Complex bending and initial destruction of hybrid timber beams

Full Text

Введение. Древесина является одним из самых распространенных конструкционных материалов [1-3]. Она обладает такими качествами [1], как низкий удельный вес - при средней плотности 550 кг/м3 она в 14 раз легче стали и в 4.5 раза легче бетона; высокая удельная прочность - 25 500 м2 /с2 для древесины, 29 500 м2 /с2 для строительной стали и 5 800 м2 /с2 для бетона класса В25. К другим полезным качествам древесины относятся самовозобновляемость, экологичность, химическая стойкость, технологичность производства и др. Существующие технологии производства деревянных конструкций способны создавать конструкции различных форм поперечных сечений и пролетов. При этом удается в значительной степени ослабить влияние основных недостатков древесины - неоднородность и анизотропию физико-механических свойств, различные пороки, пожароопасность, коробление, усушка и др. [1, 3]. Широкие возможности применения древесины в строительстве показывают такие сооружения, как радиобашня в Польше высотой 118 м (1935 г.), деревобетонный мост в Австрии [4] пролетом 85 м (1993 г.), жилое здание в Канаде [5] высотой 53 м (2017 г.) и др. Сочетание таких материалов, как дерево, пластики, бетоны и металлы, позволяет создавать весьма эффективные конструкции [6, 7]. Используемые в проектной практике методы расчета деревянных конструкций [8, 9] значительно отстали от возможностей современного производства. Они в своей основе создавались до широкого внедрения компьютеров и в связи с этим обладают некоторыми недостатками: - не учитывают реальные диаграммы деформирования древесины; - не позволяют проектировать неоднородные (состоящие из разных пород) конструкции, так как основаны на экспериментальных данных, полученных для однородных конструкций; - накладывают ограничения на возможные формы поперечных сечений (прямоугольное, круглое, двутавровое и т.п.). Существующие методы расчета физически нелинейных стержневых конструкций [10-15] рассматривают в основном однородные конструкции и не уделяют должного внимания особенностям работы древесины. На восполнение данных пробелов направлена настоящая работа. 700 Сложный изгиб и начальное разрушение гибридных деревянных брусьев 1. Диаграммы деформирования древесины. Здесь и далее будем говорить о диаграммах, полученных при кратковременных испытаниях малых чистых образцов древесины на растяжение-сжатие вдоль волокон. Диаграммы деформирования древесины ели (линии 1) и лиственницы сибирской (линии 2) при растяжении (штрих-пунктирные линии) и сжатии (сплошные линии) вдоль волокон даны на рис. 1. Они построены по данным кратковременных испытаний малых чистых (без пороков) образцов [16-18]. Общим для данных диаграмм является то, что при растяжении древесина ведет себя практически линейно вплоть до разрушения, а при сжатии уже в области средних напряжений резко проявляет физическую нелинейность. Пре1. Диаграммы деформирования древедел прочности на растяжение, как Рис. сины ели (линии 1) и лиственницы сибирправило, больше предела прочноской (линии 2) при растяжении (штрих-пунксти на сжатие. Данные особенности тирные линии) и сжатии (сплошные линии) вдоль волокон деформирования характерны и для [Figure 1. Timber deformation diagrams for других пород древесины. Для использования диаграмм де- Spruce (lines 1) and Siberian Larch (lines 2) under tension (dot-dashed lines) and compформирования в расчетах необхоression (solid lines) along the fibers] димо получить их аналитическую форму. Функция, описывающая диаграммы, должна удовлетворять двум основным критериям: достаточно точно описывать опытные данные и иметь, по возможности, простой вид. При этом оба условия являются взаимоисключающими - желание получить как можно более точное совпадение с экспериментальными данными приводит к усложнению связи между напряжениями и деформациями. Отметим, что не следует стремиться к идеальному совпадению экспериментальной диаграммы и аппроксимирующей ее функции, так как сами опытные диаграммы деформирования получаются путем осреднения целого набора диаграмм. При этом средние коэффициенты вариации механических свойств древесины: предел прочности, модуль упругости и др. лежат в пределах 13-20 % [19]. Для разработки теории расчета физически нелинейных гибридных стержневых систем будем использовать два вида функций: 1) квадратичная аппроксимация [20] отдельно для растяжения и сжатия σ ± (ε) = E1± ε + E2± ε2 , (1) - верхние знаки берутся при 0 ε ε+ ε 0; ∗ , нижние - при ε∗ 2) кубическая аппроксимация [21] на всем диапазоне деформирования ε- ε ε+ ∗ ∗ σ (ε) = E1 ε + E2 ε2 + E3 ε3 , (2) - где ε+ ∗ , ε∗ - предельные значения продольных деформаций при растяжении (+) и сжатии (-); Ei± , Ej - коэффициенты аппроксимации диа- 701 Н е м и р о в с к и й Ю. В., Б о л т а е в А. И. грамм деформирования соответственно для квадратной и кубической функций. Принятие в качестве аппроксимирующей функции степенных многочленов, с одной стороны, позволяет достаточно точно описать экспериментальные данные; с другой стороны, данные функции имеют простой вид и являются одними из наиболее изученных в математике. Связь между напряжениями и деформациями в форме (1) и (2) позволяет получать в пределе модели одномодульного и разномодульного линейноупругого материала. Если в (1) принять E2± = 0, то приходим к модели разномодульного линейно-упругого материала. Далее, принимая E1+ = E1- = E, получим уравнение закона Гука. То же получим и в (2) при E2 = E3 = 0. В работе [22] была показана возможность аппроксимации диаграмм деформирования функциями (1) и (2), а также приведены коэффициенты Ei± , Ej для 15 различных пород древесины (см. табл. 1). В табл. 1 σ∗± - предельные значения напряжений при растяжении (+) и сжатии (-). Анализируя данные табл. 1, можно выявить следующие особенности диаграмм деформирования древесины: 1) различие в модулях упругости древесины при растяжении и сжатии (E1+ и E1- соответственно) для 12 из 15 пород составляет меньше 20 %, максимальное различие имеет место для сосны - 42.5 %; 2) предельные деформации растяжения практически всегда больше пре- дельных деформаций сжатия; для березы даурской ε+ ∗ больше ε∗ в 1.75 + раза, а для граба кавказского ε- ∗ больше ε∗ в 1.45 раза; 3) предел прочности на растяжение больше предела прочности на сжатие в среднем в 2.5 раза; для березы даурской σ∗+ больше σ∗- в 4.0 раза, для граба кавказского σ∗+ больше σ∗- в 1.6 раза. 2. Напряженно-деформированное состояние бруса. Схема бруса в декартовой системе координат представляет собой стержень, состоящий из нескольких слоев. Слои могут быть выполнены из различных материалов и могут располагаться как горизонтально, так и вертикально (см. рис. 2). Общее число слоев принципиально не ограничено. Условия контакта слоев считаются совершенными - отсутствуют взаимные смещения любого направления в плоскости контакта. Рис. 2. Общий вид и форма поперечного сечения слоистого стержня [Figure 2. General view and shape of the cross-section of the laminated rod] 702 ∗ 16.1 12.4 14.2 11.5 14.2 13.0 12.8 12.7 10.1 13.9 12.6 15.2 22.8 12.9 16.7 14.8 14.2 11.1 14.7 12.1 15.6 12.7 9.05 12.4 15.8 14.2 16.0 15.2 14.0 E1- · 103 , MPa 18.4 E1+ · 103 , MPa 1.144 2.650 0.770 1.789 -0.30 -0.23 0 0.781 0.992 0.630 0.894 0.916 0.969 0.804 0.808 0.818 0.523 1.325 E2- · 106 , MPa 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E2+ · 106 , MPa Используется в столбце 2 табл. 2 [Used in column 2 of Table 2]. Береза даурская [Daurian Birch] (5)∗ Граб кавказский [European Hornbeam] Дуб красный [Red Oak] Ива ломкая [Crack Willow] Лиственница сибирская [Siberian Larch] (6)∗ Ольха черная [Black Alder] Осина [Aspen] Пихта кавказская [Nordmann Fir] Тополь сереющий [Grey Poplar] Тополь черный [Black Poplar] Ясень маньчжурский [Manchurian Ash] Ясень обыкновенный [European Ash] Сосна [Pine] (3)∗ Ясень [Ash] Ель [Spruce] (1)∗ Образцы [Timber] 15.6 12.6 13.2 14.2 12.6 12.4 9.05 12.7 12.8 12.1 14.2 11.1 14.2 12.4 16.1 E1 · 103 , MPa 0.373 0.451 0.610 0.593 0.579 0.436 0.293 0.497 0.652 0.467 0.418 0.408 0.395 0.387 0.922 E2 · 106 , MPa 8.10 8.42 8.16 8.51 8.53 8.90 11.38 8.95 9.24 9.86 -0.049 -0.048 -0.044 -0.055 -0.038 -0.056 -0.026 -0.049 -0.025 -0.060 7.40 11.00 7.00 8.18 -0.011 -0.094 -0.042 -0.078 10.65 -3 ε+ ∗ · 10 -0.066 E3 · 109 , MPa -4.60 -7.20 -5.00 -6.64 -8.06 -7.01 -8.02 -7.10 -6.98 -6.71 -8.83 -7.11 -8.68 -11.85 -6.07 -3 ε- ∗ · 10 Характеристики диаграмм деформирования [22] [Characteristics of timber deformation diagrams [22]] -50.5 -50.8 -48.7 -40.5 -45.1 -44.7 -43.6 -62.7 -40.9 -61.6 -73.5 -48.9 σ∗- , MPa 97.6 -54.4 137.4 -51.8 95.9 -41.2 140 146 111 103 113 133 103 120 93.5 115 121 196 σ∗+ , MPa Таблица 1 Сложный изгиб и начальное разрушение гибридных деревянных брусьев 703 Н е м и р о в с к и й Ю. В., Б о л т а е в А. И. Начало декартовой системы координат помещаем в левый конец стержня. Ось x совпадает с продольной осью стержня и имеет определенную геометрическую привязку к поперечному сечению. Для упрощения получающихся в дальнейшем решений будем считать, что структуры гибридных стержней и распределений внешних нагрузок согласованы так, что они в процессе нагружения либо вовсе не вызывают эффектов закручивания, либо они столь незначительны, что ими можно пренебречь. В общем случае стержень испытывает изгиб в плоскостях xy и yz с растяжением-сжатием. Все нагрузки приведены к продольной оси стержня - оси x. Деформации и перемещения будем считать малыми. Это позволит записывать уравнения равновесия для недеформированного состояния: d2 My dmy d2 Mz dmz dN = q - , = qz - , = -qx . (3) y 2 2 dx dx dx dx dx Здесь N - проекция вектора внутреннего усилия на ось x, Mz , My - проекции вектора внутреннего момента на оси z и y. Точка приложения вектора внутренних усилий лежит на оси стержня. Величины qx , qy , qz - проекции вектора распределенной нагрузки, приложенной к оси стрежня; mz , my - проекции вектора распределенного момента на оси z и y. Интегрируя уравнения (3), получим выражения для внутренних усилий: x N (x) = N (0) - qx dx, 0 x Mz (x) = Mz (0) - Qy (0)x - x x mz dx + qy dx dx, 0 0 x My (x) = My (0) - Qz (0)x - (4) 0 x x my dx + qz dx dx. 0 0 0 В случае если стержень статически определимый, то значения внутренних усилий в начале координат определяем из условий равновесия узлов. Иначе необходимо составлять дополнительные условия совместности деформаций. Принимается справедливой теория плоских сечений Бернулли и упрощенное выражение для кривизны плоской кривой. В соответствии с данными ограничениями связь между деформациями и перемещениями стержня выражается следующими известными соотношениями: ε(x, y, z) = ε0 - y · κz - z · κy , (5) d2 v0 d2 w0 du0 , κy = , κ = . z dx dx2 dx2 Здесь ε0 , κz , κy - продольная деформация на уровне оси стержня и изменение кривизны оси стержня в проекции на оси z и y; u0 (x), v0 (x), w0 (x) - компоненты перемещений точек на выбранной осевой линии. Интегрируя соотношения (5), получим ε(x) = x u0 (x) = u0 (0) + ε0 dx, 0 x x v0 (x) = v0 (0) + ϕy (0)x + κy dx dx, 0 704 0 Сложный изгиб и начальное разрушение гибридных деревянных брусьев x κy dx, ϕy (x) = ϕy (0) + 0 x x κz dx dx, w0 (x) = w0 (0) + ϕz (0)x + 0 (6) 0 x κz dx. ϕz (x) = ϕz (0) + 0 Величины u0 (0), v0 (0), w0 (0), ϕy (0) и ϕz (0) находим из условий закрепления стержня. Связь между нормальными напряжениями и деформациями m-того слоя выражается степенным многочленом вида (2): 3 -ε- m∗ Enm εnm , σm = εm ε+ m∗ , (7) n=1 где Enm - константы, зависящие от механических свойств m-того слоя стержня, ε± (m∗) - предельно допустимые продольные деформации m-того слоя при растяжении (+) и сжатии (-). 3. Система разрешающих уравнений. Вариант 1. Выразим интегральные внутренние силовые факторы N, My и Mz через продольные напряжения σm : nl nl N= nl σm dFm , My = m=1 Fm σm z dFm , Mz = m=1 Fm σm y dFm . (8) m=1 Fm В (8) интегрирование ведется по площади поперечного сечения m-того слоя стержня. Количество слоев задается параметром nl . Подставляем в (8) связь между напряжениями и деформациями в виде (7) и первое уравнение из (5). После преобразований получим систему из трех нелинейных алгебраических уравнений 3-й степени относительно трех неизвестных - κy , κz и ε0 : 3 n+1 k t-1 n-k+1 k-t t-1 (-1)k-1 Cnk-1 Ck-1 ε0 κz κy Dnkt - N = n=1 k=1 t=1 = F1 (ε0 , κy , κz ) = 0, 3 n+1 k t-1 n-k+1 k-t t-1 (-1)k-1 Cnk-1 Ck-1 ε0 κz κy Dnk(t+1) + My = n=1 k=1 t=1 (9) = F2 (ε0 , κy , κz ) = 0, 3 n+1 k t-1 n-k+1 k-t t-1 (-1)k-1 Cnk-1 Ck-1 ε0 κz κy Dn(k+1)t + Mz = n=1 k=1 t=1 = F3 (ε0 , κy , κz ) = 0, где nl Dnkt = Enm dmkt , m=1 y k-t z t-1 dFm , dmkt = Fm Cnk = n! . k!(n - k)! 705 Н е м и р о в с к и й Ю. В., Б о л т а е в А. И. Система (9) обладает следующими характерными особенностями: 1) cтруктура каждого уравнения одинаковая и отличается только коэффициентами Dnkt ; 2) геометрия поперечного сечения полностью описывается коэффициентами dmkt , характеристики диаграммы деформирования - коэффициентами Enm ; коэффициенты Dnkt полностью включают в себя геометрические и механические характеристики слоев; 3) приняв Enm = 0, n = 2, 3, получим определяющие уравнения для слоистого линейно-упругого стержня; если при этом n = 1, то приходим к уравнениям технической теории изгиба стержней [23]. Условие прочности задается соотношением |ε± m,max | ε± m∗ , m = 1, 2, . . . , nl , (10) где ε± m,max - максимальные продольные деформации растяжения (+) и сжатия (-) m-того слоя. Проверка выполнения условия прочности осуществляется в каждом слое поперечного сечения. Так как функция продольных деформаций ε(x, y, z) в пределах определенного поперечного сечения линейная (гипотеза плоских сечений), экстремальные значения она будет принимать на контуре поперечного сечения слоя. Задача определения области возможных значений κy , κz и ε0 представляет собой отдельный интерес. В случае прямого поперечного изгиба она сводится к решению задачи линейного программирования [24]. 4. Решение системы разрешающих уравнений (9). Система нелинейных уравнений (9) такова, что можно легко получить аналитическое выражение производных входящих в нее функций по основным неизвестным - κy , κz и ε0 . Поэтому для ее решения будем использовать метод Ньютона [25]. Полагаем, что задача статически определима и, следовательно, внутренние усилия определены из (4). Для произвольного поперечного сечения преобразуем систему (9) к векторному виду F (x) = 0. (11) Тогда решение строится в виде рекуррентной формулы xj+1 = xj - J -1 (xj ) · F (xj ), (12) где J(x) - матрица Якоби системы (11), xj - вектор неизвестных на j-том шаге. Каждый член J(x) представляет собой нелинейный алгебраический многочлен: ∂F1 = ∂ε0 ∂F1 = ∂κy ∂F1 = ∂κz 706 3 n k t-1 n-k k-t t-1 (-1)k-1 (n - k + 1)Cnk-1 Ck-1 ε0 κz κy Dnkt , n=1 k=1 t=1 3 n+1 k t-1 n-k+1 k-t t-2 (-1)k-1 (t - 1)Cnk-1 Ck-1 ε0 κz κy Dnkt , n=1 k=2 t=2 3 n+1 k-1 t-1 n-k+1 k-t-1 t-1 κy Dnkt , (-1)k-1 (k - t)Cnk-1 Ck-1 ε0 κz n=1 k=2 t=1 Сложный изгиб и начальное разрушение гибридных деревянных брусьев ∂F2 = ∂ε0 ∂F2 = ∂κy ∂F2 = ∂κz ∂F3 = ∂ε0 ∂F3 = ∂κy ∂F3 = ∂κz 3 n k t-1 n-k k-t t-1 (-1)k-1 (n - k + 1) Cnk-1 Ck-1 ε0 κz κy Dnk(t+1) , n=1 k=1 t=1 3 n+1 k t-1 n-k+1 k-t t-2 (-1)k-1 (t - 1) Cnk-1 Ck-1 ε0 κz κy Dnk(t+1) , (13) n=1 k=2 t=2 3 n+1 t-1 n-k+1 k-t-1 t-1 (-1)k-1 (k - t) Cnk-1 Ck-1 ε0 κz κy Dnk(t+1) , n=1 k=2 3 n k t-1 n-k k-t t-1 ε0 κz κy Dn(k+1)t , (-1)k-1 (n - k + 1) Cnk-1 Ck-1 n=1 k=1 t=1 3 n+1 k t-1 n-k+1 k-t t-2 (-1)k-1 (t - 1) Cnk-1 Ck-1 ε0 κz κy Dn(k+1)t , n=1 k=2 t=2 3 n+1 k-1 t-1 n-k+1 k-t-1 t-1 (-1)k-1 (k - t) Cnk-1 Ck-1 ε0 κz κy Dn(k+1)t , n=1 k=2 t=1 i Выражения частных производных ∂F ∂ε0 отличаются только коэффициента∂Fi ∂Fi , а также для ∂κ . Необходимо отметить, ми Dnkt , как и выражения для ∂κ y z что в (13) изменились пределы суммирования по сравнению с (9). Начальное приближение x1 можно взять в виде нулевого вектора, что будет соответствовать недеформированному состоянию стержня. С другой стороны, его можно определить из решения системы (9) при Enm = 0, n = 2, 3, что равносильно переходу к физически линейной задаче. В этом случае система (9) переходит в систему трех линейных уравнений: ε0 D111 - κy D122 - κz D121 - N = 0, ε0 D112 - κy D123 - κz D122 + My = 0, ε0 D121 - κy D132 - κz D131 + Mz = 0. (14) Выпишем решение системы (14): x1 = A-1 · B, где   ε0 x1 = κy  , κz   D111 -D122 -D121 A = D112 -D123 -D122  , D121 -D132 -D131   N B = -My  . -Mz Примем следующие критерии окончания итерационного процесса (12) [26]: F xj - F xj+1 τF 1 + F xj+1 √ xj - xj+1 τF 1 + xj+1 . , (15) 707 Н е м и р о в с к и й Ю. В., Б о л т а е в А. И. Оба неравенства являются признаками близости последовательностей F xj и xj к своим пределам. Параметр τF имеет смысл желаемой точности решения - чем он меньше, тем выше точность. Его величина задается непосредственно в расчете и может изменяться в зависимости от полученных результатов. В неравенствах (15) используется евклидова норма. Область возможных значений вектора неизвестных x ограничена условием прочности (10). 5. Система разрешающих уравнений. Подставляем выражения внутренних усилий (9) в дифференциальные уравнения равновесия (3): 3 n+1 k Dnkt n=1 k=1 t=1 d n-k+1 t-1 k-t κy κz + qx = 0, ε dx 0 3 n+1 k Dnk(t+1) dmy d2 n-k+1 t-1 k-t ε0 κy κz - + qz = 0, 2 dx dx Dn(k+1)t d2 n-k+1 t-1 k-t dmz κy κz - ε + qy = 0. dx2 0 dx n=1 k=1 t=1 3 n+1 k n=1 k=1 t=1 (16) где t-1 Dnkt , Dnkt = (-1)k-1 Cnk-1 Ck-1 t-1 Dnk(t+1) = (-1)k-1 Cnk-1 Ck-1 Dnk(t+1) , t-1 Dn(k+1)t = (-1)k-1 Cnk-1 Ck-1 Dn(k+1)t . Далее переходим от обобщенных деформаций ε0 , κy и κz к компонентам вектора перемещений точек оси стержня u0 , v0 и w0 . Для этого подставляем (5) в (16): 3 n+1 k Dnkt n=1 k=1 t=1 d dx 3 n+1 k Dnk(t+1) n=1 k=1 t=1 du0 dx d2 dx2 n-k+1 du0 dx d2 v0 dx2 n-k+1 t-1 d2 v0 dx2 d2 w0 dx2 t-1 Dn(k+1)t n=1 k=1 t=1 d2 dx2 du0 dx n-k+1 d2 v0 dx2 t-1 + qx = 0, d2 w0 dx2 - 3 n+1 k k-t - dmy + qz = 0, dx d2 w0 dx2 - k-t k-t (17) - dmz + qy = 0. dx Выражения (16), как и (17), являются системой из трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Вместе с граничными условиями они представляют собой краевую задачу, решение которой полностью определяет напряженно-деформированное состояние стержня. 708 Сложный изгиб и начальное разрушение гибридных деревянных брусьев 6. Решение системы разрешающих уравнений (17). Решение системы (17) в общем виде представляет определенные математические трудности и представляет собой отдельное исследование. Поэтому здесь рассмотрим решение одной частной задачи методом галеркинского типа [27]. Рассмотрим стержень с жестко закрепленными краями, тогда приближенное решение уравнений (17) можно представить в виде u0 (x) = a sin2 πx , l v0 (x) = b sin2 πx πx , w0 (x) = c sin2 , l l (18) где l - длина стержня; a, b, c - коэффициенты, подлежащие определению. Как несложно проверить, в таком виде решение точно удовлетворяет однородным краевым условиям: u0 (0) = u0 (l) = v0 (0) = v0 (l) = w0 (0) = w0 (l) = 0; du0 dv0 dv0 dw0 dw0 du0 = = = = = = 0. dx x=0 dx x=l dx x=0 dx x=l dx x=0 dx x=l Подставим (18) в (17) и проинтегрируем полученное по переменной x в пределах длины стержня. После преобразований получим систему трех нелинейных уравнений относительно коэффициентов a, b, c: π2 3π 4 π6 π6 a + D311 3 a3 - D331 5 ac3 + D332 5 abc- 2l 8l 2l 2l l π6 2 πx - D333 5 ab + qx sin2 dx = 0, 2l l 0 π6 2 2π 4 (D b + D c) + a (D322 b + D323 c)+ 122 123 l3 2l5 6π 8 6π 8 + 7 b2 (D345 b + D344 c) + 7 c2 (D343 b + D342 c)- l l l dmy πx - - qz sin2 dx = 0, dx l 0 2π 4 π6 2 (D b + D c) + a (D322 b + D323 c)+ 122 123 l3 2l5 6π 8 6π 8 + 7 b2 (D345 b + D344 c) + 7 c2 (D343 b + D342 c)- l l - D111 (19) l dmz πx - qy sin2 dx = 0. dx l - 0 Система (19) решается методом Ньютона по формуле, аналогичной формуле (12). 7. Результаты расчетов. Рассмотрим балку длиной l = 600 см с прямоугольным поперечным сечением b × h = 20 × 40 см, которая имеет три слоя высотой h1 , h2 и h3 , изготовленных из различных материалов. Расчетная схема балки приведена на рис. 3. Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q. 709 Н е м и р о в с к и й Ю. В., Б о л т а е в А. И. Рис. 3. Расчетная схема балки [Figure 3. The calculation scheme of a beam] Расчеты будем производить по аналогии с работой [22]. В первой серии расчетов будем менять размеры и породы слоев. В каждом расчете будем нагружать конструкцию до тех пор, пока в каком либо слое максимальные деформации не достигнут предельных значений. Определение напряженнодеформированного состояния балки осуществлялось путем решения разрешающей системы уравнений (9) методом Ньютона. Определив обобщенные деформации поперечных сечений балки, перемещения точек оси находим по формулам (6), а продольные напряжения в слоях - по (7). При данных условиях закрепления и характере нагрузки опасное сечение будет находиться в середине пролета. Волокна нижней части балки будут растянуты, верхней - сжаты. Для выявления особенностей работы слоистой балки из разносопротивляющегося материала были проведены следующие расчеты. В первом расчете (строка 1 табл. 2) для всех слоев были взяты параметры сосны (333). Во втором - для верхнего слоя были взяты параметры породы, которая хорошо Таблица 2 Результаты расчета однопролетной балки (см. рис. 3) [Results of the calculation of a single-span beam (see Fig. 3)] nos. 1 Timber 2 qmax , kN/m2 3 wmax , cm 4 h1 , cm 5 h2 , cm 6 h3 , cm 7 n∗ 8 W , kN 9 D 10 1 2 3 4 5 333 6-5 5-6 1-1 615 79 108 76 65 86 7.7 12.9 9.2 8.3 10.4 13.3 20.0 20.0 20.0 13.3 13.3 0.0 0.0 0.0 13.3 13.3 20.0 20.0 20.0 13.3 1 1 1 1 2 2.40 3.08 3.08 2.12 2.36 0.53 0.56 0.58 0.78 0.60 Timber - распределение пород древесины в слоях балки [timber distribution in the layers of the beam] qmax - предельно допустимая величина интенсивности нагрузки q [the maximum allowable value of the load intensity q] wmax - максимальный прогиб балки [the maximum deflection of the beam] hi - толщина i-того слоя балки [the thickness of the i-th layer of the beam] n∗ - номер слоя, в котором достигнуты предельные деформации [the layer number in which the limiting strains are reached] W - вес балки [the weight of beam] D - степень нагружения нижних волокон балки (см. (20)) [degree of loading of lower fibers of the beam (see Eq. (20))] 710 Сложный изгиб и начальное разрушение гибридных деревянных брусьев сопротивляется сжатию (6), а для нижнего слоя - породы, хорошо сопротивляющейся растяжению (5). В третьем расчете слои из второго расчета менялись местами. В четвертом расчете для верхнего слоя брались параметры породы, плохо работающей на сжатие (1), а для нижнего слоя - породы, плохо работающей на растяжение (1). В пятом расчете для среднего слоя брались параметры одной из наиболее слабых пород (1). Результаты расчетов приведены в табл. 2. В столбце 2 табл. 2 дано распределение пород по слоям. Каждая цифра характеризует породу определенного слоя (см. табл. 1). Так, шифр 615 означает, что в расчетах для первого слоя брались параметры лиственницы, для второго - параметры ели и для третьего - параметры березы. Цифрой 3 обозначены параметры сосны. В столбцах 2 и 3 приведены максимальная нагрузка и максимальный прогиб балки. В столбце 10 приведена степень нагружения крайних нижних волокон: D = max (ε (x, -0.5h)) /ε+ (20) 3∗ . Результаты анализа выполненных расчетов позволяют сделать некоторые выводы: 1) варьирование пород слоев приводит к значительному изменению величины предельной нагрузки и максимального прогиба; предельная нагрузка изменяется в 1.66 раза, максимальный прогиб в 1.55 раза; 2) в расчете 5 (строка 5 табл. 2) предельные деформации были достигнуты во внутреннем слое балки, тогда как в однородных конструкциях предельные деформации всегда достигаются на фибровых волокнах балки; 3) в расчетах 1-4 предельные деформации достигались на верхних фибровых волокнах; 4) во всех расчетах нижние волокна балки были сильно недогружены, что является следствием значительной разносопротивляемости древесины. Заключение. В работе представлено решение проблемы определения напряженно-деформированного состояния гибридных деревянных брусьев при сложном изгибе в условиях «растяжение-сжатие» с использованием аналитической аппроксимации диаграмм деформирования древесины полиномами 2-й и 3-й степени, которая хорошо согласуется с экспериментальными данными. Учитывается физическая нелинейность и разная сопротивляемость материала растяжению и сжатию. Примеры расчетов показывают следующие особенности деформирования гибридных деревянных брусьев: 1) в зависимости от распределения пород в сечении бруса возможно возникновение скрытых механизмов разрушения, когда предельное состояние достигается во внутренних слоях стержня; 2) простая перестановка слоев приводит к значительному изменению предельной нагрузки и максимальных перемещений, а также характера начала разрушения; 3) слоистое расположение материалов с различными физико-механическими свойствами в брусе открывает большие возможности для решения задач оптимизации. 711 Н е м и р о в с к и й Ю. В., Б о л т а е в А. И. Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

About the authors

Yuriy V Nemirovsky

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: nemirov@itam.nsc.ru
http://orcid.org/0000-0002-4281-4358 Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Chief Researcher; Lab. of Fast Processes Physics 4/1, Institutskaya st., Novosibirsk, 630090, Russian Federation

Artem I Boltaev

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: boltaev_artem@mail.ru
http://orcid.org/0000-0003-1317-9903 Postgraduate Student; Lab. of Fast Processes Physics 4/1, Institutskaya st., Novosibirsk, 630090, Russian Federation

References

Supplementary files