Numerical study of mass transfer in drop and film systems using a regularized finite difference scheme in evaporative lithography

Abstract


Mass transfer in drying drops and films is interesting with practical point of view, since it is used in problems of evaporative lithography. Compensatory flows arise when conditions of nonuniform evaporation from the surface of the liquid layer are created and move colloidal particles in the region of fast evaporation. This makes it possible to obtain micro- and nanostructures of the required shape on a solid surface. Nonstationary model of mass transfer in drops and films is described in this paper. Feature of the model is to jointly take into account viscous, gravitational and capillary forces. To solve the unstable discrete problem on drying drop (film), a regularized finite difference scheme is proposed. A computer algorithm is developed on the basis of this scheme. We present a way of obtaining ring structures by using evaporative lithography method that based on the results of the computational experiments.

Full Text

Введение. Интерес исследователей к изучению процессов дегидратационной самоорганизации не угасает на протяжении последних двух или более десятилетий. Явления, происходящие в процессе высыхания капель и пленок, описаны, например, в [1, 2]. Обычно при высыхании возникают течения жидкости, вызванные испарением. Они приводят к конвекционному переносу коллоидных частиц. Использование таких течений лежит в основе испарительной литографии [3], производства микрофлюидных чипов [4], создания открытых реакторов [5]. При изучении эффекта «кофейных колец» была предложена теория [6], согласно которой можно управлять процессом осаждения частиц во время высыхания капли, манипулируя концентрацией пара вблизи двухфазной границы. На основании данной теории разработан метод, получивший название «испарительная литография» [3]. Его суть заключается в создании условий для неравномерного испарения с поверхности коллоидной жидкости. В результате возникают компенсационные потоки, которые переносят взвешенные частицы в области интенсивного испарения. Управлять плотностью потока пара вдоль свободной поверхности жидкого слоя можно, к примеру, размещая над каплей маску [3]. Это своего рода «шаблон», так как получаемая после высыхания структура осажденных на подложку частиц повторяет форму отверстий в маске. В настоящее время существует множество математических моделей, описывающих массоперенос в высыхающих каплях и пленках. Однако они обладают несколькими недостатками. Во-первых, в таких моделях, как правило, не учитывается влияние силы тяжести. В [6,7] рассматриваются капли капиллярного размера. Так как в таких открытых системах капиллярные силы доминируют над гравитационными, последними зачастую пренебрегают. В этом случае форма поверхности капель близка к форме сферического сегмента. Для капли в форме сферического сегмента давление в ней постоянно во всем объеме. При отсутствии испарения капля находится в равновесии с внешней средой. Значительное отклонение от равновесной формы заметно лишь, когда капиллярное течение не успевает компенсировать быстрое испарение жидкости [7]. Равновесная форма капель, размер которых превышает капиллярную длину, далека от формы сферического сегмента [8]. Вдали от линии контакта с горизонтальной подложкой поверхность практически плоская. В [8] описаны результаты экспериментального исследования формы капель в зависимости от силы тяжести. Математическому моделированию зависимости формы капли от силы тяжести посвящена [9]. Расчеты [9] показали, что капля постоянного объема при увеличении ускорения свободного падения растекается сильнее, высота ее уменьшается, а поверхность уплощается. В [10] приводится сравнение экспериментального профиля (для разных капель) с аппроксимацией поверхности сферическим сегментом. При исследовании испарения жидкости в открытой цилиндрической ячейке силу тяжести также зачастую не принимают во внимание. Считается, что ячейка достаточно мала и объемные силы не влияют на форму границы раздела фаз жидкости и газа. Например, в [11] определяется поле скоростей течений в ячейке для частного случая, когда поверхность жидкости плоская. Модель [5] не объясняет причины возникновения течения и факторы, влияющие на форму границы «жидкость-газ». 345 К о л е г о в К. С., Л о б а н о в А. И. Во-вторых, чаще всего используется квазистационарный подход в совокупности с приближением смазки [7,18,26-28]. У этого метода есть недостатки. Он подходит для описания динамики жидкости лишь в тонких каплях1 и в случае медленного испарения [14]. Существует несколько нестационарных моделей, но они в основном посвящены чистым жидкостям [29, 30]. В-третьих, в большинстве случаев не учитывается возможность наличия маски над каплей или пленкой [26, 28, 31, 32]. Кинематическая модель [33] не объясняет причины возникновения течений в пленке коллоидного раствора, сохнущей под маской. Поэтому целью данной работы является разработка нестационарной модели массопереноса в испаряющихся каплях и пленках, которая учитывает влияние вязких, капиллярных и гравитационных сил, а также наличие маски в системе. 1. Физическая постановка задачи. Рассматриваются два случая. В первом капля покоится на горизонтальном непроницаемом основании в режиме закрепленной трехфазной границы «жидкость-газ-подложка» (пиннинг). Во втором случае жидкость находится в открытой цилиндрической ячейке. Для описания процессов в каплях удобно использовать цилиндрические координаты, как и в [12-15]. Ось

About the authors

Konstantin S Kolegov

Astrakhan State University; Volga State University of Water Transport (Caspian Institute of Sea and River Transport the Branch of VSUWT)

Email: konstantin.kolegov@asu.edu.ru
20a, Tatishchev st., Astrakhan, 414056, Russian Federation; 6, Nikolskaya st., Astrakhan, 414000, Russian Federation
Junior Research Fellow; Lab. of Mathematical Modeling and Information Technologies in Science and Education ; Senior Lecturer; Dept. of Mathematical and Natural Sciences Disciplines

Alexey I Lobanov

Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Email: alexey@crec.mipt.ru
9, Inststitutskii per., Dolgoprudny, Moscow region, 141700, Russian Federation
Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Computational Mathematics

References

  1. Sefiane K. Patterns from drying drops // Adv. Coll. Inter. Sci., 2014. vol. 206. pp. 372-381. doi: 10.1016/j.cis.2013.05.002.
  2. Routh A. F. Drying of thin colloidal films // Rep. Prog. Phys., 2013. vol. 76, no. 4, 046603. doi: 10.1088/0034-4885/76/4/046603.
  3. Harris D. J., Hu H., Conrad J. C., Lewis J. A. Patterning colloidal films via evaporative lithography // Phys. Rev. Lett., 2007. vol. 98, no. 14, 148301. doi: 10.1103/PhysRevLett.98.148301.
  4. Кухтевич И. В., Букатин А. С., Мухин И. С., Евстрапов А. А. Микрофлюидные чипы для исследования биологических объектов методами микроскопии высокого разрешения // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012. Т. 77, № 1. С. 111-115.
  5. Rieger B., van den Doel L. R., van Vliet L. J. Ring formation in nanoliter cups: quantitative measurements of flow in micromachined wells // Phys. Rev. E, 2003. vol. 68, no. 3, 036312. doi: 10.1103/PhysRevE.68.036312.
  6. Deegan R. D., Bakajin O., Dupont T. F., Huber G., Nagel S. R., Witten T. A. Contact line deposits in an evaporating drop // Phys. Rev. E, 2000. vol. 62, no. 1. pp. 756-765. doi: 10.1103/PhysRevE.62.756.
  7. Fischer B. J. Particle convection in an evaporating colloidal droplet // Langmuir, 2002. vol. 18, no. 1. pp. 60-67. doi: 10.1021/la015518a.
  8. Diana A., Castillo M., Brutin D., Steinberg T. Sessile drop wettability in normal and reduced gravity // Microgravity Sci. Technol., 2012. vol. 24, no. 3. pp. 195-202. doi: 10.1007/s12217-011-9295-0.
  9. Bartashevich M. V., Kuznetsov V. V., Kabov O. A. Gravity effect on the axisymmetric drop spreading // Microgravity Sci. Technol., 2010. vol. 22, no. 1. pp. 107-114. doi: 10.1007/s12217-009-9153-5.
  10. Коновалов В. И., Пахомов А. Н., Пахомова Ю. В. Геометрия, циркуляция и тепломассоперенос при испарении капли на подложке // Вестник ТГТУ, 2011. Т. 17, № 2. С. 371-387.
  11. Tarasevich Y. Y., Vodolazskaya I. V., Isakova O. P., Abdel Latif M. S. Evaporation-induced flow inside circular wells: analytical results and simulations // Microgravity Sci. Technol., 2009. vol. 21 (Suppl. 1). pp. 39-44. doi: 10.1007/s12217-009-9109-9.
  12. Колегов К. С. Формирование кольцевых структур в высыхающей под шаблоном пленке коллоидного раствора // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 2014. Т. 7, № 1. С. 24-33. doi: 10.14529/mmp140103.
  13. Колегов К. С., Лобанов А. И. Математическое моделирование динамики жидкости в испаряющейся капле с учетом капиллярных и гравитационных сил // Вестник РУДН. Серия: Математика, информатика, физика, 2014. № 2. С. 375-380.
  14. Колегов К. С. Сравнение квазистационарной и нестационарной математических моделей течений в испаряющейся капле с учетом вязкости // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2014. № 3. С. 110-122. doi: 10.20537/vm140310.
  15. Колегов К. С., Лобанов А. И. Сравнение квазистационарной и нестационарной математических моделей течений в испаряющейся капле // Компьютерные исследования и моделирование, 2012. Т. 4, № 4. С. 811-825.
  16. Kaneda M., Takao Y., Fukai J. Thermal and solutal effects on convection inside a polymer solution droplet on a substrate // Int. J. Heat Mass Transfer, 2010. vol. 53, no. 21-22. pp. 4448-4457. doi: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2010.06.049.
  17. Jung Y., Kajiya T., Yamaue T., Doi M. Film formation kinetics in the drying process of polymer solution enclosed by bank // Jpn. J. Appl. Phys., 2009. vol. 48, no. 3, 031502. doi: 10.1143/JJAP.48.031502.
  18. Ehrhard P., Davis S. H. Non-isothermal spreading of liquid drops on horizontal plates // J. Fluid Mech., 1991. vol. 229. pp. 365-388. doi: 10.1017/S0022112091003063.
  19. Cahile M., Benichou O., Cazabat A. M. Evaporating droplets of completely wetting liquids // Langmuir, 2002. vol. 18, no. 21. pp. 7985-7990. doi: 10.1021/la020231e.
  20. Hamamoto Y., Christy J. R. E., Sefiane K. Order-of-magnitude increase in flow velocity driven by mass conservation during the evaporation of sessile drops // Phys. Rev. E, 2011. vol. 83, 051602. doi: 10.1103/PhysRevE.83.051602.
  21. Parneix C., Vandoolaeghe P., Nikolayev V. S., Quere D., Li J., Cabane B. Dips and rims in dried colloidal films // Phys. Rev. Lett., 2010. vol. 105, no. 26, 266103. doi: 10.1103/PhysRevLett.105.266103.
  22. Bodiguel H., Leng J. Imaging the drying of a colloidal suspension // Soft Matter., 2010. vol. 6, no. 21. pp. 5451-5460. doi: 10.1016/j.cep.2012.07.005.
  23. Stuart A. M., Peplow A. T. The Dynamics of the theta method // SIAM J. Sci. and Stat. Comput., 1991. vol. 12, no. 6. pp. 1351-1372. doi: 10.1137/0912074.
  24. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.
  25. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Разностные схемы для неустойчивых задач // Матем. моделирование, 1990. Т. 2, № 11. С. 89-98.
  26. Okuzono T., Kobayashi M., Doi M. Final shape of a drying thin film // Phys. Rev. E, 2009. vol. 80, no. 2, 021603. doi: 10.1103/PhysRevE.80.021603.
  27. Tarasevich Y. Y., Vodolazskaya I. V., Isakova O. P. Desiccating colloidal sessile drop: dynamics of shape and concentration // Colloid Polym. Sci., 2011. vol. 289, no. 9. pp. 1015-1023. doi: 10.1007/s00396-011-2418-8.
  28. Maki K. L., Kumar S. Fast Evaporation of Spreading Droplets of Colloidal Suspensions // Langmuir, 2011. vol. 27, no. 18. pp. 11347-11363. doi: 10.1021/la202088s.
  29. Barash L. Yu., Bigioni T. P., Vinokur V. M., Shchur L. N. Evaporation and fluid dynamics of a sessile drop of capillary size // Phys. Rev. E, 2009. vol. 79, no. 4, 046301. doi: 10.1103/PhysRevE.79.046301.
  30. Mollaret R., Sefiane K., Christy J. R. E., Veyret D. Experimental and Numerical Investigation of the Evaporation into Air of a Drop on a Heated Surface // Chem. Eng. Res. Design, 2004. vol. 82, no. 4. pp. 471-480. doi: 10.1205/026387604323050182.
  31. Гордеева В. Ю., Люшнин А. В. Особенности испарения тонкого слоя воды в присутствии растворимого сурфактанта // ЖТФ, 2014. Т. 84, № 5. С. 28-34.
  32. Lebedev-Stepanov P., Efimov S., Kobelev A. 012004 // J. Phys. Conf. Series, 2017. vol. 925, no. 1. doi: 10.1088/1742-6596/925/1/012004.
  33. Tarasevich Yu. Yu., Vodolazskaya I. V., Sakharova L. V. Mathematical modeling of pattern formation caused by drying of colloidal film under a mask // Eur. Phys. J. E., 2016. vol. 39, no. 2, 26. doi: 10.1140/epje/i2016-16026-5.

Statistics

Views

Abstract - 25

PDF (Russian) - 9

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies