The Dirichlet problem for a three-dimensional equation of mixed type with three singular coefficients

Abstract


We study the Dirichlet problem in a parallelepiped for a three-dimensional equation of mixed type with three singular coefficients. Separation of variables with Fourier series and spectral analysis are used to investigate this problem. Two one-dimensional spectral problems are obtained for the possed problem using the Fourier method. On the basis of the completeness property of the eigenfunction systems of these problems, the uniqueness theorem is proved. The solution of the problem is constructed as the sum of a double Fourier-Bessel series. In justification of the uniform convergence of the series constructed, asymptotic estimates of the Bessel functions of the real and imaginary argument are used. On their basis, estimates are obtained for each member of the series. The estimates obtained made it possible to prove the convergence of the series and its derivatives up to the second order inclusive, and also the existence theorem in the class of regular solutions.

Full Text

Постановка задачи. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа [1, 2] является не всегда корректно поставленной в смысле Адамара.1 Поэтому поиск смешанных областей, в которых задача Дирихле была бы корректно поставленной, представляет интерес для многих исследователей. Многочисленные работы (см., например, библиографию к [3], а также работы [4-10], опубликованные в последнее время), посвященные данной проблеме, преимущественно затрагивают двумерные задачи. Трехмерные задачи рассматриваются в работах [11-14], при этом задача Дирихле для трехмерных уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами до сих пор остается малоизученной. В настоящей работе рассматривается трехмерное уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами: uxx + (sgn y)uyy + uzz + 2α 2β 2γ ux + uy + uz = 0, x |y| z (1) для которого задача Дирихле исследуется в параллелепипеде Ω = {(x, y, z) : 0 < x < 1, -a < y < b, 0 < z < 1}, a > 0, b > 0. Здесь u = u(x, y, z) - неизвестная функция; параметры α, β, γ ∈ R\{0}, причем -∞ < α < 1/2, -1/2 < β < 1/2, -∞ < γ < 1/2. Уравнение (1) в области Ω принадлежит смешанному типу: уравнение в области Ω+ = Ω ∩ {y > 0} принадлежит эллиптическому типу, а в области Ω- = Ω ∩ {y < 0} - гиперболическому типу. Плоскости x = 0, y = 0 и z = 0 являются плоскостями сингулярности коэффициентов уравнения. Среди них y = 0 - плоскость изменения типа уравнения. Рассмотрим следующую задачу и исследуем ее однозначную разрешимость. ¯ ∩ C 2 (Ω+ ∪ Ω- ), удовлетвоЗадача D. Найти функцию u(x, y, z) ∈ C(Ω) + - ряющую в области Ω ∪ Ω уравнению (1), краевым условиям u(0, y, z) = u(1, y, z) = 0, -a y b, 0 z 1; u(x, y, 0) = u(x, y, 1) = 0, -a y b, 0 x 1; u(x, b, z) = f (x, z), 0 x 1, 0 z 1; u(x, -a, z) = g(x, z), 0 x 1, 0 z 1, (2) (3) (4) (5) и условию склеивания lim (-y)2β uy (x, y, z) = lim y 2β uy (x, y, z), y→-0 y→+0 0 < x < 1, 0 < z < 1, (6) где f (x, z), g(x, z) - заданные непрерывные функции. 1 Во многих работах отмечается, что интерес к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа возник после работы Ф. И. Франкля [1], где впервые обращено внимание на то, что задачи трансзвуковой газовой динамики сводятся к уравнениям этого типа, а А. В. Бицадзе в работе [2] показал, что задача Дирихле для уравнения uxx + (sgn y)uyy = 0 поставлена некорректно. 666 Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . 1. Построение собственных функций. Сначала найдем нетривиальные решения задачи (1), (2), (3), (6). С этой целью, разделив переменные по формуле u(x, y, z) = W (x, z)Q(y), из уравнения (1) получим 2β Q (y) - λQ(y) = 0, -a < y < b; |y| 2α 2γ Wxx + Wzz + Wx + Wz + λW = 0, 0 < x < 1, 0 < z < 1, x z (sgn y)Q (y) + (7) (8) где λ - константа разделения. Учитывая однородные краевые условия (2) и (3), для уравнения (8) получим задачу на собственные значения в квадрате Π = {(x, z) : 0 x 1, 0 z 1} со следующими краевыми условиями: W (0, z) = W (1, z) = 0, W (x, 0) = W (x, 1) = 0, 0 0 z x 1; 1. Путем разделения переменных W (x, z) = X(x)Z(z) эта задача сводится к двум задачам на собственные значения: 2α X (x) + µX(x) = 0, x X(0) = 0, X(1) = 0; 2γ Z (z) + Z (z) + (λ - µ)Z(z) = 0, z Z(0) = 0, Z(1) = 0, X (x) + (9) (10) (11) (12) где µ - константа разделения. Из уравнения (9), произведя замену √ X(x) = (t/ µ)1/2-α p(t), √ где t = µx, получим уравнение Бесселя [15, § 3.1]: t2 p (t) + tp (t) + t2 - (1/2 - α)2 p(t) = 0. (13) Принимая во внимание вид общего решения [15, § 3.1] уравнения (13) и введенные обозначения, получим общее решение уравнения (9) в виде √ √ X(x) = d1 x1/2-α J1/2-α ( µx) + d2 x1/2-α Y1/2-α ( µx). (14) Здесь d1 и d2 - произвольные постоянные, Jl (x) и Yl (x) - функция Бесселя порядка l первого и второго рода [15, §§ 3.1, 3.5] соответственно. Из (14) следует, что решение уравнения (9), удовлетворяющее первому из условий (10), существует при α < 1/2 и оно определяется равенством √ X(x) = d1 x1/2-α J1/2-α ( µx). (15) Подставляя (15) во второе из условий (10), получим условия существования нетривиального решения задачи (9), (10): √ J1/2-α ( µ) = 0. (16) 667 У р и н о в А. К., К а р и м о в К. Т. Известно, что при l > -1 функция Бесселя Jl (z) имеет счетное число нулей, причем все они вещественны и с попарно противоположными знаками [15, § 15.23]. Так как 1/2 - α > 0, уравнение (16) имеет счетное число вещественных корней. Обозначая через σn - n-ный положительный корень уравнения (16), получим значения параметра µ, при которых существуют нетривиальные решения задачи (9),(10), т. е. ее собственные значения: µn = σn2 , n ∈ N. Полагая в (15) µ = µn , n ∈ N и d1 = 1, получим нетривиальные решения (собственные функции) задачи (9), (10): Xn (x) = x1/2-α J1/2-α (σn x), n ∈ N. (17) Теперь перейдем к исследованию задачи (11), (12). Методом, примененным при решении задачи (9), (10), найдем общее решение уравнения (11) в виде Z(z) = d3 z 1/2-γ J1/2-γ ( λ - µn z) + d4 z 1/2-γ Y1/2-γ ( λ - µn z), (18) где d3 и d4 - произвольные постоянные. Подставляя (18) в краевые условия (12), имеем d4 = 0 и J1/2-γ ( λ - µn ) = 0. (19) Учитывая, что γ < 1/2 и обозначая через δm - m-ный положительный корень уравнения (19), получим значения параметра λ, при которых существуют нетривиальные решения задачи (11),(12): 2 λnm = σn2 + δm , n, m ∈ N. Полагая в (18) λ = λnm , n, m ∈ N, d3 = 1 и d4 = 0, получим нетривиальные решения (собственные функции) задачи (11), (12) в виде Zm (z) = z 1/2-γ J1/2-γ (δm z), m ∈ N. (20) Полагая в уравнении (7) λ = λnm , найдем общее решения этого уравнения при y > 0 и y < 0:  √ 1/2-β I a y ( λnm y)+  nm 1/2-β  √  1/2-β  +bnm y K1/2-β ( λnm y), y > 0; Qnm (y) = √  cnm (-y)1/2-β J1/2-β [ λnm (-y)]+   √  +dnm (-y)1/2-β Y1/2-β [ λnm (-y)], y < 0. (21) Здесь n, m ∈ N; anm , bnm , cnm и dnm - произвольные постоянные, Iω (z) и Kω (z) - модифицированные функции Бесселя порядка ω первого и третьего рода [15, § 3.7] соответственно. 668 Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . Подставляя (17), (20), (21) в равенство u(x, y, z) = X(x)Q(y)Z(z), получим нетривиальные в области Ω решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям (2) и (3):  1/2-α 1/2-β 1/2-γ x y z z)×   √J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm√   × anm I1/2-β ( λnm y) + bnm K1/2-β ( λnm y) , y > 0; unm =  x1/2-α (-y)1/2-β z 1/2-γ   √ J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm √z)×  × cnm J1/2-β [ λnm (-y)] + dnm Y1/2-β [ λnm (-y)] , y < 0. Теперь подберем постоянные anm , bnm , cnm и dnm так, чтобы для функций unm (x, y, z) выполнялись условия склеивания (6) и условие u(x, -0, z) = u(x, +0, z). (22) Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что равенство (22) выполняется, если dnm = -(πbnm )/2 при любых anm и cnm , а условия склеивания (6) выполняются, если cnm = πbnm tg π(1 + 2β)/4 /2 - anm , dnm = -(πbnm )/2. Тогда на основании этих равенств система функций unm (x, y, z) запишется в следующем виде: unm (x, y, z) =  1/2-α 1/2-β 1/2-γ x y z z)×   √J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm√   × anm I1/2-β ( λnm y) + bnm K1/2-β ( λnm y) , y > 0; = 1/2-α  x (-y)1/2-β z 1/2-γ   √ √ J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm z)×  × -anm J1/2-β [ λnm (-y)] + bnm Y¯1/2-β [ λnm (-y)] , y < 0, где Y¯1/2-β [ λnm (-y)] = π J [ λnm (-y)] + Jβ-1/2 [ 2 cos(βπ) 1/2-β λnm (-y)] . 2. Единственность решения задачи D. Теорема 1. Если существует решение u(x, y, z) задачи D, то оно единственно тогда и только тогда, когда ∆nm (a, b) = I1/2-β ( λnm b)Y¯1/2-β ( λnm a)+ + K1/2-β ( λnm b)J1/2-β ( λnm a) = 0 (23) при всех n, m ∈ N. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u(x, y, z) - решение задачи D. Рассмотрим следующую функцию: 1 1 u(x, y, z)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz = unm (y) = 0 0 669 У р и н о в А. К., К а р и м о в К. Т. 1 1 u(x, y, z)x1/2+α J1/2-α (σn x)dx z 1/2+γ J1/2-γ (δm z)dz, (24) = 0 0 где m, n ∈ N. Согласно [15, §15.25], система функций {J1/2-α (σn x)}∞ n=1 ортогональна с весом x на отрезке [0, 1]. Поэтому в силу равенства 1 x1/2-α J1/2-α (σm x)x1/2-α J1/2-α (σn x)x2α dx = 0 1 = xJ1/2-α (σm x)J1/2-α (σn x)dx = 0 0 система собственных функций (17) ортогональна с весом x2α на [0, 1]. Согласно [15, §18.1], система функций {J1/2-α (σn x)}∞ n=1 полна с весом x в пространстве L2 [0, 1] и имеет место соотношение 1 1 2 2 xJ1/2-α (σn x)dx = J3/2-α (σn ). 2 0 Отсюда следует, что система собственных функций (17) полна в пространстве L2 [0, 1] с весом x2α и для функций этой системы имеет место соотношение 1 0 1 2 x1-2α J1/2-α (σn x)x2α dx = 0 1 2 2 xJ1/2-α (σn x)dx = J3/2-α (σn ). 2 Проведя те же рассуждения, можно убедиться в том, что система собственных функций (20) полна в L2 [0, 1] с весом z 2γ . На основании (24) введем функции 1-ε1 1 ε2 uεnm (y) = ε1 1-ε2 u(x, y, z)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz n, m ∈ N, (25) ε2 где ε1 и ε2 - достаточно малые положительные числа. Очевидно, 1 ε2 lim uεnm (y) = unm (y). (26) ε1 →0 ε2 →0 Продифференцируем равенство (25) по y при y ∈ (-a, 0) ∪ (0, b): 1 ε2 [uεnm (y)] = ε1 ε2 [unm (y)] = 1-ε1 1-ε2 ε1 1-ε1 ε2 1-ε2 ε1 ε2 uy (x, y, z)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz, uyy (x, y, z)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz, n, m ∈ N; n, m ∈ N. Учитывая уравнение (1), из последних равенств имеем ε1 ε2 (y)] = -(sgny) [unm 1-ε1 1-ε2 uxx + ε1 ε2 2α 2γ 2β ux + uzz + uz + uy × x z |y| × x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz = 670 Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . 1-ε2 1-ε1 uxx x2α Xn (x)dx+ = -(sgn y) ε2 ε1 1-ε1 + ε1 1-ε1 1-ε2 + ε1 2α ux x2α Xn (x)dx z 2γ Zm (z)dz+ x uzz z 2γ Zm (z)dz+ ε2 1-ε2 + ε2 2γ 2β ε1 ε2 uz z 2γ Zm (z)dz x2α Xn (x)dz + [u (y)] . (27) z |y| nm Рассмотрим следующие интегралы: 1-ε1 1-ε1 uxx x2α Xn (x)dx = ε1 x2α Xn (x)dux = ε1 x=1-ε1 1-ε1 = ux x2α Xn (x) - = ux x2α Xn (x) = ux x2α Xn (x) + + + x=ε1 ux2α Xn (x) + 2 ε1 1-ε1 2α ux x2α Xn (x)dx = x 2αx2α-1 Xn (x)du = 1-ε1 - 2α x=ε1 1-ε1 x=1-ε1 - x=ε1 2α X (x) + (4α2 - 2α)x-2 Xn (x) dx; x n ε1 x=1-ε1 = 2αx2α-1 Xn (x)u = 2αx2α-1 Xn (x)u u[x2α Xn (x)] dx = ε1 x=ε1 x=1-ε1 - u[x2α Xn (x)] x=ε1 1-ε1 ε1 1-ε1 - u[x2α Xn (x)] x=ε1 x=1-ε1 1-ε1 ε1 x=ε1 x=1-ε1 x=1-ε1 ux [x2α Xn (x)] dx = u[x2α-1 Xn (x)] dx = ε1 ux2α ε1 2α X (x) + (4α2 - 2α)x-2 Xn (x) dx. x n На основании полученных выше равенств имеем 1-ε1 uxx x2α Xn (x)dx + ε1 1-ε1 ε1 2α ux x2α Xn (x)dx = x x=1-ε1 = ux Xn (x) - uXn (x) x 2α 1-ε1 + x=ε1 ux2α Xn (x) + ε1 x=1-ε1 = ux Xn (x) - uXn (x) x2α - σn2 x=ε1 1-ε1 2α X (x) dx = x n ux2α Xn (x)dx. (28) ε1 671 У р и н о в А. К., К а р и м о в К. Т. Аналогично находим 1-ε2 1-ε2 uzz z 2γ Zm (z)dz + ε2 ε2 2γ uz z 2γ Zm (z)dz = z z=1-ε2 1-ε2 2 - δm = uz Zm (z) - uZm (z) z 2γ uz 2γ Zm (z)dz. (29) ε2 z=ε2 Подставляя (28) и (29) в равенство (27), получим 1-ε2 ε1 ε2 [unm (y)] = -(sgn y) x=1-ε1 ux Xn (x) - uXn (x) x2α ε2 - x=ε1 1-ε1 - σn2 ux2α Xn (x)dx z 2γ Zm (z)dz+ ε1 z=1-ε2 1-ε1 uz Zm (z) - uZm (z) z 2γ + ε1 - z=ε2 1-ε2 2 - δm uz 2γ Zm (z)dz x2α Xn (x)dx + ε2 2β ε1 ε2 u (y) |y| nm . Предварительно заметим, что нижеследующие пределы конечны: 1/2-α 21/2+α σn lim x Xn (x) = , x→+0 Γ[1/2 - α] 2α 1/2-γ 21/2+γ δm lim z Zm (z) = . z→+0 Γ[1/2 - γ] 2γ Отсюда, требуя lim Xn (x)ux = 0, x→1-0 lim Zm (z)uz = 0, z→1-0 а затем переходя к пределу при ε1 → 0, ε2 → 0 и учитывая граничные условия (2), (3), (10), (12) и равенство (26), получим, что unm (y) удовлетворяет дифференциальному уравнению (sgn y)unm (y) + 2β u (y) - λnm unm (y) = 0, |y| nm -a < y < b, т. е. уравнению (7). Следовательно, unm (y) = Qnm (y). Теперь из (24) находим unm (b) и unm (-a) : 1 1 u(x, b, z)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz = unm (b) = 0 0 1 1 f (x, y)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz = Fnm , (30) = 0 1 0 1 u(x, -a, z)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz = unm (-a) = 0 0 1 1 g(x, y)x2α Xn (x)z 2γ Zm (z)dxdz = Gnm . (31) = 0 672 0 Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . Принимая во внимание равенства (30), (31) и равенства dnm = -(πbnm )/2, cnm = bnm π tg[π(1 + 2β)/4]/2 - anm , из (21) находим √ √ anm I1/2-β ( λnm b) + bnm K1/2-β ( λnm b) = Fnm bβ-1/2 , √ √ -anm J1/2-β ( λnm a) + bnm Y¯1/2-β ( λnm a) = Gnm aβ-1/2 . (32) Определитель системы (32) ∆nm (a, b) имеет вид (23). Так как ∆nm (a, b) = 0, система (32) имеет единственное решение: √ √ Fnm bβ-1/2 Y¯1/2-β ( λnm a) - Gnm aβ-1/2 K1/2-β ( λnm b) anm = , ∆nm (a, b) √ √ Fnm bβ-1/2 J1/2-β ( λnm a) + Gnm aβ-1/2 I1/2-β ( λnm b) , bnm = ∆nm (a, b) а функции unm (y) примут следующий вид:  [Fnm (y/b)1/2-β ∆nm (a, y)+     +Gnm (y/a)1/2-β Anm (y, b)]/∆nm (a, b), y > 0; unm (y) =  [F (-y/b)1/2-β Bnm (a, -y)+    nm +Gnm (-y/a)1/2-β ∆nm (-y, b)]/∆nm (a, b), y < 0, (33) где Anm (y, b) = I1/2-β ( λnm b)K1/2-β ( λnm y)- - K1/2-β ( Bnm (a, -y) = J1/2-β ( λnm a)Y¯1/2-β ( λnm b)I1/2-β ( λnm y), λnm (-y))- - Y¯1/2-β ( λnm a)J1/2-β ( λnm (-y)). Пусть f (x, z) ≡ 0 и g(x, z) ≡ 0. Тогда из равенств (30), (31) и (33) следует, что unm (y) ≡ 0, и на основании равенства (24) имеем 1 1 x2α z 2γ u(x, y, z)x1/2-α J1/2-α (σn x)dx z 1/2-γ J1/2-γ (δm z)dz = 0. 0 0 Отсюда в силу полноты системы функций z 1/2-γ J1/2-γ (δm z) z 2γ в пространстве L2 [0, 1] следует, что ∞ m=1 с весом 1 x2α z 2γ u(x, y, z)x1/2-α J1/2-α (σn x)dx = 0. 