nt - 1, z0j = 0, j = 0, Nt , ziNt = 0, i = 1, Nx - 1, h t 0 0 (z˚ (zxx )0i = wi , i = 1, Nx - 1, x )i - (zt )i - 2 где ϕji = (uxx )ji + (utt )ji + ϕji , 0 0 wi = - (u˚ x )i - (ut )i - ht (uxx )0i - wi . 2 Пользуясь формулой Тейлора, оценим порядок малости сеточных функций ϕ и w. Для ϕ получаем ∂2u ∂2u (x , t ) + (xi , tj ) + f (xi , tj ) + i j ∂x2 ∂t2 h2 ∂ 4 u h2 ∂ 4 u + x 4 (ξi , tj ) + t 4 (xi , τj ) = O h2x + h2t , 12 ∂x 12 ∂t ϕji = (uxx )ji + (utt )ji + ϕji = где ξ i = x i + θ 1 hx , |θ1 | 1, τj = tj + θ2 ht , |θ2 | 1. Далее найдем порядок аппроксимации граничного условия (7). Для этого воспользуемся следующими разложениями: 0 (u˚ x )i = 230 h2 ∂ 3 u ∂u (xi , 0) + x 3 (ξ i , 0), ∂x 6 ∂x Об одном разностном методе решения задачи Трикоми. . . ∂u h2t ∂ 3 u ht ∂ 2 u (x , 0) + (xi , τi ), (xi , 0) + i ∂t 2 ∂t2 6 ∂t3 ∂2u h2x ∂ 4 u (uxx )0i = (x , 0) + (ξ , 0), i ∂x2 12 ∂x4 i (ut )0i = где ξi , ξ i - некоторые промежуточные точки из интервала (xi - hx , xi + hx ), а τ i ∈ (0, ht ). С учетом приведенных выше разложений из (23) находим ht (uxx )0i - wi = 2 -xi /2 ∂u xi ∂u = f - (xi + η, η)dη - (xi , 0) - (xi , 0) - ψ - ∂x ∂t 2 0 ht ∂ 2 u ∂2u h2x ∂ 3 u - (x , 0) + (x , 0) + f (x , 0) + (ξ , 0)- i i i 2 ∂x2 ∂t2 6 ∂x3 i ht h2x ∂ 4 u h2 ∂ 3 u (ξ , 0) = O(h2x + h2t ). - t 3 (xi , τi ) - 6 ∂t 12 ∂x4 i 0 0 (u˚ x )i - (ut )i - Таким образом, ϕ = O h2x + h2t , w = O h2x + h2t . Для z справедлива априорная оценка (36), откуда и будет следовать сходимость разностной схемы со скоростью O h2x + h2t в норме · ]|0 . 5. Численные расчеты. Численные расчеты с использованием разностной схемы (20)-(23) были проведены для тестовой задачи в случае, когда входные данные заданы следующим образом: f (x, t) = (-2 + 36t2 ) cos(6x) + (2 - 25x2 ) sin(5t), t > 0, 10t - 2 cos(t) cos(x) cosh(t) - cos(x) sin(t) sh(t), t < 0, u1 (t) = -t2 cos(6) + sin(5t), u3 (t) = -t2 , u2 (x) = - cos(6x) + x2 sin(5), ψ(x) = -5x3 + cos(x) sin(x) sh(x), l = 1, T = 1. Точное решение задачи u(x, t) = x2 sin(5t) - t2 cos(6x), t > 0, 2 5x t + sin(t) sh(t) cos(x), t < 0. Порядок сходимости вычислялся согласно формуле logh1 /h2 (∆1 /∆2 ), где ∆i - норма погрешности, соответствующая шагу hi = hx = ht . В таблице приведены значения погрешности и вычисленный на их основе порядок сходимости в нормах · ]|0 и · C(ω) . Как видно, сгущение сетки приводит к уменьшению погрешности и порядок сходимости стремится 231 Б а л к и з о в Ж. А., С о к у р о в А. А. Погрешность и порядок сходимости в нормах · ]|0 и · C(ω) [Error estimation and rate of convergence of the · ]|0 and · C(ω) norms] Error estimation Rate of convergence Error estimation Rate of convergence hx = ht of the z ]|0 norm of the z ]|0 norm of the z C(ω) norm of the z C(ω) norm 1/20 1/40 1/80 1/160 0.00172 4.26217 · 10-4 1.06206 · 10-4 2.65094 · 10-5 2.01029 2.00472 2.00228 0.00373 9.22934 · 10-4 2.30968 · 10-4 5.77445 · 10-5 2.01678 1.99853 1.99993 к двум. Эти выводы согласуются с результатами, полученными при исследовании свойств разностной схемы (20)-(23). Конкурирующие интересы. Мы не имеем конкурирующих интересов. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Giraslan A Balkizov

Institute of Applied Mathematics and Automation

Email: giraslan@yandex.ru
Cand. Phys. & Math. Sci.; Head of Department; Dept. of Mixed Type Equations 89 a, Shortanov st., Nalchik, 360000, Russian Federation

Aslan A Sokurov

Institute of Applied Mathematics and Automation

Email: asokuroff@gmail.com
Junior Research Scientist; Dept. of Theoretical and Mathematical Physics 89 a, Shortanov st., Nalchik, 360000, Russian Federation

References

Supplementary files