On a nonlocal boundary-value problem with constant coefficients for a multidimensional mixed type equation

Abstract


In this paper the unique solvability and smoothness of generalized solution of a nonlocal boundary value problem with constant coefficients for the multidimensional mixed type equation of the first kind in Sobolev spaces $W_{2}^{l }(Q)$, ($2\le l $ is integer number), have been proved. First, the unique solvability of the generalized solution from space $W_{2}^{2 }(Q)$ has been studied. Further, the uniqueness of the generalized solution of nonlocal boundary value problem with constant coefficients for the multidimensional mixed type equation was proved by a priory estimates. For the proof of the existence of the generalized solution, we used method of `“ε-regularization” together with Galerkin method. Precisely, first, we study regular solvability of the nonlocal boundary value problem for the multidimensional mixed type equation by functional analysis methods, i.e. we obtained necessary a priory estimates for the considered problems. Using these estimates we solve composite type equation, then by the theorem on weak compactness, we pass to the limit and deduce to the multidimensional mixed type equation of the first kind. At the end, smoothness of the generalized solution of the considered problems has been discussed.

Full Text

Введение и постановки задачи. Известно [1], что задача Дирихле для уравнения смешанного типа первого рода некорректна. Естественно возникает вопрос: нельзя ли заменить условия задачи Дирихле другими условиями, которые охватывали бы всю границу и обеспечивали корректность задачи? Впервые такие краевые задачи были предложены и изучены в работах Т. Ш. Кальменова [2, 3]. Как близкие по постановке изучаемых задач отметим также работы [4-7]. Краевые задачи с нелокальными условиями впервые возникли в работе Ф. И. Франкля при изучении газодинамической задачи об обтекании профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения [8]. В настоящей работе изучается корректность одной нелокальной краевой задачи с постоянными коэффициентами для многомерного уравнения смешанного типа первого рода второго порядка. Пусть Q = (0, T ) × ni=1 (αi , βi ) - (n + 1)-мерный параллелепипед Евклидова пространства Rn+1 точек (t, x) = (t, x1 , . . . , xn ); 0 < αi < βi < +∞ ∀i = 2, 3, . . . , n; α1 < 0 < β1 . В области Q рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка n Lu = K(x)utt - i,j=1 ∂ aij (x)uxj + α(x, t)ut + c(x, t)u = f (x, t), ∂xi (1) где x1 K(x) > 0 при x1 = 0, где x1 ∈ (α1 , β1 ), α1 < 0 < β1 . Здесь и всюду ниже предполагается, что все функции вещественнозначные и достаточно гладкие. Уравнение (1) относится к уравнениям смешанного типа первого рода, так как на знак функции K(x) по переменной x1 внутри области Q не налагается никаких ограничений [2, 9]. Предположим, что aij (x) = aji (x), aij (αk ) = aji (βk ) ∀k = 1, 2, . . . , n и ∀ξ ∈ Rn |ξ|2 = ni=1 ξi2 ; кроме этого, пусть выполнено одно из условий: n a) aij (x)ξi ξj a0 |ξ|2 , aij (x)ξi ξj a1 |ξ|2 , i,j=1 где a0 > 0 - const; n б) i,j=1 где a1 < 0 - const. Через W2l (Q) (1 l - натуральное число) обозначим пространство С. Л. Соболева со скалярным произведением ( , )l и нормой · l ; W20 (Q) = L2 (Q) - пространство квадратично-суммируемых функций. Рассматривается следующая Нелокальная краевая задача. Найти обобщенное решение уравнения (1) из пространства С. Л. Соболева W2l (Q), удовлетворяющее нелокальным краевым условиям γDtp u ηi Dxpi u t=0 xi =αi = Dtp u t=T = Dxpi u , xi =βi (2) , где p = 0, 1; γ и ηi - не равные нулю константы, i = 1, 2, . . . , n; Dtp u = Dt0 u = u. 598 (3) ∂pu ∂tp , Об одной нелокальной краевой задаче с постоянными коэффициентами. . . Пусть ν = (νt , νx1 , νx2 , . . . , νxn ) - единичный вектор внутренней нормали к границе ∂Q [10, 11], здесь νxi = cos(ν, xi ) ∀i = 1, 2, . . . , n. νt = cos(ν, t), При получении различных априорных оценок мы будем использовать неравенство Юнга σ p u2p v 2q uv + , 2p 2qσ q справедливое ∀u > 0, v > 0, σ > 0 и p > 1, q > 1 таких, что p1 + 1q = 1. Неравенство Юнга при p = q = 1 переходит в неравенство Коши с σ [11]. Определение. Слабым обобщенным решением задачи (1)-(3) будем называть функцию u(x, t) из W21 (Q), удовлетворяющую следующему интегральному тождеству: 1 (u, ϑ) ≡ exp - λt + 2 Q - n n µi xi K(x)ut ϑt - i=1 µj λ K(x)ut - 2 2 aij uxi ϑxi - i,j=1 n aij uxi + αut + cu ϑ dxdt = i,j=1 1 exp - λt + =- 2 Q n µi xi f ϑdxdt, i=1 где ϑ(x, t) ∈ W21 (Q) - любая периодическая по переменным x = (x1 , x2 , . . . , xn ) и времени t функция; λ, µ = const такие, что µ 0, а λ > 0 для случая a) и λ < 0 для случая б). 1. Единственность решения нелокальной краевой задачи. Сначала рассмотрим случай l = 2. Предположим, что коэффициенты уравнения (1) являются достаточно гладкими функциями. Теорема 1. Пусть выполнены вышеуказанные условия для коэффициентов уравнения (1); кроме этого, пусть 2a + λK(x) δ1 > 0, λc - ct δ2 > 0, где λ = T2 ln |γ| > 0 при |γ| > 1 в случае a) и λ = T2 ln |γ| < 0 при |γ| < 1 в случае б); |ηi | 1, c(x, 0) c(x, T ). Тогда для любой функции f ∈ L2 (Q), если существует обобщенное решение задачи (1)-(3) из пространства W22 (Q), то оно единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть существует обобщенное решение задачи (1)- (3) u ∈ W 22 (Q). В силу условий теоремы 1 и неравенства Коши с σ [11] из задачи (1)-(3) интегрированием легко получить следующее неравенство: n Lu exp -λt - 2 Q µi xi ut dx dt i=1 599 Д ж а м а л о в С. З. n exp -λt - (2a + λK)u2t + λaij uxi uxj + (λc - ct )u2 dx dt- µi xi Q i=1 2 0 - σ ux - µ2 σ -1 ut 20 + n exp -λt - + ∂Q K(x)u2t νt - 2aij uxi ut νxi - µi xi i=1 - aij uxi uxj νt + cu2 νt ds, (4) где 0 µi = θ2i ln |ηi |, 0 < θi = (βi - αi ), σ - коэффициент из неравенства Коши с σ [11]. Условия теоремы 1 обеспечивают неотрицательность интегралов из (4) по области Q и по границе ∂Q. Так как u ∈ W22 (Q) удовлетворяет краевым условиям (2), (3), для последнего интеграла из (4) имеем n exp -λt - ∂Q K(x)u2t νt - 2aij uxi ut νxi - µi xi i=1 - aij uxi uxj νt + cu2 νt ds = = exp(-λT )γ 2 - 1 βi αi exp(-µi xi )K(x)(u2t (x, 0) + u2xi (x, 0))dx+ T + 2 exp(-µi βi )ηi2 - exp(µi αi ) exp(-λt)uxi (-αi , t)ut (-αi , t)dt+ 0 βi + 3 exp(-µi xi ) c(x, T )exp(-λT )γ 2 - c(x, 0) u2 (x, 0)dx = αi Ji , i=1 где Ji - граничные интегралы. Учитывая условия теоремы 1, получим, что граничные интегралы J1 = 0, J2 = 0, а J3 0. Тогда из неравенства (4), отбрасывая положительный граничный интеграл, получим следующее неравенство: n Lu exp -λt - 2 ∂Q µi xi ut dx dt i=1 n exp -λt - Q µi xi 2a + λK(x) u2t + λaτ u2xi + (λc - ct )u2 dxdt- i=1 - σ uxi 2 0 - µ2 σ -1 ut 20 , (5) где aτ = a0 в случае a), aτ = a1 в случае б). Выбирая коэффициенты λaτ - σ λ0 > 0, δ1 - µ2 σ -1 > δ0 > 0, из неравенства (5) получим необходимую первую оценку1 u 1 m f 0, 1 Через m здесь и далее обозначены положительные, вообще говоря, разные постоянные в аналогичных неравенствах. 