0 ∞ В силу полноты системы функций x1/2-α J1/2-α (σn x) n=1 с весом x2α в пространстве L2 [0, 1] из последнего равенства имеем, что u(x, y, z) ≡ 0 для 673 У р и н о в А. К., К а р и м о в К. Т. всех x ∈ [0, 1] и при любом y ∈ [-a, b], z ∈ [0, 1]. Отсюда следует утверждение теоремы. 3. Существование решения задачи D. Решение задачи Дирихле в области Ω будем искать в виде  ∞ ∞   ∞ ∞ u+  nm (x, y, z), y > 0; n=1 m=1 u(x, y, z) = unm (x, y, z) = (34) ∞ ∞   u- n=1 m=1  nm (x, y, z), y < 0, n=1 m=1 где 1/2-α 1/2-β 1/2-γ u+ y z J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm z)× nm (x, y, z) = x × anm I1/2-β ( λnm y) + bnm K1/2-β ( λnm y) , 1/2-α u- (-y)1/2-β z 1/2-γ J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm z)× nm (x, y, z) = x × -anm J1/2-β ( λnm (-y)) + bnm Y¯1/2-β ( λnm (-y)) . Постоянные anm и bnm находим из требования, что решение (34) должно удовлетворять граничным условиям (4) и (5). Сначала, подставляя его в условия (4), получим ∞ J1/2-α (σn x)ϕn (z) = xα-1/2 bβ-1/2 z γ-1/2 f (x, z), (35) n=1 где ∞ ϕn (z) = J1/2-γ (δm z) anm I1/2-β ( λnm b) + bnm K1/2-β ( λnm b) , (36) m=1 Ряды (35) и (36) - ряды Фурье-Бесселя [15, §18.1], поэтому ϕn (z) = 1 2 t1/2+α bβ-1/2 z γ-1/2 f (t, z)J1/2-α (σn t)dt, 2 J3/2-α (σn ) anm I1/2-β ( 0 λnm b) + bnm K1/2-β ( λnm b) = fnm , (37) где fnm = 4bβ-1/2 × [J3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )]2 1 1 t1/2+α s1/2+γ J1/2-α (σn t)J1/2-γ (δm s)f (t, s)dtds. × 0 674 0 Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . На основании формул дифференцирования бесселевых функций [15, § 3.2] d ν [x Jν (x)] = xν Jν-1 (x) dx коэффициенты fnm представим в виде fnm = 1 1 4bβ-1/2 f (t, s)t2α-1 s2γ-1 × σn δm [J3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )]2 0 0 d 3/2-α d 3/2-γ × t J3/2-α (σn t) s J3/2-γ (δm s) dtds. (38) dt ds Интегрируя по частям интеграл в (38), получим fnm = 4bβ-1/2 J (σn )J3/2-γ (δm )f (1, 1)- σn δm [J3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )]2 3/2-α 1 d f (1, s)s2γ-1 ds- ds 0 1 d - J3/2-γ (δm ) t3/2-α J3/2-α (σn t) f (t, 1)t2α-1 dt+ dt 0 - J3/2-α (σn ) 1 s3/2-γ J3/2-γ (δm s) 1 t3/2-α s3/2-γ J3/2-α (σn t)J3/2-γ (δm s)× + 0 0 × ∂ 2 2α-1 2γ-1 t s f (t, s) dtds . (39) ∂t∂s В силу условий задачи D справедливо равенство f (1, z) = f (x, 1) = 0, 0 z 1, 0 x 1. (40) Тогда формула (39) примет вид fnm = 4bβ-1/2 × σn δm [J3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )]2 1 1 t3/2-α s3/2-γ J3/2-α (σn t)J3/2-γ (δm s)× × 0 0 × ∂ 2 2α-1 2γ-1 [t s f (t, s)]dtds. ∂t∂s Из последнего выражения после интегрирования по частям имеем fnm = 4bβ-1/2 × 2 [J 2 σn2 δm 3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )] × J5/2-α (σn )J5/2-γ (δm ) ∂ 2 2α-1 2γ-1 t s f (t, s) ∂t∂s t=1 s=1 - 675 У р и н о в А. К., К а р и м о в К. Т. 1 - J5/2-γ (δm ) t5/2-α J5/2-α (σn t) ∂ -1 ∂ 2 2α-1 2γ-1 t s f (t, s) t ∂t ∂t∂s s5/2-γ J5/2-γ (δm s) ∂ -1 ∂ 2 2α-1 2γ-1 t s f (t, s) s ∂s ∂t∂s 0 1 - J5/2-α (σn ) 0 1 s=1 dt- t=1 ds+ 1 t5/2-α s5/2-γ J5/2-α (σn t)J5/2-γ (δm s)× + 0 0 × ∂ 2 -1 -1 ∂ 2 2α-1 2γ-1 t s t s f (t, s) dtds . ∂t∂s ∂t∂s Отсюда следует, что если функция f (x, z) удовлетворяет условиям f˜(x, z) = ∂ 2 /∂x∂z [x2α-1 z 2γ-1 f (x, z)] ∈ C([0, 1] × [0, 1]), lim f˜(x, z) = lim f˜(x, z) = 0, x→1 (41) z→1 то функции fnm определяются формулами fnm = 4bβ-1/2 × 2 [J 2 σn2 δm 3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )] 1 1 t5/2-α s5/2-γ J5/2-α (σn t)J5/2-γ (δm s)× × 0 0 × ∂2 [(ts)-1 f˜(t, s)]dtds. ∂t∂s Интегрируя по частям последнее выражение, получим fnm = 4bβ-1/2 × 3 [J 2 σn3 δm 3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )] × J7/2-α (σn )J7/2-γ (δm ) ∂2 (ts)-1 f˜(t, s) ∂t∂s 1 - J7/2-γ (δm ) ∂ -1 ∂ 2 (ts)-1 f˜(t, s) t ∂t ∂t∂s s7/2-γ J7/2-γ (δm s) ∂ -1 ∂ 2 s (ts)-1 f˜(t, s) ∂s ∂t∂s 0 1 - t7/2-α J7/2-α (σn t) 0 1 - J7/2-α (σn ) t=1 s=1 s=1 dt- t=1 ds+ 1 t7/2-α s7/2-γ J7/2-α (σn t)J7/2-γ (δm s)× + 0 0 × ∂2 ∂2 (ts)-1 (ts)-1 f˜(t, s) dtds . ∂t∂s ∂t∂s Если здесь потребовать выполнения условий f˜0 (x, z) = (∂ 2 /∂x∂z)[(xz)-1 f˜(x, z)] ∈ C([0, 1] × [0, 1]), lim f˜0 (x, z) = lim f˜0 (x, z) = 0, x→1 676 z→1 (42) Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . то fnm будет иметь вид fnm = 4bβ-1/2 × 3 [J 2 σn3 δm 3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )] 1 1 t7/2-α s7/2-γ J7/2-α (σn t)J7/2-γ (δm s)× × 0 0 × ∂2 f˜nm (ts)-1 f˜0 (t, s) dtds = 3 3 . ∂t∂s σn δ m В силу этого равенства формула (37) принимает вид anm I1/2-β ( λnm b) + bnm K1/2-β ( λnm b) = f˜nm . 3 σn3 δm (43) Аналогично, подставляя (34) в условия (5) и требуя выполнения следующих групп условий: g(1, z) = g(x, 1) = 0, g˜(x, z) = (∂ 2 /∂x∂z)[x2α-1 z 2γ-1 g(x, z)] ∈ C([0, 1] × [0, 1]), lim g˜(x, z) = lim g˜(x, z) = 0; x→1 g˜0 (x, z) = z→1 (44) (∂ 2 /∂x∂z)[(xz)-1 g˜(x, z)] ∈ C([0, 1] × [0, 1]), lim g˜0 (x, z) = lim g˜0 (x, z) = 0, x→1 z→1 получим соотношение -anm J1/2-β ( λnm a) + bnm Y¯1/2-β ( λnm a) = g˜nm , 3 σn3 δm (45) где g˜nm 4aβ-1/2 = × 3 3 [J 2 σn3 δm σn3 δm 3/2-α (σn )J3/2-γ (δm )] 1 1 t7/2-α s7/2-γ J7/2-α (σn t)J7/2-γ (δm s)× × 0 0 ∂ 2 -1 -1 ∂ 2 2α-1 2γ-1 ∂2 t-1 s-1 t s t s g(t, s) × ∂t∂s ∂t∂s ∂t∂s dtds = gnm . Далее, разрешая систему линейных алгебраических уравнений (43), (45) относительно anm и bnm , получим √ √ f˜nm Y¯1/2-β ( λnm a) - g˜nm K1/2-β ( λnm b) anm = , 3 ∆ σn3 δm nm (a, b) √ √ f˜nm J1/2-β ( λnm a) + g˜nm I1/2-β ( λnm b) bnm = . 3 ∆ σn3 δm nm (a, b) 677 У р и н о в А. К., К а р и м о в К. Т. Подставляя найденные значения anm и bnm в (34), получим формальное решение задачи D. Теперь докажем, что функция (34) является решением задачи D. Для ¯ этого вначале докажем равномерную сходимость рядов в (34) в Ω. Известно [16, форм. (32.31) и (32.33)], что для цилиндрических функций при ξ → ∞ имеют место следующие асимптотические формулы: 2 νπ π cos ξ - - + O(ξ -1 ) , πξ 2 4 π -ξ eξ 1 + O(ξ -1 ) , Kν (ξ) = e 1 + O(ξ -1 ) . Iν (ξ) = √ 2ξ 2πξ Jν (ξ) = (46) (47) В этих формулах запись O(ξ -1 ) [17, § 2] означает такую величину, отношение которой к ξ -1 при беспредельном возрастании ξ остается меньше некоторой постоянной, при этом справедливы следующие формулы при ξ → ∞: f (ξ) = O(f (ξ)), O(O(f (ξ))) = O(f (ξ)), O(f (ξ))O(g(ξ)) = O(f (ξ)g(ξ)), O(f (ξ)) + O(g(ξ)) = O(|f (ξ)| + |g(ξ)|), C · O(f (ξ)) = O(f (ξ)), O(f (ξ)g(ξ)) = f (ξ)O(g(ξ)), (48) (49) (50) (51) (52) (53) O(f 2 (ξ)) = O(f (ξ))2 , (54) O(ξ -2 ) = O(ξ -1 ), (55) где f - произвольная функция. Применяя последовательно формулы (48), (52), (50), (55), (51) и (53) к равенству (46), а формулы (48), (50), (55) и (52) к равенствам (47), получим асимптотические формулы Jν (ξ) = O(ξ -1/2 ), Iν (ξ) = O(ξ -1/2 ξ )e , Kν (ξ) = O(ξ (56) -1/2 -ξ )e . (57) Известно [15, с.653], что если f (t) ∈ C[0, 1], то при ξ → ∞ справедлива формула 1 f (t)tJν (ξt)dt = O(ξ -3/2 ). (58) 0 С помощью асимптотических формул (56)-(58) и формул (48)-(55) нетрудно показать, что при n → ∞ и m → ∞ имеют место следующие формулы: f˜ = O (σn δm )-1/2 , g˜nm = O (σn δm )-1/2 , √ √ nm √ -1/4 -1/4 Y¯1/2-β ( λnm a) = O(λnm ), K1/2-β ( λnm b) = O(λnm )e- λnm b , √ √ √ -1/4 -1/4 J1/2-β ( λnm a) = O(λnm ), I1/2-β ( λnm b) = O(λnm )e λnm b , √ -1/2 ∆nm (a, b) = O(λnnm )e λnm b , 1/4 anm = O 678 λnm (σn δm )7/2 e- √ λnm b , 1/4 bnm = O λnm (σn δm )7/2 . (59) Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . Из асимптотических формул (56), (57), (59) следует, что если 0 x z 1, -a y b, то при n → ∞, m → ∞ имеют место формулы 0 -4 u+ , nm (x, y, z) = O (σn δm ) 1, -4 u- . nm (x, y, z) = O (σn δm ) ¯ справедливы следующие Отсюда следует, что для членов рядов в (34) в Ω оценки: |u+ nm (x, y, z)| C1 (σn δm )-4 , |u- nm (x, y, z)| C2 (σn δm )-4 , где C1 , C2 - некоторые положительные постоянные. Тогда в силу признака Вейерштрасса [18, § 430] ряды в (34) сходятся аб¯ и, следовательно, u(x, y, z) ∈ C(Ω). ¯ солютно и равномерно в Ω + - Теперь докажем, что uxx (x, y, z) ∈ C(Ω ∪ Ω ). Дважды почленно продифференцируем ряд (34) по аргументу x:  ∞ ∞   u+  nm (x, y, z) xx , y > 0; n=1 m=1 uxx (x, y, z) = (60) ∞ ∞   u- (x, y, z) , y < 0,  nm xx n=1 m=1 где u+ nm (x, y, z) ×y = σn x-1/2-α J-1/2-α (σn x) + σn2 x1/2-α J-3/2-α (σn x) × xx 1/2-β 1/2-γ z J1/2-γ (δm z) anm I1/2-β ( u- nm (x, y, z) × = σn x-1/2-α J-1/2-α (σn x) xx (-y)1/2-β z 1/2-γ J1/2-γ (δm z)× λnm y) + bnm K1/2-β ( λnm y) , + σn2 x1/2-α J-3/2-α (σn x) × × -anm J1/2-β ( λnm (-y)) + bnm Y¯1/2-β ( λnm (-y)) . Применяя асимптотические формулы (56), (57) и (59), при (x, y, z) ∈ Ω+ ∪ Ω- и n → ∞, m → ∞ получим u+ nm (x, y, z) xx 4 -1 = O (σn2 δm ) , u- nm (x, y, z) xx 4 -1 = O (σn2 δm ) . Отсюда следует, что для членов рядов в (60) в Ω+ ∪ Ω- имеют место следующие оценки: u+ nm (x, y, z) xx 4 C3 σn2 δm -1 , u- nm (x, y, z) xx 4 C4 σn2 δm -1 , где C3 , C4 - некоторые положительные постоянные. Из полученных оценок следует, что ряды из (60) мажорируются сходящимися числовыми рядами, откуда следует, что ряды из (60) абсолютно и равномерно сходятся в Ω+ ∪ Ω- . Следовательно, uxx (x, y, z) ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ). Аналогично доказывается, что uzz (x, y, z) ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ). 679 У р и н о в А. К., К а р и м о в К. Т. Далее покажем, что uyy (x, y, z) ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ). Продифференцируем дважды (34) по аргументу y:  ∞ ∞   u+  nm (x, y, z) yy , y > 0; n=1 m=1 uyy (x, y, z) = (61) ∞ ∞   u- (x, y, z) , y < 0,  nm yy n=1 m=1 где u+ nm (x, y, z) yy = x1/2-α z 1/2-γ J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm z)× λnm y -1/2-β [anm I-1/2-β ( × λnm y) - bnm K-1/2-β ( λnm y)]+ + λnm y 1/2-β anm I-3/2-β ( λnm y) + bnm K-3/2-β ( u- nm (x, y, z) yy , = x1/2-α z 1/2-γ J1/2-α (σn x)J1/2-γ (δm z)× λnm (-y)-1/2-β -anm J-1/2-β ( λnm (-y))+ × + λnm y) bnm π J ( λnm (-y)) - J1/2+β ( λnm (-y)) + 2 cos(βπ) -1/2-β + λnm (-y)1/2-β -anm J-3/2-β ( λnm (-y))+ + bnm Y¯(3/2)+β ( λnm (-y)) . Применяя асимптотические формулы (56), (48), (57), (59) и (50), при (x, y, z) ∈ Ω+ ∪ Ω- и n → ∞, m → ∞ имеем u+ nm (x, y, z) yy =O λnm , (σn δm )4 u- nm (x, y, z) yy =O λnm . (σn δm )4 Отсюда следует, что для членов рядов из (61) в Ω+ ∪ Ω- имеют место следующие оценки: u+ nm (x, y, z) yy = C5 λnm , (σn δm )4 u- nm (x, y, z) yy = C6 λnm , (σn δm )4 где C5 , C6 - некоторые положительные постоянные. Из этих оценок следует, что ряды из (61) мажорируются сходящимися числовыми рядами, откуда следует, что ряды из (61) абсолютно и равномерно сходятся в Ω+ ∪ Ω- . Следовательно, uyy (x, y, z) ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ). Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 2. Пусть выполнены условия (40), (41), (42) и (44). Тогда решение задачи Дирихле существует, единственно и определяется формулами (34). В заключение отметим, что задача D исследуется аналогично и в том случае, когда некоторые или все параметры α, β и γ равны нулю. Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем. 680 Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа . . . Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Akhmadjon K Urinov

Fergana State University

Email: urinovak@mail.ru
19, Murabbiylar st., Fergana, 712000, Uzbekistan
http://orcid.org/0000-0002-9586-1799 Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations

Kamoliddin T Karimov

Fergana State University

Email: karimovk80@mail.ru
19, Murabbiylar st., Fergana, 712000, Uzbekistan
http://orcid.org/0000-0002-9098-4116 Cand. Phys. & Math. Sci.; Doctoral Candidate; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations

References

  1. Франкль Ф. И. О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1945. Т. 9, № 2. С. 121-143.
  2. Бицадзе А. В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // ДАН СССР, 1953. Т. 122, № 2. С. 167-170.
  3. Хачев М. М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус, 1998. 168 с.
  4. Солдатов А. П. К теории уравнений смешанного типа / Соврем. мат. и ее прил., Т. 10, Труды международной конференции по динамическим системам и дифференциальным уравнениям (Суздаль, 1-6 июля 2002 г.) Часть 4. Тбилиси: Институт кибернетики Академии наук Грузии, 2003. С. 153-162.
  5. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Докл. РАН, 2007. Т. 413, № 1. С. 23-26.
  6. Сабитов К. Б., Сулейманова А. Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области // Изв. вузов. Матем., 2007. № 4. С. 45-53.
  7. Сабитов К. Б., Вагапова Э. В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // Дифференц. уравнения, 2013. Т. 49, № 1. С. 68-78.
  8. Хайруллин Р. С. К задаче Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода с сильным вырождением // Дифференц. уравнения, 2013. Т. 49, № 4. С. 528-534. doi: 10.1134/S0374064113040122.
  9. Сафина Р. М. Задача Дирихле для уравнения Пулькина в прямоугольной области // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2014. № 10(121). С. 91-101.
  10. Zhang K, Li Y. On Dirichlet problem of Tricomi-type equation in rectangular domains // J. Nanjing Norm. Univ., Nat. Sci. Ed., 2016. vol. 39, no. 1. pp. 29-35. doi: 10.3969/j.issn.1001-4616.2016.01.005.
  11. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференц. уравнения, 1970. Т. 6, № 1. С. 190-191.
  12. Сафина Р. М. Задача Дирихле с осевой симметрией для уравнения смешанного Bэллиптико-B-гиперболического типа с характеристическим вырождением // Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета, 2010. № 4. С. 63-69.
  13. Алдашев С. А. Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Изв. вузов. Матем., 2011. № 4. С. 3-7.
  14. Сафина Р. М. Критерий единственности решения задачи Дирихле с осевой симметрией для трехмерного уравнения смешанного типа с оператором Бесселя // Изв. вузов. Матем., 2014. № 6. С. 78-83.
  15. Watson G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge: Cambridge University Press, 1922.
  16. Кузнецов Д. С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1962. 448 с.
  17. Olver F. W. J. Introduction to Asymptotic Analysis / Introduction to Asymptotics and Special Functions. New York: Academic Press, Inc., 1974. pp. 1-30. doi: 10.1016/b978-0-12-525856-2.50005-x.
  18. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1969. 800 с.

Statistics

Views

Abstract - 30

PDF (Russian) - 7

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies