On the reconstruction of residual stresses and strains of a plate after shot peening

Full Text

Введение. Современные регламенты проектирования авиационного двигателя содержат требования прямого учета в расчетах на прочность поверхностного слоя тангенциальных сжимающих остаточных напряжений. Данный слой обычно наводится процессом холодной обработки детали путем бомбардировки участка ее поверхности мелкими стальными шариками. Удар каждой дробинки оставляет на поверхности микроскопическую ямку и в целом покрытие такими ямками приводит к пластическому растяжению материала в касательной плоскости к обрабатываемой поверхности в тонком приповерхностном слое (при обработке пластины в умеренном количестве это ведет к ее изгибу с выпуклостью со стороны обработанной поверхности [1]). Упругость материала стремится восстановить начальную форму детали вблизи ее поверхности, что приводит к образованию в поверхностном слое поля тангенциальных сжимающих остаточных напряжений и необходимого для равновесия поля остаточных напряжений в детали вне этого слоя. Поскольку усталостное и коррозионное разрушение, водородное охрупчивание, разрушение вследствие износа, выкрашивания, образования задиров и кавитационной эрозии деталей машин начинается с поверхности, такая ее обработка способствует увеличению их ресурса. Рассматриваемые технологические процессы поверхностного упрочнения разнообразны, чаще всего используются пневмои гидродробеструйная обработка [2], дробеструйная обработка и обкатка в сочетании ультразвуком [3, 4], технологии с применением кавитации [5], обкатка роликом, алмазное выглаживание. Указанные технологии эффективно применяются для литых или спеченных из порошка высокопрочных сталей, алюминиевых и титановых сплавов [6]. В литературе представлены теоретические исследования [7-10], предсказывающие профиль остаточных напряжений в зависимости от параметров процесса на основе рассмотрения единичного удара шара о плоскость в упруго-пластической постановке. Более современные работы [3, 5, 11-18] посвящены прямому моделированию технологического процесса, посредством которого наводятся остаточные напряжения, и который сводится к довольно сложной динамической упругопластической задаче. Данные постановки необходимы для исследования закономерностей формирования остаточных напряжений различными технологическими операциями, выбора рациональных режимов обработки. Отдельно располагаются задачи расчета ресурса и долговечности поверхностно упрочненных деталей машин в условиях эксплуатации. Для постановки подобных задач вместо расчета предшествующего процесса поверхностного упрочнения разумно задавать пограничный слой остаточных деформаций, который необходимо уметь реконструировать с помощью подходящего метода. В работах [19-21] реконструкция поля остаточных напряжений в объекте предусматривает вспомогательный эксперимент на образце-свидетеле. Для цилиндрических деталей определение остаточных напряжений в поверхностном слое выполняется методом колец и полосок [19, 22, 23], основанным на аналитическом решении задачи об остаточных напряжениях в цилиндрическом теле [19]. В качестве образца-свидетеля используется сплошной или полый цилиндр одинакового с деталью диаметра. Данный подход позволяет решать задачи об усталостной долговечности валов в галтельными переходами и выточками при циклическом изгибе, кручении, растяжении-сжатии [20], 42 К вопросу о реконструкции остаточных напряжений и деформаций пластины. . . а также с учетом релаксации остаточных напряжений в условиях ползучести [21, 24]. В работах [25, 26] используется термоупругая аналогия для учета остаточных напряжений при конечно-элементном расчете прочности цилиндрических деталей. Сведение краевой задачи реконструкции напряженно-деформированного состояния в области концентратора напряжений в форме полукругового надреза после опережающего поверхностно пластического упрочнения к фиктивной задаче термоупругости с неоднородным полем температуры и неоднородным анизотропным полем тензора коэффициентов температурного расширения рассмотрено в работах [27] для сплошных и [28] полых цилиндрических образцов. На производстве необходимая длительность дробеструйной обработки