Application of the perturbation method for the determination of stress-strain state of a thick-style two-layer anisotropic shaft of non-circular cross section with elastoplastic torsion

Full Text

Применение метода возмущений при определении напряженно-деформированного состояния . . . С помощью метода малого параметра в работе [1] определено напряжённодеформированное состояние толстостенной трубы при взаимодействии различных видов пластической анизотропии. В работе [2] в рамках метода возмущений определено напряженное состояние в цилиндрической трубе, подверженной действию внешнего и внутреннего давлений, с границами поперечного сечения, близким к круговым. При этом рассмотрен вопрос о существовании и единственности решения задачи на основе теоремы о неявных функциях. В работах [3, 4] представлены соотношения трансляционной идеальнопластической анизотропии по Хиллу при кручении. Работа [5] посвящена определению напряженного состояния двухслойного анизотропного кругового цилиндра при упругопластическом кручении. Исследованию напряженно-деформированного состояния стержня некругового поперечного сечения посвящена работа [6]. В данной работе методом малого параметра [7, 8] определено напряженнодеформированное состояние двухслойного анизотропного стержня некругового поперечного сечения при упругопластическом кручении с учетом того, что каждый из слоев обладает своими параметрами анизотропии [9, 10]. Рассматривается двухслойный цилиндрический стержень, находящийся под действием кручения [11], поперечное сечение которого ограничено контурами L1 и L2 . Границу раздела слоев обозначим через L3 , неизвестную упругопластическую границу - Ls (рис. 1). Предположим, что внешний слой цилиндра (слой I, L3 < ρ < L1 ) находится в пластическом состоянии, где условие пластичности общего вида задаётся соотношением A1 (τxz - k1 )2 + B1 (τyz - k2 )2 = K12 , (1) A1 , B1 , k1 , k2 - константы анизотропии, K1 - предел текучести. Внутренний слой (слой II, L2 < ρ < L3 ) находится в упругопластическом состоянии. Условие пластичности для второго слоя примем в виде A2 (τxz - k3 )2 + B2 (τyz - k4 )2 = K22 , (2) где A2 , B2 , k3 , k4 - константы анизотропии, K2 - предел текучести. Далее перейдем к цилиндрической системе координат ρ, θ, z, где ось z совпадает с осью стержня, и будем использовать безразмерные величины. Отнесем величины, имеющие размерность напряжений, к некоторой величине k0 , а величины, имеющие размерность длины, отнесем к радиусу упругопластической границы в нулевом приближении ρ0 . 293 К о в а л е в А. В., С в и р и д о в И. Э., Щ е г л о в а Ю. Д. Учитывая формулы перехода компонент напряжений из декартовой в цилиндрическую системах координат τxz = τρz cos θ - τθz sin θ, τyz = τρz sin θ + τθz cos θ, запишем условия пластичности (1), (2) следующим образом. Во внешней области I будем иметь A1 (τρz cos θ - τθz sin θ - k1 )2 + B1 (τρz sin θ + τθz cos θ - k2 )2 = K12 , (3) а во внутренней области II получим A2 (τρz cos θ - τθz sin θ - k3 )2 + B2 (τρz sin θ + τθz cos θ - k4 )2 = K22 . (4) Уравнение равновесия для задачи кручения имеет вид ∂τρz τρz 1 ∂τθz + + =0 ∂ρ ρ ∂θ ρ (5) и выполняется в каждом слое и для каждого приближения. В упругой области внутреннего слоя имеют место соотношения Коши εeρz = ω ∂we , 2 ∂ρ εeθz = ω 1 ∂we +ρ , 2 ρ ∂θ (6) связывающие компоненты тензора деформаций с функцией we , характеризующей депланацию поперечного сечения, где ω - угол кручения на единицу длины. Следующими соотношениями определяется закон Гука в упругой области внутреннего слоя II: e e (7) = 2Gεeθz . τρz = 2Gεeρz , τθz Рис. 1. Схема упругопластического кручения двухслойного стержня некругового поперечного сечения [Figure 1. The sheme of elastic-plastic torsion in a two-layer shaft of non-circular cross section] 294 Применение метода возмущений при определении напряженно-деформированного состояния . . . Здесь G - модуль сдвига. Во внутреннем слое II полная деформация в пластической области складывается из упругой и пластической составляющих: ερz = εeρz + εpρz , εθz = εeθz + εpθz . (8) Здесь и далее символ «p» подчеркивает принадлежность величин к пластической области, символ «e» - к упругой области. Учитывая условия пластичности (3), (4), ассоциированный закон пластического течения для первого и второго слоев соответственно примет вид dεpθzI = dλ τθzI (A1 cos2 θ + B1 sin2 θ)+ + τρzI B1 - A1 sin 2θ + A1 k1 sin θ - B1 k2 cos θ , (9) 2 dεpρzI = dλ τρzI (A1 cos2 θ + B1 sin2 θ)+ + τθzI B 1 - A1 sin 2θ - A1 k1 cos θ - B1 k2 sin θ , (10) 2 dεpθzII = dλ τθzII (A2 cos2 θ + B2 sin2 θ)+ + τρzII B 2 - A2 sin 2θ + A2 k3 sin θ - B2 k4 cos θ , (11) 2 dεpρzII = dλ(τρzII A2 cos2 θ + B2 sin2 θ)+ + τθzII B 2 - A2 sin 2θ - A2 k3 cos θ - B1 k3 sin θ . (12) 2 Здесь dλ - неизвестный скалярный множитель. Закона Гука p τp τρz εeθz = θz , εeρz = (13) 2G 2G связывает упругие деформации с пластическими напряжениями в пластической области. Полные деформации связаны с перемещениями в пластической области соотношениями Коши ερz = 1 ∂wp , 2 ∂ρ εθz = 1 1 ∂wp + ωρ , 2 ρ ∂θ (14) где wp - депланация поперечного сечения в пластической области. Так как боковые поверхности стержня свободны от нагрузки, на внешнем L1 и внутреннем L2 контурах поперечного сечения выполняются граничные условия в напряжениях p p (τρz nρ1 + τθz nθ1 ) L1 = 0, e e (τρz nρ2 + τθz nθ2 ) L2 = 0, (15) 295 К о в а л е в А. В., С в и р и д о в И. Э., Щ е г л о в а Ю. Д. где nθi , nρi - компоненты единичной нормали к контурам Li , i = 1, 2. Пусть Φ1 (ρ, θ) = 0, Φ2 (ρ, θ) = 0 - уравнения внешнего L1 и внутреннего L2 контуров поперечного сечения стержня соответственно. Тогда компоненты единичной нормали к контуру поперечного сечения стержня определяются формулами 1 ∂Φi nθi = ρ ∂θ ∂Φi ∂ρ ∂Φi nρi = ∂ρ ∂Φi ∂ρ 2 2 1 ∂Φi + ρ ∂θ 1 ∂Φi + ρ ∂θ -1/2 2 , (16) -1/2 2 , i = 1, 2. На упругопластической границе Ls (рис. 1), которая определяется в ходе решения, выполняются условия непрерывности напряжений и функции перемещения (17) [τρz ] Ls = [τθz ] Ls = [w] Ls = 0. Здесь и далее квадратные скобки обозначают разность значений заключенных в скобки выражений соответствующих упругой и пластической областям. Также условия непрерывности напряжений и функции перемещения выполняются на границе раздела слоев [τρz ] L3 = [τθz ] L3 = [w] L3 = 0. (18) В упругой области из уравнения равновесия (5), учитывая (6), (7), получим e ∆wII = 0, (19) где ∂2 1 ∂2 1 ∂ + + 2 ∂ρ ρ ∂θ ρ ∂ρ e - оператор Лапласа, wII - функция депланации в упругой области внутреннего слоя II. Следуя [7], решение будем искать в виде разложения по малому безразмерному параметру δ (δ 1): ∆= (0) (1) (2) τij = τij + δτij + δ 2 τij + . . . , w = w(0) + δw(1) + δ 2 w(2) + . . . , (0) (1) (2) (0) (1) (2) (20) εij = εij + δεij + δ 2 εij + . . . , ρs = ρ1 + δρ2 + δ 2 ρ3 + . . . . Параметры анизотропии в областях I и II представим в виде [12] (1) (1) (1) (1) A1 = 1 + δa1 , B1 = 1 + δb1 , A2 = 1 + δa2 , B2 = 1 + δb2 , (1) (1) (1) (1) k1 = δk1 , k2 = δk2 , k3 = δk3 , k4 = δk4 , (21) от которого легко перейти к условию анизотропии по Хиллу (при обнулении (1) (1) (1) ki ) или к условию трансляционной анизотропии (при обнулении ai и bi ). 296 Применение метода возмущений при определении напряженно-деформированного состояния . . . Уравнения контуров поперечного сечения и границы раздела слоев представим в виде Φ1 (ρ, θ) = ρ - (R0 + δ1 R1 + δ12 R2 + . . .) = 0, Φ2 (ρ, θ) = ρ - (r0 + δ2 r1 + δ22 r2 + . . .) = 0, (22) Φ3 (ρ, θ) = ρ - (L0 + δ3 L1 + δ32 L2 + . . .) = 0, где δ1 = d1 δ, δ2 = d2 δ, δ3 = d3 δ (-1 di 1) - безразмерные параметры; R0 , r0 , L0 - константы; Ri = Ri (θ), ri = ri (θ), Li = Li (θ) - функции координаты θ; i = 1, 2, 3. Следуя методу малого параметра [7, 8], подставляя данные разложения (20)-(22) в соотношения (3)-(18) и приравнивания члены при одинаковых степенях δ, получим системы уравнений для каждого приближения. В исходном нулевом приближении имеет место задача упругопластического кручения изотропного двухслойного стержня с поперечным сечением в виде окружности в качестве внутреннего, внешнего контура и границы стыка слоев, радиусы которых равны соответственно r0 = α, R0 = β, L0 = γ. Решение такой задачи имеет вид (0) τρzI = 0, e(0) wII = 0, (0) τθzI = K1 , p(0) τρzII = 0, e(0) τρzII = 0, p(0) τθzII = K2 , e(0) τθzII = Gωρ, ρ0 = 1. (23) (24) Следуя [8], уравнения внешнего и внутреннего контуров примем в виде ρ = α(1 + δd1 cos mθ), ρ = β(1 + δd2 cos mθ), а уравнение границы раздела слоев представим как ρ = γ(1 + δd3 cos mθ). Из условия пластичности (3) во внешнем слое в первом приближении с учетом известного решения первого приближения (23) получим компоненту (1) τθzI в форме p(1) (1) (1) τθzI = k2 cos θ - k1 sin θ - K1 (1) 2 (1) a1 sin θ + b1 cos2 θ . 2 (25) С учетом разложения (16), (20) и(22) граничное условие на внешнем контуре примет вид p(0) ∂τρzI R˙ 1 p(0) p(1) τρzI = τ - R1 . (26) R0 θzI ρ=R0 ∂ρ ρ=R0 ρ=R0 Граничное условие на внешнем контуре (26) и уравнение равновесия (5) p(1) с учетом (23) составляют систему для определения компоненты τρzI :  p(1)  ∂τ ∂ p(1)   (ρτρzI ) = θzI , ∂ρ ∂θ    τ p(1) ρzI ρ=R0 = -d1 m sin mθ. (27) 297 К о в а л е в А. В., С в и р и д о в И. Э., Щ е г л о в а Ю. Д. p(1) Решая систему (27) и учитывая, что компонента τθzI имеет вид (25), получим p(1) (1) K1 (1) (1) (a - b1 ) sin 2θ 2 1 (1) τρzI = k2 sin θ + k1 cos θ + 1- β β - K1 md1 sin mθ. ρ ρ Подставляя (20) и (21) в условие пластичности (4), в первом приближении p(1) во внутреннем слое c учётом (24) для τθzII получим p(1) (1) (1) τθzII = k4 cos θ - k3 sin θ - K2 (1) 2 (1) (a sin θ - b2 cos2 ). 2 2 (28) На границе раздела слоев имеет место условие непрерывности компонент напряжений (18), которое с учетом (16), (20) и (22) в первом приближении дает p(0) p(1) τρzII + L1 p(0) ∂τρzII ∂ρ ρ=L0 = p(1) τρzI + L1 ∂τθzII ∂ρ ∂ρ ρ=L0 , (29) p(0) p(0) p(1) τθzII + L1 ∂τρzI p(1) ρ=L0 = τθzI + L1 ∂τθzI ∂ρ ρ=L0 . Подставляя (28) в (5) и (24) в условие (29), получим систему, аналогичную p(1) (27), для определения компоненты напряжений τρzII :  p(1)  ∂τθzII ∂ p(1)   (ρτ )= ;   ∂ρ ρzII ∂θ     K1 (1) (1) p(1) (1) (1) (a1 - b1 ) sin 2θ τρzI ρ=γ = k2 sin θ + k1 cos θ +  2       β   - K1 md1 sin mθ. γ Решая эту систему, получим p(1) 1- β - γ K2 γ (1) (a2(1) - b2 ) sin 2θ 1 - + 2 ρ γ-β K1 (1) (1) (1) (1) (a1 - b1 ) sin 2θ - + k2 sin θ + k1 cos θ + 2 ρ β - K1 md1 sin mθ. (30) ρ (1) (1) τρzII = k4 sin θ + k3 cos θ + В упругой области внутреннего слоя компоненты напряжений из соотношений закона Гука (7) и соотношений Коши (6) в первом приближении представимы в виде e(1) e(1) τρzII = Gω 298 ∂wII , ∂ρ e(1) e(1) τθzII = Gω 1 ∂wII . ρ ∂θ (31) Применение метода возмущений при определении напряженно-деформированного состояния . . . На внутреннем контуре выполняется граничное условие (15), которое с учетом (16), (20) и (22) примет форму e(0) e(1) τρzII ρ=r0 ∂τρzII r˙1 e(0) τθzII - r1 = r0 ∂ρ ρ=r0 . (32) На упругопластической границе имеют место условия непрерывности (17) компонент напряжений, которые при подстановке в них (16), (20) и (22) в первом приближении дают соотношения p(0) p(1) τρzII + ρ1 e(0) ∂τρzII ∂ρ = ρ=ρ0 e(1) τρzII + ρ1 p(0) p(1) τθzII + ρ1 ∂τθzII ∂ρ ∂τρzII ∂ρ ρ=ρ0 , (33) . (34) e(0) e(1) = τθzII + ρ1 ρ=ρ0 ∂τθzII ∂ρ ρ=ρ0 Объединение (19) с учетом (31), (32) и (33) соответствует задаче Неймана для функции депланации в упругой области слоя II:  e(1) ∆wII = 0, α < ρ < 1, 0 θ 2π;          ∂we(1) 1 p(1) II = τρzII , (35) ∂ρ Gω ρ=1 ρ=1      e(1)     ∂wII = -md2 α sin mθ. ∂ρ ρ=α p(1) Подставляя найденную компоненту τρzII из (30) и решая систему (35), получим (1) e(1) wII (1) (ρ2 + a2 ) k2 (1 - γ) + k1 (γ - β) cos θ- =- Gωρ(α2 - 1) (1) - (1) (ρ2 + α2 ) k4 (1 - γ) + k3 (γ - β) sin θ- Gωρ(α2 - 1) (1) (1) (1) (1) 1 (ρ4 + α4 ) K2 (1 - γ)(a2 - b2 ) + K1 (γ - β)(a1 - b1 ) - sin 2θ- 4 Gωρ2 (α2 - 1) Gωα(ρ2m + 1) - αm-1 βK1 (ρ2m α-2m + 1) sin mθ. (36) - Gωαm-1 ρm (1 - α-2m ) (1) e(1) τρzII = - (1) (ρ2 - a2 ) k3 (1 - γ) + k1 (γ - β) cos θ+ ρ2 (α2 - 1) (1) (1) (ρ2 - α2 ) k4 (1 - γ) + k3 (γ - β) + sin θ- ρ2 (α2 - 1) 299 К о в а л е в А. В., С в и р и д о в И. Э., Щ е г л о в а Ю. Д. (1) - (1) e(1) (1) (1) (1) 1 (ρ4 - α4 ) K2 (1 - γ)(a2 - b2 ) + K1 (γ - β)(a1 - b1 ) sin 2θ+ 2 ρ3 (α2 - 1) Gωα(1 - ρ2m ) - αm-1 βK1 (1 - ρ2m α-2m ) +m sin mθ. Gωαm-1 ρm+1 (1 - α-2m ) τθzII = sin θ (1) (ρ2 + a2 ) k3 (1 - γ) + k1 (γ - β) - ρ2 (α2 - 1) (1) (1) (ρ2 + α2 ) k4 (1 - γ) + k3 (γ - β) - cos θ- ρ2 (α2 - 1) (1) - (1) (1) (1) 1 (ρ4 + α4 ) K2 (1 - γ)(a2 - b2 ) + K1 (γ - β)(a1 - b1 ) cos 2θ- 2 ρ3 (α2 - 1) Gωα(ρ2m + 1) - αm-1 βK1 (ρ2m α-2m + 1) cos mθ. -m Gωαm-1 ρm (1 - α-2m ) Подставляя (36) в (31), получим компоненты напряжений в упругой области слоя II в виде e(1) τρzII = -Gω e(1) τθzII = -Gω γ-1 α2 (1) (1) 1 - (k1 cos θ + k2 sin θ)+ 1 - α2 ρ2 α4 K1 (a1 - b1 )(β - γ) ρ - + sin 2θ , 4(1 - α4 ) ρ3 γ-1 α2 (1) (1) 1 + (-k1 sin θ + k2 cos θ)+ 1 - α2 ρ2 α4 K1 (a1 - b1 )(β - γ) ρ + cos 2θ . (37) + 4(1 - α4 ) ρ3 Условие (34) с учетом (24) позволяет определить соотношение для радиуса упругопластической границы в первом приближении p(1) e(1) ρ1 = (τθzII - τθzII ) ρ=1 . (38) (1) Подставляя в (38) найденные ранее компоненты напряжения τθzII (28) и (37), получим ρ1 = 1 k2 (1) (1) (1) (1) k cos θ - k3 sin θ - (a2 sin2 θ + b2 cos2 θ) - Gω 4 2 (1) (1) (1 + α2 ) k1 (γ - β) + k2 (1 - γ) - sin θ+ Gω(α2 - 1) (1) (1) (1 + α2 ) k3 (γ - β) + k4 (1 - γ) + cos θ+ Gω(α2 - 1) 300 Применение метода возмущений при определении напряженно-деформированного состояния . . . (1) + (1) 1 K2 (a2 - b2 )(1 - γ)(1 + α4 ) cos 2θ- 2 Gω(α4 - 1) 2Gωα - βK1 α-m-1 (1 - α2m ) -m cos mθ. Gω(1 - α-2m )αm-1 p(1) Перейдем к определению функции перемещения wII в первом приближении в пластической области внутреннего слоя II. Из соотношений ассоциированного закона пластического течения (11), (12) имеем p dεpθzII τρzII (A2 cos2 θ + B2 sin2 θ)+ p + τθzII B2 - A2 sin 2θ - A2 k3 cos θ - B1 k3 sin θ = 2 p (A2 cos2 θ + B2 sin2 θ)+ = dεpρzII τθzII p + τρzII B 2 - A2 sin 2θ + A2 k3 sin θ - B2 k4 cos θ . (39) 2 Подставляя в (39) разложения (20), (21), в первом приближении получим p(0) p(0) (1) (1) p(1) dερzII τθzII (a2 sin2 θ + b2 cos2 θ) + τθzII + (1) (1) p(0) (1) (1) p(1) p(0) + (b2 - a2 )τρzII cos θ sin θ + k3 sin θ - k4 cos θ + dερzII τθzII = p(0) p(0) (1) (1) p(1) = dεθzII τρzII (a2 cos2 θ + b2 sin2 θ) + τρzII + (1) (1) p(0) (1) (1) p(1) p(0) + (b2 - a2 )τθzII cos θ sin θ - k3 cos θ - k4 sin θ + dεθzII τρzII . Учитывая нулевое приближение (24), получим ассоциированный закон в следующем виде: p(1) p(0) p(1) dερzII = dεθzII τρzII + K2 (1) (1) (1) (1) (b - a2 ) sin 2θ - k3 cos θ - k4 sin θ , 2 2 где p(0) εθzII = λ(0) = Gωρ - 1 , 2G (40) (41) λ(0) - скалярный множитель в нулевом приближении [13]. p(1) Подставляя выражение для компоненты напряжения τρzII из (30) в (40), получим K1 (1) γ-β (1) (a - b1 ) sin 2θ - 2 1 ρ γ (1) K2 (1) β (1) (1) - k sin θ + k3 cos θ + (a - b2 ) sin 2θ - K1 md1 sin mθ . (42) ρ 4 2 2 ρ p(1) dερzII = dλ(0) (1) (1) k2 sin θ + k1 cos θ + В процессе нагружения частица тела переходит в пластическое состояние в момент прохождения через упругопластическую границу, что соответствует 301 К о в а л е в А. В., С в и р и д о в И. Э., Щ е г л о в а Ю. Д. ρ = 1. Следовательно, в процессе пластического деформирования безразмерный радиус в точке будет изменяться от 1 до некоторого значения ρ, соответствующего текущему значению приложенных внешних усилий [8]. Соотношение (41) позволяет в (42) перейти от интегрирования по λ(0) к интегрированию по радиусу, в результате чего получим p(1) ερzII = ω 1 K2 (1) (1) (1) (1) ln γ k4 sin θ + k3 cos θ + (a2 - b2 ) sin 2θ - 2 ρ 2 K1 (1) (1) (1) (1) - k2 sin θ + k1 cos θ + (a1 - b1 ) sin 2θ (γ - β)+ 2 + βK1 d1 m sin mθ . (43) Для определения перемещения в пластической зоне внутреннего слоя II воспользуемся соотношениями (6), (8), (13) и (14): p(1) p(1) ∂wII ∂ρ = p(1) 2ερzII + τρzII G . (44) p(1) Подставляя выражения (30) и (43) и решая уравнение (44), найдем wII с точностью до функции координаты θ: p(1) wII (1) K2 (1) (1) (a2 - b2 ) sin 2θ × 2 ρ 1 × + γ ln + 1 (ωρ + 1) - 1 - G ρ K1 (1) (1) (1) (1) - k2 sin θ + k1 cos θ + (a - b1 ) sin 2θ × 2 1 1 1 1 × (γ - β) ρω ln + 1 + ln + ρ G ρ 1 1 1 + βK1 d1 m sin mθ ωρ ln + 1 + ln + ϕ1 (θ). (45) ρ G ρ (1) = k4 sin θ + k3 cos θ + Функцию ϕ1 (θ) определим из условия непрерывности перемещений на упругопластической границе (17). Это условие в первом приближении с учетом (20) и (22) примет вид p(1) wII e(1) ρ=1 = wII ρ=1 . (46) Подставляя (45) и (36) в (46), а затем найденное выражение для функции ϕ1 (θ) в (45), получим поле перемещений в пластической области в первом приближении во внутреннем слое. С использованием вторых соотношений (1) (6), (8), (13), (14), (28) и (45) определяются компоненты деформации εθzII p(1) и εθzII . p(1) Определим функции перемещения wI в первом приближении во внешнем слое. Из соотношений ассоциированного закона пластического течения (9), (10) получим 302 Применение метода возмущений при определении напряженно-деформированного состояния . . . p dεpθzI τρzI (A1 cos2 θ + B1 sin2 θ)+ p + τθzI B 1 - A1 sin 2θ - A1 k1 cos θ - B1 k2 sin θ = 2 p = dεpρzI τθzI (A1 cos2 θ + B1 sin2 θ)+ B 1 - A1 sin 2θ + A1 k1 sin θ - B1 k2 cos θ . (47) 2 Подставляя в (47) разложения (20), (21), с учетом нулевого приближения (23) ассоциированный закон в первом приближении запишется в виде p + τρzI p(1) p(0) p(1) dερzI = dεθzI τρzI + K1 (1) (1) (1) (1) (b - a1 ) sin 2θ - k1 cos θ - k2 sin θ , 2 1 (48) где, аналогично (41), p(0) εθzI = λ(0) = Gωρ - 1 . 2G Подставляя в соотношение (48) выражение (30), имеем p(1) dερzI = - β (1) (1) k1 cos θ + k2 sin θ+ ρ K1 (1) β (1) + (a1 - b1 ) sin 2θ + K1 md1 sin mθ dλ(0) . 2 ρ Безразмерный радиус в точке будет изменяться от γ до некоторого значения ρ, соответствующего текущему значению приложенных внешних усилий. Переход от интегрирования по λ(0) к интегрированию по радиусу позволяет получить p(1) ερzI = ωβ γ (1) (1) ln k sin θ + k1 cos θ+ 2 ρ 2 K1 (1) (1) (a - b1 ) sin 2θ + K1 m sin mθ . (49) + 2 1 p(1) Для определения функции перемещения wI в первом приближении во внешнем слое составим следующее уравнение, которое с учетом (14) и (49) примет вид p(1) ∂wII ∂ρ = ωβ ln γ (1) (1) k sin θ + k1 cos θ+ ρ 2 K1 (1) (1) + (a - b1 ) sin 2θ + K1 m sin mθ . (50) 2 1 p(1) Решая уравнение (50), найдем wI p(1) wI (1) с точностью до функции координат ρ и θ: (1) = ωβ k2 sin θ + k1 cos θ+ + K1 (1) (1) (a1 - b1 ) sin 2θ + K1 m sin mθ 2 1 + ln γ ρ + ϕ2 (ρ, θ). (51) ρ 303 К о в а л е в А. В., С в и р и д о в И. Э., Щ е г л о в а Ю. Д. Функция ϕ2 (ρ, θ) определяется из условия непрерывности перемещений на границе стыка (18). В первом приближении это условие с учетом (20), (23) будет иметь вид p(1) wI p(1) ρ=γ = wII ρ=γ . (52) p(1) Подставляя (51) и поле перемещений wII (45) в условие (52), а затем найденное выражение для функции ϕ2 (ρ, θ) в (51), получим поле перемещений во внешнем слое в первом приближении. С использованием второго соотноp(1) шения (14) определим компоненту деформации εθzI . На рис. 2 изображена упругопластическая граница в нулевом приближении ρ0 и в первом приближении ρs = ρ0 + δρ1 при δ = 0.025, k1 = k3 = 0.5, k2 = k4 = 0.6, a1 = a2 = 0.3, b1 = b2 = 0.4, m = 4, Gω = 1, G = 323.67. Выбор значения малого параметра обусловлен соответствием полученных результатов их физическому смыслу. При данном значении пластическая область не выходит за границы геометрии стержня, а лежит между внутренним контуром и границей раздела слоев, как и было указано в предположении. Рис. 2. Упругопластическая граница в нулевом и первом приближении [Figure 2. The elastic-plastic boundary in the zero and first approximation] Конкурирующие интересы. Мы не имеем конкурирующих интересов. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования. 304

About the authors

Alexey V Kovalev

Voronezh State University

Email: kav-mail@mail.ru
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of the Dept.; Dept. of Mechanics and Computer Simulation 1, Universitetskaya pl., Voronezh, 394006, Russian Federation

Ilya E Sviridov

Voronezh State University

Email: synettt@gmail.com
Postgraduate Student; Dept. of Mechanics and Computer Simulation 1, Universitetskaya pl., Voronezh, 394006, Russian Federation

Yulia D Scheglova

Voronezh State University

Email: scheglova@gmail.com
Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Mechanics and Computer Simulation 1, Universitetskaya pl., Voronezh, 394006, Russian Federation

References

Supplementary files