On a boundary-value problem with Saigo operators for a mixed-type equation

Abstract


The theory of mixed type equations is one of the most important parts of the theory of partial differential equations. This is due to the fact that equations of mixed type are connected with the problems of the theory of singular integral equations, integral transformations, and special functions. An actual continuation of the research in these fields will be the proof of the unique solvability of the inner-boundary problem. In the hyperbolic part of the domain, a condition is established that relates the generalized derivatives and fractional-order integrals to the Gauss hypergeometric function.

Full Text

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение смешанного типа (sign y)|y|m uxx + uyy = 0, m = const > 0, (1) в конечной области Ω, ограниченной кусочно-гладкой кривой Жордана σ с концами в точках A(0, 0), B(1, 0), расположенной в полуплоскости y > 0, и его характеристиками AC : x- 2 (-y)(m+2)/2 = 0, m+2 BC : x+ 2 (-y)(m+2)/2 = 1. m+2 Краткое сообщение cb Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования Р е п и н О. А. Об одной краевой задаче с операторами Сайго для уравнения смешанного типа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 2. С. 271-277. doi: 10.14498/vsgtu1540. 271 Р е п и н О. А. Пусть Ω1 и Ω2 - эллиптическая и гиперболическая части смешанной области Ω. Под регулярным решением уравнения (1) будем понимать функцию u(x, y) ∈ C Ω ∩ C 1 (Ω) ∩ C 2 Ω1 ∪ Ω2 , удовлетворяющую уравнению (1) в Ω1 ∪ Ω2 и такую, что uy (x, 0) может обращаться в бесконечность порядка ниже 1 - 2β, β = m/(2m + 4), на концах A и B интервала I: 0 < x < 1 прямой y = 0. Задача.Найти регулярное в области Ω решение u(x, y) уравнения (1), удовлетворяющее условиям (x, y) ∈ σ, u(x, y) = ϕ(x, y), (2) α,µ,3β-1 α+β,µ,2β-1 A I0+ u Θ0 (t) (x) + B I0+ u(t, 0) (x)+ α+1-β,µ+2β-1,2β-1 uy (t, 0) (x) = g(x) (3) + C I0+ и условиям сопряжения lim uy (x, y) = lim uy (x, y), y→0+ y→0- lim u(x, y) = lim u(x, y), y→0+ y→0- (4) где A, B, C, α, µ - вещественные числа, на которые ниже будут наложены некоторые условия; ϕ(x, y) и g(x) - заданные функции, обладающие свойствами ϕ(x, y) ∈ C 1 (σ), g(x) ∈ C 1 (I); α,β,η f (x) - оператор обобщенного дробного интегро-дифференцирования, I0+ введенный в работе [1] (см. также [2, с. 326-327], [3, с. 14]) и имеющий при действительных α, β, η и x > 0 вид  -α-β x  t x  (x - t)α-1 F α+β, -η; α; 1- f (t)dt (α > 0), α,β,η Γ(α) 0 x (5) I0+ f (x) =  dn α+n,β-n,η-n   I f (x) (α 0, n = [-α] + 1). dxn 0+ Здесь Γ(x) - гамма-функция, F (a, b; c; x) - гипергеометрическая функция Гаусса, Θ0 (x) - точка пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ I, с характеристикой AC. Нелокальные задачи для уравнения (1) изучались многими авторами, но в основном в работах этих авторов использовались операторы Римана-Лиувилля. В данной работе продолжаются (см. [4]) исследования для уравнения (1), когда краевое условие содержит операторы, введенные японским математиком М. Сайго. Единственность решения задачи. Принцип экстремума. Если g(x) = 0, γ1 = 272 Γ(2β) , Γ(β) 1 Γ(1 - 2β) γ2 = (2 - 4β)2β , 2 Γ(1 - β) Об одной краевой задаче с операторами Сайго для уравнения смешанного типа Aγ1 + B > 0, Aγ2 - C > 0 или Aγ1 + B < 0, Aγ2 - C < 0, α > -β, (6) то положительный максимум и отрицательный минимум решения u(x, y) задачи (1)-(3) в замкнутой области Ω1 достигается лишь на кривой σ. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, как и принято, τ (x) = u(x, 0), ν(x) = uy (x, 0). Тогда решение задачи Коши в области Ω2 имеет вид [5, с. 265] 2 Γ(2β) 1 τ x+ (-y)(m+2)/2 (2t - 1) tβ-1 (1 - t)β-1 dt+ Γ2 (β) 0 m+2 1 Γ(2 - 2β) 2 + 2 y ν x+ (-y)(m+2)/2 (2t - 1) t-β (1 - t)-β dt. (7) Γ (1 - β) 0 m+2 u(x, y) = Используя (7) и (5), получим β,0,β-1 1-β,2β-1,β-1 u Θ0 (x) = γ1 I0+ τ (t) (x) - γ2 I0+ ν(t) (x). Подставляя u Θ0 (x) в условие (3), опираясь на полугрупповое свойство обобщенных операторов [2, с. 327] α,β,η γ,δ,η-β-γ-δ α+γ,β+δ,η-γ-δ f, f = I0+ I0+ I0+ γ > 0, получим α+β,µ,2β-1 α+1-β,µ+2β-1,2β-1 ν (x) = g(x). (8) Aγ1 + B I0+ τ (x) + C - Aγ2 I0+ Подействуем на обе части (8) обратным оператором α+1-β,µ+2β-1,2β-1 I0+ f -1 β-1-α,1-µ-2β,β+α = I0+ f и воспользуемся формулой [2, с. 327] α,β,η γ,δ,α+η α+γ,β+δ,η I0+ I0+ f = I0+ f, γ > 0. После несложных преобразований получим ν(x) = Aγ1 + B 1-2β 1 β-1-α,1-µ-2β,β+α D0+ τ (x) + I0+ g(t) (x), Aγ2 - C C - Aγ2 (9) 1-2β где D0+ τ (x) - оператор дробного дифференцирования в смысле Римана- Лиувилля [2, с. 41-42]. А теперь на основании условий (6) и свойства дробной производной из (9) имеем неравенство ν(x) > 0, что противоречит принципу Заремба-Жиро [6, с. 31]. Принцип экстремума доказан. 273 Р е п и н О. А. Из принципа экстремума следует, что задача (1)-(3) при выполнении условий (6) не может иметь более одного решения. Существование решения задачи. Переходя к доказательству существования решения задачи (1)-(3), будем считать, что кривая σ совпадает с «нормальной» кривой x- 1 2 2 + 1 4 y m+2 = , 2 (m + 2) 4 y 0. Соотношение между τ (x) и ν(x), привнесенное из эллиптической части Ω1 смешанной области Ω на I, имеет вид [7, с. 133] 1 τ (x) = -k 0 1 1 ν(t)dt- - 2β |t - x| (x + t - 2tx)2β l - l H(t, x)ν(t)dt - 0 ϕ(s)ρ1 (s; x, 0)ds, 0 где k= 4 1 4π m + 2 2β Γ2 (β) , Γ(2β) l H(t, x) = ρ1 (s; t, 0)G(ξ, η; x, 0)ds, 0 l - длина кривой σ; G(x, y; x0 , y0 ) - функция Грина этой задачи; ρ1 (s; x, y) - известная функция, свойства которой подробно описаны в монографии [7, с. 132-140]; ϕ(s) = u(x, y)|σ . Используя (7), выпишем соотношение между τ (x) и ν(x), привнесенное из гиперболической части Ω2 смешанной области Ω на I: τ (x) = Aγ2 - C 1-2β 1 -(α+β),-µ,α+3β-1 I0+ ν(t) (x) + I g(t) (x). Aγ1 + B Aγ1 + B 0+ (10) Учитывая условия сопряжения (4), получим 1-2β a1 I0+ ν(t) (x) + g1 (x) = 1 = -k 0 1 1 - ν(t)dt- 2β |t - x| (x + t - 2tx)2β l - 0 где a1 = Aγ2 - C , Aγ1 + B g1 (x) = l H(t, x)ν(t)dt - ϕ(s)ρ1 (s; x, 0)ds, (11) 0 1 -(α+β),-µ,α+3β-1 I0+ g(t) (x). Aγ1 + B 1-2β Применив к обеим частям (11) оператор D0+ , будем иметь 1-2β a1 ν(x) + D0+ g1 (x) = 1-2β = -D0+ k 274 1 0 1 1 - ν(t)dt+ 2β |t - x| (x + t - 2tx)2β Об одной краевой задаче с операторами Сайго для уравнения смешанного типа l + l H(t, x)ν(t)dt + 0 ϕ(s)ρ1 (s; x, 0)ds . 0 Далее, поступая аналогично тому, как это сделано в работе [4], получим сингулярное интегральное уравнение нормального типа, индекс которого равен нулю. Единственное решение этого уравнения может быть построено в требуемом классе функций согласно обшей теории. По найденной функции ν(x) из (10) определим τ (x) и решение задачи (1)-(3) как решение задачи N в области Ω1 и как решение задачи Коши в области Ω2 . Конкурирующие интересы. У меня нет конкурирующих интересов. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без грантовой поддержки.

About the authors

Oleg A Repin

Samara State Economic University

Email: matstat@mail.ru
141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Department; Dept. of Mathematical Statistics and Econometrics

References

  1. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function // Math. Rep. College General Educ., Kyushu Univ., 1978. vol. 11, no. 2. pp. 135-143.
  2. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  3. Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов: Саратов. ун-т, 1992. 161 с.
  4. Репин О. А., Кумыкова С. К. Внутреннекраевая задача с операторами Сайго для уравнения Геллерстедта // Дифференц. уравнения, 2013. Т. 49, № 10. С. 1340-1349.
  5. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
  6. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. 203 с.
  7. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. 296 с.

Statistics

Views

Abstract - 16

PDF (Russian) - 4

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies