On the problem of optimal control in the coefficients of an elliptic equation

Full Text

О задаче оптимального управления коэффициентами эллиптического уравнения Введение. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений возникают, например, в оптимизационных задачах механики сплошных сред, проектировании конструкций, теории упругости, конвекции-диффузииреакции, экологического прогнозирования [1-3] и т. п. Среди этих задач особый интерес представляют задачи, в которых управляющие функции входят в коэффициенты уравнения для состояний, в том числе в коэффициенты при старших производных. При исследовании таких задач оптимального управления возникает ряд существенных трудностей, связанных с их невыпуклостью, сильной нелинейностью и некорректностью [4, 5]. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений с управлениями в коэффициентах изучались в работах [4, 6-14] и др. В этих работах рассматриваемые критерии качества в основном являлись интегральными по всей области. Однако часто бывает удобнее вести наблюдения на границе области, и в таких случаях более естественными являются интегральные критерии качества по границе области. Такие задачи оптимального управления для эллиптических уравнений наименее изучены [4, 6]. В настоящей работе рассматривается задача оптимального управления коэффициентами линейного эллиптического уравнения. Функционалом цели является сумма интегралов по области и по части ее границы. Исследованы вопросы корректности рассматриваемой задачи, доказана дифференцируемость по Фреше функционала цели, найдено выражение для его градиента и установлено необходимое условие оптимальности в форме вариационного неравенства. 1. Постановка задачи. Пусть Ω = x = (x1 , x2 ) : 0 < xi < li , i = 1, 2 - прямоугольник с границей Γ, Γ-1 = s = (s1 , s2 ) : s1 = 0, 0 < s2 < l2 - левая вертикальная сторона прямоугольника Ω. Пусть управляемый процесс описывается в Ω следующей смешанной краевой задачей для уравнения эллиптического типа: 2 - ki (x)uxi xi + q(x)u = f (x), x ∈ Ω, (1) i=1 -k1 (s)ux1 (s) = g(s), s ∈ Γ-1 , u(s) = 0, s ∈ Γ\Γ-1 , (2) (3) где f (x) ∈ L2 (Ω), g(s) ≡ g(s2 ) ∈ W21 (0, l2 ) - заданные функции; v(x) = = k1 (x), k2 (x), q(x) - управление; u(x) = u(x; v) - решение задачи (1)-(3) или состояние процесса, соответствующее управлению v = v(x). Введем множество допустимых управлений 3 Vi ⊂ H = W21 (Ω) × W21 (Ω) × L2 (Ω) V = (4) i=1 279 Т а г и е в Р. К., К а с ы м о в а Р. С. при Vi = ki (x) ∈ W21 (Ω) : 0 < νi |kixj (x)| ki (x) µi , (i) dj , j = 1, 2 п. в. на Ω , V3 = q(x) ∈ L2 (Ω) : 0 < q0 q(x) i = 1, 2, (5) q1 п. в. на Ω . (i) Здесь µi νi > 0; dj > 0, i, j = 1, 2; q1 q0 > 0 - заданные числа. Поставим следующую задачу оптимального управления: на множестве V при условиях (1)-(3) минимизировать функционал 2 2 u(x; v) - u1 (x) dx + α2 J(v) = α1 u(s; v) - u2 (s) ds, Ω (6) Γ-1 где u1 (x) ∈ L2 (Ω), u2 (s) ≡ u2 s2 ∈ L2 (0, l2 ) - заданные функции; α1 , α2 = = const > 0, α1 + α2 > 0. Эту задачу оптимального управления ниже будем называть задачей (1)-(6). Используемые в работе обозначения функциональных пространств и их норм соответствуют [15, с. 24-26]. Ниже положительные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин и допустимых управлений, будем обозначать через Mj , j = 1, 2, . . . . Под решением краевой задачи (1)-(3), соответствующим управлению v ∈ V , 1 (Ω), т. е. функцию u(x) = u(x; v) ∈ будем понимать обобщенное решение из W2,0 1 (Ω), удовлетворяющую интегральному тождеству W2,0 2 ki (x)uxi ηxi + q(x)uη dx = Ω f (x)ηdx + Ω i=1 g(s)ηds (7) Γ-1 1 (Ω). Здесь W 1 (Ω) - подпространство пространства для всех η = η(x) ∈ W2,0 2,0 W21 (Ω), плотным множеством в котором является множество всех функций из C 1 (Ω), равных нулю вблизи Γ\Γ-1 . Используя результаты из [15, с. 24-26], [16, с. 40-46], можно показать, что при каждом заданном v ∈ V существует единственное обобщенное решение 1 (Ω) задачи (1)-(3) и справедлива оценка u(x) = u(x; v) ∈ W2,0 u (1) 2,Ω M1 f 2,Ω + g 2,Γ-1 . (8) 1 (Ω) краевой задачи (1)-(3) также Более того, обобщенное решение из W2,0 2 (Ω) = W 2 (Ω) ∩ W 1 (Ω) и верна оценка принадлежит пространству W2,0 2 2,0 u (2) 2,Ω M2 f 2,Ω + g (1) 2,Γ-1 . (9) 1 (Ω) → C Ω , W 1 (Ω) → L (Ω) ограниИзвестно [15, с. 84], что вложения W2,0 r1 2 чены при любом r1 ∈ [2; ∞). Поэтому из (9) следует, что справедлива оценка u 280 C(Ω) + ux r1 ,Ω + uxx 2,Ω M3 f 2,Ω + g (1) 2,Γ-1 . (10) О задаче оптимального управления коэффициентами эллиптического уравнения Задачи оптимального управления типа (1)-(6) возникают в разных областях практики. В качестве примера рассмотрим задачу о положении равновесия неоднородной упругой мембраны из теории упругости [1]. Пусть мембрана, занимающая область Ω ограниченной границей Γ, закреплена на части Γ\Γ-1 границы Γ. На внутренние точки мембраны действует внешняя сила f (x) и на границе Γ-1 заданы напряжения g(s). Окружающая мембрану среда оказывают мембране сопротивление, пропорциональное смещению точек мембраны. Пусть функция u(x) определяет прогиб мембраны в точке x ∈ Ω ∪ Γ-1 . В силу сделанных предположений состояние мембраны описывается краевой задачей (1)-(3) при k1 (x) = k2 (x) = k(x). Роль управляющих функции выполняют функции k(x) - коэффициент натяжения мембраны и q(x) - коэффициент упругости окружающей среды. Ограничения (5) на функции k(x) и q(x) характеризуют границы их допустимых изменений, а также учитывают недопустимость резких перепадов в изменении упругих характеристик материала. Целевой функционал (6) в случае α1 = α2 = 1 в нормах пространств L2 (Ω) и L2 Γ-1 характеризует среднеквадратичное отклонение прогибов мембраны от заданных прогибов u1 (x) и u2 (s). 2. Корректность постановки задачи. Корректность задачи (1)-(6) является следствием теоремы 1. Теорема 1. Пусть выполнены условия задачи (1)-(6). Тогда множество оптимальных управлений задачи (1)-(6) V∗ = v∗ ∈ V : J(v∗ ) = J∗ ≡ inf{J(v) : v ∈ V } не пусто, V∗ - слабо компактно в H и любая минимизирующая последовательность {v (n) } ⊂ V функционала (5) в H сходится слабо к множеству V∗ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что функционал (6) слабо в H непрерывен на V . (n) (n) Пусть v = (k1 , k2 , q) ∈ V - некоторый элемент, {v (n) } = k1 , k2 , q (n) ⊂ V - произвольная последовательность такая, что v (n) → v слабо в H при n → ∞: (n) ki (x) → ki (x), i = 1, 2, q (n) слабо в W21 (Ω), (x) → q(x) слабо в L2 (Ω). (11) (12) Из компактности вложения W21 (Ω) → Lr1 (Ω) при любом r1 ∈ [2, ∞) [15, с. 84] и (11) следует, что (n) ki (x) → ki (x), i = 1, 2, сильно в Lr1 (Ω). (13) Кроме того, в силу однозначной разрешимости краевой задачи (1)-(3) каждому управлению v (n) ∈ V соответствует единственное решение u(n) (x) = = u x; v (n) задачи (1)-(3) и справедлива оценка u(n) (2) 2,Ω M4 , n = 1, 2, . . . , (14) 281 Т а г и е в Р. К., К а с ы м о в а Р. С. т. е. последовательность {u(n) } равномерно ограничена по норме простран2 (Ω). Тогда из компактности вложений W 2 (Ω) → W 1 (Ω), W 2 (Ω) → ства W2,0 2,0 2,0 2,0 C(Ω) [15, с. 84] следует, что из последовательности {u(n) } можно извлечь подпоследовательность {u(nm ) } такую, что 2 u(nm ) (x) → u(x) слабо в W2,0 (Ω), 1 сильно в W2,0 (Ω) и C(Ω), (15) 2 (Ω). где u = u(x) - некоторый элемент из W2,0 Покажем, что u(x) = u(x; v) является решением задачи (1)-(3), соответствующим управлению v ∈ V . Ясно, что справедливы тождества 2 (nm ) ki Ω i=1 (nm) (x)u(n) (x)u(nm) η dx = xi ηxi + q = f (x)ηdx + 1 ∀η = η(x) ∈ W2,0 (Ω). (16) g(s)ηds, Ω Γ-1 Используя соотношения (13), (15), ограничения 0 < νi ki (x) п. в. на Ω, неравенство (1.8) из [17, с. 67] и оценки (10), имеем 2 Ω i=1 µi , i = 1, 2, 2 (n ) m) ki m (x)u(n xi ηxi dx - ki (x)uxi ηxi dx Ω i=1 2 2 (nm ) Ω i=1 ki (nm ) m) (x) u(n - uxi ηxi dx + xi Ω i=1 ki (x) - ki (x) uxi ηxi dx 2 m) µi u(n - uxi xi 2,Ω ηxi 2,Ω kx(ni m ) - ki 3,Ω uxi + i=1 2 + 6,Ω η xi 2,Ω → 0. (17) i=1 Кроме этого, используя соотношения (12), (15), ограничение 0 q0 q1 п. в. на Ω и неравенство Коши-Буняковского, получаем q (nm ) (x)u(nm ) ηdx - q (n) (x) q(x)uηdx Ω Ω q (nm ) (x) u(nm ) - u ηdx + Ω q (nm ) (x) - q(x) uηdx Ω q1 u(nm ) - u 2,Ω η 2,Ω q (nm ) - q uηdx → 0. (18) + Ω Тогда, переходя к пределу при n → ∞ в (16) и учитывая соотношения (17), (18), получаем, что u(x) удовлетворяет тождеству (7), т. е. является 1 (Ω) задачи (1)-(3), соответствующим управлеобобщенным решением из W2,0 2 (Ω) следует, что u(x) = u(x; v). нию v ∈ V . Отсюда и из включения u(x) ∈ W2,0 282 О задаче оптимального управления коэффициентами эллиптического уравнения Используя единственность решения задачи (1)-(3), соответствующего управлению v ∈ V , можно показать, что соотношение (15) справедливо не только для подпоследовательности {u(nm ) }, но и для всей последовательности 2 (Ω), сильно {u(n) }, т. е. u(n) (x) = u(x; v (n) ) → u(x) = u(x; v) слабо в W2,0 1 (Ω) и C(Ω). в W2,0 Теперь покажем, что J(v (n) ) → J(v) при n → ∞. Используя равенство (6), нетрудно убедиться в том, что справедливо неравенство J(v (n) ) - J(v) α1 u(n) + α2 + u 2,Ω (n) u 2,Ω 2,Γ-1 + 2 u1 + u 2,Ω 2,Γ-1 u(n) - u + 2 u2 2,Ω + 2,Γ1 u(n) - u 2,Γ-1 . Тогда, используя оценки (8), (10), неравенство (14) и соотношение (15), для последовательности {u(n) } получаем, что J(v (n) ) → J(v) при n → ∞, т. е. функционал J(v) слабо в H непрерывен на V . Кроме этого, множество V ограничено, замкнуто и выпукло в гильбертовом пространство H и поэтому оно слабо компактно в H [18, с. 51]. Тогда, применяя результат из [18, с. 49], заключаем, что справедливы утверждения теоремы 1. Замечание 1. Из теоремы 1 следует существование решения задачи (1)-(6). Однако, как показывает следующий пример, решение задачи (1)-(6) может быть не единственным. (i) Пример 1. Пусть в задаче (1)-(6) ν1 = ν2 = 1, µ1 = µ2 = 2, dj (i, j = 1, 2), q0 = 1, q1 = 3π 2 , = 2 l1 = l2 = 1, u0 (s) ≡ u0 (s2 ) = 0, f (x) = -4π 2 sin πx1 sin πx2 , g(s) ≡ g(s2 ) = π sin πs2 . Тогда нетрудно проверить, что минимальное значение функционала J(v) достигается на двух допустимых управлениях: (1) (1) (1) (1) v∗ (x) = k1∗ (x) = 1, k2∗ (x) = 2, q∗ (x) = 2π 2 , (2) (2) (2) (2) v∗ (x) = k1∗ (x) = 1, k2∗ (x) = 2, q∗ (x) = π 2 (1) (2) (1) (2) и J(v∗ ) = J(v∗ ) ≡ J∗ = 0, u(x; v∗ ) = u(x; v∗ ) = - sin πx1 sin πx2 , x = = (x1 , x2 ) ∈ Ω, т. е. решение задачи (1)-(6) не единственно. Замечание 2. Из теоремы 1 следует, что задача (1)-(6) корректно поставлена в слабой топологии пространства H. Однако, вообще говоря, это задача некорректна в метрике пространства H, т. е. могут существовать минимизирующие последовательности функционала J(v), не сходящиеся к множеству V∗ по норме пространства H. Следующий пример показывает, что минимизирующая последовательность функционала J(v) может не иметь предела в пространстве H. 283 Т а г и е в Р. К., К а с ы м о в а Р. С. Пример 2. Рассмотрим задачу оптимального управления из примера 1. Тогда v∗ (x) = k1∗ (x) = 1, k2∗ (x) = 1, q∗ (x) = 2π 2 ∈ V - оптимальное управление и u(x; v∗ ) = - sin πx1 sin πx2 , x ∈ Ω, J∗ = J(v∗ ) = 0. Возьмем последовательность управлений (m) (m) v (m) (x) = k1 (x) = 1, k1 (x) = 1, q (m) (x) = 2π 2 + sin πmx1 ∈ V, m = 1, 2, . . ., x ∈ Ω. Тогда v (m) (x) → v∗ (x) слабо в H и поэтому из соотношения (6) следует, что J(v (m) ) → J v∗ = J∗ = 0, т. е. последовательность {v (m) } является минимизирующей для функционала J(v). Однако это последовательность не имеет предела в H, так как sin πmx1 сильно не сходится в L2 (Ω). 3. Дифференцируемость функционала цели и необходимое условие оптимальности. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу для определения функции ψ(x) = ψ(x; v) из условий 2 - ki (x)ψxi xi + q(x)ψ = -2α1 u(x, v) - u1 (x) , x ∈ Ω, (19) i=1 -k1 (s)ψx1 (s) = 2α2 u(s; v) - u2 (s) , s ∈ Γ-1 , s ∈ Γ\Γ-1 . ψ(s) = 0, (20) (21) Под решением краевой задачи (19)-(21), соответствующим управлению 1 (Ω), т. е. функцию ψ(x) = v ∈ V , будем понимать обобщенное решение из W2,0 1 (Ω), удовлетворяющую интегральному тождеству = ψ(x; v) ∈ W2,0 2 ki (x)ψxi ηxi + qψη dx = Ω i=1 = -2α1 u - u1 ηdx - 2α2 Ω u - u2 ηds (22) Γ-1 1 (Ω). для всех η = η(x) ∈ W2,0 Используя результаты из [15, с. 112-116], [16, с. 40-46], можно показать, что при каждом заданном v ∈ V существует единственное обобщенное реше1 (Ω) задачи (19)-(21) и справедлива оценка ние ψ(x) = ψ(x; v) ∈ W2,0 ψ (1) 2,Ω M5 α1 u - u1 2,Ω + α2 u - u2 2,Γ-1 . 1 (Ω) краевой задачи (19)-(21) принадБолее того, обобщенное решение из W2,0 2 (Ω) и верна оценка [15, с. 125-134] лежит также пространству W2,0 ψ (2) 2,Ω M6 α1 u - u1 2,Ω + α2 u - u2 (1) 2,Γ-1 . 2 (Ω) → C(Ω), W 1 (Ω) → L (Ω) Тогда, используя ограниченность вложений W2,0 r1 2 r1 ∈ [2, ∞) [15, с. 84] и оценки (9), получаем 284 О задаче оптимального управления коэффициентами эллиптического уравнения ψ C(Ω) + ψx r1 ,Ω + ψxx 2,Ω M7 f 2,Ω + α1 u1 + α2 u2 2,Ω (1) 2,Γ-1 + g (1) 2,Γ-1 . (23) Для каждого фиксированного i = 1, 2 поставим следующую краевую задачу для определения функции ωi (x) = ωi (x; v) из условий: 2 - ωixi xj + ωi = uxi ψxi , x ∈ Ω, (24) j=1 ∂ψi = 0, ∂ν x ∈ Γ, i = 1, 2, (25) где ν - внешняя нормаль к Γ. Под решением краевой задачи (24), (25) при фиксированном i = 1, 2 и при 1 (Ω), удозаданном v ∈ V будем понимать функцию ωi (x) = ωi (x; v) из W2,0 влетворяющую интегральному тождеству 2 ωixj ηxi + ωi η dx = Ω uxi ψxi ηdx, i = 1, 2. (26) Ω j=1 Из включений uxi ψxi ∈ L4 (Ω) следует, что uxi , ψxi ∈ L2 (Ω), i = 1, 2. Поэтому из результатов монографии [15, с. 200-202] следует, что краевая задача (24), (25) однозначно разрешима в W21 (Ω) и справедлива оценка ωi (1) 2,Ω M8 uxi ψxi 6/5,Ω , i = 1, 2. Тогда, используя оценки (8), (23), имеем ωi (1) 2,Ω M9 × f 2,Ω f + g 2,Ω + g 2,Γ-1 2,Γ-1 × + α1 u1 2,Ω + α2 u2 2,Γ-1 , i = 1, 2. (27) Дифференцируемость функционала (6) следует из теоремы 2. Теорема 2. Пусть выполнены условия задачи (1)-(6). Тогда функционал (6) непрерывно дифференцируем по Фреше на V и его градиент в произвольной точке v ∈ V определяется равенством J (v) = ω1 (x; v), ω2 (x; v), u(x; v)ψ(x; v) . (28) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть v, v + ∆v ∈ V - произвольные управления, ∆v = (∆k1 , ∆k2 , ∆q) и ∆u = ∆u(x) = u(x; v +∆v)-u(x; v). Из условий (1)-(3) 2 (Ω) краевой задачи следует, что ∆u является решением из W2,0 2 - 2 (ki + ∆ki )∆uxi i=1 xi (∆ki uxi )xi - ∆qu, x ∈ Ω, (29) + (q + ∆q)∆u = i=1 - k1 + ∆k1 ∆ux1 = ∆k1 ux1 , s ∈ Γ-1 , (30) 285 Т а г и е в Р. К., К а с ы м о в а Р. С. s ∈ Γ\Γ-1 . ∆u(s) = 0, (31) Можно показать, что при сделанных предположениях для функции ∆u справедлива оценка [17, c. 200] 2 (1) 2,Ω ∆u M10 ∆ki uxi 2,Ω + ∆qu 6/5,Ω . (32) i=1 Используя неравенство (1.8) из [17, c. 67], ограниченность вложения W21 (Ω) → L4 (Ω) и оценки (10), получаем следующие неравенства: 2 2 ∆ki uxi 2 ∆ki 2,Ω i=1 uxi 4,Ω M11 4,Ω i=1 ∆qu (1) 2,Ω , i=1 ∆q 6/5,Ω ∆ki 2,Ω u M12 ∆q 3,Ω 2,Ω . Учитывая эти неравенства в (32), получаем ∆u (1) 2,Ω M13 ∆v H. (33) Приращение функционала (6) имеет вид ∆J(v) = J(v + ∆v) - J(v) = 2α1 u(x; v) - u1 (x) ∆u(x)dx+ Ω u(s; v) - u2 (s) ∆u(s)ds + α1 ∆u + 2α2 Γ-1 2 2,Ω + α2 ∆u 2 2,Γ-1 . (34) С помощью решений краевых задач (19)-(21) и (29)-(31) преобразуем приращения (34). Для решения краевой задачи (29)-(31) справедливо равенство 2 (ki + ∆ki )∆uxi ψxi + (q + ∆q)∆uψ dx = Ω i=1 2 =- ∆ki uxi ψxi + ∆quψ dx. (35) Ω i=1 Если в тождестве (22) положить η = ∆u и полученное равенство вычесть из (35), то получим (u - z1 )∆udx + 2α2 2α1 Ω (u - z2 )∆uds = Γ-1 2 = Ω 286 2 uxi ψxi ∆ki + uψ∆q dx + i=1 ∆uxi ψxi ∆ki + ∆uψ∆q dx. Ω i=1 О задаче оптимального управления коэффициентами эллиптического уравнения Учитывая это равенство в (34), имеем 2 ∆J(v) = uxi ψxi ∆ki + uψ∆q dx + R, Ω (36) i=1 где 2 R = α1 ∆u 2 2,Ω + α2 ∆u 2 2,Γ-1 + ∆uxi ψxi ∆ki + ∆uψ∆q dx. Ω (37) i=1 Полагая в тождестве (26) η = ∆ki , получаем равенство 2 ωi ∆ki + Ω uxi ψxi ∆ki dx, ωixj ∆kixj dx = i = 1, 2, Ω j=1 учитывая которое в (36), получаем 2 2 ∆J(v) = ωi ∆ki + Ω i=1 ωixj ∆kixj + uψ∆q dx + R. (38) j=1 Используя теорему вложения [15, c. 84], нетрудно показать, что интегральные слагаемое в правой части (38) при заданном v ∈ V определяет линейный ограниченный функционал от ∆v ∈ H. Проведем оценку (37). Используя ограниченность вложения W21 (Ω) → L4 (Ω) [15, c. 84], неравенство (1.8) из [17, c. 67] и оценки (23), (33), имеем 2 ∆uxi ψxi ∆ki + ∆uψ∆q dx Ω i=1 2 ∆uxi 4,Ω ψxi 2,Ω ∆ki 4,Ω + i=1 + ∆u 4,Ω ψ 4,Ω ∆q 2,Ω M14 ∆v 2 H. (39) Учитывая в (37) оценки (33) и (39), получаем оценку |R| M15 ∆v 2 H. Тогда, используя эту оценку в (36), заключаем, что функционал (6) дифференцируем по Фреше на V и его градиент определяется равенством (28). Используя оценки (10), (23) и (27), можно показать, что отображение J (v) : V → H непрерывно. Теорема 2 доказана. Следствие. Оптимальное управление v∗ = (k∗ , q∗ ) ∈ V для задачи (1)-(6) устанавливается следующим условием: max v∈V H u∗ (x), k, q, ψ∗ (x), ω∗ (x) dx = Ω H u∗ (x), k∗ , q∗ , ψ∗ (x), ω∗ (x) dx, Ω 287 Т а г и е в Р. К., К а с ы м о в а Р. С. где 2 H(u, k, q, ψ, ω) = 2 ωi ki + i=1 ωixj kixj + uψq j=1 - функция Гамильтона-Понтрягина задачи (1)-(6); u∗ = u∗ (x) = u(x; v∗ ), ψ∗ = ψ∗ (x) = ψ(x; v∗ ), ωi∗ = ωi∗ (x) = ωi (x; v∗ ), i = 1, 2 - решения задач (1)-(3); (19)-(21) и (24), (25) при v = v∗ соответственно. Замечание. Полученные выше результаты могут быть обобщены для произвольной ограниченной области с гладкой границей и интегральной составляющей критерия по произвольной части границы. Конкурирующие интересы. Мы не имеем конкурирующих интересов. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Rafig K Tagiev

Baku State University

Email: r.tagiyev@list.ru
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of the Dept.; Dept. of Optimization and Control 23, Z. Khalilov st., Baku, AZ-1148, Azerbaijan

Rena S Kasimova

Baku State University

Email: rena.kasimova@list.ru
Teacher; Dept. of Optimization and Control 23, Z. Khalilov st., Baku, AZ-1148, Azerbaijan

References

Supplementary files