600 Об одной нелокальной краевой задаче с постоянными коэффициентами. . . из которой следует единственность обобщенного решения задачи (1)-(3) из W22 (Q) [10, 11]. 2. Уравнения третьего порядка. Для доказательства существования решения задачи (1)-(3) из W22 (Q) используем метод «ε-регуляризации» в сочетании с методом Галеркина [4, 5, 9-11]. Рассмотрим нелокальную задачу для уравнения третьего порядка ∂ 3 uε + Luε = f (x, t), ∂t3 = Dtq uε t=T , q = 0, 1, 2, Lε uε ≡ -ε γDtq uε t=0 ηi Dxpi uε x =α i i = Dxpi uε x =β , i i (6) (7) p = 0, 1, (8) q где Dtq u = ∂∂tqu , q = 0, 1, 2; Dt0 u = u; ε - достаточно малое положительное число; ηi , γ - не равные нулю константы, причем |γ| > 1 в случае a), |γ| < 1 в случае б), |ηi | 1. Уравнение третьего порядка (6) будем использовать в качестве ε-регуляризирующего уравнения для уравнения (1) [4, 5, 9, 10]. Всюду ниже через V будем обозначать класс функций uε (x, t) ∈ W22 (Q), ∂ 3 uε ∈ L2 (Q), удовлетворяющих соответствующим условиям (7), (8). ∂t3 Определение. Регулярным решением задачи (6)-(8) будем называть функцию uε (x, t) ∈ V, удовлетворяющую уравнению (6). Теорема 2. Пусть выполнены вышеуказанные условия для коэффициентов уравнения (1), кроме того, пусть 2a + λK(x) λc - ct δ1 > 0, δ2 > 0, где λ = T2 ln |γ| > 0 при |γ| > 1 в случае a) и λ = T2 ln |γ| < 0 при |γ| < 1 в случае б); |ηi | 1, c(x, 0) = c(x, T ), a(x, 0) = a(x, T ). Тогда для любой функции f, ft ∈ L2 (Q), такой, что γf (x, 0) = f (x, T ), существует единственное регулярное решение задачи (6)-(8) и для нее справедливы следующие априорные оценки: ε ε ∂ 3 uε ∂t3 ∂ 2 uε ∂t2 2 0 + uε 2 0 + uε 2 2 2 1 m f m f 2 0 2 0, + ft (9) 2 0 . (10) Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство теоремы 2 осуществляется поэтапно с применением метода Галеркина с выбором специальной базисной функции. Доказательство первой априорной оценки (9) проводится так же, как и доказательство теоремы 1, из которой следуют единственность регулярного решения задачи (6)-(8) и существование слабого решения задачи (1) [11]. Рассмотрим следующие спектральные задачи: -∆x Xj = νj2 Xj (x); Dxpi Xj x =α = Dxpi Xj x =β , p = 0, 1; i i i (11) i 601 Д ж а м а л о в С. З. -Tj (t) = τj2 Tj (t); Dtp Tj t=0 = Dtp Tj t=T , p = 0, 1. (12) Через φj (x, t) = Xj (x)Tj (t) обозначим собственные функции, как решение задачи (11), (12). Из общей теории линейных самосопряженных эллиптических операторов [11,12] известно, что последовательность функций φj (x, t) - собственных функций задачи (11), (12), образует фундаментальную систему в W22 (Q), ортогональную в L2 (Q). C помощью этих функций построим решение вспомогательной задачи exp - 1 λt + 2 n µi x i ωjt = φj , (13) i=1 γωj (x, 0) = ωj (x, T ), (14) где γ - не равная нулю константа такая, что |γ| > 1 в случае a) и |γ| < 1 1. Очевидно, что задача (13), (14) в случае б); 0 µi = θ2i ln |ηi |, |ηi | однозначно разрешима и её решение имеет вид ωj = -1 1 φj ≡ exp 2 n t µi x i λτ φj dτ + 2 exp 0 i=1 + T 1 γ-1 exp 0 λt φj dt . 2 Ясно, что функции ωj = ωj (x, t) ∈ W22 (Q) линейно независимы. Действительно, если для какого-нибудь набора функций ωj линейная комбинация N j=1 cj ωj = 0, то при действии оператором на эту сумму имеем N N cj ωj = j=1 cj φj = 0, j=1 отсюда следует, что для всех j = 1, 2, . . . , N коэффициенты cj = 0. Отметим, что из построения функции φj (x, t) следуют следующие условия на функции ωj (x, t): γDtq ωi t=0 = Dtq ωi ηi Dxpi ωi x =α i i = , q = 0, 1, 2; t=T p Dxi ωi x =β , i i (15) p = 0, 1. (16) Теперь приближенное решение задачи (6)-(8) будем искать в виде w = N uN ε ≡ j=1 cj ωj , где коэффициенты cj для любого j = 1, 2, . . . , N определяются как решение линейной алгебраической системы Lε uN ε Q 1 exp - λt + 2 n µi xi φj dxdt = i=1 1 = f exp - λt + 2 Q 602 n µi xi i=1 φj dxdt. (17) Об одной нелокальной краевой задаче с постоянными коэффициентами. . . Покажем однозначную разрешимость алгебраической системы (17). Умножая каждое уравнение из (17) на коэффициент 2cj и суммируя по индексу j от 1 до N , c учетом задач (13), (14) из (17) получим следующее тождество: 1 Lε w exp - λt + 2 Q n wt dxdt = µi xi i=1 f exp - = Q n 1 λt + 2 wt dxdt. (18) µi xi i=1 В силу условий теоремы 2, интегрируя (18), для приближенного решения задачи (6)-(8) получим первую априорную оценку (9). Отсюда вытекает разрешимость алгебраической системы (17), ибо для нее имеет место теорема единственности решения. В частности, из оценки (9) получим существование слабого обобщенного решения задачи (1)-(3) [10, 11]. Действительно, благодаря неравенству (9) по известной теореме о слабой компактности можно заключить, что из множества функций uN можно извлечь слабо сходящуюся ε N подпоследовательность функций в W21 (Q) такую, что uεjj → u при Nj → 0, εj → 0. На основании этого и в силу единственности решения нетрудно показать, что предельная функция u ∈ W21 (Q) из тождества (17) удовлетворяет интегральному тождеству в смысле распределения: exp - (u, ϑ) = - Q 1 λt + 2 n µi xi f ϑdxdt, i=1 где ϑ(x, t) ∈ W21 (Q) - любая периодическая по переменным x = (x1 , x2 , . . . , xn ) и времени t функция [10, 11]. Перейдем к доказательству второй априорной оценки (10). Дифференцируя уравнение (13) по переменной t два раза и учитывая условие задачи (15), (16), из тождества (17), получим - 1 τj2 Lε w exp - Q 1 λt + 2 =- n µi xi i=1 1 τj2 ∂ 2 ωj dxdt = ∂t2 f exp - 1 λt + 2 Q n µi xi i=1 ∂ 2 ωj dxdt. (19) ∂t2 Умножая каждое уравнение из (19) на 2τj2 cj и суммируя по индексу j от 1 до N, c учетом условий (15), (16) из (19) получим следующее тождество: -2 Lε w exp - Q 1 λt + 2 n µi xi i=1 = -2 ∂2 w dxdt = ∂t2 f exp - Q 1 λt + 2 n µi xi i=1 ∂2 w dxdt, (20) ∂t2 603 Д ж а м а л о в С. З. где ∂2 w 1 = exp - λt + 2 ∂t 2 n λ2 ∂3w - λw + wt . tt ∂t3 4 µi xi i=1 Учитывая условия теоремы 2 и краевые условия (15), (16), после интегрирования (20) и применения неравенства Юнга получим следующее неравенство: m ft 2 0 2 0 + f ∂3w ∂t3 ε 2 0 + n exp -λt - + Q 2 2 dxdt+ 2a + λK(x) wtt + λaτ wtx i µi xi i=1 n exp -λt - + µi xi ∂Q 2 K(x)wtt + 2awt wtt - 2aτ wxi xi wtt + 2cwwtt νt - i=1 - 2aij wtt wxi t νxi ds - σ wxi t 2 0 + wtt 2 0 - c(σ) w 2 1 = J1 + J2 , (21) где σ и c(σ) - коэффициенты неравенства Юнга; J1 - интеграл по области Q, J2 - интеграл по границе ∂Q. Учитывая условие теоремы 2 и краевые условия (15), (16), получим, что J1 > 0 и J2 = 0. Пусть δ3 = min{δ1 , λaτ }. Выбирая δ3 - σ > δ0 > 0, из неравенства (21) получим вторую необходимую оценку: ∂ 3 uN ε ∂t3 ε 2 0 + uN ε tt 2 0 2 0 + uN ε xi t 2 0 m f + ft 2 0 . (22) Следовательно, полученные оценки (9), (19)-(22) позволяют выполнить предельный переход при N → ∞ и заключить, что некоторая подпоследоваk тельность uN сходится в силу единственности (теорема 1) в L2 (Q) вместе ε Nk k с производными первого порядка и производными uN ε tt , uε xi t второго порядка к искомому регулярному решению uε = uε (x, t) задачи (6)-(8), обладающему свойствами, указанными в теореме 2. В силу единственности (теорема 1) на самом деле вся последовательность {uN ε } сходится к этому решению, т. е. для функции uε в силу (22) справедливо неравенство ε ∂ 3 uε ∂t3 2 0 + uε tt 2 0 + uε xi t 2 0 m f 2 0 + ft 2 0 . (23) Далее, семейство функций {uε } (ε > 0) удовлетворяет эллиптическому уравнению n Euε ≡ - (aij uε xi )xj = f + ε i,j=1 ∂ 3 uε - K(x)uε tt - auε t - cuε = Fε ∂t3 с условиями (7), (8). Из априорной оценки (23) следует, что семейство функций {Fε } (ε > 0) равномерно ограничено в норме пространства L2 (Q), т. е. имеет место неравенство Fε 604 2 0 m f 2 0 + ft 2 0 m f 2 1. (24) Об одной нелокальной краевой задаче с постоянными коэффициентами. . . На основании априорных оценок для эллиптических уравнений [9,11] и неравенства (24) получим uε 22 m f 21 . Объединяя неравенства (23) и (24), получим необходимую вторую априорную оценку (10). Тем самым доказана теорема 2. 3. Существование решения задачи (1)-(3). Теперь с помощью метода «ε-регуляризации» покажем разрешимость задачи (1)-(3). Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 2. Тогда обобщенное решение задачи (1)-(3) из пространства W22 (Q) существует и единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Единственность обобщенного решения задачи (1)- (3) из W22 (Q) доказана в теореме 1. Теперь докажем существование обобщенного решения задачи (1)-(3) из W22 (Q). Для этого в области Q рассмотрим уравнение (6) с краевыми условиями (7), (8) при ε > 0. Так как выполнены все условия теоремы 2, существует единственное регулярное решение задачи (6)-(8) при ε > 0 и для нее справедливы априорные оценки (9) и (10). Отсюда по известной теореме о слабой компактности [11] следует, что из множества функций {uε } (ε > 0) можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность функций в V такую, что {uεi } → u при εi → 0. Покажем, что предельная функция u(x, t) удовлетворяет уравнению (1) почти всюду. В самом деле, так как последовательность {uεi } слабо сходится в W22 (Q) и последо∂3u вательность ∂t3εi линейный, имеем (ε > 0) равномерно ограничена в L2 (Q), а оператор L - Lu - f = Lu - Luεi + εi ∂ 3 uεi ∂ 3 uεi = L(u - u ) + ε . ε i i ∂t3 ∂t3 (25) Переходя в (25) к пределу при εi → 0, получаем единственность обобщенного решение задачи (1)-(3) из W22 (Q) [9,11]. Таким образом, теорема 3 доказана. 4. Гладкость обобщенного решения. Теперь рассмотрим более общий случай, когда l 3. Всюду ниже для простоты предполагаем, что коэффициенты уравнения (1) бесконечно дифференцируемы в замкнутой области Q. Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3, кроме того, пусть Dtp a t=0 = Dtp a t=T , Dtp c t=0 = Dtp c t=T . Тогда для любой функции f (x, t) такой, что f ∈ W2p (Q), Dtp+1 f ∈ L2 (Q), γDtp f t=0 = Dtp f t=T , p = 0, 1, 2, . . . , m - 1 существует, и притом единственное, обобщенное решение задачи (1)-(3) из пространства W2m+1 (Q), где m = 1, 2, 3, . . . Д о к а з а т е л ь с т в о. Из гладкости решения задачи (11)-(14) возникает следующее условие для приближенного решения задачи (6)-(8): ∞ w = uN ε ∈ C (Q); 605 Д ж а м а л о в С. З. γDtq w t=0 = Dtq w ηi Dxpi w x =α i i = , q = 0, 1, 2, . . . ; t=T Dxpi w x =β , i i p = 0, 1. Учитывая условия теоремы 2 при ε > 0 и нелокальные условия при t = 0, t = T , из равенства exp - λt Lε uε 2 t=T t=0 = = -ε exp - λt ∂ 3 uε λt + exp - Luε 3 2 ∂t 2 t=T t=0 = = exp - λt f (x, t) 2 t=T t=0 получим γuε ttt (x, 0) - uε ttt (x, T ) const. 0 Отсюда следует, что функция vε (x, t) = uε t (x, t) принадлежит классу V и удовлетворяет следующему уравнению: Pε vε ≡ Lε vε = ft - at uε t - ct uε = Fε . Из теоремы 2 следует, что семейство функций {Fε } равномерно ограничено в пространстве L2 (Q), т. е. Fε 0 m f 2 0 + ft 2 0 . Из условий теоремы 3 легко получить, что оператор Pε (ε > 0) удовлетворяет условиям теоремы 4, отсюда на основании оценок (9), (10) теоремы 2 для функции vε получим аналогичные оценки: ∂ 2 vε ∂t2 ∂ 3 vε ε ∂t3 ε 2 0 2 0 + vε 2 1 m f 2 0 + ft 2 0 , + vε 2 2 m f 2 1 + ftt 2 0 . Далее, функция uε удовлетворяет параболическому (или обратно параболическому) уравнению n Πuε ≡ uε t - aij uε xi xj = i,j=1 =f +ε ∂ 3 uε - K(x)uε tt - (a - 1)uε t - cuε = Φε ∂t3 с условиями (7), (8); причем Φε ∈ L2 (Q), а в силу выше доказанного семейство функций {Φε } равномерно ограничено в пространстве W22 (Q), т. е. Φε 606 2 1 m f 2 1 + ftt 2 0 m f 2 2. (26) Об одной нелокальной краевой задаче с постоянными коэффициентами. . . На основании априорных оценок для параболических уравнений [11] и неравенства (26) получим uε 2 3 m f 2 2. Аналогично доказываются неравенства uε 2 p+2 m f 2 p+1 , p = 1, 2, 3, . . . Замечание. Видно, что знак квадратичной формы в постановке задачи (1)-(3) существенной роли не играет, хотя в случае a) в класс уравнений (1) входят параболические уравнения, а в случае б) - обратно-параболические уравнения. Тем не менее для задачи (1)-(3) в обоих случаях получены аналогические результаты, которые отличаются лишь ограничением на γ: в случае a) |γ| > 1, а в случае б) |γ| < 1. Следующие примеры показывают, что ограничения на γ являются существенными и при невыполнении этих условий единственность решения задачи (1)-(3) нарушается. Пример 1. В прямоугольнике Q = (0, l) × (0, T ) рассмотрим следующую модельную задачу: P1 u ≡ ut - uxx = 0, γu(x, 0) = u(x, T ), u(0, t) = u(l, t) = 0. Решая эту задачу методом Фурье, найдем γk = exp(-λk T ) < 1, λk = 2πk/l, k = 0, 1, 2, . . . . Нетрудно проверить, что все условия теоремы 1 выполнены, но несмотря на это функции uk = Ck exp(-λk t) sin(λk x) (где Ck - произвольные постоянные) - нетривиальные решения этой краевой задачи. Пример 2. В прямоугольнике Q рассмотрим такую модельную задачу: P2 u ≡ ut + uxx = 0, γu(x, 0) = u(x, T ), u(0, t) = u(l, t) = 0. Решая эту задачу методом Фурье, убеждаемся, что нетривиальными решениями этой задачи являются функции uk = Ck exp(λk t) sin(λk x) с произвольными Ck . В этом случае γk = exp(λk T ) > 1. Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования. Благодарность. Я благодарен анонимному рецензенту за тщательное прочтение статьи и ценные замечания, а также редакционной коллегии журнала за подготовку рукописи к печати. 607

About the authors

Sirojiddin Z Dzhamalov

V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences

Email: siroj63@mail.ru
81, Mirzo Ulugbek st., Tashkent, 100041, Uzbekistan
http://orcid.org/0000-0002-3925-5129 Cand. Phys. & Math. Sci., Professor; Senior Researcher; Dept. of Differential Equations

References

  1. Бицадзе А. В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // ДАН СССР, 1953. Т. 122, № 2. С. 167-170.
  2. Кальменов Т. Ш. О полупериодической задаче Дирихле для одного класса уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения, 1978. Т. 14, № 3. С. 546-547.
  3. Кальменов Т. Ш., Садыбеков М. А. О задаче Дирихле и нелокальных краевых задачах для волнового уравнения // Дифференц. уравнения, 1990. Т. 26, № 1. С. 60-65.
  4. Джамалов C. Об одной нелокальной краевой задачи для уравнения смешанного типа второго рода второго порядка // Узбек. мат. ж., 2014. № 1. С. 5-14.
  5. Джамалов C. Об одной нелокальной краевой задаче с постоянными коэффициентами для уравнения Трикоми // Узбек. мат. ж., 2016. № 2. С. 51-60.
  6. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Докл. РАН, 2007. Т. 413, № 1. С. 23-26.
  7. Цыбиков Б Н. О корректности периодической задачи для многомерного уравнения смешанного типа / Неклассические уравнения математической физики; ред. В. Н. Врагов. Новосибирск: СО АН СССР, 1986. С. 201-206.
  8. Франкль Ф. И. О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1945. Т. 9, № 2. С. 121-143.
  9. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1983. 84 с.
  10. Кожанов А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1990. 132 с.
  11. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
  12. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965. 798 с.

Statistics

Views

Abstract - 37

PDF (Russian) - 13

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies