Numerical study of mass transfer in drop and film systems using a regularized finite difference scheme in evaporative lithography

Full Text

Введение. Интерес исследователей к изучению процессов дегидратационной самоорганизации не угасает на протяжении последних двух или более десятилетий. Явления, происходящие в процессе высыхания капель и пленок, описаны, например, в [1, 2]. Обычно при высыхании возникают течения жидкости, вызванные испарением. Они приводят к конвекционному переносу коллоидных частиц. Использование таких течений лежит в основе испарительной литографии [3], производства микрофлюидных чипов [4], создания открытых реакторов [5]. При изучении эффекта «кофейных колец» была предложена теория [6], согласно которой можно управлять процессом осаждения частиц во время высыхания капли, манипулируя концентрацией пара вблизи двухфазной границы. На основании данной теории разработан метод, получивший название «испарительная литография» [3]. Его суть заключается в создании условий для неравномерного испарения с поверхности коллоидной жидкости. В результате возникают компенсационные потоки, которые переносят взвешенные частицы в области интенсивного испарения. Управлять плотностью потока пара вдоль свободной поверхности жидкого слоя можно, к примеру, размещая над каплей маску [3]. Это своего рода «шаблон», так как получаемая после высыхания структура осажденных на подложку частиц повторяет форму отверстий в маске. В настоящее время существует множество математических моделей, описывающих массоперенос в высыхающих каплях и пленках. Однако они обладают несколькими недостатками. Во-первых, в таких моделях, как правило, не учитывается влияние силы тяжести. В [6, 7] рассматриваются капли капиллярного размера. Так как в таких открытых системах капиллярные силы доминируют над гравитационными, последними зачастую пренебрегают. В этом случае форма поверхности капель близка к форме сферического сегмента. Для капли в форме сферического сегмента давление в ней постоянно во всем объеме. При отсутствии испарения капля находится в равновесии с внешней средой. Значительное отклонение от равновесной формы заметно лишь, когда капиллярное течение не успевает компенсировать быстрое испарение жидкости [7]. Равновесная форма капель, размер которых превышает капиллярную длину, далека от формы сферического сегмента [8]. Вдали от линии контакта с горизонтальной подложкой поверхность практически плоская. В [8] описаны результаты экспериментального исследования формы капель в зависимости от силы тяжести. Математическому моделированию зависимости формы капли от силы тяжести посвящена [9]. Расчеты [9] показали, что капля постоянного объема при увеличении ускорения свободного падения растекается сильнее, высота ее уменьшается, а поверхность уплощается. В [10] приводится сравнение экспериментального профиля (для разных капель) с аппроксимацией поверхности сферическим сегментом. При исследовании испарения жидкости в открытой цилиндрической ячейке силу тяжести также зачастую не принимают во внимание. Считается, что ячейка достаточно мала и объемные силы не влияют на форму границы раздела фаз жидкости и газа. Например, в [11] определяется поле скоростей течений в ячейке для частного случая, когда поверхность жидкости плоская. Модель [5] не объясняет причины возникновения течения и факторы, влияющие на форму границы «жидкость-газ». 345 К о л е г о в К. С., Л о б а н о в А. И. Во-вторых, чаще всего используется квазистационарный подход в совокупности с приближением смазки [7, 18, 26-28]. У этого метода есть недостатки. Он подходит для описания динамики жидкости лишь в тонких каплях1 и в случае медленного испарения [14]. Существует несколько нестационарных моделей, но они в основном посвящены чистым жидкостям [29, 30]. В-третьих, в большинстве случаев не учитывается возможность наличия маски над каплей или пленкой [26, 28, 31, 32]. Кинематическая модель [33] не объясняет причины возникновения течений в пленке коллоидного раствора, сохнущей под маской. Поэтому целью данной работы является разработка нестационарной модели массопереноса в испаряющихся каплях и пленках, которая учитывает влияние вязких, капиллярных и гравитационных сил, а также наличие маски в системе. 1. Физическая постановка задачи. Рассматриваются два случая. В первом капля покоится на горизонтальном непроницаемом основании в режиме закрепленной трехфазной границы «жидкость-газ-подложка» (пиннинг). Во втором случае жидкость находится в открытой цилиндрической ячейке. Для описания процессов в каплях удобно использовать цилиндрические координаты, как и в [12-15]. Ось

About the authors

Konstantin S Kolegov

Astrakhan State University; Volga State University of Water Transport (Caspian Institute of Sea and River Transport the Branch of VSUWT)

Email: konstantin.kolegov@asu.edu.ru
Junior Research Fellow; Lab. of Mathematical Modeling and Information Technologies in Science and Education ; Senior Lecturer; Dept. of Mathematical and Natural Sciences Disciplines 20a, Tatishchev st., Astrakhan, 414056, Russian Federation; 6, Nikolskaya st., Astrakhan, 414000, Russian Federation

Alexey I Lobanov

Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Email: alexey@crec.mipt.ru
Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Computational Mathematics 9, Inststitutskii per., Dolgoprudny, Moscow region, 141700, Russian Federation

References

Supplementary files