Refined model of elastic-plastic behavior of longitudinally reinforced curved wall-beam under dynamic loading

Abstract


An initial-boundary value problem is formulated to describe the dynamic behavior of flexible longitudinally reinforced wall-beams of the lesser curvature. Mechanical behavior of materials of composition of the beams is described by the equations of the theory of plasticity with isotropic hardening. The geometric nonlinearity of the problem is considered in the Karman approximation. The obtained equations and correlations allow with different degree of accuracy to determine the stress-strain state of the considered beams taking into account of their weakened resistance to the transverse shears. From the received relationships in the first approximation the equations, corresponding to the second variant of Timoshenko theory, are obtained. For the numerical integration of the problems the method of steps in time with the involvement of the central differences to approximate derivatives with respect to time, is used. The longitudinally reinforced straight and slightly curved beams-walls of relatively low height are considered. The dynamic response is investigated for the considered constructions depending on the action surface (concave or convex) of external pressure caused by the arrival of the air blast wave. It is found that at the time intervals exceeding a few tenths of fractions of a second, elastic-plastic behavior of flexible reinforced straight and curved wall-beams, determined according to the second variant of the Timoshenko theory, is significantly different from the inelastic dynamic response calculated according to the refined theory.

Full Text

Введение. Армированные элементы конструкций находят все более ши- рокое применение в изделиях аэрокосмического назначения, в судо- и ма- шиностроении [1-4 и др.]. При этом тонкостенные композитные конструк- ции типа пластин и оболочек зачастую подкрепляются силовым набором из прямолинейных или искривленных стержневых элементов [5-7 и др.]. По- вреждаемость этих силовых элементов в значительной степени определяет возможность дальнейшего использования содержащих их конструкций, по- этому актуальной является проблема адекватного описания механического поведения композитных балок и стержней [7-10 и др.], в том числе и при динамическом их нагружении [7, 11-13 и др.]. Многие современные композитные изделия подвергаются высокоинтен- сивному нагружению, при котором материалы компонентов композиции ве- дут себя неупруго [7, 11, 13, 14 и др.]. В силу этого особый интерес вызывают вопросы, связанные с моделированием упругопластического поведения пря- молинейных и искривленных композитных балок. На сегодняшний день эта проблема, по сути, находится на стадии становления. Например, в работах [7, 8, 15 и др.] изучалось динамическое и статическое неупругое поведение композитных балок, однако исследования проводились на базе гипотез клас- сической теории, т. е. не учитывался поперечный сдвиг при изгибе. В случае слоистых упругопластический балок ослабленное их сопротивление попереч- ному сдвигу учитывалось в рамках первого варианта теории Тимошенко или на основе гипотезы ломаной линии [11, 12 и др.]. В работах [13,16] было пока- зано, что и в случае продольно-армированных балок-стенок при их неупругом деформировании необходимо учитывать ослабленное сопротивление попереч- ному сдвигу как при квазистатическом, так и при динамическом их нагруже- нии. При этом исследования проводились на базе гипотез первого и второго вариантов теории Тимошенко. Однако в [14] было продемонстрировано, что по крайней мере в рамках деформационной теории пластичности при стати- ческом нагружении второй вариант теории Тимошенко (который с математи- ческой точки зрения является более точным, чем первый вариант [13]) не га- рантирует получения адекватных результатов расчетов неупругого изгибного поведения продольно-армированных балок-стенок и требуется использование уточненных теорий изгиба. Вопрос об адекватном описании динамического деформирования таких балок в рамках второго варианта теории Тимошенко, когда механическое поведение материалов фаз композиции описывается со- отношениями теории упругопластического течения, остается открытым, т. е. открытым остается вопрос: требуют ли уточнения решения, полученные в [13] на базе гипотез второго варианта теории Тимошенко? В связи с этим настоящее исследование посвящено построению уточненной (по сравнению со вторым вариантом теории Тимошенко) модели дина- мического деформирования гибких изогнутых балок-стенок, армированных в продольном направлении, упругопластическое поведение материалов фаз композиции которых описывается соотношениями теории течения с изотроп- ным упрочнением. Моделирование осуществляется на основе метода шагов по времени с привлечением численной схемы типа <крест». « « Постановка задачи. Рассматриваются прямолинейные (рис. 1, a) или искривленные в своей плоскости (рис. 1, b) продольно-армированные бал- ки-стенки длиной L, имеющие прямоугольные поперечные сечения высотой 2h = const и толщиной B = const, причем max(2h, B) L R, где R - радиус кривизны срединного слоя изогнутой балки-стенки (на рис. 1, b не изображен), т. е. такие балки обладают малой кривизной. a b Рис. 1. Продольно-армированные прямолинейная (a) и искривленная (b) балки-стенки [Figure 1. Longitudinally reinforced rectilinear (a) and curved (b) wall-beams] | | С балкой связана ортогональная система координат xi такая, что цилин- дрическая поверхность x1x2 (x3 = 0) является срединной ( x3 � h), а направ- ление Ox1 - продольное. В силу малой искривленности балки-стенки стрела подъема f (см. рис. 1, b) не должна превышать 1/5 ее длины L [17], при этом метрику в плоскости Ox1x3 приближенно можно отождествить с метрикой в декартовой прямоугольной системе координат (см. рис. 1, a). Гибридная композитная балка продольно усилена N семействами волокон с плотностями армирования ωs, причем структура армирования квазиодно- родна (ωs = const, 1 � s � N ). Внешние нагрузки предполагаются заданными в плоскости Ox1x3 (рис. 1) и не зависящими от переменной x2, поэтому и ре- шение исследуемой задачи предполагается не зависящим от координаты x2, перпендикулярной плоскости рис. 1. В силу продольного армирования рассматриваемых балок-стенок для адек- ватного описания их изгибного поведения необходимо учитывать ослабленное сопротивление поперечному сдвигу [5, 6, 13, 14, 16 и др.]. С этой целью сред- нюю сдвиговую деформацию композиции ε13 аппроксимируем так [14]: 2 2 K 13 2h 13 1 2h 13 1 h2 3 13 1 (1) o (t, x) = x3 + h ε(+)(t, x ) - x3 - h ε(-)(t, x ) + h - x3 xkε(k)(t, x ), k=0 0 � x1 � L, |x3| � h, t ?: t0, x = {x1, x3}, где ε(±), ε(k) - функции продольной координаты x1 и времени t, причем ε(±) - 13 13 13 деформация поперечного сдвига на верхней и нижней (x3 = ±h) поверхностях балки-стенки, при ε(±) = 0 функция ε(0) определяет деформацию поперечно- 13 13 го сдвига в срединном слое (x3 = 0); K - целое число, которое определя- ет количество слагаемых, удерживаемых в частичной сумме; t0 - начальный момент времени. При задании K = 0 получаются соотношения, вытекающие из второго варианта теории Тимошенко [13, 16]. Согласно традиционной для балок кинематической гипотезе, изменяемо- стью перемещения u3(t, x) в направлении Ox3 пренебрегаем [11-16 и др.]: u3(t, x) = w(t, x1), 0 � x1 � L, |x3| � h, t ?: t0, (2) где w - прогиб точек отсчетной поверхности x3 = 0. Для слегка искривленных балок-стенок основные кинематические и дина- мические соотношения можно получить из соответствующих уравнений для пологих оболочек, поэтому на основании дифференциальных связей между деформациями и перемещениями (см. стр. 78 в [18]) с учетом равенств (1) и (2) в приближении Кармана получим K ( u1(t, x) = u(t, x1) - x3∂1w+ + 2 xk+1 h2 2 3 x 3 - (k) 13 x3 ( x3 + h (+) 13 h2 k=0 k + 1 k + 3 h 2 ε + o - - x3 ( x3 - h ε(-), 0 � x � L, |x | � h, t ?: t ; (3) h 2 13 1 3 0 1 K ( ε11(t, x) = ∂1u - x3∂2w+ + 2 xk+1 h2 2 3 x 3 - ∂1ε(k) + x3 ( x3 + h ∂1ε(+)- h2 13 13 k=0 k + 1 k + 3 h 2 h 2 1 13 R + 2 (∂1w) , 1 3 0 - x3 ( x3 - h ∂ ε(-) + w 1 2 0 � x � L, |x | � h, t ?: t , (4) где u1 - перемещение точек в продольном направлении; u - то же для то- чек срединного слоя x3 = 0; ∂1 - оператор частного дифференцирования по продольной координате x1. ≡ Не выписанные в (1) и (4) осредненные деформации композиции εij либо тождественно равны нулю (ε12 = ε23 0), либо однозначно определяются в процессе решения задачи, как это сделано в [13] при K = 0. 13 13 Таким образом, в соотношениях (1)- (4) неизвестны функции u, w, ε(±), ε(k) (0 � k � K), зависящие только от продольной координаты x1 и времени t. ≡ ≈ Как и в [13], предполагается, что материалы компонентов композиции од- нородны и изотропны, а их механическое поведение описывается определяю- щими уравнениями теории пластического течения с изотропным упрочнением (см. соотношения (1.6)-(1.9) в [13]). Используем равенство σ22 0, которое справедливо для рассматриваемых балок-стенок (см. рис. 1), и традицион- ную для тонкостенных элементов конструкций силовую гипотезу σ33 0 [5-7, 11-16, 18 и др.], после чего, повторяя рассуждения из [13] (см. там ра- венства (1.10)-(1.29)), получим следующие определяющие соотношения для продольно-армированного материала исследуемой балки-стенки: σ˙11 = A11ε˙11 - 2A13ε˙13, σ˙13 = -A13ε˙11 + A33ε˙13, (5) где σij - осредненные напряжения в композиции; точка означает производ- ную по времени t; коэффициенты Aij определяются по структурным фор- мулам (1.30) из [13]. На основании равенств (5) можно вычислить скорости всех силовых факторов, возникающих в балке-стенке (для разрабатываемой далее численной схемы это делать не обязательно). Средние напряжения σij должны удовлетворять уравнениям динамиче- ского равновесия элемента балки-стенки, которые в рассматриваемом здесь приближении (см. (2)) имеют вид (см. стр. 79 в [18]): ρu¨1(t, x) = ∂1(σ11 - σ13∂1w) + R-1σ13 + X1(t, x); (6) ρu¨3(t, x) = ∂1(σ13 + σ11∂1w) + ∂3σ33 - R-1σ11 + X3(t, x), 0 � x1 � L, |x3| � h, t ?: t0, (7) где ρ - объемная плотность композиции (см. первое равенство (1.39) в [13]); Xi - компоненты объемной нагрузки, действующей на армированный мате- риал (как и ρ, вычисляются по правилу простой смеси). Для получения уравнений движения балки, записанных через силовые 3 факторы, проинтегрируем равенство (6) по ее высоте с весом Bxl , а уравне- ние (7) - с весом B, тогда, учитывая приближенное равенство (2), получим1 1 11 13 13 33 ρu¨(l) = ∂1(M (l) - M (l)∂1w - lM (l-1) + lM (l-1)∂1w+ 13 13 33 33 + Bhl σ(+) - (-1)lσ(-) - Bhl σ(+) - (-1)lσ(-) ∂1w+ + R-1M (l) + X(l), 0 � l � K + 1; (8) 13 1 13 11 11 + B(σ(+) - σ(-) + X(0), 0 � x1 � L, t ?: t0, (9) 2hBρw¨ = ∂1(M (0) + M (0)∂1w - R-1M (0)+ где (l) 33 33 3 r h l Xi (t, x1) = B Xi(t, x)x3dx3, -h i3 r σ(±)(t, x1) = σi3(t, x1, ±h), ij M (l)(t, x1) = B h 3 σij(t, x)xl dx3, r -h (10) 1 u(l)(t, x1) = B h 3 u1(t, x)xl dx3, i = 1, 3. -h 11 11 Замечание 1. На основании третьих соотношений (10) получаем следую- щее: M (0) ≡ F11, M (1) ≡ M11 - продольная сила и изгибающий механический 13 момент в балке-стенке; M (0) ≡ F13 - поперечная сила; остальные силовые факторы - математические моменты высших порядков. 1При выводе уравнений (8) использовали формулу интегрирования по частям. i3 Согласно второму равенству (10), напряжения σ(±) известны из силовых граничных условий, которые задаются на верхней и нижней поверхностях балки-стенки: x3 = ±h. (Например, на рис. 1, а изображен случай, когда σ(±) > 0, σ(±) < 0). Так как высота балки предполагается много меньше ее 13 33 « длины (2h L) и в силу того что исследуется ее динамическое поведение как гибкой тонкостенной механической системы (явления типа ударных волн не рассматриваются [13]), напряжение σ33(t, x) в уравнении (7) с приемлемой для инженерных приложений точностью можно аппроксимировать линейно по переменной x3: σ(+)(t, x1) - σ(-)(t, x1) σ(+)(t, x1) + σ(-)(t, x1) σ33(t, x) = 33 33 2h x3 + 33 33 , 2 (11) 0 � x1 � L, |x3| � h, t ?: t0. Используя третье соотношение (10) (при i = j = 3) и выражение (11), вычислим в уравнениях (8) сомножитель 33 lM (l-1)(t, x1) = Bl h r 3 σ33(t, x)xl-1dx3 = -h = Bhl ( 2 (+) (-) l σ33 + σ33 (1 - (-1) )+ l + 1 33 33 + l (σ(+) - σ(-) (1 + (-1)l) , 0 � l � K + 1. (12) К уравнениям движения (8), (9) нужно присоединить два силовых граничных условия на верхней и нижней поверхностях балки-стенки (см. (1), (4), (5) и (10)): A(±)(t, x1)ε˙(±)(t, x1) - A(±)(t, x1)ε˙11(t, x1, ±h) = σ˙ (±)(t, x1), 33 13 13 13 0 � x1 � L, t ?: t0, (13) i3 ( ≡ ± где A(±)(t, x1) Ai3 t, x1, h , i = 1, 3. Правые части в (13) известны в дан- ный момент времени. 13 В случае K = 0, R-1 = 0, σ(±) = 0 и Xi = 0 уравнения (8) и (9) с учетом (10), (12) при соответствующих переобозначениях (см. замечание 1) совпадают с уравнениями движения (1.36), (1.41) и (1.43) из [13]. Для однозначного интегрирования рассматриваемой начально-краевой за- дачи необходимо задать начальные и граничные условия. Если к торцевой поверхности балки-стенки с координатой x1 = x∗1 = const приложены поверхностные нагрузки p1 и p3, то в рамках принятого здесь приближения (см. (2)) имеют место следующие силовые граничные условия: n1(x∗1)(σ11 - σ13∂1w) = p1(t, x∗1, x3), (14) n1(x∗1)(σ13 + σ11∂1w) = p3(t, x∗1, x3); (15) x∗1 = 0 и/или x∗1 = L, |x3| � h, t ?: t0, 1 +1, x∗1 = L. где n1 (x∗) = (-1, x∗1 = 0, (16) Если же в точках торцевой поверхности x1 = x∗1 заданы кинематические граничные условия, то (см. (2) и (3)) w(t, x∗1) = u∗3(t, x∗1), (17) u1(t, x∗1, x3) = u∗1(t, x∗1, x3); (18) x∗1 = 0 и/или x∗1 = L, |x3| � h, t ?: t0, ∗ ∗ ∗ где u 3 - заданный в сечении x1 = x∗1 прогиб; u 1 - заданное на торцевой поверхности x1 = x1 продольное перемещение. В момент времени t = t0 необходимо задать начальные условия (см. (2), (3)): w(t0, x1) = u03(x1), w˙ (t0, x1) = v03(x1), 0 � x1 � L; (19) u1(t0, x) = u01(x), u˙1(t0, x) = v01(x), 0 � x1 � L, |x3| � h, (20) где u01, u03 и v01, v03 - известные в начальный момент времени t0 перемеще- ния и скорости точек балки. 3 Для получения силовых граничных условий в силовых факторах (см. (8)- (10)) проинтегрируем (15) по высоте балки-стенки с весом B, а равенство (14) проинтегрируем по x3 с весами Bxl , тогда с учетом (16) будем иметь 1 1 11 13 1 x1=x∗1 n (x∗)(M (l) - M (l)∂ w 1 1 1 1 1 13 11 1 = P (l)(t, x∗) (0 < l � K + 1), 3 1 n (x∗)(M (0) + M (0)∂ w 1 = P (0)(t, x∗), (21) x1=x∗1 где x∗1 = 0 и/или x∗1 = L, t ?: t0, (l) ∗ r h ∗ l Pi (t, x1) ≡ B pi(t, x1, x3)x3dx3, j = 1, 3; (22) -h P (l), P (0) - заданные в сечении x1 = x∗ силовые факторы, причем (см. за- 1 3 1 мечание 1) P (0) и P (0) - заданные продольная и поперечная силы, а P (1) - 1 3 1 заданный изгибающий момент (см. (22)), остальные же величины в правых частях (21) (при 2 � l � K + 1) - заданные математические моменты высших порядков. Так как разложения (3) являются конечными суммами по степеням пе- ременной x3, кинематические граничные условия (18) и начальные условия ∗ (20) в общем случае не удается удовлетворить в каждой точке x балки-стенки (см. (20)) или ее торцевой поверхности x1 = x∗1 (см. (18)) при произвольных зависимостях функций u 1, u01 и v01 от переменной x3. Поэтому кинематиче- ские граничные условия (18) и начальные условия (20) по аналогии с сило- выми граничными условиями (см. (14), (15), (21) и (22)) будем удовлетворять лишь в интегральном смысле, т. е. равенства (18) и (20) проинтегрируем по 3 высоте балки-стенки с весами Bxl , после чего, учитывая последнее соотношение (10), получим u(l)(t, x∗) = u(l)(t, x∗), 0 � l � K + 1, 1 1 ∗1 1 (23) x∗1 = 0 и/или x∗1 = L, t ?: t0; u(l)(t0, x1) = u(l)(x1), u˙(l)(t0, x1) = v(l)(x1), 1 01 1 01 (24) 0 � l � K + 1, 0 � x1 � L, где (l) ∗ r h ∗ l (l) r h l r u∗1 (t, x1) ≡ B u∗1(t, x1, x3)x3dx3, u01 (x1) ≡ B -h u01(x)x3dx3, -h (25) 01 v(l)(x1) ≡ B h 3 v01(x)xl dx3, 0 � l � K + 1, 0 � x1 � L; -h u(l) и u(l), v(l) - известные функции времени t или переменной x1. ∗1 01 01 ∈ Таким образом, для однозначного интегрирования рассматриваемой на- чально-краевой задачи в каждой точке x1 [0, L] в момент времени t0 необхо- димо задать начальные условия (19), (24) с учетом обозначений (25), а в кон- цевых сечениях (x1 = x∗1 = 0, L) - силовые граничные условия (21) или ки- нематические граничные условия (17), (23) с учетом соотношений (16), (22) и (25). Возможно использование и смешанных из (17), (21), (23) граничных условий, например при свободном (шарнирном) опирании концевого сечения балки. Замечание 2. На рис. 1 изображен случай жесткого закрепления точек обеих торцевых поверхностей x∗1 = 0, L, т. е. имеют место кинематические граничные условия (17), (23) при учете (25) и u∗1 ≡ 0, u∗3 ≡ 0. 3 Проинтегрируем выражение (3) по высоте балки-стенки с весами Bxl (0 � l � K + 1), тогда с учетом последнего равенства (10) получим матричное соотношение Cε = U + W∂1w - E(+)ε(+) + E(-)ε(-), (26) где 13 13 1 1 1 1 1 (27) U = u(0), u(1), u(2), . . . , u(K), u(K+1)1Т, 13 13 13 13 ε = u, ε(0), ε(1), . . . , ε(K-1), ε(K)1Т; i × { } { } C = (cij) - (K + 2) (K + 2)-матрица, W = wi , E(±) = e(±) - (K + 2)компонентные вектор-столбцы, элементы которых вычисляются так: cl+1,1 = hl+1 B 1 + ( 1)l , w l + 1 l+1 = hl+2 B (1 - (-1)l , ( - l + 2 c =2Bhl+k+2(1-(-1)l+k 1 - 1 , el+1 = Bh 2(l + 3) ± , 0 � l � K + 1, 0 � k � K; l+1,k+2 (±) l+2 1 + (-1)l (k + 1)(l + k + 2) 1 - (-1)l l + 2 (k + 3)(l + k + 4) (28) символ Т означает операцию транспонирования. Согласно (28), элементы матрицы C и вектор-столбцов W, E(±) достаточ- но вычислить один раз, поэтому уравнение (26) удобно преобразовать к виду ε = C-1U + W¯ ∂1w - E¯ (+)ε(+) + E¯ (-)ε(-), 0 � x1 � L, (29) где 13 13 W¯ = C-1W, E¯ (±) = C-1E(±); (30) C-1 - матрица, обратная C. Если в данный момент времени t из каких-то соображений известны зна- чения функций w, ε(±), u(l) (0 � l � K +1), то на основе матричного равенства 13 1 (29) с учетом соотношений (27), (28), (30) можно определить значения функ- 13 ций u, ε(k) (0 � k � K), задающих продольное перемещение (3) и осредненные деформации композиции (1), (4) в балке-стенке. Часто динамические нагрузки, в частности взрывного типа [19-21 и др.], таковы, что на тонкостенную конструкцию действуют в основном только рас- пределенные поверхностные нормальные нагрузки типа избыточного давле- 33 ния (например, σ(±) на рис. 1), а касательными поверхностными нагрузками при этом можно пренебречь (см. рис. 1) 13 σ(±)(t, x1) = σ13(t, x1, ±h) ≈ 0, 0 � x1 � L, t ?: t0. (31) В работе [13] показано (см. там соотношения (1.31)-(1.35)), что при выполне- нии равенств (31) получаем 13 ε(±)(t, x1) = ε13(t, x1, ±h) ≈ 0, 0 � x1 � L, t ?: t0. (32) Таким образом, при задании только нормальных внешних поверхностных на- 13 грузок (см. (31)) осредненные деформации поперечного сдвига ε(±) в равен- ствах (1), (3), (4), (26), (29) известны и тождественно равны нулю.2 Метод расчета. Численное интегрирование рассматриваемой динами- ческой задачи изгиба упругопластической армированной балки-стенки будем строить на основе метода шагов по времени [11-13, 15, 19 и др.], т. е. реше- ние задачи будем разыскивать в дискретные моменты времени tn+1 = tn + τ (n = 0, 1, 2, . . .), где τ = const > 0 - шаг по времени. Предполагаем, что при t = tm уже известны значения следующих функ- ций: m m(l) (l) m(±) (±) w(x1) ≡ w(tm, x1), u1 (x1) ≡ u1 (tm, x1), σj3 (x1) ≡ σj3 (tm, x1), m(±) (±) m m(s) (s) σ˙ 13 (x1) ≡ σ˙13 (tm, x1), σ1j(x) ≡ σ1j(tm, x), σ1j (x) ≡ σ1j (tm, x), (33) m m(±) (±) Xj(x) ≡ Xj(tm, x), ε 13 (x1) ≡ ε13 (tm, x1), j = 1, 3, m = n - 1, n, 0 � l � K + 1, 0 � s � N, 0 � x1 � L, |x3| � h, где σ(s), σ(s) - напряжения в s-том компоненте композиции балки (индекс 11 13 s = 0 соответствует связующему материалу, а s = 1, 2, . . . , N - арматуре s- того семейства). Используя третье равенство в (10), согласно предположению (33), в мо- мент времени tn с учетом (12) можем вычислить все внутренние силовые ij факторы M (l), входящие в правые части уравнений (8), (9) и в силовые гра- ничные условия (21). Все производные по времени t далее будем аппроксимировать центральными разностями [11-13, 22, 23 и др.]. Согласно этому, конечно-разностные аналоги уравнений движения (8) и (9) с учетом обозначений, аналогичных (33), примут следующий вид: 2В этом случае граничные условия (13) выполняются тождественно [13]. w -2w + w 2hρ (n+1 τ 2 n n-1 ( n (0) n (0) n -1 n (0) (n (+) n (-) n (0) = ∂1 M 13 +M 11 ∂1w M 11 +B +X3 , u 1 - 2u1 + u 1 = ∂1 ρ (n+1(l) τ 2 n(l) n-1(l) ( n (l) n (l) n n (l-1) n (l-1) n -R σ33 -σ33 M 13 + Bh σ13 1) σ13 Bh σ33 1) σ33 ∂1w + X1 , + R-1 n (l) l n (+) - (- l n (-) - l n (+) - (- l n (-) n n (l) M 11 - M 13 ∂1w - lM 13 + lM 33 ∂1w+ 0 � l � K + 1, 0 � x1 � L, n = 1, 2, 3, . . . . (34) На основании соотношений (10) и (33) получаем, что правые части в урав- нениях (34) в момент времени tn известны, поэтому, добавляя к ним соответ- ствующие граничные условия (17), (21) и (23), можем вычислить по явной схеме значения неизвестных функций n+1 и n+1(l) (0 � l � K +1) при t = t . w u 1 n+1 Аппроксимируем в (13) производные по времени от деформаций централь- ными разностями, тогда с учетом обозначений, аналогичных (33), получим n (±)n+1(±) n (±)n+1 n (±) n (±)n-1(±) A33 ε 13 - A13 o 11(x1, ±h) = 2τ σ˙ 13 + A33 o 13 - - n (±)n-1 n (±) A13 o 11(x1, ±h) ≡ S13 (x1), 0 � x1 � L, (35) где, согласно (4), (29) и (33) с учетом (27), правые части, обозначенные как (±) n 1 ± 2 S13 , известны в момент времени tn. Подставим в левую часть равенства (35) выражение (4) и учтем соотношение (29), тогда после очевидных преобразо- ваний получим A13 n (±)г (+) K hk (±) (+) ( 1 ∂1 ε 13 - n+1(+) e¯k+2 ∓ h k=0 K e¯1 + - A13 e¯1 + n (±)г (-) (±) (-) ( 1 n+1(-) n (±)n+1(±) k=0 = S n (±) 13 hk e¯k+2 ± h 1 ∓ 2 ∂1 + A13 w¯1 ∓ h + n (±)гf (±) k k=0 n+1 1 ε 13 + A33 ε 13 = n+1 1 2 n+1 13 k 1 f где K+2 + l=1 c¯1,l + K k u 1 h w¯k+2 1 K k=0 ∂2 w + R-1 w + h(±) c¯k+2,l ∂ n+1(l-1) (∂1 w )2+ , 0 � x1 � L, (36) k k + 1 k + 3 h(±) = 2(±h)k+1( 1 - 1 , 0 � k � K; (37) i c¯i,j и w¯i, e¯(±) - компоненты матрицы C-1 и вектор-столбцов W¯ , E¯ (±) соот- ветственно (см. (30)). Так как значения функций n+1, n+1(l) (0 � l � K + 1) предполагаются уже w u 1 известными из уравнений (34), правые части в (36) с учетом (37) известны. При этом два равенства (36) представляют собой замкнутую относительно n+1(+) n+1(-) o 13 и ε 13 систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, для однозначного интегрирования которой необходимо задать по одному краевому условию для каждой функции n+1(+) и n+1(-). Эти краевые o 13 ε 13 ∈ - значения могут быть определены из разных соображений. Например, если в некоторой точке x1 [0, L] при x3 = h или x3 = h выполняются равенства (31), то, как уже отмечалось, из него следует равенство (32), которое может быть использовано в качестве краевого условия для n+1(+) или n+1(-). С друo 13 ε 13 гой стороны, если при t = tn+1 известно, что в некоторой точке x1 ∈ [0, L] при x3 = h или x3 = -h все материалы фаз композиции ведут себя упруго, то, как показано в [13], при этом n+1(±)(x ) = 0 и n+1(±) - удвоенный эффек- A 13 1 A 33 тивный модуль упругости второго рода рассматриваемой композиции. Но тогда имеет место соотношение n+1(±)n+1(±) n+1(±), из которого однозначно A 33 o 13 = 13 определяется требуемое краевое значение n+1(+) или n+1(-), необходимое для интегрирования системы (36), и т. д. 13 13 В случае задания нагрузки взрывного типа, когда выполняются равенства (31), функции n+1(±) однозначно определяются соотношениями (32). o 13 Следует отметить, что в тех случаях, когда необходимо интегрировать краевую задачу для системы (36), не удается построить явной численной схемы. При нагрузках же взрывного типа, когда функции n+1(±) определяются o 13 из равенств (32), можно получить явную схему (как это было сделано в [13] при K = 0, т. е. в рамках второго варианта теории Тимошенко). При исполь- зовании же первого варианта теории Тимошенко или теории, основанной на гипотезе ломаной линии, всегда можно построить явную численную схему [11, 12 и др.], но при этом нельзя удовлетворить граничные условия (13) (см. [13]). Далее предполагаем, что в момент времени t значения функций n+1(±) n+1 o 13 уже известны из (32) или из решения краевой задачи для системы уравнений (36). Используя равенство (29) с учетом выражений (28), (30) и введенных обозначений (27), при уже известных n+1, n+1(±) и n+1(l) (0 � l � K + 1) w ε 13 u 1 можно определить функции n+1, n+1(k) (0 � k � K), после чего на основании u ε 13 формул (1), (4) вычисляются значения осредненных деформаций композиции n+1 и o 11 13 в каждой точке балки-стенки в момент времени tn+1. После этоn+1 го решение рассматриваемой задачи строится так же, как подробно описано в [13] (см. там соотношения (1.48)-(1.52) и пояснения к ним). В силу самой структуры левых частей уравнений (34) для начала расчета по разрабатываемой численной схеме необходимо знание не только функций 0 0 (l) 1 1 (l) w и u1 , известных из начальных условий (19) и (24), но и w, u1 (см. (34) при n = 1). Значения этих функций можно вычислить по формуле Тейлора с учетом начальных данных (19), (24) и уравнений (8), (9) при t = t0 [23]: 1 0 0 τ 2 0 3 w(x1) = w(x1) + τ w˙ (x1) + 2 w¨(x1) + O(τ ) ≈ 0, (38) 1 (l) 0 (l) 0 (l) τ 2 0 (l) 3 u1 (x1) = u1 (x1) + τ u˙1 (x1) + 2 u¨1 (x1) + O(τ ) ≈ 0, 0 � l � K + 1. Приближенные равенства в этих соотношениях выполняются с точностью порядка τ 3, причем нулевые значения получаются в случае начальных усло- вий, соответствующих естественному состоянию балки-стенки, когда в мо- мент времени t0 она покоится (u0i ≡ 0, v0i ≡ 0; см. начальные условия (19) i3 и (20)), а внешние нагрузки отсутствуют (σ(±) ≡ 0, Xi(t0, x) ≡ 0, i = 1, 3; см. равенства (8)-(10)). · Аппроксимируя в соотношениях (34), (36) и (21) производную ∂1( ) по переменной x1 ее конечно-разностным аналогом, получим соответствующую численную схему. Если внешние поверхностные нагрузки являются взрывны- ми, т. е. имеют место равенства (31), то вместо дифференциальных уравнений выполняются соотношения (32). В этом случае после указанной дискре- тизации рассматриваемой задачи по продольной координате x1 получим яв- ную численную схему типа <крест» [11,12] (в случае K = 0 - второй вариант теории Тимошенко - реализация этой схемы подробно описана в [13]). Необходимые условия устойчивости схемы типа <крест» вытекают из усло- вия Куранта-Фридрихса-Леви [22] и для рассматриваемой армированной балки-стенки, согласно [11, 12], определяются соотношениями (1.61)-(1.63) из [13], накладывающими ограничения на шаг по времени τ при заданном шаге ∆x1 дискретизации задачи по продольной переменной x1 и заданной высоте балки 2h. L Обсуждение результатов расчетов. В качестве конкретных при- меров исследуем поведение балок-стенок, изображенных на рис. 1, имеющих длину L = 1 м и высоту 2h = 2 см. Балки могут быть прямолинейными (см. рис. 1, a) или искривленными (см. рис. 1, b), причем их кривизна по- стоянна (R = const). В последнем случае стрела подъема балки f связана с радиусом кривизны ее срединного слоя соотношением ( L/2 +f 2 2 R = 2f , 0 � f � 5 , L « R. (39) ± ≡ Для изогнутых балок-стенок в расчетах примем f = 12 см, т. е., согласно (39), при L = 1 м такие балки действительно обладают малой кривизной [17]. Объемные нагрузки не учитываем, т. е. Xi 0, i = 1, 3 (см. (10)). Ка- сательные нагрузки на верхней и нижней поверхностях (x3 = h) балки- стенки пренебрежимо малы (см. (31)), поэтому имеют место приближенные равенства (32). Конструкция нагружается избыточным давлением, вызван- ( ным приходом взрывной волны [19]: где p(t) = pmaxt/tmax, 0 � t � tmax, pmax exp[-α(t - tmax)], t > tmax, (40) α = - ln(0.01)/(tmin - tmax) > 0, tmin » tmax, (41) - которое прикладывается к верхней (x3 = h) или нижней (x3 = h) поверх- ности балки-стенки (см. (8), (9), (12) и (34)), причем (см. рис. 1) 33 0, pmax < 0, σ(-)(t) = (-p(t), pmax > 0, σ(+)(t) = (0, pmax > 0, (42) | | | | 33 p(t), pmax < 0. Здесь tmax - момент времени, в который давление p(t) достигает по модулю максимального значения pmax ; tmin - момент времени, при котором избыточ- ное давление p(t) по модулю становится пренебрежимо малым в сравнении с pmax (так, формула (41) соответствует случаю p(tmin) = 0.01pmax). Исполь- зуя экспериментальные данные из [19, 21], в расчетах примем tmax = 0.1 мс и tmin = 2 мс. Согласно равенствам (42), при pmax > 0 давление (40) при- кладывается к нижней (вогнутой) поверхности (см. рис. 1), а при pmax < 0 - к верхней (выпуклой) поверхности балки-стенки. Балки изготовлены из эпоксидной смолы, отвержденной ароматическим аммиаком, и продольно армированы одним (N = 1) семейством стекловолок- ном марки S-994 с плотностью армирования ω1 = 0.3. Упругопластическое поведение компонентов композиции при активном нагружении аппроксимируем билинейной диаграммой [24]: σ(n) = n s s n (E ε(n), |ε(n)| � ε(n) = σ(n)/E , s s s s sign(ε(n))σ(n) + E(n)(ε(n) - sign(ε(n))ε(n) , |ε(n)| > ε(n), 0 � n � N, где σ(n), ε(n) - осевое напряжение и деформация при растяжении - сжатии где σ(n), ε(n) - осевое напряжение и деформация при растяжении - сжатии s материала n-ной фазы композиции; En, E(n) - модули Юнга и линейного s s упрочнения того же материала; σ(n), ε(n) - предел текучести и соответствующая ему деформация материала n-ного компонента композиции. Физико- механические характеристики материалов фаз рассматриваемой композиции балок-стенок приведены в таблице, где ν - коэффициент Пуассона, a - ско- рость звука, рассчитанная для каждой фазы композиции по формуле, анало- гичной (1.61) из [13]. Физико-механические характеристики материалов фаз композиции балок-стенок [25, 26] [Physical and mechanical characteristics of materials for beams-walls [25, 26]] Materials ρ, kg/m3 ν σs, MPa E, HPa Es, HPa a, m/s Epoxy Fiberglass S-994 1210 2520 0.4 0.25 20 4500 2.8 86.8 1.114 6.230 1521.2 5868.9 ≡ Концевые сечения балок-стенок жестко закреплены (см. рис. 1 и замеча- ние 2). В начальный момент времени t = t0 = 0 балки находятся в естествен- ном состоянии (см. начальные условия (19), (24) с учетом (25) при u0i 0, ≡ v0i 0, i = 1, 3), внешняя же нагрузка, согласно (40), отсутствует, поэтому имеют место равенства (38). ∈ Расчеты проводились при разбивке интервала x1 [0, L] равномерной сет- кой с шагом ∆x1 = L/100 = 1 см, шаг по времени τ принимался равным 1 мкс. Согласно такой дискретизации, для рассматриваемых балок-стенок получаем ∆x1/τ = 10 км/c и 2h/τ = 20 км/c. Обе эти величины существенно превосхо- дят значения скоростей звука a, приведенные в таблице для материалов ком- понентов композиции, поэтому данные отношения будут значительно превос- ходить скорости звука в продольном и поперечном направлениях композиции балки-стенки. Следовательно, необходимые условия устойчивости используе- мой численной схемы будут заведомо выполнены с запасом (см. (1.61)-(1.63) в [13]). ∗ - На рис. 2-4 приведены зависимости w (t) = w(t, L/2), характеризующие поперечные колебания точек центрального сечения балок (x1 = L/2), рас- считанные по второму варианту теории Тимошенко (см. рис. 2, a, рис. 3, a, рис. 4, a) и по уточненной теории при K = 7 (см. рис. 2, b, рис. 3, b, рис. 4, b). На рис. 2 изображены осцилляции центрального сечения прямолинейной бал- ки-стенки (f = 0, см. (39)) при Bpmax = 4 МН/м, а на рис. 3 и 4 - изогнутой балки (f = 12 см) при Bpmax = 5 МН/м (рис. 3) и Bpmax = 5 МН/м (рис. 4). Так как в расчетах принято tmin = 2 мс (см. (41)), при t > 2 мс колебания исследуемых балок-стенок можно рассматривать как свободные. Рис. 2. Осцилляции центрального поперечного сечения прямолинейной балки-стенки, на- груженной давлением снизу: a - расчет по второму варианту теории Тимошенко; b - рас- чет по уточненной теории [Figure 2. Oscillations of the central cross-section of a rectilinear beam-wall (f = 0, see Eq. (39)) loaded with pressure from below (Bpmax = 4 MN/m): a-calculation by the second Рис. 3. Осцилляции центрального поперечного сечения искривленной балки-стенки, нагру- женной давлением снизу: a - расчет по второму варианту теории Тимошенко; b - расчет по уточненной теории [Figure 3. Oscillations of the central cross-section of a curved beam-wall (f = 12 sm, see Eq. (39)) loaded with pressure from below (Bpmax = 5 MN/m): a-calculation by the second version of the Timoshenko’s theory; b-calculation by the refined theory] Рис. 4. Осцилляции центрального поперечного сечения искривленной балки-стенки, нагру- женной давлением сверху: a - расчет по второму варианту теории Тимошенко; b - расчет по уточненной теории [Figure 4. Oscillations of the central cross-section of a curved beam-wall (f = 12 sm, see Eq. (39)) loaded with pressure from below (Bpmax = -5 MN/m): a-calculation by the second Сравнение кривых, приведенных на рис. 2-4, показывает, что второй ва- риант теории Тимошенко (K = 0; см. (1), (3), (4)) обеспечивает приемлемую точность расчетов лишь в малой окрестности начального момента времени: до значений времени t порядка нескольких десятков микросекунд для изо- гнутых балок (см. рис. 3, 4) и до нескольких сотен микросекунд в случае прямолинейной балки (см. рис. 2). При больших временах (порядка десятых долей секунды) точность второго варианта теории Тимошенко становится неприемлемой даже для относительно невысоких композитных балок-стенок (2h/L = 1/50). Расчеты, проведенные при K ?: 8, показали, что в рассматриваемых слу- чаях используемая численная схема (см. раздел 2) неустойчива. По-видимому, это объясняется тем, что для относительно невысоких балок-стенок матрица C в соотношении (26) (см. (28)) при K ?: 8 становится плохо обу- словленной (даже при использовании двойной точности), поэтому обращение матрицы C (см. равенства (29), (30)) порождает значительные ошибки, по- следнее же обстоятельство негативно сказывается на устойчивости построен- ной численной схемы. ∗ - ∗ - ∗ Согласно (42), на рис. 2 изображены зависимости w (t) для прямоли- нейной балки-стенки, когда избыточное давление (40) прикладывается снизу (x3 = h). В этом случае изменение знака нагрузки, т. е. приложение давле- ния p(t) к верхней поверхности балки-стенки (x3 = h), приведет к тому, что кривые на рис. 2 зеркально отразятся относительно оси абсцисс w = 0. По- этому соответствующие кривые w (t) при Bpmax = 4 МН/м не изображены. Сравнение же кривых на рис. 3, a, рис. 4, a и рис. 3, b, рис. 4, b показывает, что в отличие от прямолинейных балок динамический отклик искривленных гибких балок-стенок существенно зависит от того, к какой поверхности (выпуклой или вогнутой) прикладывается избыточное давление. ∗ Поведение кривой на рис. 3, б свидетельствует о том, что при t > 60 мc происходит резкое уменьшение амплитуды колебаний изогнутой балки-стен- ки. Это объясняется механической диссипацией энергии, вызванной вторич- ной знакопеременной пластичностью, активно развивающейся с течением вре- мени в материале связующей матрицы (подобный, хотя и не столь яркий, ре- зультат ранее был получен и в [15]). Аналогичное поведение характерно и для кривой, изображенной на рис. 4, a. Однако эта зависимость была рассчитана по второму варианту теории Тимошенко (K = 0) и при t > 20 мс сильно отличается от кривой, приведенной на рис. 4, b, построенной по уточненной теории (K = 7). Поэтому зависимость w (t) на рис. 4, a нельзя признать качественно верной при t > 20 мс. В работе [13] было показано, что для построенной там (и используемой в настоящем исследовании) структурной модели в данный дискретный мо- мент времени tn в каждой точке балки-стенки (независимо от соседних то- чек) необходимо организовать итерационный процесс, аналогичный итераци- онной процедуре посадки напряженного состояния на поверхность текучести [11, 12 и др.]. Проведенные расчеты продемонстрировали, что на каждом ша- ге по времени достаточно сделать две итерации. Вторая итерация позволяет уточнить деформации в материалах фаз композиции примерно на 10 %. По- следующие итерации практически не приводят к дальнейшему уточнению решения. Заключение. Ранее в работе [13] было продемонстрировано, что первый вариант теории Тимошенко, основанный на гипотезе независимой ротации плоского поперечного сечения, непригоден для адекватного расчета упругопластического поведения относительно высоких продольно-армированных гибких балок-стенок, и там было рекомендовано использовать второй вариант теории Тимошенко, учитывающий депланацию поперечных сечений балок, а значит, являющийся более точным с точки зрения математического модели- рования. Расчеты же, проведенные в настоящем исследовании, показали, что при изучении динамического поведения продольно-армированных прямоли- нейных и искривленных балок-стенок, деформируемых упругопластически, использование второго варианта теории Тимошенко на интервалах времени, превышающих несколько десятых долей секунды, может приводить к суще- ственному отличию от решения, полученному на базе уточненной теории, даже для относительно невысоких балок. Наиболее ярко различие решений сказывается при расчете деформированного состояния в фазах композиции таких конструкций. Нелинейность рассматриваемых задач приводит к тому, что динамиче- ский отклик гибких искривленных композитных балок-стенок зависит от то- го, к какой внешней поверхности (вогнутой или выпуклой) прикладывается распределенная нагрузка взрывного типа. При этом изменяется не только амплитуда, но и частота свободных колебаний балки при снятии внешней нагрузки. Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование не имело финансирования.

About the authors

Andrei P Yankovskii

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: lab4nemir@rambler.ru
4/1, Institutskaya st., Novosibirsk, 630090, Russian Federation
Dr. Phys. & Math. Sci.; Leading Research Scientist; Lab. of Fast Processes Physics

References

  1. Bannister M. Challenges for composites into the next millennium - a reinforcement perspective // Composites Part A: Applied Science and Manufacturing, 2001. vol. 32, no. 7. pp. 901-910. doi: 10.1016/S1359-835X(01)00008-2.
  2. Pajapakse Y. D. S., Hui D. Marine Composites: Foreword // Composites Part B: Engineering, 2004. vol. 35, no. 6-8. pp. 447-450. doi: 10.1016/j.compositesb.2004.05.001.
  3. Mouritz A. P., Gellert E., Burchill P., Challis K. Review of advanced composite structures for naval ships and submarines // Composite Structures, 2001. vol. 53, no. 1. pp. 21-42. doi: 10. 1016/s0263-8223(00)00175-6.
  4. Полимерные композиционные материалы: структура, свойства, технология / ред. А. А. Берлин. СПб.: Профессия, 2009. 560 с.
  5. Карпов В. В. Модели и алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения. Часть 1 / Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения. В 2-х ч. М.: Физматлит, 2010. 288 с.
  6. Баженов В. А., Кривенко О. П., Соловей Н. А. Нелинейное деформирование и устойчивость упругих оболочек неоднородной структуры: Модели, методы, алгоритмы, малоизученные и новые задачи. М.: Книжный дом "Либроком", 2012. 336 с.
  7. Немировский Ю. В., Мищенко А. В., Вохмянин И. Т. Рациональное и оптимальное проектирование слоистых стержневых систем. Новосибирск: НГАСУ, 2004. 488 с.
  8. Roohollah Mousavi S., Reza Esfahani M. Effective moment of inertia prediction of FRP-reinforced concrete beams based on experimental results // Journal of Composites for Construction, 2012. vol. 16, no. 5. pp. 490-498. doi: 10.1061/(asce)cc.1943-5614.0000284.
  9. Pavłovski D., Szumigaia M. Theoretical and Numerical Study of the Flexural Behaviour of BFRP RC Beams // Engineering Transactions, 2016. vol. 64, no. 2. pp. 213-223.
  10. Hong S. Effects of the Amount and Shape of Carbon Fiber-Reinforced Polymer Strengthening Elements on the Ductile Behavior of Reinforced Concrete Beams // Mechanics of Composite Materials, 2014. vol. 50, no. 4. pp. 427-436. doi: 10.1007/s11029-014-9429-8.
  11. Абросимов Н. А., Елесин А. В. Обоснование применимости макронеоднородных моделей в задачах динамики многослойных композитных балок / Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. Горький: Горьк. ун-т, 1987. С. 69-74.
  12. Абросимов Н. А., Баженов В. Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций. Н. Новгород: ННГУ, 2002. 400 с.
  13. Янковский А. П. Моделирование упругопластической динамики продольно-армированных балок-стенок на основе явного по времени метода центральных разностей // Прикладная математика и механика, 2017. Т. 81, № 1. С. 54-77.
  14. Романова Т. П., Янковский А. П. Сравнительный анализ моделей изгибного деформирования армированных балок-стенок из нелинейно-упругих материалов // Проблемы прочности и пластичности, 2014. Т. 76, № 4. С. 297-309.
  15. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Интегрирование задачи динамического упругопластического изгиба армированных стержней переменного поперечного сечения обобщенными методами Рунге-Кутты // Вычислительные технологии, 2004. Т. 9, № 4. С. 77-95.
  16. Янковский А. П. Исследование упругопластического деформирования армированных балок-стенок с учетом ослабленного сопротивления поперечному сдвигу // Проблемы прочности и пластичности, 2012. Т. 74. С. 92-103.
  17. Зубчанинов В. Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. школа, 1990. 368 с.
  18. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.
  19. Houlston R., DesRochers C. G. Nonlinear structural response of ship panels subjected to air blast loading // Computers & Structures, 1987. vol. 26, no. 1-2. pp. 1-15. doi: 10.1016/ 0045-7949(87)90232-x.
  20. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия: Справочник проектировщика / ред. Б. Г. Коренев, И. М. Рабинович. М.: Стройиздат, 1981. 215 с.
  21. Librescu L., Oh S.-Y., Hohe J. Linear and non-linear dynamic response of sandwich panels to blast loading // Composites Part B: Engineering, 2004. vol. 35, no. 6-8. pp. 673-683. doi: 10.1016/j.compositesb.2003.07.003.
  22. Richtmyer R. D., Morton K. W. Difference methods for initial-value problems. New York: Interscience Publ., 1967. xiv+405 pp.
  23. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.
  24. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1968. 400 с.
  25. Композиционные материалы: Справочник / ред. Д. М. Карпинос. Киев: Наук. думка, 1985. 592 с.
  26. Lubin G. Handbook of composites. New York: Springer US, 1982. xi+786 pp. doi: 10.1007/978-1-4615-7139-1

Statistics

Views

Abstract - 23

PDF (Russian) - 17

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies