# Application of the perturbation method for the determination of stress-strain state of a thick-style two-layer anisotropic shaft of non-circular cross section with elastoplastic torsion

## Abstract

The present work is devoted to the problem of elastoplastic torsion of the two-layer slightly anisotropic non-circular cross section shaft. The cross section is a doubly connected region. The shaft is oriented in a cylindrical coordinate system so that the Z axis is directed along the axis of the shaft. The influence of mass forces is not taken into account. Let the rod twist about the Z axis by equal and opposite pairs of forces. Suppose that the lateral surface of the rod is free of loads. The value of the moment is such that for some parts of the cross section the material passes into a plastic state and plastic zones are formed. The propagation of plastic flow comes from the outer contour inside the section. Suppose that the value of the torque is such that the plastic region entirely covers the outer contour of the cross section, and there is an elastoplastic boundary that is located between the inner contour and the interface of the layers. It is considered as an anisotropic material that in particular cases is in the kinematic properties of the anisotropy and anisotropy according to Hill. Each of the layers has its own anisotropy parameters. With using perturbation method, stress-strain state and elastoplastic boundary at first approximate is defined.

## Full Text

Применение метода возмущений при определении напряженно-деформированного состояния . . . С помощью метода малого параметра в работе [1] определено напряжённодеформированное состояние толстостенной трубы при взаимодействии различных видов пластической анизотропии. В работе [2] в рамках метода возмущений определено напряженное состояние в цилиндрической трубе, подверженной действию внешнего и внутреннего давлений, с границами поперечного сечения, близким к круговым. При этом рассмотрен вопрос о существовании и единственности решения задачи на основе теоремы о неявных функциях. В работах [3, 4] представлены соотношения трансляционной идеальнопластической анизотропии по Хиллу при кручении. Работа [5] посвящена определению напряженного состояния двухслойного анизотропного кругового цилиндра при упругопластическом кручении. Исследованию напряженно-деформированного состояния стержня некругового поперечного сечения посвящена работа [6]. В данной работе методом малого параметра [7, 8] определено напряженнодеформированное состояние двухслойного анизотропного стержня некругового поперечного сечения при упругопластическом кручении с учетом того, что каждый из слоев обладает своими параметрами анизотропии [9, 10]. Рассматривается двухслойный цилиндрический стержень, находящийся под действием кручения [11], поперечное сечение которого ограничено контурами L1 и L2 . Границу раздела слоев обозначим через L3 , неизвестную упругопластическую границу - Ls (рис. 1). Предположим, что внешний слой цилиндра (слой I, L3 < ρ < L1 ) находится в пластическом состоянии, где условие пластичности общего вида задаётся соотношением A1 (τxz - k1 )2 + B1 (τyz - k2 )2 = K12 , (1) A1 , B1 , k1 , k2 - константы анизотропии, K1 - предел текучести. Внутренний слой (слой II, L2 < ρ < L3 ) находится в упругопластическом состоянии. Условие пластичности для второго слоя примем в виде A2 (τxz - k3 )2 + B2 (τyz - k4 )2 = K22 , (2) где A2 , B2 , k3 , k4 - константы анизотропии, K2 - предел текучести. Далее перейдем к цилиндрической системе координат ρ, θ, z, где ось z совпадает с осью стержня, и будем использовать безразмерные величины. Отнесем величины, имеющие размерность напряжений, к некоторой величине k0 , а величины, имеющие размерность длины, отнесем к радиусу упругопластической границы в нулевом приближении ρ0 . 293 К о в а л е в А. В., С в и р и д о в И. Э., Щ е г л о в а Ю. Д. Учитывая формулы перехода компонент напряжений из декартовой в цилиндрическую системах координат τxz = τρz cos θ - τθz sin θ, τyz = τρz sin θ + τθz cos θ, запишем условия пластичности (1), (2) следующим образом. Во внешней области I будем иметь A1 (τρz cos θ - τθz sin θ - k1 )2 + B1 (τρz sin θ + τθz cos θ - k2 )2 = K12 , (3) а во внутренней области II получим A2 (τρz cos θ - τθz sin θ - k3 )2 + B2 (τρz sin θ + τθz cos θ - k4 )2 = K22 . (4) Уравнение равновесия для задачи кручения имеет вид ∂τρz τρz 1 ∂τθz + + =0 ∂ρ ρ ∂θ ρ (5) и выполняется в каждом слое и для каждого приближения. В упругой области внутреннего слоя имеют место соотношения Коши εeρz = ω ∂we , 2 ∂ρ εeθz = ω 1 ∂we +ρ , 2 ρ ∂θ (6) связывающие компоненты тензора деформаций с функцией we , характеризующей депланацию поперечного сечения, где ω - угол кручения на единицу длины. Следующими соотношениями определяется закон Гука в упругой области внутреннего слоя II: e e (7) = 2Gεeθz . τρz = 2Gεeρz , τθz Рис. 1. Схема упругопластического кручения двухслойного стержня некругового поперечного сечения [Figure 1. The sheme of elastic-plastic torsion in a two-layer shaft of non-circular cross section] 294 Применение метода возмущений при определении напряженно-деформированного состояния . . . Здесь G - модуль сдвига. Во внутреннем слое II полная деформация в пластической области складывается из упругой и пластической составляющих: ερz = εeρz + εpρz , εθz = εeθz + εpθz . (8) Здесь и далее символ «p» подчеркивает принадлежность величин к пластической области, символ «e» - к упругой области. Учитывая условия пластичности (3), (4), ассоциированный закон пластического течения для первого и второго слоев соответственно примет вид dεpθzI = dλ τθzI (A1 cos2 θ + B1 sin2 θ)+ + τρzI B1 - A1 sin 2θ + A1 k1 sin θ - B1 k2 cos θ , (9) 2 dεpρzI = dλ τρzI (A1 cos2 θ + B1 sin2 θ)+ + τθzI B 1 - A1 sin 2θ - A1 k1 cos θ - B1 k2 sin θ , (10) 2 dεpθzII = dλ τθzII (A2 cos2 θ + B2 sin2 θ)+ + τρzII B 2 - A2 sin 2θ + A2 k3 sin θ - B2 k4 cos θ , (11) 2 dεpρzII = dλ(τρzII A2 cos2 θ + B2 sin2 θ)+ + τθzII B 2 - A2 sin 2θ - A2 k3 cos θ - B1 k3 sin θ . (12) 2 Здесь dλ - неизвестный скалярный множитель. Закона Гука p τp τρz εeθz = θz , εeρz = (13) 2G 2G связывает упругие деформации с пластическими напряжениями в пластической области. Полные деформации связаны с перемещениями в пластической области соотношениями Коши ερz = 1 ∂wp , 2 ∂ρ εθz = 1 1 ∂wp + ωρ , 2 ρ ∂θ (14) где wp - депланация поперечного сечения в пластической области. Так как боковые поверхности стержня свободны от нагрузки, на внешнем L1 и внутреннем L2 контурах поперечного сечения выполняются граничные условия в напряжениях p p (τρz nρ1 + τθz nθ1 ) L1 = 0, e e (τρz nρ2 + τθz nθ2 ) L2 = 0, (15) 295 К о в а л е в А. В., С в и р и д о в И. Э., Щ е г л о в а Ю. Д. где nθi , nρi - компоненты единичной нормали к контурам Li , i = 1, 2. Пусть Φ1 (ρ, θ) = 0, Φ2 (ρ, θ) = 0 - уравнения внешнего L1 и внутреннего L2 контуров поперечного сечения стержня соответственно. Тогда компоненты единичной нормали к контуру поперечного сечения стержня определяются формулами 1 ∂Φi nθi = ρ ∂θ ∂Φi ∂ρ ∂Φi nρi = ∂ρ ∂Φi ∂ρ 2 2 1 ∂Φi + ρ ∂θ 1 ∂Φi + ρ ∂θ -1/2 2 , (16) -1/2 2 , i = 1, 2. На упругопластической границе Ls (рис. 1), которая определяется в ходе решения, выполняются условия непрерывности напряжений и функции перемещения (17) [τρz ] Ls = [τθz ] Ls = [w] Ls = 0. Здесь и далее квадратные скобки обозначают разность значений заключенных в скобки выражений соответствующих упругой и пластической областям. Также условия непрерывности напряжений и функции перемещения выполняются на границе раздела слоев [τρz ] L3 = [τθz ] L3 = [w] L3 = 0. (18) В упругой области из уравнения равновесия (5), учитывая (6), (7), получим e ∆wII = 0, (19) где ∂2 1 ∂2 1 ∂ + + 2 ∂ρ ρ ∂θ ρ ∂ρ e - оператор Лапласа, wII - функция депланации в упругой области внутреннего слоя II. Следуя [7], решение будем искать в виде разложения по малому безразмерному параметру δ (δ 1): ∆= (0) (1) (2) τij = τij + δτij + δ 2 τij + . . . , w = w(0) + δw(1) + δ 2 w(2) + . . . , (0) (1) (2) (0) (1) (2) (20) εij = εij + δεij + δ 2 εij + . . . , ρs = ρ1 + δρ2 + δ 2 ρ3 + . . . . Параметры анизотропии в областях I и II представим в виде [12] (1) (1) (1) (1) A1 = 1 + δa1 , B1 = 1 + δb1 , A2 = 1 + δa2 , B2 = 1 + δb2 , (1) (1) (1) (1) k1 = δk1 , k2 = δk2 , k3 = δk3 , k4 = δk4 , (21) от которого легко перейти к условию анизотропии по Хиллу (при обнулении (1) (1) (1) ki ) или к условию трансляционной анизотропии (при обнулении ai и bi ). 296 Применение метода возмущений при определении напряженно-деформированного состояния . . . Уравнения контуров поперечного сечения и границы раздела слоев представим в виде Φ1 (ρ, θ) = ρ - (R0 + δ1 R1 + δ12 R2 + . . .) = 0, Φ2 (ρ, θ) = ρ - (r0 + δ2 r1 + δ22 r2 + . . .) = 0, (22) Φ3 (ρ, θ) = ρ - (L0 + δ3 L1 + δ32 L2 + . . .) = 0, где δ1 = d1 δ, δ2 = d2 δ, δ3 = d3 δ (-1 di 1) - безразмерные параметры; R0 , r0 , L0 - константы; Ri = Ri (θ), ri = ri (θ), Li = Li (θ) - функции координаты θ; i = 1, 2, 3. Следуя методу малого параметра [7, 8], подставляя данные разложения (20)-(22) в соотношения (3)-(18) и приравнивания члены при одинаковых степенях δ, получим системы уравнений для каждого приближения. В исходном нулевом приближении имеет место задача упругопластического кручения изотропного двухслойного стержня с поперечным сечением в виде окружности в качестве внутреннего, внешнего контура и границы стыка слоев, радиусы которых равны соответственно r0 = α, R0 = β, L0 = γ. Решение такой задачи имеет вид (0) τρzI = 0, e(0) wII = 0, (0) τθzI = K1 , p(0) τρzII = 0, e(0) τρzII = 0, p(0) τθzII = K2 , e(0) τθzII = Gωρ, ρ0 = 1. (23) (24) Следуя [8], уравнения внешнего и внутреннего контуров примем в виде ρ = α(1 + δd1 cos mθ), ρ = β(1 + δd2 cos mθ), а уравнение границы раздела слоев представим как ρ = γ(1 + δd3 cos mθ). Из условия пластичности (3) во внешнем слое в первом приближении с учетом известного решения первого приближения (23) получим компоненту (1) τθzI в форме p(1) (1) (1) τθzI = k2 cos θ - k1 sin θ - K1 (1) 2 (1) a1 sin θ + b1 cos2 θ . 2 (25) С учетом разложения (16), (20) и(22) граничное условие на внешнем контуре примет вид p(0) ∂τρzI R˙ 1 p(0) p(1) τρzI = τ - R1 . (26) R0 θzI ρ=R0 ∂ρ ρ=R0 ρ=R0 Граничное условие на внешнем контуре (26) и уравнение равновесия (5) p(1) с учетом (23) составляют систему для определения компоненты τρzI :  p(1)  ∂τ ∂ p(1)   (ρτρzI ) = θzI , ∂ρ ∂θ    τ p(1) ρzI ρ=R0 = -d1 m sin mθ. (27) 297 К о в а л е в А. В., С в и р и д о в И. Э., Щ е г л о в а Ю. Д. p(1) Решая систему (27) и учитывая, что компонента τθzI имеет вид (25), получим p(1) (1) K1 (1) (1) (a - b1 ) sin 2θ 2 1 (1) τρzI = k2 sin θ + k1 cos θ + 1- β β - K1 md1 sin mθ. ρ ρ Подставляя (20) и (21) в условие пластичности (4), в первом приближении p(1) во внутреннем слое c учётом (24) для τθzII получим p(1) (1) (1) τθzII = k4 cos θ - k3 sin θ - K2 (1) 2 (1) (a sin θ - b2 cos2 ). 2 2 (28) На границе раздела слоев имеет место условие непрерывности компонент напряжений (18), которое с учетом (16), (20) и (22) в первом приближении дает p(0) p(1) τρzII + L1 p(0) ∂τρzII ∂ρ ρ=L0 = p(1) τρzI + L1 ∂τθzII ∂ρ ∂ρ ρ=L0 , (29) p(0) p(0) p(1) τθzII + L1 ∂τρzI p(1) ρ=L0 = τθzI + L1 ∂τθzI ∂ρ ρ=L0 . Подставляя (28) в (5) и (24) в условие (29), получим систему, аналогичную p(1) (27), для определения компоненты напряжений τρzII :  p(1)  ∂τθzII ∂ p(1)   (ρτ )= ;   ∂ρ ρzII ∂θ     K1 (1) (1) p(1) (1) (1) (a1 - b1 ) sin 2θ τρzI ρ=γ = k2 sin θ + k1 cos θ +  2       β   - K1 md1 sin mθ. γ Решая эту систему, получим p(1) 1- β - γ K2 γ (1) (a2(1) - b2 ) sin 2θ 1 - + 2 ρ γ-β K1 (1) (1) (1) (1) (a1 - b1 ) sin 2θ - + k2 sin θ + k1 cos θ + 2 ρ β - K1 md1 sin mθ. (30) ρ (1) (1) τρzII = k4 sin θ + k3 cos θ + В упругой области внутреннего слоя компоненты напряжений из соотношений закона Гука (7) и соотношений Коши (6) в первом приближении представимы в виде e(1) e(1) τρzII = Gω 298 ∂wII , ∂ρ e(1) e(1) τθzII = Gω 1 ∂wII . ρ ∂θ (31) Применение метода возмущений при определении напряженно-деформированного состояния . . . На внутреннем контуре выполняется граничное условие (15), которое с учетом (16), (20) и (22) примет форму e(0) e(1) τρzII ρ=r0 ∂τρzII r˙1 e(0) τθzII - r1 = r0 ∂ρ ρ=r0 . (32) На упругопластической границе имеют место условия непрерывности (17) компонент напряжений, которые при подстановке в них (16), (20) и (22) в первом приближении дают соотношения p(0) p(1) τρzII + ρ1 e(0) ∂τρzII ∂ρ = ρ=ρ0 e(1) τρzII + ρ1 p(0) p(1) τθzII + ρ1 ∂τθzII ∂ρ ∂τρzII ∂ρ ρ=ρ0 , (33) . (34) e(0) e(1) = τθzII + ρ1 ρ=ρ0 ∂τθzII ∂ρ ρ=ρ0 Объединение (19) с учетом (31), (32) и (33) соответствует задаче Неймана для функции депланации в упругой области слоя II:  e(1) ∆wII = 0, α < ρ < 1, 0 θ 2π;          ∂we(1) 1 p(1) II = τρzII , (35) ∂ρ Gω ρ=1 ρ=1      e(1)     ∂wII = -md2 α sin mθ. ∂ρ ρ=α p(1) Подставляя найденную компоненту τρzII из (30) и решая систему (35), получим (1) e(1) wII (1) (ρ2 + a2 ) k2 (1 - γ) + k1 (γ - β) cos θ- =- Gωρ(α2 - 1) (1) - (1) (ρ2 + α2 ) k4 (1 - γ) + k3 (γ - β) sin θ- Gωρ(α2 - 1) (1) (1) (1) (1) 1 (ρ4 + α4 ) K2 (1 - γ)(a2 - b2 ) + K1 (γ - β)(a1 - b1 ) - sin 2θ- 4 Gωρ2 (α2 - 1) Gωα(ρ2m + 1) - αm-1 βK1 (ρ2m α-2m + 1) sin mθ. (36) - Gωαm-1 ρm (1 - α-2m ) (1) e(1) τρzII = - (1) (ρ2 - a2 ) k3 (1 - γ) + k1 (γ - β) cos θ+ ρ2 (α2 - 1) (1) (1) (ρ2 - α2 ) k4 (1 - γ) + k3 (γ - β) + sin θ- ρ2 (α2 - 1) 299 К о в а л е в А. В., С в и р и д о в И. Э., Щ е г л о в а Ю. Д. (1) - (1) e(1) (1) (1) (1) 1 (ρ4 - α4 ) K2 (1 - γ)(a2 - b2 ) + K1 (γ - β)(a1 - b1 ) sin 2θ+ 2 ρ3 (α2 - 1) Gωα(1 - ρ2m ) - αm-1 βK1 (1 - ρ2m α-2m ) +m sin mθ. Gωαm-1 ρm+1 (1 - α-2m ) τθzII = sin θ (1) (ρ2 + a2 ) k3 (1 - γ) + k1 (γ - β) - ρ2 (α2 - 1) (1) (1) (ρ2 + α2 ) k4 (1 - γ) + k3 (γ - β) - cos θ- ρ2 (α2 - 1) (1) - (1) (1) (1) 1 (ρ4 + α4 ) K2 (1 - γ)(a2 - b2 ) + K1 (γ - β)(a1 - b1 ) cos 2θ- 2 ρ3 (α2 - 1) Gωα(ρ2m + 1) - αm-1 βK1 (ρ2m α-2m + 1) cos mθ. -m Gωαm-1 ρm (1 - α-2m ) Подставляя (36) в (31), получим компоненты напряжений в упругой области слоя II в виде e(1) τρzII = -Gω e(1) τθzII = -Gω γ-1 α2 (1) (1) 1 - (k1 cos θ + k2 sin θ)+ 1 - α2 ρ2 α4 K1 (a1 - b1 )(β - γ) ρ - + sin 2θ , 4(1 - α4 ) ρ3 γ-1 α2 (1) (1) 1 + (-k1 sin θ + k2 cos θ)+ 1 - α2 ρ2 α4 K1 (a1 - b1 )(β - γ) ρ + cos 2θ . (37) + 4(1 - α4 ) ρ3 Условие (34) с учетом (24) позволяет определить соотношение для радиуса упругопластической границы в первом приближении p(1) e(1) ρ1 = (τθzII - τθzII ) ρ=1 . (38) (1) Подставляя в (38) найденные ранее компоненты напряжения τθzII (28) и (37), получим ρ1 = 1 k2 (1) (1) (1) (1) k cos θ - k3 sin θ - (a2 sin2 θ + b2 cos2 θ) - Gω 4 2 (1) (1) (1 + α2 ) k1 (γ - β) + k2 (1 - γ) - sin θ+ Gω(α2 - 1) (1) (1) (1 + α2 ) k3 (γ - β) + k4 (1 - γ) + cos θ+ Gω(α2 - 1) 300 Применение метода возмущений при определении напряженно-деформированного состояния . . . (1) + (1) 1 K2 (a2 - b2 )(1 - γ)(1 + α4 ) cos 2θ- 2 Gω(α4 - 1) 2Gωα - βK1 α-m-1 (1 - α2m ) -m cos mθ. Gω(1 - α-2m )αm-1 p(1) Перейдем к определению функции перемещения wII в первом приближении в пластической области внутреннего слоя II. Из соотношений ассоциированного закона пластического течения (11), (12) имеем p dεpθzII τρzII (A2 cos2 θ + B2 sin2 θ)+ p + τθzII B2 - A2 sin 2θ - A2 k3 cos θ - B1 k3 sin θ = 2 p (A2 cos2 θ + B2 sin2 θ)+ = dεpρzII τθzII p + τρzII B 2 - A2 sin 2θ + A2 k3 sin θ - B2 k4 cos θ . (39) 2 Подставляя в (39) разложения (20), (21), в первом приближении получим p(0) p(0) (1) (1) p(1) dερzII τθzII (a2 sin2 θ + b2 cos2 θ) + τθzII + (1) (1) p(0) (1) (1) p(1) p(0) + (b2 - a2 )τρzII cos θ sin θ + k3 sin θ - k4 cos θ + dερzII τθzII = p(0) p(0) (1) (1) p(1) = dεθzII τρzII (a2 cos2 θ + b2 sin2 θ) + τρzII + (1) (1) p(0) (1) (1) p(1) p(0) + (b2 - a2 )τθzII cos θ sin θ - k3 cos θ - k4 sin θ + dεθzII τρzII . Учитывая нулевое приближение (24), получим ассоциированный закон в следующем виде: p(1) p(0) p(1) dερzII = dεθzII τρzII + K2 (1) (1) (1) (1) (b - a2 ) sin 2θ - k3 cos θ - k4 sin θ , 2 2 где p(0) εθzII = λ(0) = Gωρ - 1 , 2G (40) (41) λ(0) - скалярный множитель в нулевом приближении [13]. p(1) Подставляя выражение для компоненты напряжения τρzII из (30) в (40), получим K1 (1) γ-β (1) (a - b1 ) sin 2θ - 2 1 ρ γ (1) K2 (1) β (1) (1) - k sin θ + k3 cos θ + (a - b2 ) sin 2θ - K1 md1 sin mθ . (42) ρ 4 2 2 ρ p(1) dερzII = dλ(0) (1) (1) k2 sin θ + k1 cos θ + В процессе нагружения частица тела переходит в пластическое состояние в момент прохождения через упругопластическую границу, что соответствует 301 К о в а л е в А. В., С в и р и д о в И. Э., Щ е г л о в а Ю. Д. ρ = 1. Следовательно, в процессе пластического деформирования безразмерный радиус в точке будет изменяться от 1 до некоторого значения ρ, соответствующего текущему значению приложенных внешних усилий [8]. Соотношение (41) позволяет в (42) перейти от интегрирования по λ(0) к интегрированию по радиусу, в результате чего получим p(1) ερzII = ω 1 K2 (1) (1) (1) (1) ln γ k4 sin θ + k3 cos θ + (a2 - b2 ) sin 2θ - 2 ρ 2 K1 (1) (1) (1) (1) - k2 sin θ + k1 cos θ + (a1 - b1 ) sin 2θ (γ - β)+ 2 + βK1 d1 m sin mθ . (43) Для определения перемещения в пластической зоне внутреннего слоя II воспользуемся соотношениями (6), (8), (13) и (14): p(1) p(1) ∂wII ∂ρ = p(1) 2ερzII + τρzII G . (44) p(1) Подставляя выражения (30) и (43) и решая уравнение (44), найдем wII с точностью до функции координаты θ: p(1) wII (1) K2 (1) (1) (a2 - b2 ) sin 2θ × 2 ρ 1 × + γ ln + 1 (ωρ + 1) - 1 - G ρ K1 (1) (1) (1) (1) - k2 sin θ + k1 cos θ + (a - b1 ) sin 2θ × 2 1 1 1 1 × (γ - β) ρω ln + 1 + ln + ρ G ρ 1 1 1 + βK1 d1 m sin mθ ωρ ln + 1 + ln + ϕ1 (θ). (45) ρ G ρ (1) = k4 sin θ + k3 cos θ + Функцию ϕ1 (θ) определим из условия непрерывности перемещений на упругопластической границе (17). Это условие в первом приближении с учетом (20) и (22) примет вид p(1) wII e(1) ρ=1 = wII ρ=1 . (46) Подставляя (45) и (36) в (46), а затем найденное выражение для функции ϕ1 (θ) в (45), получим поле перемещений в пластической области в первом приближении во внутреннем слое. С использованием вторых соотношений (1) (6), (8), (13), (14), (28) и (45) определяются компоненты деформации εθzII p(1) и εθzII . p(1) Определим функции перемещения wI в первом приближении во внешнем слое. Из соотношений ассоциированного закона пластического течения (9), (10) получим 302 Применение метода возмущений при определении напряженно-деформированного состояния . . . p dεpθzI τρzI (A1 cos2 θ + B1 sin2 θ)+ p + τθzI B 1 - A1 sin 2θ - A1 k1 cos θ - B1 k2 sin θ = 2 p = dεpρzI τθzI (A1 cos2 θ + B1 sin2 θ)+ B 1 - A1 sin 2θ + A1 k1 sin θ - B1 k2 cos θ . (47) 2 Подставляя в (47) разложения (20), (21), с учетом нулевого приближения (23) ассоциированный закон в первом приближении запишется в виде p + τρzI p(1) p(0) p(1) dερzI = dεθzI τρzI + K1 (1) (1) (1) (1) (b - a1 ) sin 2θ - k1 cos θ - k2 sin θ , 2 1 (48) где, аналогично (41), p(0) εθzI = λ(0) = Gωρ - 1 . 2G Подставляя в соотношение (48) выражение (30), имеем p(1) dερzI = - β (1) (1) k1 cos θ + k2 sin θ+ ρ K1 (1) β (1) + (a1 - b1 ) sin 2θ + K1 md1 sin mθ dλ(0) . 2 ρ Безразмерный радиус в точке будет изменяться от γ до некоторого значения ρ, соответствующего текущему значению приложенных внешних усилий. Переход от интегрирования по λ(0) к интегрированию по радиусу позволяет получить p(1) ερzI = ωβ γ (1) (1) ln k sin θ + k1 cos θ+ 2 ρ 2 K1 (1) (1) (a - b1 ) sin 2θ + K1 m sin mθ . (49) + 2 1 p(1) Для определения функции перемещения wI в первом приближении во внешнем слое составим следующее уравнение, которое с учетом (14) и (49) примет вид p(1) ∂wII ∂ρ = ωβ ln γ (1) (1) k sin θ + k1 cos θ+ ρ 2 K1 (1) (1) + (a - b1 ) sin 2θ + K1 m sin mθ . (50) 2 1 p(1) Решая уравнение (50), найдем wI p(1) wI (1) с точностью до функции координат ρ и θ: (1) = ωβ k2 sin θ + k1 cos θ+ + K1 (1) (1) (a1 - b1 ) sin 2θ + K1 m sin mθ 2 1 + ln γ ρ + ϕ2 (ρ, θ). (51) ρ 303 К о в а л е в А. В., С в и р и д о в И. Э., Щ е г л о в а Ю. Д. Функция ϕ2 (ρ, θ) определяется из условия непрерывности перемещений на границе стыка (18). В первом приближении это условие с учетом (20), (23) будет иметь вид p(1) wI p(1) ρ=γ = wII ρ=γ . (52) p(1) Подставляя (51) и поле перемещений wII (45) в условие (52), а затем найденное выражение для функции ϕ2 (ρ, θ) в (51), получим поле перемещений во внешнем слое в первом приближении. С использованием второго соотноp(1) шения (14) определим компоненту деформации εθzI . На рис. 2 изображена упругопластическая граница в нулевом приближении ρ0 и в первом приближении ρs = ρ0 + δρ1 при δ = 0.025, k1 = k3 = 0.5, k2 = k4 = 0.6, a1 = a2 = 0.3, b1 = b2 = 0.4, m = 4, Gω = 1, G = 323.67. Выбор значения малого параметра обусловлен соответствием полученных результатов их физическому смыслу. При данном значении пластическая область не выходит за границы геометрии стержня, а лежит между внутренним контуром и границей раздела слоев, как и было указано в предположении. Рис. 2. Упругопластическая граница в нулевом и первом приближении [Figure 2. The elastic-plastic boundary in the zero and first approximation] Конкурирующие интересы. Мы не имеем конкурирующих интересов. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования. 304
×

### Alexey V Kovalev

Voronezh State University

Email: kav-mail@mail.ru
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of the Dept.; Dept. of Mechanics and Computer Simulation 1, Universitetskaya pl., Voronezh, 394006, Russian Federation

### Ilya E Sviridov

Voronezh State University

Email: synettt@gmail.com
Postgraduate Student; Dept. of Mechanics and Computer Simulation 1, Universitetskaya pl., Voronezh, 394006, Russian Federation

### Yulia D Scheglova

Voronezh State University

Email: scheglova@gmail.com
Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Mechanics and Computer Simulation 1, Universitetskaya pl., Voronezh, 394006, Russian Federation

## References

1. Фоминых С. О. Упругопластическое состояние толстостенной трубы при взаимодействии различных видов пластической анизотропии // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2011. № 1(9). С. 211-226.
2. Задорожний В. Г., Ковалев А. В., Спорыхин А. Н. Об аналитичности решения плоской упругопластической задачи // Изв. РАН. МТТ, 2008. № 1. С. 138-146.
3. Ивлев Д. Д., Миронов Б. Г. О соотношениях трансляционной идеальнопластической анизотропии при кручении // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2010. № 2(8). С. 576-579.
4. Миронов Б. Г., Митрофанова Т. В. О кручении анизотропных цилиндрических стержней // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2011. № 1(9). С. 150-155.
5. Ковалев А. В., Свиридов И. Э., Щеглова Ю. Д. Об определении напряжённого состояния двухслойного анизотропного кругового цилиндра при упругопластическом кручении / XI Всероссийский Съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: Сборник докладов (20-24 августа 2015 г.). Казань, 2015. С. 3379-3381.
6. Ковалев А. В., Щеглова Ю. Д., Свиридов И. Э. Упругопластическое состояние толстостенного стержня некругового поперечного сечения при кручении в случае анизотропии общего вида // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2016. № 4(30). С. 42-54.
7. Ивлев Д. Д., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978. 208 с.
8. Спорыхин А. Н., Ковалев А. В., Щеглова Ю. Д. Неодномерные задачи упруговязкопластичности с неизвестной границей. Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 2004. 219 с.
9. Hill R. The Mathematical theory of plasticity / Oxford Classic Texts in the Physical Sciences. Oxford: Oxford University Press, 1998. ix+355 pp.
10. Ивлев Д. Д., Максимова Л. А. О соотношениях теории трансляционной идеальнопластической анизотропии при обобщении условия пластичности Мизеса // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2010. № 2(8). С. 583-584.
11. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.
12. Фоминых С. О. Определение упругопластического состояния в толстостенной трубе при условии идеальнопластической анизотропии // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2013. № 2(16). С. 150-153.
13. Ковалев А. В., Свиридов И. Э., Щеглова Ю. Д. Об определении перемещений в задаче упругопластического кручения кругового цилиндра в случае трансляционной анизотропии / Механика предельного состояния и смежные вопросы: Материалы всероссийской научной школы-конференции, посвященной 85-летию профессора Д. Д. Ивлева. Чебоксары, 2015. С. 113-117.

## Statistics

### Views

Abstract: 54

PDF (Russian): 24

### Refbacks

• There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University