Том 22, № 1 (2018)

18 января 2018 г. исполнилось 70 лет доктору физико-математических наук, профессору, заслуженному деятелю науки Российской Федерации Александру Павловичу Солдатову. В настоящей заметке приводятся сведения из научной биографии этого крупного ученого, который хорошо известен в России и за рубежом. Представлены сведения о его вкладе в развитие математики в области дифференциальных уравнений с частными производными и их приложений.

Предметом исследования является математическое описание формы и напряженно-деформированного состояния стальной пластины, подвергнутой односторонней дробеструйной обработке, его экспериментальное подтверждение и применение результатов для верификации методов реконструкции полей остаточных напряжений и деформаций по экспериментальным данным. Подобная пластина используются на производстве в качестве калибровочного образца для определения времени пневмодробеструйной обработки, необходимого для формирования в поверхностном слое обрабатываемого изделия сжимающих тангенциальных остаточных напряжений заданной величины, а сам метод калибровки оказывается удобным и довольно широко распространенным для различных способов поверхностно упрочняющей обработки. Источником остаточных напряжений в данном случае является пограничный слой пластических деформаций, наводимый рассматриваемым технологическим процессом. Для постановки задачи задается структура поля тензора пластических деформаций. Форма и напряженно-деформированное состояние упругой пластины с пограничным слоем пластических деформаций были рассчитаны численно, в результате чего были выявлены качественные особенности данных полей, ослаблены граничные условия задачи и сформулированы гипотезы о структуре решения соответствующей пространственной задачи теории упругости, которое далее было найдено аналитически. Показано, что в рамках приближения плоского напряженного состояния в поперечных направлениях результат точно соответствует формуле Давиденкова-Биргера, связывающей зависимость тангенциальной компоненты остаточных напряжений от координаты по толщине пластины с функцией прогибов. Получена явная формула для зависимости остаточной (пластической) деформации от координаты по толщине. Проанализированы источники погрешностей полученных выражений и способы их коррекции. Проведен эксперимент по односторонней дробеструйной обработке калибровочной пластины, изготовленной из закаленной стали 65Г, для которой выполнено травление обработанной поверхности с измерением изменения стрелы прогиба (метод Н. Н. Давиденкова). С помощью полученных экспериментальных данных были численно реконструированы профили остаточных напряжений и деформаций с разумной точностью. Результат применим к широкому классу задач для упругих тел с упрочняющими покрытиями, а также имеет определенную методическую ценность для усовершенствования основ экспериментального исследования таких задач, позволяет формулировать и подтверждать экспериментом гипотезы о структуре решения, изучать связь рассматриваемых полей в предельных случаях, верифицировать применение различных способов учета остаточных напряжений и деформаций в численных расчетах. Найденное решение может быть использовано для верификации полей напряжений и перемещений при выборе различных вариантов предварительно напряженных или деформированных поверхностных оболочечных конечных элементов в рамках пакетов прикладных программ для расчета усталостной долговечности деталей машин с поверхностными упрочняющими покрытиями и также представляется опорным для исследования поверхностно упрочненных тел с криволинейной свободной границей, к которым сводится большинство практически важных задач.

Исследуется устойчивость деформируемого элемента конструкции в виде пластины-полосы при обтекании ее сверхзвуковым потоком идеального газа. Принятые в работе определения устойчивости соответствуют концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову. Для описания динамики упругого тела используется математическая модель, учитывающая поперечные и продольные деформации упругой пластины. Модель описывается связанной системой дифференциальных уравнений в частных производных для двух неизвестных функций деформаций. Аэродинамическое давление на пластину определяется согласно «поршневой» теории А. А. Ильюшина. На основе построенного функционала для случая шарнирного неподвижного закрепления концов пластины получены достаточные условия устойчивости решений предложенной системы уравнений, описывающей продольно-поперечные колебания пластины. Произведена оценка амплитуды деформаций в зависимости от начальных условий. На конкретном примере одной механической системы показано использование доказанных теорем и оценок.

Использование многочлена Тейлора второй степени при аппроксимации производных конечными разностями приводит ко второму порядку аппроксимации традиционного метода сеток при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. В работе при исследовании краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами рассмотрен предложенный ранее метод численного интегрирования, использующий средства матричного исчисления, в котором аппроксимация производных конечными разностями не использовалась. Согласно указанному методу, при составлении системы разностных уравнений может быть выбрана произвольная степень многочлена Тейлора в разложении искомого решения задачи в ряд Тейлора. Вычислена невязка и дана оценка порядка аппроксимации метода в зависимости от выбранной степени многочлена Тейлора при использовании четырехточечного шаблона. Теоретически выявлены закономерности между порядком аппроксимации матричного метода и степенью используемого многочлена Тейлора. Установлено, что порядок аппроксимации пропорционален степени используемого многочлена Тейлора и меньше нее на две единицы. При использовании пятиточечного шаблона предложена процедура построения фиктивного граничного условия, позволяющая построить замкнутую систему разностных уравнений матричного метода численного интегрирования. Система разностных уравнений разбита на две подсистемы: в первую подсистему вошли два уравнения, первое из которых содержит заданное значение производной в граничных условиях задачи, второе - вычисленное из фиктивного граничного условия значение; во вторую подсистему вошли оставшиеся разностные уравнения построенной замкнутой системы. Вычислена невязка и дана оценка порядка аппроксимации метода в зависимости от выбранной степени многочлена Тейлора при использовании пятиточечного шаблона. Теоретически выявлены закономерности между порядком аппроксимации матричного метода и степенью используемого многочлена Тейлора. Установлено следующее: а) порядок аппроксимации первой подсистемы, второй подсистемы при четном значении степени используемого многочлена Тейлора и всей задачи пропорционален этой степени и меньше нее на две единицы; б) порядок аппроксимации второй подсистемы при нечетном значении степени используемого многочлена Тейлора пропорционален этой степени и меньше нее на единицу.