On the problem of optimal control in the coefficients of an elliptic equation

Abstract


In this paper we consider the optimal control problem for linear elliptic equations of the second order. Control functions are included in the coefficients of the equation for the state, including the coefficients of the highest derivatives. Space management is a product of Lebesgue and Sobolev spaces. The functional purpose is the sum of the integrals over the region and part of its border. The problems of correct statement of the problem in the weak topology of the space of controls are studied. It is proved that a set of optimal control problems is not empty, it is weakly compact and every minimizing sequence of the functional goals converges weakly in the space of controls to the set of optimal controls. The examples show that the solution of the problem can be not unique and minimizing sequence for the functional purpose can not have a limit in the strong topology of space management. Differentiability of proved Frechet functional is proved and the expression for its gradient is found. A necessary condition for optimality in the form of variational inequalities.

Full Text

О задаче оптимального управления коэффициентами эллиптического уравнения Введение. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений возникают, например, в оптимизационных задачах механики сплошных сред, проектировании конструкций, теории упругости, конвекции-диффузииреакции, экологического прогнозирования [1-3] и т. п. Среди этих задач особый интерес представляют задачи, в которых управляющие функции входят в коэффициенты уравнения для состояний, в том числе в коэффициенты при старших производных. При исследовании таких задач оптимального управления возникает ряд существенных трудностей, связанных с их невыпуклостью, сильной нелинейностью и некорректностью [4, 5]. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений с управлениями в коэффициентах изучались в работах [4, 6-14] и др. В этих работах рассматриваемые критерии качества в основном являлись интегральными по всей области. Однако часто бывает удобнее вести наблюдения на границе области, и в таких случаях более естественными являются интегральные критерии качества по границе области. Такие задачи оптимального управления для эллиптических уравнений наименее изучены [4, 6]. В настоящей работе рассматривается задача оптимального управления коэффициентами линейного эллиптического уравнения. Функционалом цели является сумма интегралов по области и по части ее границы. Исследованы вопросы корректности рассматриваемой задачи, доказана дифференцируемость по Фреше функционала цели, найдено выражение для его градиента и установлено необходимое условие оптимальности в форме вариационного неравенства. 1. Постановка задачи. Пусть Ω = x = (x1 , x2 ) : 0 < xi < li , i = 1, 2 - прямоугольник с границей Γ, Γ-1 = s = (s1 , s2 ) : s1 = 0, 0 < s2 < l2 - левая вертикальная сторона прямоугольника Ω. Пусть управляемый процесс описывается в Ω следующей смешанной краевой задачей для уравнения эллиптического типа: 2 - ki (x)uxi xi + q(x)u = f (x), x ∈ Ω, (1) i=1 -k1 (s)ux1 (s) = g(s), s ∈ Γ-1 , u(s) = 0, s ∈ Γ\Γ-1 , (2) (3) где f (x) ∈ L2 (Ω), g(s) ≡ g(s2 ) ∈ W21 (0, l2 ) - заданные функции; v(x) = = k1 (x), k2 (x), q(x) - управление; u(x) = u(x; v) - решение задачи (1)-(3) или состояние процесса, соответствующее управлению v = v(x). Введем множество допустимых управлений 3 Vi ⊂ H = W21 (Ω) × W21 (Ω) × L2 (Ω) V = (4) i=1 279 Т а г и е в Р. К., К а с ы м о в а Р. С. при Vi = ki (x) ∈ W21 (Ω) : 0 < νi |kixj (x)| ki (x) µi , (i) dj , j = 1, 2 п. в. на Ω , V3 = q(x) ∈ L2 (Ω) : 0 < q0 q(x) i = 1, 2, (5) q1 п. в. на Ω . (i) Здесь µi νi > 0; dj > 0, i, j = 1, 2; q1 q0 > 0 - заданные числа. Поставим следующую задачу оптимального управления: на множестве V при условиях (1)-(3) минимизировать функционал 2 2 u(x; v) - u1 (x) dx + α2 J(v) = α1 u(s; v) - u2 (s) ds, Ω (6) Γ-1 где u1 (x) ∈ L2 (Ω), u2 (s) ≡ u2 s2 ∈ L2 (0, l2 ) - заданные функции; α1 , α2 = = const > 0, α1 + α2 > 0. Эту задачу оптимального управления ниже будем называть задачей (1)-(6). Используемые в работе обозначения функциональных пространств и их норм соответствуют [15, с. 24-26]. Ниже положительные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин и допустимых управлений, будем обозначать через Mj , j = 1, 2, . . . . Под решением краевой задачи (1)-(3), соответствующим управлению v ∈ V , 1 (Ω), т. е. функцию u(x) = u(x; v) ∈ будем понимать обобщенное решение из W2,0 1 (Ω), удовлетворяющую интегральному тождеству W2,0 2 ki (x)uxi ηxi + q(x)uη dx = Ω f (x)ηdx + Ω i=1 g(s)ηds (7) Γ-1 1 (Ω). Здесь W 1 (Ω) - подпространство пространства для всех η = η(x) ∈ W2,0 2,0 W21 (Ω), плотным множеством в котором является множество всех функций из C 1 (Ω), равных нулю вблизи Γ\Γ-1 . Используя результаты из [15, с. 24-26], [16, с. 40-46], можно показать, что при каждом заданном v ∈ V существует единственное обобщенное решение 1 (Ω) задачи (1)-(3) и справедлива оценка u(x) = u(x; v) ∈ W2,0 u (1) 2,Ω M1 f 2,Ω + g 2,Γ-1 . (8) 1 (Ω) краевой задачи (1)-(3) также Более того, обобщенное решение из W2,0 2 (Ω) = W 2 (Ω) ∩ W 1 (Ω) и верна оценка принадлежит пространству W2,0 2 2,0 u (2) 2,Ω M2 f 2,Ω + g (1) 2,Γ-1 . (9) 1 (Ω) → C Ω , W 1 (Ω) → L (Ω) ограниИзвестно [15, с. 84], что вложения W2,0 r1 2 чены при любом r1 ∈ [2; ∞). Поэтому из (9) следует, что справедлива оценка u 280 C(Ω) + ux r1 ,Ω + uxx 2,Ω M3 f 2,Ω + g (1) 2,Γ-1 . (10) О задаче оптимального управления коэффициентами эллиптического уравнения Задачи оптимального управления типа (1)-(6) возникают в разных областях практики. В качестве примера рассмотрим задачу о положении равновесия неоднородной упругой мембраны из теории упругости [1]. Пусть мембрана, занимающая область Ω ограниченной границей Γ, закреплена на части Γ\Γ-1 границы Γ. На внутренние точки мембраны действует внешняя сила f (x) и на границе Γ-1 заданы напряжения g(s). Окружающая мембрану среда оказывают мембране сопротивление, пропорциональное смещению точек мембраны. Пусть функция u(x) определяет прогиб мембраны в точке x ∈ Ω ∪ Γ-1 . В силу сделанных предположений состояние мембраны описывается краевой задачей (1)-(3) при k1 (x) = k2 (x) = k(x). Роль управляющих функции выполняют функции k(x) - коэффициент натяжения мембраны и q(x) - коэффициент упругости окружающей среды. Ограничения (5) на функции k(x) и q(x) характеризуют границы их допустимых изменений, а также учитывают недопустимость резких перепадов в изменении упругих характеристик материала. Целевой функционал (6) в случае α1 = α2 = 1 в нормах пространств L2 (Ω) и L2 Γ-1 характеризует среднеквадратичное отклонение прогибов мембраны от заданных прогибов u1 (x) и u2 (s). 2. Корректность постановки задачи. Корректность задачи (1)-(6) является следствием теоремы 1. Теорема 1. Пусть выполнены условия задачи (1)-(6). Тогда множество оптимальных управлений задачи (1)-(6) V∗ = v∗ ∈ V : J(v∗ ) = J∗ ≡ inf{J(v) : v ∈ V } не пусто, V∗ - слабо компактно в H и любая минимизирующая последовательность {v (n) } ⊂ V функционала (5) в H сходится слабо к множеству V∗ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что функционал (6) слабо в H непрерывен на V . (n) (n) Пусть v = (k1 , k2 , q) ∈ V - некоторый элемент, {v (n) } = k1 , k2 , q (n) ⊂ V - произвольная последовательность такая, что v (n) → v слабо в H при n → ∞: (n) ki (x) → ki (x), i = 1, 2, q (n) слабо в W21 (Ω), (x) → q(x) слабо в L2 (Ω). (11) (12) Из компактности вложения W21 (Ω) → Lr1 (Ω) при любом r1 ∈ [2, ∞) [15, с. 84] и (11) следует, что (n) ki (x) → ki (x), i = 1, 2, сильно в Lr1 (Ω). (13) Кроме того, в силу однозначной разрешимости краевой задачи (1)-(3) каждому управлению v (n) ∈ V соответствует единственное решение u(n) (x) = = u x; v (n) задачи (1)-(3) и справедлива оценка u(n) (2) 2,Ω M4 , n = 1, 2, . . . , (14) 281 Т а г и е в Р. К., К а с ы м о в а Р. С. т. е. последовательность {u(n) } равномерно ограничена по норме простран2 (Ω). Тогда из компактности вложений W 2 (Ω) → W 1 (Ω), W 2 (Ω) → ства W2,0 2,0 2,0 2,0 C(Ω) [15, с. 84] следует, что из последовательности {u(n) } можно извлечь подпоследовательность {u(nm ) } такую, что 2 u(nm ) (x) → u(x) слабо в W2,0 (Ω), 1 сильно в W2,0 (Ω) и C(Ω), (15) 2 (Ω). где u = u(x) - некоторый элемент из W2,0 Покажем, что u(x) = u(x; v) является решением задачи (1)-(3), соответствующим управлению v ∈ V . Ясно, что справедливы тождества 2 (nm ) ki Ω i=1 (nm) (x)u(n) (x)u(nm) η dx = xi ηxi + q = f (x)ηdx + 1 ∀η = η(x) ∈ W2,0 (Ω). (16) g(s)ηds, Ω Γ-1 Используя соотношения (13), (15), ограничения 0 < νi ki (x) п. в. на Ω, неравенство (1.8) из [17, с. 67] и оценки (10), имеем 2 Ω i=1 µi , i = 1, 2, 2 (n ) m) ki m (x)u(n xi ηxi dx - ki (x)uxi ηxi dx Ω i=1 2 2 (nm ) Ω i=1 ki (nm ) m) (x) u(n - uxi ηxi dx + xi Ω i=1 ki (x) - ki (x) uxi ηxi dx 2 m) µi u(n - uxi xi 2,Ω ηxi 2,Ω kx(ni m ) - ki 3,Ω uxi + i=1 2 + 6,Ω η xi 2,Ω → 0. (17) i=1 Кроме этого, используя соотношения (12), (15), ограничение 0 q0 q1 п. в. на Ω и неравенство Коши-Буняковского, получаем q (nm ) (x)u(nm ) ηdx - q (n) (x) q(x)uηdx Ω Ω q (nm ) (x) u(nm ) - u ηdx + Ω q (nm ) (x) - q(x) uηdx Ω q1 u(nm ) - u 2,Ω η 2,Ω q (nm ) - q uηdx → 0. (18) + Ω Тогда, переходя к пределу при n → ∞ в (16) и учитывая соотношения (17), (18), получаем, что u(x) удовлетворяет тождеству (7), т. е. является 1 (Ω) задачи (1)-(3), соответствующим управлеобобщенным решением из W2,0 2 (Ω) следует, что u(x) = u(x; v). нию v ∈ V . Отсюда и из включения u(x) ∈ W2,0 282 О задаче оптимального управления коэффициентами эллиптического уравнения Используя единственность решения задачи (1)-(3), соответствующего управлению v ∈ V , можно показать, что соотношение (15) справедливо не только для подпоследовательности {u(nm ) }, но и для всей последовательности 2 (Ω), сильно {u(n) }, т. е. u(n) (x) = u(x; v (n) ) → u(x) = u(x; v) слабо в W2,0 1 (Ω) и C(Ω). в W2,0 Теперь покажем, что J(v (n) ) → J(v) при n → ∞. Используя равенство (6), нетрудно убедиться в том, что справедливо неравенство J(v (n) ) - J(v) α1 u(n) + α2 + u 2,Ω (n) u 2,Ω 2,Γ-1 + 2 u1 + u 2,Ω 2,Γ-1 u(n) - u + 2 u2 2,Ω + 2,Γ1 u(n) - u 2,Γ-1 . Тогда, используя оценки (8), (10), неравенство (14) и соотношение (15), для последовательности {u(n) } получаем, что J(v (n) ) → J(v) при n → ∞, т. е. функционал J(v) слабо в H непрерывен на V . Кроме этого, множество V ограничено, замкнуто и выпукло в гильбертовом пространство H и поэтому оно слабо компактно в H [18, с. 51]. Тогда, применяя результат из [18, с. 49], заключаем, что справедливы утверждения теоремы 1. Замечание 1. Из теоремы 1 следует существование решения задачи (1)-(6). Однако, как показывает следующий пример, решение задачи (1)-(6) может быть не единственным. (i) Пример 1. Пусть в задаче (1)-(6) ν1 = ν2 = 1, µ1 = µ2 = 2, dj (i, j = 1, 2), q0 = 1, q1 = 3π 2 , = 2 l1 = l2 = 1, u0 (s) ≡ u0 (s2 ) = 0, f (x) = -4π 2 sin πx1 sin πx2 , g(s) ≡ g(s2 ) = π sin πs2 . Тогда нетрудно проверить, что минимальное значение функционала J(v) достигается на двух допустимых управлениях: (1) (1) (1) (1) v∗ (x) = k1∗ (x) = 1, k2∗ (x) = 2, q∗ (x) = 2π 2 , (2) (2) (2) (2) v∗ (x) = k1∗ (x) = 1, k2∗ (x) = 2, q∗ (x) = π 2 (1) (2) (1) (2) и J(v∗ ) = J(v∗ ) ≡ J∗ = 0, u(x; v∗ ) = u(x; v∗ ) = - sin πx1 sin πx2 , x = = (x1 , x2 ) ∈ Ω, т. е. решение задачи (1)-(6) не единственно. Замечание 2. Из теоремы 1 следует, что задача (1)-(6) корректно поставлена в слабой топологии пространства H. Однако, вообще говоря, это задача некорректна в метрике пространства H, т. е. могут существовать минимизирующие последовательности функционала J(v), не сходящиеся к множеству V∗ по норме пространства H. Следующий пример показывает, что минимизирующая последовательность функционала J(v) может не иметь предела в пространстве H. 283 Т а г и е в Р. К., К а с ы м о в а Р. С. Пример 2. Рассмотрим задачу оптимального управления из примера 1. Тогда v∗ (x) = k1∗ (x) = 1, k2∗ (x) = 1, q∗ (x) = 2π 2 ∈ V - оптимальное управление и u(x; v∗ ) = - sin πx1 sin πx2 , x ∈ Ω, J∗ = J(v∗ ) = 0. Возьмем последовательность управлений (m) (m) v (m) (x) = k1 (x) = 1, k1 (x) = 1, q (m) (x) = 2π 2 + sin πmx1 ∈ V, m = 1, 2, . . ., x ∈ Ω. Тогда v (m) (x) → v∗ (x) слабо в H и поэтому из соотношения (6) следует, что J(v (m) ) → J v∗ = J∗ = 0, т. е. последовательность {v (m) } является минимизирующей для функционала J(v). Однако это последовательность не имеет предела в H, так как sin πmx1 сильно не сходится в L2 (Ω). 3. Дифференцируемость функционала цели и необходимое условие оптимальности. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу для определения функции ψ(x) = ψ(x; v) из условий 2 - ki (x)ψxi xi + q(x)ψ = -2α1 u(x, v) - u1 (x) , x ∈ Ω, (19) i=1 -k1 (s)ψx1 (s) = 2α2 u(s; v) - u2 (s) , s ∈ Γ-1 , s ∈ Γ\Γ-1 . ψ(s) = 0, (20) (21) Под решением краевой задачи (19)-(21), соответствующим управлению 1 (Ω), т. е. функцию ψ(x) = v ∈ V , будем понимать обобщенное решение из W2,0 1 (Ω), удовлетворяющую интегральному тождеству = ψ(x; v) ∈ W2,0 2 ki (x)ψxi ηxi + qψη dx = Ω i=1 = -2α1 u - u1 ηdx - 2α2 Ω u - u2 ηds (22) Γ-1 1 (Ω). для всех η = η(x) ∈ W2,0 Используя результаты из [15, с. 112-116], [16, с. 40-46], можно показать, что при каждом заданном v ∈ V существует единственное обобщенное реше1 (Ω) задачи (19)-(21) и справедлива оценка ние ψ(x) = ψ(x; v) ∈ W2,0 ψ (1) 2,Ω M5 α1 u - u1 2,Ω + α2 u - u2 2,Γ-1 . 1 (Ω) краевой задачи (19)-(21) принадБолее того, обобщенное решение из W2,0 2 (Ω) и верна оценка [15, с. 125-134] лежит также пространству W2,0 ψ (2) 2,Ω M6 α1 u - u1 2,Ω + α2 u - u2 (1) 2,Γ-1 . 2 (Ω) → C(Ω), W 1 (Ω) → L (Ω) Тогда, используя ограниченность вложений W2,0 r1 2 r1 ∈ [2, ∞) [15, с. 84] и оценки (9), получаем 284 О задаче оптимального управления коэффициентами эллиптического уравнения ψ C(Ω) + ψx r1 ,Ω + ψxx 2,Ω M7 f 2,Ω + α1 u1 + α2 u2 2,Ω (1) 2,Γ-1 + g (1) 2,Γ-1 . (23) Для каждого фиксированного i = 1, 2 поставим следующую краевую задачу для определения функции ωi (x) = ωi (x; v) из условий: 2 - ωixi xj + ωi = uxi ψxi , x ∈ Ω, (24) j=1 ∂ψi = 0, ∂ν x ∈ Γ, i = 1, 2, (25) где ν - внешняя нормаль к Γ. Под решением краевой задачи (24), (25) при фиксированном i = 1, 2 и при 1 (Ω), удозаданном v ∈ V будем понимать функцию ωi (x) = ωi (x; v) из W2,0 влетворяющую интегральному тождеству 2 ωixj ηxi + ωi η dx = Ω uxi ψxi ηdx, i = 1, 2. (26) Ω j=1 Из включений uxi ψxi ∈ L4 (Ω) следует, что uxi , ψxi ∈ L2 (Ω), i = 1, 2. Поэтому из результатов монографии [15, с. 200-202] следует, что краевая задача (24), (25) однозначно разрешима в W21 (Ω) и справедлива оценка ωi (1) 2,Ω M8 uxi ψxi 6/5,Ω , i = 1, 2. Тогда, используя оценки (8), (23), имеем ωi (1) 2,Ω M9 × f 2,Ω f + g 2,Ω + g 2,Γ-1 2,Γ-1 × + α1 u1 2,Ω + α2 u2 2,Γ-1 , i = 1, 2. (27) Дифференцируемость функционала (6) следует из теоремы 2. Теорема 2. Пусть выполнены условия задачи (1)-(6). Тогда функционал (6) непрерывно дифференцируем по Фреше на V и его градиент в произвольной точке v ∈ V определяется равенством J (v) = ω1 (x; v), ω2 (x; v), u(x; v)ψ(x; v) . (28) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть v, v + ∆v ∈ V - произвольные управления, ∆v = (∆k1 , ∆k2 , ∆q) и ∆u = ∆u(x) = u(x; v +∆v)-u(x; v). Из условий (1)-(3) 2 (Ω) краевой задачи следует, что ∆u является решением из W2,0 2 - 2 (ki + ∆ki )∆uxi i=1 xi (∆ki uxi )xi - ∆qu, x ∈ Ω, (29) + (q + ∆q)∆u = i=1 - k1 + ∆k1 ∆ux1 = ∆k1 ux1 , s ∈ Γ-1 , (30) 285 Т а г и е в Р. К., К а с ы м о в а Р. С. s ∈ Γ\Γ-1 . ∆u(s) = 0, (31) Можно показать, что при сделанных предположениях для функции ∆u справедлива оценка [17, c. 200] 2 (1) 2,Ω ∆u M10 ∆ki uxi 2,Ω + ∆qu 6/5,Ω . (32) i=1 Используя неравенство (1.8) из [17, c. 67], ограниченность вложения W21 (Ω) → L4 (Ω) и оценки (10), получаем следующие неравенства: 2 2 ∆ki uxi 2 ∆ki 2,Ω i=1 uxi 4,Ω M11 4,Ω i=1 ∆qu (1) 2,Ω , i=1 ∆q 6/5,Ω ∆ki 2,Ω u M12 ∆q 3,Ω 2,Ω . Учитывая эти неравенства в (32), получаем ∆u (1) 2,Ω M13 ∆v H. (33) Приращение функционала (6) имеет вид ∆J(v) = J(v + ∆v) - J(v) = 2α1 u(x; v) - u1 (x) ∆u(x)dx+ Ω u(s; v) - u2 (s) ∆u(s)ds + α1 ∆u + 2α2 Γ-1 2 2,Ω + α2 ∆u 2 2,Γ-1 . (34) С помощью решений краевых задач (19)-(21) и (29)-(31) преобразуем приращения (34). Для решения краевой задачи (29)-(31) справедливо равенство 2 (ki + ∆ki )∆uxi ψxi + (q + ∆q)∆uψ dx = Ω i=1 2 =- ∆ki uxi ψxi + ∆quψ dx. (35) Ω i=1 Если в тождестве (22) положить η = ∆u и полученное равенство вычесть из (35), то получим (u - z1 )∆udx + 2α2 2α1 Ω (u - z2 )∆uds = Γ-1 2 = Ω 286 2 uxi ψxi ∆ki + uψ∆q dx + i=1 ∆uxi ψxi ∆ki + ∆uψ∆q dx. Ω i=1 О задаче оптимального управления коэффициентами эллиптического уравнения Учитывая это равенство в (34), имеем 2 ∆J(v) = uxi ψxi ∆ki + uψ∆q dx + R, Ω (36) i=1 где 2 R = α1 ∆u 2 2,Ω + α2 ∆u 2 2,Γ-1 + ∆uxi ψxi ∆ki + ∆uψ∆q dx. Ω (37) i=1 Полагая в тождестве (26) η = ∆ki , получаем равенство 2 ωi ∆ki + Ω uxi ψxi ∆ki dx, ωixj ∆kixj dx = i = 1, 2, Ω j=1 учитывая которое в (36), получаем 2 2 ∆J(v) = ωi ∆ki + Ω i=1 ωixj ∆kixj + uψ∆q dx + R. (38) j=1 Используя теорему вложения [15, c. 84], нетрудно показать, что интегральные слагаемое в правой части (38) при заданном v ∈ V определяет линейный ограниченный функционал от ∆v ∈ H. Проведем оценку (37). Используя ограниченность вложения W21 (Ω) → L4 (Ω) [15, c. 84], неравенство (1.8) из [17, c. 67] и оценки (23), (33), имеем 2 ∆uxi ψxi ∆ki + ∆uψ∆q dx Ω i=1 2 ∆uxi 4,Ω ψxi 2,Ω ∆ki 4,Ω + i=1 + ∆u 4,Ω ψ 4,Ω ∆q 2,Ω M14 ∆v 2 H. (39) Учитывая в (37) оценки (33) и (39), получаем оценку |R| M15 ∆v 2 H. Тогда, используя эту оценку в (36), заключаем, что функционал (6) дифференцируем по Фреше на V и его градиент определяется равенством (28). Используя оценки (10), (23) и (27), можно показать, что отображение J (v) : V → H непрерывно. Теорема 2 доказана. Следствие. Оптимальное управление v∗ = (k∗ , q∗ ) ∈ V для задачи (1)-(6) устанавливается следующим условием: max v∈V H u∗ (x), k, q, ψ∗ (x), ω∗ (x) dx = Ω H u∗ (x), k∗ , q∗ , ψ∗ (x), ω∗ (x) dx, Ω 287 Т а г и е в Р. К., К а с ы м о в а Р. С. где 2 H(u, k, q, ψ, ω) = 2 ωi ki + i=1 ωixj kixj + uψq j=1 - функция Гамильтона-Понтрягина задачи (1)-(6); u∗ = u∗ (x) = u(x; v∗ ), ψ∗ = ψ∗ (x) = ψ(x; v∗ ), ωi∗ = ωi∗ (x) = ωi (x; v∗ ), i = 1, 2 - решения задач (1)-(3); (19)-(21) и (24), (25) при v = v∗ соответственно. Замечание. Полученные выше результаты могут быть обобщены для произвольной ограниченной области с гладкой границей и интегральной составляющей критерия по произвольной части границы. Конкурирующие интересы. Мы не имеем конкурирующих интересов. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Rafig K Tagiev

Baku State University

Email: r.tagiyev@list.ru
23, Z. Khalilov st., Baku, AZ-1148, Azerbaijan
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of the Dept.; Dept. of Optimization and Control

Rena S Kasimova

Baku State University

Email: rena.kasimova@list.ru
23, Z. Khalilov st., Baku, AZ-1148, Azerbaijan
Teacher; Dept. of Optimization and Control

References

  1. Лурье К. А. Оптимальное управления в задачах математической физики. М.: Наука, 1975. 480 с.
  2. Литвинов В. Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987. 368 с.
  3. Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 320 с.
  4. Lions J.-L. Optimal control of systems governed by partial differential equations / Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 170. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1971. xi+396 pp. doi: 10.1007/978-3-642-65024-6.
  5. Murat F. Contre-exemples pour divers problèms où le contrôle intervient dans les coefficients // Ann. Mat. Pura Appl., 1977. vol. 112. pp. 49-68.
  6. Tagiev R. K., Kasymova R. S. On an optimal problem for the coefficients of an elliptic equation a quality criterion of the boundary of domain // Trans. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci., 2015. vol. 35, no. 1. pp. 157-163, http://trans.imm.az/volumes/35-1/35-01-23.pdf.
  7. Zolezzi T. Necessary conditions for optimal control of elliptic or parabolic problems // SIAM J. Control, 1972. vol. 10, no. 4. pp. 594-607. doi: 10.1137/0310044.
  8. Мадатов М. Д. О задачах с управлениями в коэффициентах эллиптических уравнений // Матем. заметки, 1983. Т. 34, № 6. С. 873-882.
  9. Райтум У. Е. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. Математические вопросы. Рига: Зинатне, 1989. 277 с.
  10. Tagiyev R. K. Optimal control problems for elliptic equation with controls in coefficients // Trans. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci., 2003. vol. 23, no. 4. pp. 251-260.
  11. Casado D., Couce C., Martin G. Optimality conditions for nonconvex multistate control problems in the coefficients // SIAM J. Control Optim., 2004. vol. 43, no. 1. pp. 216-239. doi: 10.1137/S0363012902411714.
  12. Тагиев Р. К. Оптимальное управление коэффициентами квазилинейного эллиптического уравнения // Автомат. и телемех., 2010. № 9. С. 19-32.
  13. Тагиев Р. К. Об оптимальном управлении коэффициентами эллиптического уравнения // Дифференц. уравнения, 2011. Т. 47, № 6. С. 871-879.
  14. Iskenderov A. D., Tagiyev R. K. Optimal control problem with controls in coefficients of quasilinear elliptic equation // Eurasian J. Math. Comput. Appl., 2013. vol. 1, no. 2. pp. 21-39.
  15. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
  16. Самарский А. А., Лазаров Р. Д., Макаров В. Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высш. шк., 1987. 296 с.
  17. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 736 с.
  18. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. Задачи минимизации в функциональных пространствах, регуляризация, аппроксимация. М.: Наука, 1981. 400 с.

Statistics

Views

Abstract - 24

PDF (Russian) - 6

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies