Том 22, № 2 (2018)

С помощью интегрального волнового уравнения с ядром оператора эволюции в виде интеграла по траекториям рассматривалось изменение волновой функции замкнутой системы, состоящей из двух подсистем. Предполагалось, что одной из подсистем системы является квантовая частица. На основе интегрального волнового уравнения для замкнутой системы описана динамика матрицы плотности этой частицы и выведено соответствующее уравнение. Это нелинейное уравнение зависит от предыстории эволюции всей замкнутой системы. Показано, что в процессе эволюции открытой квантовой системы в общем случае не сохраняется след матрицы плотности и необходима процедура нормировки следа, которая в данном случае является математическим образом реально существующего нелокального физического процесса. В качестве иллюстрации этого предположения представлено описание нелокальных явлений коллапса волновой функции при измерении и ЭПР-корреляции.

Дается новое обоснование операторного исчисления Микусинского, целиком основанное на алгебре свертки обобщенных функций $D'_{+}$ и $D'_{-}$, применительно к решению линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в области $(x;t)\in \mathbb R $ $(\mathbb R_{+} )\times \mathbb R_{+} $. Используемый математический аппарат основан на современном состоянии теории обобщенных функций, и одним из основных его отличий от теории Микусинского является то, что получаемые изображения являются аналитическими функциями комплексного переменного. Это позволяет в алгебре $D'_+ (x\in \mathbb R_{+})$ узаконить преобразование Лапласа, а с применением алгебры $D'_{-}$ распространить метод на область отрицательных значений аргумента. На классических примерах уравнений второго порядка гиперболического и параболического типа в случае $x\in \mathbb R$ излагаются вопросы определения фундаментальных решений и задачи Коши, а на отрезке и полупрямой $x\in \mathbb R_+ $ - нестационарные задачи в собственном смысле. Дается вывод общих формул для получения решения задачи Коши, а также схема определения фундаментальных решений операторным методом. При рассмотрении нестационарных задач приводится компактное доказательство теоремы Дюамеля и выведены формулы, позволяющие оптимизировать получение решений, в том числе с разрывными начальными условиями. Для нахождения оригиналов приводятся примеры использования рядов сверточных операторов обобщенных функций. Предложенный подход по сравнению с классическим операционным исчислением, основанным на преобразовании Лапласа, и теорией Микусинского, обладая для обычных функций одинаковыми соотношениями «оригинал-изображение» на положительной полуоси, позволяет рассматривать уравнения, заданные на всей оси, упростить получение и форму представления решений. Приведенные примеры иллюстрируют возможности и дают оценку эффективности использования операторного исчисления.

Для уравнения Гельмгольца в прямоугольной области изучены начально-граничная задача и ее нелокальные модификации, и обратные задачи по его отысканию правой части. Решения прямых задач с нелокальными граничными условиями и обратных задач построены в явном виде как суммы ортогональных рядов по системе собственных функций одномерной спектральной задачи Штурма-Лиувилля. Доказаны соответствующие теоремы единственности решения всех поставленных задач. Установлены достаточные условия на граничные функции, которые гарантируют теоремы существования и устойчивости решения предложенных новых постановок задач.

В работе представлено математическое моделирование динамического напряженно-деформированного состояния оболочки вращения из упруговязкопластического материала. Решается модифицированная система уравнений в частных производных типа С. П. Тимошенко путем построения системы уравнений на подвижных поверхностях разрыва с начальными условиями в виде ударной нагрузки на торце, записанной в виде степенного ряда по времени, коэффициенты которого есть начальные условия для дифференциальных уравнений. Решение представляется в виде лучевого ряда Тейлора с точностью до четвертого порядка по координате оболочки. Для моделирования отраженных волн от границ вводятся условия двух типов на границе (жестко защемленной и свободной от напряжений), не зависящие от времени. Разработан комплекс программ, написанных на языке Fortran 90 на платформе Code::Blocks. Реализованы 2 программы для моделирования динамического деформирования оболочки в упругом и упруговязкопластическом состоянии. Использовано разностное представление производных, вычисление интегралов методом трапеций с заданным шагом разбиения отрезка. Результатом работы программ являются сеточные функции коэффициентов рядов Тейлора, которые используются для построения графиков перемещений как функций времени и продольной координаты оболочки.

В работе проведено исследование фрактального нелинейного осциллятора с целью идентификации его хаотических колебательных режимов. Мерой хаоса для динамической системы являются максимальные показатели Ляпунова. Они рассматриваются как мера разбегания нескольких фазовых траекторий, построенных при разных начальных условиях. Для определения максимальных показателей Ляпунова используются алгоритмы, которые связаны либо с исследованием временных рядов (алгоритм Бенеттина), либо с непосредственным решением расширенной динамической системы (алгоритм Вольфа). В работе в качестве методики построения максимальных показателей Ляпунова был выбран алгоритм Вольфа с процедурой ортогонализации Грама-Шмидта. Этот алгоритм использует решение расширенной исходной динамической системы совместно с уравнениями в вариациях, а процедура ортогонализации Грама-Шмидта позволяет нивелировать составляющую максимального показателя Ляпунова при вычислении векторов вдоль фазовых траекторий. Далее алгоритм Вольфа был использован для построения спектров показателей Ляпунова в зависимости от значений управляющих параметров исходной динамической системы. В работе было показано, что некоторые спектры показателей Ляпунова содержат наборы положительных значений, что подтверждает наличие хаотического режима, а также это подтверждается фазовыми траекториями. Установлено, что фрактальный нелинейный осциллятор имеет режимы не только колебания, но и вращения. Эти вращения могут быть хаотическими и регулярными.