детали определяется с помощью пластинки, прогиб которой калибруют в соответствии с уровнем остаточных напряжений, определяемым экспериментально. Данный метод калибровки является удобным и довольно широко распространенным для различных способов поверхностно упрочняющей обработки [1, 29]; одна из его разновидностей запатентована в США и называется тестом Ольмена (Almen Strip Test) [30]. Целью настоящей работы является постановка задачи определения напряженно-деформированного состояния пластинки с заданной структурой пограничного слоя пластических деформаций, построение точного или приближенного аналитического решения данной задачи и его экспериментальное подтверждение. Данный результат необходим для решения обратной задачи реконструкции приповерхностного распределения остаточных деформаций и напряжений по определяемому в лаборатории прогибу пластины в зависимости от толщины стравливаемого слоя материала с обработанной поверхности. Поле остаточных (пластических) деформаций служит источником остаточных напряжений и необходимо для учета последних при расчетах напряженно-деформированного состояния деталей машин. Рассматриваемая задача для пластины вследствие своей простоты имеет определенную методическую ценность, поскольку позволяет сформулировать и подтвердить экспериментом гипотезы о структуре решения, изучить связь рассматриваемых полей в асимптотических и предельных случаях, верифицировать применение различных способов учета остаточных напряжений в численных расчетах. Искомое решение также представляется опорным для исследования поверхностно упрочненных тел с криволинейной свободной границей, к которым сводится большинство практически важных задач. Современные методы реконструкции остаточных напряжений опираются на решения [19], полученные методами сопротивления материалов, в результате чего ускользает понимание структуры распределения остаточных напряжений, пределов применимости формул и возможности их уточнения. Упругая задача для плиты и полосы, вообще говоря, представляет собой большую аналитическую сложность [31-34], следовательно, рассматриваемая здесь проблема требует к себе серьезного отношения. 1. Эксперимент по односторонней дробеструйной обработке пластины. На АО «ОДК-Пермские моторы» было организовано экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния пластины после односторонней дробеструйной обработки. Калибровочная пластина из 43 К е л л е р И. Э., Т р о ф и м о в В. Н., В л а д ы к и н А. В., П л ю с н и н В. В. и д р. конструкционной рессорно-пружинной стали 65Г, закаленной до твердости HRC 51, размерами 100×19×1.3 мм, консольно закрепленная на одном конце и свободно опертая на другом, была обработана с одной стороны микрошариками из распыленного порошка быстрорежущих сталей фракции 0.16-0.20 на пневмодробеструйной установке типа 6397-4330 в течение 45 секунд без вращения. Обработанная пластина приобрела изогнутую форму с выпуклостью навстречу воздействию со стрелой прогиба 0.32 мм на базе 60 мм длины, измеренной согласно принятой методике. Из средней части этой пластины продольной электроэрозионной вырезкой были изготовлены три образца-свидетеля размерами 54×5.9×1.29 мм. Для каждого из них на установке АПООН [35] методом Н. Н. Давиденкова было определено распределение остаточных напряжений по глубине. Для этого с базовой длины 18 мм средней части упрочненной грани образца автоматически стравливался металл, измерялось изменение стрелы прогиба и реконструировалось распределение тангенциальной компоненты напряжений по глубине. При снятии слоя глубиной 200 мкм прогиб практически полностью прекращал изменяться. В пределах данного слоя располагались пластические деформации, являющиеся источником остаточных напряжений и вызванного ими прогиба. На рис. 1 приведены экспериментальные зависимости изменения стрелы прогиба от толщины снятого слоя, соответствующие каждому из образцов. Рис. 1. Зависимость стрелы прогиба от толщины снятого слоя для трех образцов (экспериментальные данные) [Figure 1. The maximum deflection of a plate after removal of the layer for three samples (experimental data)] 2. Уравнения и гипотезы. При построении уравнений принимается гипотеза о том, что упругие свойства в пограничном слое, охваченном пластическими деформациями, после дробеструйной обработки остаются изотропными и характеризуются теми же упругими модулями, какие были до обработки. Модель в сильной (дифференциальной) постановке включает в себя уравнения равновесия упругого тела с пластическими деформациями: ∇ · σ = 0, εe = ε - εp , σ = λ tr(εe )I + 2µεe , ε = 12 (∇u + u∇), tr(εp ) = 0; (1) условия на боковых сторонах пластины: n · σ = 0 (z = 0, z = h); 44 (2) К вопросу о реконструкции остаточных напряжений и деформаций пластины. . . условия на ее концах: n · σ = 0 (x = ±l) (3) и условия закрепления: ux = uy = 0 (x = y = 0), uz = 0 (x = y = z = 0). (4) Здесь σ - тензор напряжений; ε, εe , εp - тензоры полных, упругих и пластических деформаций; u - вектор перемещений; n - внешняя нормаль к границе; x, y, z - декартовы координаты, последняя из которых перпендикулярна плоскости пластинки (рис. 2). Рис. 2. Постановка задачи для пластины конечных размеров [Figure 2. The statement of the problem for a finite plate] Уравнения (1)-(4) могут быть записаны в форме µ∇ · ∇u + (λ + µ)∇∇ · u = 2µ∇ · εp , λn∇ · u + µn · (∇u + u∇) = 2µn · εp , z = 0, h; x = ±l, (5) из которой видно, что поле пластических деформаций трансформируется в массовые и поверхностные силы и является источником остаточных полей упругих перемещений, деформаций и напряжений. Принимается гипотеза о следующей структуре тензора пластических деформаций: 1 εpxx = εpyy = - εpzz = f (z), 2 εpxy = εpxz = εpyz = 0, (6) где f (z) - функция, задающая пограничный слой пластических деформаций, формируемый односторонней дробеструйной обработкой. На рис. 3 для примера приведена функция f (z) = a (1 + th(k(z - b))) , (7) где a = 0.5, b = 0.9, k = 20, изменяющаяся в пределах от 0 до 2a на отрезке [b - 2/k, b + 2/k] и качественно отражающая структуру пограничного слоя Следует заметить, что тензор εp , источник остаточных напряжений, можно трактовать как тензор деформаций пластины с неоднородным анизотропным полем тензора коэффициентов линейного температурного расширения под действием однородного поля температуры: f (z) = k(z)∆T. (8) 45 К е л л е р И. Э., Т р о ф и м о в В. Н., В л а д ы к и н А. В., П л ю с н и н В. В. и д р. Рис. 3. Профиль пограничного слоя пластических деформаций [Figure 3. The profile f (z) of the boundary layer (see Eq. (7), where a = 0.5, b = 0.9, k = 20) of the plastic strain as a function of the plate thickness z] Поле тензора пластических деформаций, имеющего структуру (6), является несовместным, то есть порождает остаточные напряжения, если выражение Ink εp = ∇ × εp × ∇ = f (z)(ax ax + ay ay ), (9) где ax , ay - ортонормированный базис в плоскости пластины, тождественно не равно нулю на отрезке z ∈ [0, h]. Это выполняется, если функция f (z) на этом отрезке не является линейной. Функция (7), как и более простая двухпараметрическая зависимость f (z) = 0, z ∈ [0, z∗ ]; k(z - z∗ ), z ∈ [z∗ , h], для которой Ink εp = 0 в одной точке z = z∗ , гарантированно удовлетворяют такому условию. 3. Численный расчет и качественный анализ решения. С целью качественного анализа напряженно-деформированного состояния пластины с пограничным слоем пластических деформаций (6),(7) задача (1),(2),(4), переформулированная в слабой постановке для плоско-деформированного состояния, была численно решена в пакете ANSYS Mechanical 14. В расчетах источник остаточных напряжений задавался в термоупругой постановке с однородным полем температуры ∆T и неоднородным анизотропным полем тензора коэффициентов линейного температурного расширения (8). Размеры пластины 100×1.3 мм, модуль Юнга E = 215 ГПа и коэффициент Пуассона ν = 0.34 соответствовали размерам и материалу калибровочной пластины в эксперименте. Деформация и распределение напряжений σxx в пластине с полем пластических деформаций εp приведены на рис. 4, 5. Пластина оказывается выпуклой со стороны, на которой находится пограничный слой пластических 46 К вопросу о реконструкции остаточных напряжений и деформаций пластины. . . деформаций, при этом компонента перемещений ux в сечении, взятом на расстоянии одной четвертой длины пластины для исключения краевых эффектов (рис. 6), оказывается линейно зависящей от координаты z, то есть кинематика пластины соответствует гипотезе плоских сечений. Значение стрелы прогиба на базе 60 мм длины пластины оказалось равным 0.21 мм. Профиль компоненты σxx остаточных напряжений в сечении, взятом на расстоянии одной четвертой длины пластины (для исключения краевых эффектов), приведен на рис. 7. Здесь обращают на себя внимание следующие особенности. Заданный источник εp создает поле сжимающего тангенциального напряжения вблизи обеих наружных поверхностей пластинки, а также поле растягивающего тангенциального напряжения во внутренней области пластинки так, что интегральные значения силы и момента этого поля по толщине пластинки оказываются практически нулевыми: h h σxx (z)dz ≈ 0, F = zσxx (z)dz ≈ 0. M= 0 0 Зависимости z z σxx (ζ)dζ, F (z) = M (z) = ζσxx (ζ)dζ 0 0 приведены на рис. 8, 9. Профиль исследуемой компоненты остаточных напряжений оказывается линейным вне пограничного слоя и в определенном масштабе с инверсией повторяет заданный профиль пластических деформаций в пределах пограничного слоя. По этой причине остаточные напряжения меняют знак в точке, располагающейся в пределах пограничного слоя пластических деформаций. 4. Построение аналитического решения. Численный анализ задачи (1), (2), (4), (6), (7), выполненный в предыдущем разделе, позволяет рассматривать упрощенную формулировку задачи для определения напряженно-деформированного состояния поверхностно упрочненной калибровочной пластины, игнорирующую небольшие краевые эффекты. Рассмотрим неограниченную пластину (рис. 10), для которой вместо граничных условий (3) принимаются условия h h σrr (z)dz = 0, 0 zσrr (z)dz = 0, r > 0, (10) 0 где r, ϕ, z - цилиндрические координаты, последняя из которых перпендикулярна плоскости пластинки. Условия закрепления (4) для нее формулируются в виде ur r=0 = 0, uz r = 0 = 0, ω r=0 = 0, (11) z=0 где ω - малый поворот в плоскости пластины, и компоненты тензора пластических деформаций (6) переписываются следующим образом: 1 εprr = εpϕϕ = - εpzz = f (z), 2 εprϕ = εprz = εpϕz = 0. (12) 47 К е л л е р И. Э., Т р о ф и м о в В. Н., В л а д ы к и н А. В., П л ю с н и н В. В. и д р. Рис. 4. Рассчитанное искривление пластины, вызванное пограничным слоем пластических деформаций [Figure 4. The calculated plate bending caused by a boundary layer of the plastic strains] Рис. 5. Рассчитанное распределение остаточных напряжений σxx (МПа), вызванное пограничным слоем пластических деформаций [Figure 5. The calculated residual stresses distribution, σxx in MPa, caused by a boundary layer of the plastic strains] Рис. 6. Рассчитанный профиль тангенциальной компоненты перемещений ux по толщине пластины [Figure 6. The calculated tangential component of displacements, ux in mm, as a function of the plate thickness z] 48 К вопросу о реконструкции остаточных напряжений и деформаций пластины. . . Рис. 7. Рассчитанный профиль тангенциальной компоненты остаточных напряжений по толщине пластины в сопоставлении с экспериментальными данными [Figure 7. Calculated and reconstructed tangential residual stress fields across the plate thickness] Рис. 8. Зависимость силы F в поперечном сечении x = l/2 от координаты z [Figure 8. The force distribution in a cross-section through the plate thickness for x = l/2] Рис. 9. Зависимость момента M в поперечном сечении x = l/2 от координаты z [Figure 9. The moment variation in a cross-section through the plate thickness for x = l/2] 49 К е л л е р И. Э., Т р о ф и м о в В. Н., В л а д ы к и н А. В., П л ю с н и н В. В. и д р. Рис. 10. Постановка задачи для неограниченной пластины [Figure 10. The statement of the problem for an infinite plate] Характер механической обработки калибровочной пластины позволяет предположить, что пластические деформации (7), (12) порождают поле полных деформаций, которое является однородным и изотропным в плоскости пластины (тензор полных деформаций осесимметричный [36] с осью симметрии, нормальной к плоскости пластины, и зависит только от координаты z): εrr = εϕϕ = ε1 (z), εzz = ε2 (z), εrϕ = εrz = εϕz = 0. (13) В таком случае из уравнений совместности деформаций Ink ε = 0 (определение оператора несовместности см. в (9)) следует ε1 (z) = Cz + D, (14) то есть выполняется гипотеза плоских сечений. Далее из уравнений равновесия, упругих соотношений системы (1) и граничного условия (2) с учетом (6), (13), (14), перейдя к техническим упругим константам, можно выписать следующие выражения для компонент напряжений: E f (z) - Cz - D , 1-ν = σrz = σzz ≡ 0. σrr (z) = σϕϕ (z) = - σrϕ = σϕz (15) Произвольные константы C и D определяются из условий (10): Ch = 12N - 6K, K= 1 h D = 4K - 6N ; h f (z)dz, 0 N= 1 h2 (16) h zf (z)dz. 0 Одновременно с напряжениями конкретизируется выражение ε2 (z) = -2C λ λ µ z - 2D -4 f (z). λ + 2µ λ + 2µ λ + 2µ (17) Следует отметить, что условия (10) можно получить из требования минимальности энергии остаточных напряжений (на единицу площади пластины) U= 50 E 1-ν h Cz + D - f (z) 0 2 → min К вопросу о реконструкции остаточных напряжений и деформаций пластины. . . по произвольным константам C, D (соответствующий вариационный принцип приводится в [37, раздел 4.4]). Таким образом, качественные особенности напряженно-деформированного состояния, выявленные с помощью численного расчета, по сути, вытекают из гипотез (13), определяющих решение. Далее по найденным на предыдущем этапе выражениям для ε1 (z) и ε2 (z) из кинематических соотношений системы (1) и условий (11) определяются компоненты перемещений. Сначала из уравнения εz = находится ∂uz = ε2 (z) ∂z z uz = ε2 (z)dz + g(r, ϕ), 0 где g(r, ϕ) - произвольная функция. Затем из условия ω r=0 = uϕ 1 ∂ur 1 ∂uϕ = + 2 ∂r r ∂ϕ r r=0 =0 с учетом (14) находится uϕ ≡ 0. С учетом этого из уравнения εϕϕ = 1 ∂uϕ ur + = ε1 (z) r ∂ϕ r следует ur = (Cz + D)r. Далее из уравнения εϕz = 1 ∂uϕ 1 ∂uz + 2 ∂z r ∂ϕ =0 вытекает, что g(r, ϕ) ≡ g(r). Наконец, из уравнения εzr = 1 ∂uz ∂ur + 2 ∂r ∂z =0 с учетом (14), последнего из условий (11) и полученной выше конкретизации функции g вытекает g(r) = - C2 r2 , и, окончательно, перейдя к техническим упругим константам, компоненты перемещений можно записать в виде ur = Crz + Dr, uz = - uϕ ≡ 0, C 2 Cν 2 2Dν 2(1 - 2ν) r - z - z- 2 1-ν 1-ν 1-ν z f (z)dz. 0 Из последнего выражения находится прогиб пластины: C 3l2 uz r = l = - l2 = - (2N - K). 2 h (18) z=0 Из (15) следует, что профиль пограничного слоя остаточных напряжений в пластине состоит из слагаемого, конгруэнтного профилю пограничного слоя 51 К е л л е р И. Э., Т р о ф и м о в В. Н., В л а д ы к и н А. В., П л ю с н и н В. В. и д р. пластических деформаций, и линейного слагаемого с произвольными постоянными, определяемыми из интегральных условий равенства нулю усилия и момента в пластине. Структура решения подтверждает вывод о том, что остаточные напряжения меняют знак в точке, располагающейся в пределах пограничного слоя пластических деформаций. ˆ ˆ - характерная В практически важных случаях отношение δ = h/h, где h толщина упрочненного пограничного слоя, является малым параметром. Из соотношений (15), (16) следует, что постоянные C, D, определяющие линейную часть выражения остаточных напряжений, суть малые величины порядка δ. При неограниченном увеличении толщины пластины при любом фиксиˆ постоянные C, D стремятся к нулю вместе с δ, в силу рованном значении h чего выражение (15) трансформируется в формулу σrr = σϕϕ = - E f (z), 1-ν полученную Ж. Заркой [38] (вывод которой можно найти в более доступной работе [13]). Выражения (12), (14), (15), (17) позволяют установить, что напряжения в постановке задачи (5)-(8) σrr = σϕϕ = E 2ν E (Cz + D) - f (z) 1-ν 1-ν1+ν отличаются от остаточных напряжений (15): σrr = σrr - E f (z), 1+ν σϕϕ = σϕϕ - E f (z). 1+ν Несложно показать, что в выражениях для σrr , σϕϕ для превращения их в остаточные напряжения σrr , σϕϕ следует умножить слагаемое f (z) на множитель 1+ν 2ν . Эту операцию необходимо выполнять при численном расчете остаточных напряжений при использовании постановки (5)-(8). Использование представления пластических деформаций остаточными или термоупругими деформациями (13) в стандартных типах конечных элементов пакета ANSYS не требует корректировки напряжений. 5. Обоснование формулы Давиденкова-Биргера. Для реконструкции остаточных напряжений в призматическом теле методом Давиденкова обычно используют формулу Давиденкова-Биргера [19, с. 65-67]: σxx (z) = - E z 2 u (z) + 4z u(z) - u(h) + 2 3l2 z u(ζ) - u(h) dζ , (19) h выведенную в приближении теории изгиба балок. В выражении (19) u(z) - зависимость стрелы прогиба балки от координаты z верхней грани балки после стравливания слоя толщиной h - z. Для реконструкции остаточных напряжений в круглой или квадратной пластине может быть использовано решение (15), (16), (18), однако для призматического тела корректнее использовать более подходящие постановки за52 К вопросу о реконструкции остаточных напряжений и деформаций пластины. . . дачи. Для условия плоского деформированного состояния u = u(x, z) рассматривается следующая структура тензора пластических деформаций: εpxx = -εpzz = f (z), εpyy = 0, εpxy = εpxz = εpyz = 0. Поскольку такой тензор является ортотропным [36], задачу удобнее рассматривать в декартовой ортогональной системе координат. В граничных условиях (10) под σrr следует понимать σxx . Ненулевые компоненты остаточных напряжений принимают вид σxx = - E f (z) - Cz - D , 1 - ν2 σyy = Eν (Cz + D), 1 - ν2 а выражения (16), (18) остаются без изменений. Для плоского напряженного состояния принимается следующая структура тензора пластических деформаций: εpxx = f (z), εpyy = g(z), εpzz = -f (z) - g(z), εpxy = εpxz = εpyz = 0, (20) причем плоское напряженное состояние σyy ≡ 0 возможно только в случае g(z) = - λ f (z). 2(λ + µ) Ненулевая компонента остаточных напряжений имеет вид σxx = -E f (z) - Cz - D ; (21) выражения (16), (18) также остаются без изменений. Последнее решение соответствует изгибу призматического тела и его корректно сравнить с формулой (19). Покажем, что формула (19) вытекает из решения (15), (16), (18). Из (18) с учетом (16) получается f (z) = 1 z 2 u (z) + 4zu(z) + 2 3l2 z u(ζ)dζ . (22) 0 Далее из (21) с учетом (16) и выражений h h 1 2 h u(h) + 2h u(ζ)dζ , 3l2 0 0 h h 1 u(ζ)dζ , f (ζ)ζdζ = h3 u(h) + 2 h2 3l 0 0 вытекающих из (22), после некоторых элементарных манипуляций можно получить (19). В монографии [39, с. 57-60] определено напряженно-деформированное состояние пластины с остаточными (здесь пластическими) деформациями. Постановка задачи в сравнении с рассматриваемой в настоящей работе содержит дополнительные предположения, вместе с которыми выражения (15), (16) остаются в силе, но выражение для стрелы прогиба принимает вид f (ζ)dζ = uz r = l z = h/2 3 1 = - (2N - K) (1 - ν)l2 + (1 + ν)l . h 2 53 К е л л е р И. Э., Т р о ф и м о в В. Н., В л а д ы к и н А. В., П л ю с н и н В. В. и д р. Данное решение также приведено в монографии [19], но для реконструкции остаточных напряжений и обоснования формулы (19) оно не использовалось. 6. Численная реализация процедуры реконструкции остаточных напряжений и деформаций. В случае стравливания части поверхности образца выражения (19), (22) примут вид σ(a) = ε(a) = a 4E (h - a)2 u (a) - 4(h - a)u(a) - 2 3l(2ly - l) u(ζ)dζ , (23) 0 4 -(h - a)2 u (a) + 4(h - a) u(a) - u0 - 3l(2ly - l) h -2 u(ζ) - u0 dζ , (24) a где σ(a) = σxx (z), ε(a) = f (z), ly - длина образца, l - длина фрагмента образца, на котором происходит травление. Здесь для удобства сделана замена z на h - a, где a - глубина, отсчитываемая относительно упрочненной поверхности, u(a) - изменение стрелы прогиба в процессе стравливания, то есть u(0) = 0, u0 = u(a0 ), где a0 - глубина упрочненного слоя, причем u(a) = u(a0 ) при a > a0 , что означает постоянство прогиба при стравливании неупрочненного материала. По массиву значений изменения стрелы прогиба u(ai ) = ui , i = 1, . . . , n, можно реконструировать поля остаточных напряжений и пластических деформаций в образце. Стоит отметить, что значения остаточных напряжений можно реконструировать пошагово, то есть после снятия k слоев можно получить k значений σi , i = 1, . . . , k, тогда как реконструкция функции остаточных деформаций возможна только после снятия всех слоев, содержащих пластические деформации, когда станет известен весь массив значений прогиба. Выражения (23), (24) в дискретном случае имеют вид σi = εi = ai 4E (h - ai )2 ui - 4(h - ai )ui + 2 3l(2ly - l) u(ζ)dζ , (25) 0 4E -(h - ai )2 ui + 4(h - ai )(ui - u0 )- 3l(2ly - l) h -2 u(ζ) - u0 dζ . (26) ai Значения интегралов в (25), (26) можно получать методом трапеций. Значения производной ui следует находить с высокой точностью, однако даже разностные схемы высокой точности заметно усиливают погрешности экспериментальных данных. Поэтому дискретизованные экспериментальные данные были сначала аппроксимированы гладкой функцией, а затем использованы формулы (23), (24). Для аппроксимации использовалась функция u ˜(a) = κ1 54 1 + erf κ3 (κ2 a - 1) + κ2 a 1 - erf κ3 (κ2 a - κ4 ) , (27) К вопросу о реконструкции остаточных напряжений и деформаций пластины. . . где erf - функция ошибок, а коэффициенты κi были найдены методом наименьших квадратов. На рис. 11 приведена дискретизация одной из кривых прогибов (верхняя кривая на рис. 1) и ее аппроксимация (27). На рис. 12 и 13 приведены результаты поточечной реконструкции полей остаточных напряжений и пластических деформаций по формулам (25), (26) (для вычисления значений производной использовалась пятиточечная разностная схема), а также результаты реконструкции с использованием аппроксимации (27) по формулам (23), (24). На рис. 7 приведены результаты численного расчета остаточных напряжений, в качестве источников которых задавалась сглаженная версия реконструированного профиля пластических деформаций (рис. 13). Рис. 11. Зависимость стрелы прогиба от толщины снятого травлением слоя (эксперимент и аппроксимация (27) ) [Figure 11. The maximum deflection of a plate after removal of the layer (experimental data and approximation (27) for the top curve in Fig. 1)] Рис. 12. Остаточные напряжения в пограничном слое, реконструированные по данным эксперимента [Figure 12. Residual stresses in the boundary layer reconstructed from experimental data] 55 К е л л е р И. Э., Т р о ф и м о в В. Н., В л а д ы к и н А. В., П л ю с н и н В. В. и д р. Рис. 13. Остаточные деформации в пограничном слое, реконструированные по данным эксперимента [Figure 13. Residual (plastic) strains in the boundary layer reconstructed from experimental data] Сопоставление результата с реконструированным профилем остаточных напряжений (рис. 12) показывает хорошее качественное и количественное соответствие1 . Заключение. В данной работе предпринята ревизия выражения, связывающего профиль остаточных напряжений с экспериментально определяемой зависимостью прогиба калибровочной пластины от толщины слоя, стравленного с упрочненной поверхности. С этой целью решена пространственная задача равновесия упругой пластины с пограничным слоем пластических деформаций в предположении однородности и изотропии поля деформаций в плоскости пластины и выполнения условий на свободных краях в слабой форме. Показано, что формула Давиденкова-Биргера вытекает из решения упомянутой выше задачи. Также получено явное выражение, связывающее профиль пластических деформаций с экспериментально определяемой зависимостью прогиба калибровочной пластины от толщины слоя, стравленного с упрочненной поверхности. Эти данные позволяют естественным образом учесть остаточные напряжения в численной реализации задачи посредством аналогии пластических и термоупругих деформаций. Для апробации результатов были выполнены натурный и численный эксперименты и показано соответствие одного другому. При этом реализована процедура сглаживания данных лабораторных исследований, позволяющая учесть погрешность измерений. Результаты имеют общность применения к широкому классу задач для упругих тел с упрочняющими покрытиями, а также определенную методическую ценность в усовершенствовании основ экспериментального исследования полей остаточных напряжений и пластических деформаций для разнооб1 На рис. 13 напряжения, рассчитанные для плоского деформированного состояния, умножены на 1 - ν 2 согласно (21), (20) для соответствия плоскому напряженному состоянию. 56 К вопросу о реконструкции остаточных напряжений и деформаций пластины. . . разных способов поверхностно-упрочняющей обработки и данных, полученных различными способами экспериментальной верификации состояния поверхностного слоя. Результаты предполагается использовать для разработки методики учета пограничного слоя остаточных напряжений при численных расчетах ресурса деталей машин стандартными пакетами прикладных вычислений. Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

About the authors

Ilya E Keller

Perm National Research Polytechnic University; Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS

Email: kie@icmm.ru
Dr. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Professor, Dept. of Dynamics and Strength of Machines; Researcher, Lab. of Nonlinear Mechanics of Deformable Solids 29, Komsomolsky prospekt, Perm, 614990, Russian Federation; 1, Academician Korolev Street, Perm, 614013, Russian Federation

Victor N Trofimov

Perm National Research Polytechnic University

Email: tvn_perm@mail.ru
Dr. Techn. Sci.; Associate Professor; Professor; Dept. of Dynamics and Strength of Machines 29, Komsomolsky prospekt, Perm, 614990, Russian Federation

Aleksey V Vladykin

Perm Engine Company OJSC

Email: vladykin-av@pmz.ru
Cand. Techn. Sci.; Deputy Chief; Center for Progressive Technologies 93, Komsomolsky prospekt, Perm, 614010, Russian Federation

Viktor V Plyusnin

Perm Engine Company OJSC

Email: dolgih-nv@pmz.ru
Head; Dept. of Physical and Mechanical Research 93, Komsomolsky prospekt, Perm, 614010, Russian Federation

Dmitriy S Petukhov

Perm National Research Polytechnic University; Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS

Email: petuhovds@mail.ru
Assistant, Dept. of Dynamics and Strength of Machines; Postgraduate Student, Lab. of Nonlinear Mechanics of Deformable Solids 29, Komsomolsky prospekt, Perm, 614990, Russian Federation; 1, Academician Korolev Street, Perm, 614013, Russian Federation

Ilya V Vindokurov

Perm National Research Polytechnic University

Email: dpmm17@mail.ru
Student; Dept. of Dynamics and Strength of Machines 29, Komsomolsky prospekt, Perm, 614990, Russian Federation

References

Supplementary files