On a boundary-value problem with Saigo operators for a mixed-type equation

Full Text

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение смешанного типа (sign y)|y|m uxx + uyy = 0, m = const > 0, (1) в конечной области Ω, ограниченной кусочно-гладкой кривой Жордана σ с концами в точках A(0, 0), B(1, 0), расположенной в полуплоскости y > 0, и его характеристиками AC : x- 2 (-y)(m+2)/2 = 0, m+2 BC : x+ 2 (-y)(m+2)/2 = 1. m+2 Краткое сообщение cb Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования Р е п и н О. А. Об одной краевой задаче с операторами Сайго для уравнения смешанного типа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 2. С. 271-277. doi: 10.14498/vsgtu1540. 271 Р е п и н О. А. Пусть Ω1 и Ω2 - эллиптическая и гиперболическая части смешанной области Ω. Под регулярным решением уравнения (1) будем понимать функцию u(x, y) ∈ C Ω ∩ C 1 (Ω) ∩ C 2 Ω1 ∪ Ω2 , удовлетворяющую уравнению (1) в Ω1 ∪ Ω2 и такую, что uy (x, 0) может обращаться в бесконечность порядка ниже 1 - 2β, β = m/(2m + 4), на концах A и B интервала I: 0 < x < 1 прямой y = 0. Задача.Найти регулярное в области Ω решение u(x, y) уравнения (1), удовлетворяющее условиям (x, y) ∈ σ, u(x, y) = ϕ(x, y), (2) α,µ,3β-1 α+β,µ,2β-1 A I0+ u Θ0 (t) (x) + B I0+ u(t, 0) (x)+ α+1-β,µ+2β-1,2β-1 uy (t, 0) (x) = g(x) (3) + C I0+ и условиям сопряжения lim uy (x, y) = lim uy (x, y), y→0+ y→0- lim u(x, y) = lim u(x, y), y→0+ y→0- (4) где A, B, C, α, µ - вещественные числа, на которые ниже будут наложены некоторые условия; ϕ(x, y) и g(x) - заданные функции, обладающие свойствами ϕ(x, y) ∈ C 1 (σ), g(x) ∈ C 1 (I); α,β,η f (x) - оператор обобщенного дробного интегро-дифференцирования, I0+ введенный в работе [1] (см. также [2, с. 326-327], [3, с. 14]) и имеющий при действительных α, β, η и x > 0 вид  -α-β x  t x  (x - t)α-1 F α+β, -η; α; 1- f (t)dt (α > 0), α,β,η Γ(α) 0 x (5) I0+ f (x) =  dn α+n,β-n,η-n   I f (x) (α 0, n = [-α] + 1). dxn 0+ Здесь Γ(x) - гамма-функция, F (a, b; c; x) - гипергеометрическая функция Гаусса, Θ0 (x) - точка пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ I, с характеристикой AC. Нелокальные задачи для уравнения (1) изучались многими авторами, но в основном в работах этих авторов использовались операторы Римана-Лиувилля. В данной работе продолжаются (см. [4]) исследования для уравнения (1), когда краевое условие содержит операторы, введенные японским математиком М. Сайго. Единственность решения задачи. Принцип экстремума. Если g(x) = 0, γ1 = 272 Γ(2β) , Γ(β) 1 Γ(1 - 2β) γ2 = (2 - 4β)2β , 2 Γ(1 - β) Об одной краевой задаче с операторами Сайго для уравнения смешанного типа Aγ1 + B > 0, Aγ2 - C > 0 или Aγ1 + B < 0, Aγ2 - C < 0, α > -β, (6) то положительный максимум и отрицательный минимум решения u(x, y) задачи (1)-(3) в замкнутой области Ω1 достигается лишь на кривой σ. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, как и принято, τ (x) = u(x, 0), ν(x) = uy (x, 0). Тогда решение задачи Коши в области Ω2 имеет вид [5, с. 265] 2 Γ(2β) 1 τ x+ (-y)(m+2)/2 (2t - 1) tβ-1 (1 - t)β-1 dt+ Γ2 (β) 0 m+2 1 Γ(2 - 2β) 2 + 2 y ν x+ (-y)(m+2)/2 (2t - 1) t-β (1 - t)-β dt. (7) Γ (1 - β) 0 m+2 u(x, y) = Используя (7) и (5), получим β,0,β-1 1-β,2β-1,β-1 u Θ0 (x) = γ1 I0+ τ (t) (x) - γ2 I0+ ν(t) (x). Подставляя u Θ0 (x) в условие (3), опираясь на полугрупповое свойство обобщенных операторов [2, с. 327] α,β,η γ,δ,η-β-γ-δ α+γ,β+δ,η-γ-δ f, f = I0+ I0+ I0+ γ > 0, получим α+β,µ,2β-1 α+1-β,µ+2β-1,2β-1 ν (x) = g(x). (8) Aγ1 + B I0+ τ (x) + C - Aγ2 I0+ Подействуем на обе части (8) обратным оператором α+1-β,µ+2β-1,2β-1 I0+ f -1 β-1-α,1-µ-2β,β+α = I0+ f и воспользуемся формулой [2, с. 327] α,β,η γ,δ,α+η α+γ,β+δ,η I0+ I0+ f = I0+ f, γ > 0. После несложных преобразований получим ν(x) = Aγ1 + B 1-2β 1 β-1-α,1-µ-2β,β+α D0+ τ (x) + I0+ g(t) (x), Aγ2 - C C - Aγ2 (9) 1-2β где D0+ τ (x) - оператор дробного дифференцирования в смысле Римана- Лиувилля [2, с. 41-42]. А теперь на основании условий (6) и свойства дробной производной из (9) имеем неравенство ν(x) > 0, что противоречит принципу Заремба-Жиро [6, с. 31]. Принцип экстремума доказан. 273 Р е п и н О. А. Из принципа экстремума следует, что задача (1)-(3) при выполнении условий (6) не может иметь более одного решения. Существование решения задачи. Переходя к доказательству существования решения задачи (1)-(3), будем считать, что кривая σ совпадает с «нормальной» кривой x- 1 2 2 + 1 4 y m+2 = , 2 (m + 2) 4 y 0. Соотношение между τ (x) и ν(x), привнесенное из эллиптической части Ω1 смешанной области Ω на I, имеет вид [7, с. 133] 1 τ (x) = -k 0 1 1 ν(t)dt- - 2β |t - x| (x + t - 2tx)2β l - l H(t, x)ν(t)dt - 0 ϕ(s)ρ1 (s; x, 0)ds, 0 где k= 4 1 4π m + 2 2β Γ2 (β) , Γ(2β) l H(t, x) = ρ1 (s; t, 0)G(ξ, η; x, 0)ds, 0 l - длина кривой σ; G(x, y; x0 , y0 ) - функция Грина этой задачи; ρ1 (s; x, y) - известная функция, свойства которой подробно описаны в монографии [7, с. 132-140]; ϕ(s) = u(x, y)|σ . Используя (7), выпишем соотношение между τ (x) и ν(x), привнесенное из гиперболической части Ω2 смешанной области Ω на I: τ (x) = Aγ2 - C 1-2β 1 -(α+β),-µ,α+3β-1 I0+ ν(t) (x) + I g(t) (x). Aγ1 + B Aγ1 + B 0+ (10) Учитывая условия сопряжения (4), получим 1-2β a1 I0+ ν(t) (x) + g1 (x) = 1 = -k 0 1 1 - ν(t)dt- 2β |t - x| (x + t - 2tx)2β l - 0 где a1 = Aγ2 - C , Aγ1 + B g1 (x) = l H(t, x)ν(t)dt - ϕ(s)ρ1 (s; x, 0)ds, (11) 0 1 -(α+β),-µ,α+3β-1 I0+ g(t) (x). Aγ1 + B 1-2β Применив к обеим частям (11) оператор D0+ , будем иметь 1-2β a1 ν(x) + D0+ g1 (x) = 1-2β = -D0+ k 274 1 0 1 1 - ν(t)dt+ 2β |t - x| (x + t - 2tx)2β Об одной краевой задаче с операторами Сайго для уравнения смешанного типа l + l H(t, x)ν(t)dt + 0 ϕ(s)ρ1 (s; x, 0)ds . 0 Далее, поступая аналогично тому, как это сделано в работе [4], получим сингулярное интегральное уравнение нормального типа, индекс которого равен нулю. Единственное решение этого уравнения может быть построено в требуемом классе функций согласно обшей теории. По найденной функции ν(x) из (10) определим τ (x) и решение задачи (1)-(3) как решение задачи N в области Ω1 и как решение задачи Коши в области Ω2 . Конкурирующие интересы. У меня нет конкурирующих интересов. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без грантовой поддержки.

About the authors

Oleg A Repin

Samara State Economic University

Email: matstat@mail.ru
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Department; Dept. of Mathematical Statistics and Econometrics 141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation

References

Supplementary files