The equiconvergence theorem for an integral operator with piecewise constant kernel

Abstract


The paper is devoted to the equiconvergence of the trigonometric Fourier series and the expansions in the eigen and associated functions of the integral operator A, the kernel of which has jumps on the sides of the square inscribed in the unit square. An equivalent integral operator in the space of 4-dimension vector-functions is introduced. This operator is remarkable for the fact that the components of its kernel have discontinuities only on the line diagonal. Necessary and sufficient conditions of the invertibility of the operator A are obtained in the form that a certain 4th order determinant is not zero. The Fredholm resolvent of the operator A is studied and its formula is found. The constructing of this formula is reduced to the solving of the boundary value problem for the first order differential system in the 4-dimension vector-functions space. To overcome the difficulties of this solving the transformation of the boundary value problem is carried out. Conditions analogous to Birkhoff regularity conditions are also obtained. These conditions mean that some 4th order determinants are not zero and can be easily verified. Under these conditions the determinant, which zeros are the eigenvalue of the boundary value problem, can be estimated. The equiconvergence theorem for the operator A is formulated. The basic method used in the proof of this theorem is Cauchy-Poincare method of integrating the resolvent of the operator A over expanding contours in the complex plane of the spectral parameter. An example is also given of the integral operator with piecewise constant kernel, which satisfies all the requirements obtained in the paper.

Full Text

1. Постановка задачи и вспомогательные результаты. Впервые теоремы равносходимости были получены в работах В. А. Стеклова [1], Е. Гобсона [2], А. Хаара [3] для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. Затем Я. Д. Тамаркиным [4], М. Стоуном [5] были распространены на дифференциальный оператор произвольного порядка n-2 l[y] = y (n) pk (x)y (k) , + pk (x) ∈ C[0, 1], (1) k=0 с произвольными краевыми условиями n-1 ajk y (k) (0) + bjk y (k) (1) = 0, Uj (y) = j = 1, 2, . . . , n, (2) k=0 которые удовлетворяют условиям регулярности Биркгофа [6, с. 66-67]. Оператор (1), (2) для произвольного n в 1908 исследовал Дж. Биркгоф [7, 8]. Теорема равносходимости для интегрального оператора была получена А. П. Хромовым [9]. Он рассмотрел случай, когда некоторые производные ядра имеют разрыв 1-го рода на линии t = x. Затем он исследовал новый класс интегральных операторов, когда это свойство ядер наблюдается на линиях t = x и t = 1 - x. Одним из таких операторов является оператор 1-x Af (x) ≡ x A(1 - x, t)f (t) dt + α 0 A(x, t)f (t) dt, 0 где x ∈ [0, 1], а ядро A(x, t) n раз непрерывно дифференцируемо по x и один раз по t при 0 t x 1 и ∂ s+j A(x, t) ∂xs ∂tj t=x = δn-1,j s, j = 0, n, δi,j - символ Кронекера, α - произвольное комплексное число, α2 = 1. В настоящей работе исследуется равносходимость разложений в тригонометрические ряды Фурье и по собственным и присоединенным функциям интегрального оператора 1 y(x) = Af (x) ≡ A(x, t) f (t)dt (3) 0 с ядром  α1 , 0 t 12 - x, 0     1  α2 , t 1, 0  2 +x    α , 1 1 0 t - 2 + x, 3 2 A(x, t) = 3 1  α4 , t 1,  2 -x 2   1 1   α , - x t + x, 0 5  2 2   α5 , - 12 + x t 23 - x, 21 x x x x x x 1 2; 1 2; 1; 1; 1 2; 1, 185 К о р о л е в а О. А. которое терпит скачки на сторонах квадрата, вписанного в единичный квадрат (см. рисунок). Здесь α1 , α2 , . . . , α5 - произвольные комплексные числа. В пространстве вектор-функций размерности 4 рассмотрим эквивалентный ему интегральный оператор: 1 2 z(x) = Bg(x) ≡ B(x, t)g(t) dt, 0 1 , (4) 2 x 0 где z(x) = (z1 (x), z2 (x), z3 (x), z4 (x)) , g(x) = (g1 (x), g2 (x), g3 (x), g4 (x)) , (5)   0 A(x, 12 - t) A(x, 12 + t) 0 A( 1 - x, t) 0 0 A( 12 - x, 1 - t)   B(x, t) =  21 . A( 2 + x, t) 0 0 A( 12 + x, 1 - t) 0 A(1 - x, 12 - t) A(1 - x, 21 + t) 0 Для рассматриваемых операторов A и B, определяемых формулами (3), (4), справедлива Теорема 1. Если y(x) = Af (x), то z(x) = Bg(x), причем z(x) = y(x), y( 21 - x), y( 12 + x), y(1 - x) , g(x) = f (x), f ( 12 - x), f ( 12 + x), f (1 - x) . Если z(x) = Bg(x), где z(x), g(x) определены как (5) и g1 (x) = g2 ( 12 - x), а g3 (x) = g4 ( 12 - x), то z1 (x) = z2 ( 12 - x), z3 (x) = z4 ( 12 - x) и y(x) = Af (x), где f (x) = g1 (x), x ∈ [0, 12 ]; g3 (- 12 + x), x ∈ [ 12 , 1]; y(x) = z1 (x), x ∈ [0, 21 ]; z3 (- 12 + x), x ∈ [ 12 , 1]. Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим оператор (3) в виде суммы: 1 2 y(x) = 1 A(x, t)f (t) dt + A(x, t)f (t) dt. Пусть x ∈ [0, 21 ]. В первом интеграле из (6) сделаем замену t = втором t = ξ + 12 . Затем переобозначим ξ = t и получим 1 2 y(x) = 1 2 A(x, - 0 (6) 1 2 0 t)f ( 12 1 2 - t) dt + 0 1 2 A(x, 21 + t)f ( 12 + t) dt. - ξ, во (7) Здесь ядра в обоих интегралах имеют разрыв на линии x = t. Положим в (7) 1 1 2 - x вместо x и в обоих интегралах выполним замены t = 2 - ξ, затем переобозначим ξ = t, чтобы опять разрывы ядер были на линии x = t: y( 12 186 1 2 - x) = 0 A( 12 1 2 - x, t)f (t)dt + 0 A( 12 - x, 1 - t)f (1 - t) dt. (8) Теорема равносходимости для интегрального оператора с кусочно-постоянным ядром Пусть теперь x ∈ [ 12 , 1]. Тогда положим в (6) 12 + x, вместо x (т. е. опять получаем, что x ∈ [0, 21 ]) и во втором интеграле сделаем замену t = 1-ξ, ξ = t, то есть добьемся, что разрывы ядер в интегралах опять будут на линии x = t: y( 12 1 2 + x) = 0 A( 12 + x, t)f (t) dt + y(1 - x) = 1 2 A(1 - x, - 0 A( 12 + x, 1 - t)f (1 - t) dt. 0 Наконец, в (6) положим x = 1 2 1 2 1 2 t)f ( 12 -η и t= 1 2 - ξ, затем η = x, ξ = t: 1 2 - t) dt + 0 (9) A(1 - x, 12 + t)f ( 12 + t) dt. (10) Записывая (7)-(10) в матричном виде, убеждаемся в справедливости теоремы. Замечание. Представление (4) может быть получено неоднозначно. Но в нашем случае элементы матрицы B(x, t) терпят разрывы лишь на линии t = x. Следующая теорема дает условие существования обратного оператора B -1 . Теорема 2. Оператор B обратим тогда и только тогда, когда выполняется условие det Q = ad - cb = 0, (11) где 0 -a  Q= -c 0  a = α5 - α1 , b = α5 - α2 , a 0 0 c  b 0 0 -b  , 0 -d d 0 c = α5 - α3 , d = α5 - α4 , (12) a, b, c, d - постоянные. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим однородное уравнение Bg(x) = 0, где g(x) = f (x), f ( 21 - x), f ( 12 + x), f (1 - x) . Выясним, при каких условиях оно имеет только нулевое решение. Запишем уравнение 1 2 B(x, t)g(t) dt = 0 0 в виде 1 2 x B(x, t)g(t) dt + 0 B(x, t)g(t) dt = 0. x Из определения A(x, t) и B(x, t) имеем x 0  0 α α  0 5 5 α1 0 0 α2 g(t) dt + α 0 0 α 3 0 4 α5 α5 0 1 2 x  0 α α  0 1 2 α5 0 0 α5 g(t) dt = 0. α 0 0 α 5 0 5 α3 α4 0 187 К о р о л е в а О. А. Продифференцируем это равенство по x:         f (x) f (x) 0 α5 α5 0 0 α1 α2 0  1  1   α1 0 0 α2  f ( 2 - x) α5 0 0 α5  f ( 2 - x) - = 0,      α  0 0 α4 f ( 1 + x) α5 0 0 α5 f ( 1 + x) 3  2 2 0 α5 α5 0 0 α3 α4 0 f (1 - x) f (1 - x) то есть    f (x) 0 α5 - α1 α5 - α2 0   1 0 0 α2 - α5  f ( 2 - x) α1 - α5 = 0.  α - α  0 0 α4 - α5 f ( 1 + x) 3 5  2 0 α5 - α3 α5 - α4 0 f (1 - x)  Переходя к обозначениям (12), получаем, что для обратимости оператора B необходимо и достаточно, чтобы матрица Q была невырождена: det Q = ad - cb = 0. Условие (11) для существования обратного оператора легко проверяется, в отличие от условий, которые получены в [10, 12]. Оно сразу дает вид обратного оператора B -1 : B -1 z(x) = Q-1 z (x) (13) Рассмотрим резольвенту Rλ = (E - λA)-1 A оператора A. Теорема 3. Если Rλ существует, то Rλ f (x) = v(x) (14) α1 α4 - α2 α3 = 0. (15) и выполняется условие Здесь v(x) = z1 (x), x ∈ [0, 21 ], z3 (x - 12 ), x ∈ [ 21 , 1]; z1 (x), z3 (x) - первая и третья компоненты вектора z(x), удовлетворяющего краевой задаче z (x) = Qλz(x) + Qg(x), (16) Sz(0) + T z( 12 ) = 0, (17) где 188 z(x) = y(x), y( 12 - x), y( 12 + x), y(1 - x) , g(x) = f (x), f ( 12 - x), f ( 12 + x), f (1 - x) , Теорема равносходимости для интегрального оператора с кусочно-постоянным ядром  1 0 -β2 0 0 0 0 -β1 , T = 1 0 0 0 0 0 0 -1  -β1 0 0 0 1 0 -β2   0 , S= 0 -1 0 0  0 0 1 0   β1 = α5 α4 - α5 α3 , α1 α4 - α2 α3 β2 = α5 α1 - α5 α2 . α1 α4 - α2 α3 (18) Д о к а з а т е л ь с т в о. Если y(x) = Rλ Af (x) = (E - λA)-1 Af (x), то y(x) = A λy(x) + f (x) . Тогда по теореме 1 имеем z(x) = B λz(x) + g(x) , т. е. z(x) = (E-λB)-1 Bg(x). Значит, (E-λB)z(x) = Bg(x), z(x)-λBz(x) = Bg(x). Следовательно, z(x) = λBz(x) + Bg(x). (19) Пусть x ∈ [0, 21 ]. Продифференцируем равенство (19): z (x) = λQz(x) + Qg(x). Таким образом, при x ∈ [0, 21 ] получили Rλ f (x) = v(x) = z1 (x), где z1 (x) - первая компонента вектора = y(x), y( 21 - x), y( 12 + x), y(1 - x) z(x) = z1 (x), z2 (x), z3 (x), z4 (x) . (20) Пусть x ∈ [ 21 , 1]. Из (20) z3 (x) = y( 21 + x). Сделаем замену x = ξ - 12 . Тогда ξ ∈ 12 , 1 . Переобозначим ξ = x. Получаем z3 (x - 21 ) = y(x). Таким образом, выполнение уравнения (16) доказано. Покажем, что выполняется условие (17). Используя представление (4), получим 1 2 y(0) = α1 0 y( 21 1 2 1 f (t) dt + α2 1 2 + 0) = α5 y( 12 - 0) = α5 f (t) dt, 1 2 0 1 2 1 f (t) dt + α5 f (t) dt, 1 2 0 1 f (t) dt + α5 y(1) = α3 f (t) dt, 1 2 1 f (t) dt + α4 0 f (t) dt. 1 2 Эти равенства в обозначениях 1 2 N1 = 1 f (t) dt, 0 N2 = f (t) dt 1 2 можно переписать следующим образом: y(0) = α1 N1 + α2 N2 ; y( 21 ) = y( 12 y( 12 - 0) = + 0) = α5 N1 + α5 N2 ; y(1) = α3 N1 + α4 N2 . (21) (22) (23) 189 К о р о л е в а О. А. Решим (21), (23) как систему линейных уравнений и подставим найденное решение в (22): y( 12 ) = y(0) α5 α1 - α5 α2 α5 α4 - α5 α3 + y(1) . α1 α4 - α2 α3 α1 α4 - α2 α3 Потребуем, чтобы α1 α4 - α2 α3 = 0. В обозначениях (18) краевые условия выглядят следующим образом: y( 21 - 0) = y( 12 + 0), y( 12 ) = β1 y(0) + β2 y(1). Запишем их в матричном виде:         y(0) y(0) -β1 0 0 0 1 0 -β2 0    1  1 0 0  y( 2 - 0) 1 0 -β2  y( 2 - 0)  0 -β1  0 +  1  = 0.  0 0 0 0  -1 0 0  y( 12 + 0) y( 12 + 0) 0 0 0 -1 0 0 1 0 y(1) y(1) Таким образом, условие (17) выполнено и теорема доказана. Теорема 4. Если λ таково, что однородная краевая задача для (16), (17) имеет только нулевое решение, то Rλ существует и определяется по формуле (14). Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию, однородная задача для (16), (17) имеет только тривиальное решение. То есть уравнение z (x) = Qλz(x) имеет только тривиальное решение. По формуле (13) имеем, что тривиальное решение имеет уравнение z(x) = λBz(x). Значит, по теореме Фредгольма существует и притом единственное решение уравнения z(x) = λBz(x) + Bg(x). Следовательно, существует Rλ B, а значит, существует Rλ A по теореме 1. То есть z1 (x) = Rλ Af (x) при x ∈ [0, 12 ]. Так как z3 (x) = z1 ( 21 + x), заменяем x = ξ - 12 , где уже ξ ∈ [ 21 , 1], z3 (ξ - 21 ) = z1 (ξ) = Rλ Af (ξ) при ξ ∈ [ 12 , 1]. Переобозначим ξ = x. Теорема доказана. Минимальный многочлен матрицы Q совпадает с характеристическим многочленом: λ4 - λ2 (d2 + 2bc + a2 ) + (ad - bc)2 . Значит, имеет место Лемма 1. При условиях: d + a = 0, (a - d)2 + 4bc = 0, (24) матрица Q подобна диагональной D = diag(ω1 , ω2 , ω3 , ω4 ), причем ω3 = -ω2 , ω4 = -ω1 , ω1 = ω2 = 0. Пусть матрица Γ такая, что Γ-1 QΓ = D. Выполним в (16), (17) замену z = Γh. Тогда h (x) = λDh(x) + m1 (x), U (h) = SΓh(0) + 190 T Γh( 21 ) = 0, (25) (26) Теорема равносходимости для интегрального оператора с кусочно-постоянным ядром где m1 (x) = Γ-1 Dm(x). Проведем необходимое исследование краевой задачи (25), (26). За счет выбора ω1 и ω2 можем считать, что Re λω1 Re λω2 0. Согласно [10], имеет место Лемма 2. Решение задачи (25), (26) имеет представление в виде -1 h(x, λ) = -Y (x, λ)∆ 1 2 (λ) Ux (g(x, t, λ))m1 (t) dt + gλ m1 (x), (27) 0 где Y (x, λ) = diag(eλω1 x , . . . , eλω4 x ), ∆(λ) = U Y (x, λ) ; Ux означает, что U применяется по x; g(x, t, λ) = diag g1 (x, t, λ), . . . , g4 (x, t, λ) , gi (x, t, λ) = -ε(t, x)eλωi (x-t) , ε(x, t)eλωi (x-t) , Re λωi Re λωi 1 2 gλ m1 (x) = 0, 0, ε(x, t) = 1, 0, t x, t > x; g(x, t, λ)m1 (t) dt. 0 Рассмотрим подробно ∆(λ): -β1 0 0 1 0  0 ∆(λ) =  0 -1 0 0 0 1     0 1 -β2   0 Γ 0  0 0 0 1 0 -β2 0  0 -β1 + 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0  0 0 0 0 + 1 0 0 1   µω1 0 e 0  0 Γ 0  0 -1 0 0 eµω2 0 0 0 0 eµω3 0  0 0  , 0  eµω4 где µ = λ2 . Обозначим элементы матрицы Γ через γij и выпишем элементы матрицы ∆(λ) построчно: ∆1j ∆2j ∆3j ∆4j = -β1 γ1j + (γ1j - β2 γ3j )eµωj , = γ2j - β2 γ4j - β1 γ2j eµωj , = -γ2j + γ1j eµωj , = γ3j - γ4j eµωj , j = 1, 2, 3, 4. Используя свойство аддитивности определителя, вычислим det ∆(λ). Зафиксируем arg λ. Коэффициенты при старшей и младшей степенях экспоненты обозначим через P1 и P0 :   γ11 - β2 γ31 γ12 - β2 γ32 -β1 γ13 -β1 γ14 -β1 γ22 γ23 - β2 γ43 γ24 - β2 γ44   -β1 γ21 P1 = det  , γ41 γ42 -γ23 -γ24  -γ11 -γ12 γ33 γ34 191 К о р о л е в а О. А.  -β1 γ11 -β1 γ12 γ13 - β2 γ33 γ14 - β2 γ34 -β1 γ23 -β1 γ24  γ - β2 γ41 γ22 - β2 γ42 P0 = det  21 . -γ21 -γ22 γ43 γ44 γ31 γ32 -γ13 -γ14  Потребуем, чтобы выполнялось следующее условие (условие регулярности): P1 P0 = 0. (28) Условие (28) для данного класса операторов является легко проверяемым, в отличие от условия в [12]. Нули det ∆(λ) являются собственными значениями краевой задачи (25), (26) и при больших |λ| находятся в полосах, границы которых параллельны некоторым лучам, исходящим из точки λ = 0, причем в каждой полосе в любом прямоугольнике единичной длины число нулей det ∆(λ) ограничено числом, не зависящем от прямоугольника. Тогда известно [11, гл. 3, § 1, лемма 1], что если удалить все собственные значения вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса δ, то в получившейся области Sδ справедлива оценка c eµ(ω1 +ω2 ) , | det ∆(λ)| (29) где константа c > 0 и зависит только от δ. Очевидна следующая лемма. Лемма 3. В области Sδ при больших λ для решения h(x, λ) задачи (25), (26), задаваемого формулой (27), имеют место следующие оценки: gλ m1 (x) ∞ =O f 1 , gλ χ(x) ∞ =O 1 λ , (30) где компоненты вектор-функции χ(x) являются характеристическими функциями отрезков из [0, 21 ]; · ∞ , · 1 - нормы в пространстве вектор-функций L∞ [0, 12 ], L[0, 12 ]. Рассмотрим краевую задачу u (x) = λDu(x) + m1 (x), U0 (u) = u(0) - u( 21 ) = 0. Для ее решения u(x, λ) используем формулу (27), где ∆, U заменяются на ∆0 , U0 , и оценки (29). Удалим из Sδ вместе с круговыми окрестностями δ нули det ∆0 (λ). Получим новую область, которую опять обозначим за Sδ . Тогда в Sδ выполняется Лемма 4. Для любой функции f (x) ∈ L[0, 1] имеет место соотношение h(x, λ) - u(x, λ) dλ lim r→∞ где · [ε, 21 -ε] |λ|=r = 0, [ε, 21 -ε] - норма в C[ε, 21 - ε], ε ∈ (0, 14 ). Это утверждение устанавливается c помощью оценок (29), (30). 192 Теорема равносходимости для интегрального оператора с кусочно-постоянным ядром 2. Основной результат. Сформулируем основной результат работы - теорему равносходимости. Теорема 5. Пусть выполняются условия (11), (15), (24), (28). Тогда для любой f (x) ∈ L[0, 1] имеют место следующие соотношения: 4 lim Sr (f, x) - r→∞ γ1j σr|ωj | (ϕj , x) [ε, 12 -ε] j=1 = 0, 4 γ3j σr|ωj | (ϕj , x - 12 ) lim Sr (f, x) - r→∞ j=1 [ 12 +ε,1-ε] = 0, где Sr (f, x) - частичная сумма ряда Фурье по собственным и присоединенным функциям оператора A для тех характеристических чисел λk , для которых |λk | < r; σr (f, x) - частичная сумма тригонометрического ряда Фурье на отрезке [0, 12 ] по системе e4kπix для тех k, для которых |4kπ| < r; γij (δij ) - компоненты матрицы Γ (Γ-1 ); ϕj (x) = δj1 f (x) + δj2 f ( 12 - x) + δj3 f ( 12 + x) + δj4 f (1 - x), ε ∈ (0, 14 ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем Sr (f, x) = - 1 2πi σr (f, x) = - Rλ (A)f dλ, |λ|=r 1 2πi R0λ f dλ, |λ|=r где R0λ f - решение краевой задачи y(0) = y( 12 ). y - λy = f, Пусть x ∈ [ε, 12 - ε]. Тогда, в силу теоремы 4 Sr (f, x) = - 1 2πi z1 (x)dλ = - |λ|=r 1 2πi |λ|=r (Γh(x))1 dλ, где ( · )1 - первая компонента вектора, помещенного в скобки. Тогда по лемме 4 Sr (f, x) = - 1 2πi 4 γ1j hj (x)dλ = |λ|=r j=1 =- 1 2πi 4 γ1j uj (x))dλ + o(1) = |λ|=r j=1 4 γ1j - = j=1 1 2πi uj (x) dλ + o(1), |λ|=r где o(1) → 0 при r → ∞ равномерно по x ∈ [ε, 12 - ε]. Значит, первая часть теоремы доказана. 193 К о р о л е в а О. А. Аналогично доказывается случай, когда x ∈ [ 12 + ε, 1 - ε]. 3. Пример интегрального оператора с кусочно-постоянным ядром. Приведем пример оператора с кусочно-постоянным ядром (3), для которого выполняются условия (11), (15), (24), (28). Пусть α1 = 1 + i, α2 = 1, α3 = 4 - i, α4 = 4, α5 = 2. В этом случае a = 1 - i, b = 1, c = -2 + i, d = -2, а матрица Q имеет вид  0 1-i 1 0 0 0 -1 i - 1 Q=  . 2-i 0 0 2 0 -2 + i -2 0  Условие (11) выполняется, так как ad - cb = -8 + 6i = 0. Условие (15) также выполняется: α1 α4 - α2 α3 = 5i = 0. Условия (24) для диагонализации матрицы Q выполняются: d + a = -1 - i = 0, (a - d)2 + 4bc - 8 + 6i = 0. Матрица D, подобная матрице Q, имеет вид 1 0 D= 0 0   0 0 0 i 0 0 , 0 -i 0  0 0 -1 а матрица подобия Γ, которая осуществляет преобразование подобия, имеет вид   -1 -2 - i -2 - i -1 i   -i 2i - 1 1 - 2i Γ=  . i -5i 5i -i  1 5 5 1 В этом случае условие (28) также выполняется, так как P1 = 12.48+10.64i, P0 = -6.72 - 14.96i и P1 P0 = 0. 4. Выводы. Таким образом, в работе рассмотрен класс интегральных операторов с кусочно-постоянными ядрами, для которых помимо задачи получения теоремы равносходимости получены достаточно простые для проверки условия обращения и условия регулярности, в отличие от операторов, рассмотренных в [10, 12]. При получении этих условий имеются определенные трудности, но они преодолимы. Из приведенного примера можно сделать вывод, что существуют операторы, ядра которых удовлетворяют всем перечисленным выше условиям. Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторский вклад и ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Olga A Koroleva

N. G. Chernyshevsky Saratov State University (National Research University)

Email: korolevaoart@yandex.ru
83, Astrakhanskaya st., Saratov, 410012, Russian Federation
Senior Lecturer; Dept. of Computer Algebra & Number Theory

References

  1. Stekloff W. Sur les expressions asymptotiques de certaines fonctions, définies par les équations différentielles linéaires du second ordre, et leurs applications au problème du développement d’une fonction arbitraire en séries procédant suivant les-dites fonctions // Communications de la Société mathématique de Kharkow. 2-ée série, 1907. vol. 10. pp. 97-199 (In French).
  2. Hobson E. W. On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by series of normal functions // Lond. M. S. Proc. (2), 1908. vol. 6, no. 1. pp. 349-395. doi: 10.1112/plms/s2-6.1.349.
  3. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme // Math. Ann., 1910. vol. 69, no. 3. pp. 331-371 (In German). doi: 10.1007/BF01456326.
  4. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград: тип. М. П. Фроловой, 1917.
  5. Stone M. H. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc., 1926. vol. 28, pp. 695-761. doi: 10.2307/1989072.
  6. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.
  7. Birkhoff G. D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter // Trans. Amer. Math. Soc., 1908. vol. 9, no. 2. pp. 219-231. doi: 10.2307/1988652.
  8. Birkhoff G. D. Boundary value and expansion problems of ordinary differential equations // Trans Amer. Math. Soc., 1908. vol. 9, no. 4. pp. 373-397. doi: 10.2307/1988661.
  9. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Матем. сб., 1981. Т. 114(156), № 3. С. 378-405.
  10. А. П. Хромов Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линиях // Матем. сб., 2006. Т. 197, № 11. С. 115-142. doi: 10.4213/sm1534.
  11. Расулов М. Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. 464 с.
  12. Королева О. А., Хромов А. П. Интегральный оператор с ядром, имеющим скачки на ломаных линиях // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2012. Т. 12, № 2. С. 6-13.

Statistics

Views

Abstract - 22

PDF (Russian) - 5

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies