Modal identification of a boundary input in the two-dimensional inverse heat conduction problem

Abstract


A method for the approximate solution of a two-dimensional inverse boundary heat conduction problem on a compact set of continuous and continuously differentiable functions is proposed. The method allows us to reconstruct a boundary action that depends on time and a spatial coordinate. A modal description of the object is used in the form of an infinite system of linear differential equations with respect to the coefficients of the expansion of the state function in a series in eigenfunctions of the initial-boundary value problem under study. This approach leads to the restoration of the sought value of the heat flux density in the form of a weighted sum of a finite number of its modal components. Their values are determined from the temporal modes of the temperature field, which are found from the experimental data on the basis of the modal representation of the field. To obtain a modal description of the identified input and the temperature field in the form of their expansions into series in eigenfunctions of the same spatial dimension, the mathematical model of the object in the Laplace transform domain and the method of finite integral transformations are used. On this basis, a closed system of equations with respect to the unknown quantities is formed. The proposed approach allows us to construct a sequence of approximations that uniformly converge to the desired solution with increasing number of considered modal components. The problem of the temperature experimental design is solved. This solution ensures the minimization of the approximation error of the experimental temperature field by its model representation in the uniform metric of estimating temperature discrepancies on the control line at the final moment of the identification interval.

Full Text

Введение. Результаты решения обратных задач математической физики находят применение во многих областях техники, в том числе при решении задач идентификации и диагностики процессов теплообмена [1-3]. Теория обратных задач теплопроводности (ОЗТ) [1-6], направленная на развитие вычислительных методов и подходов, позволяющих восстанавливать неизвестные и недоступные для непосредственного измерения характеристики нестационарных тепловых процессов, в настоящее время является одним из базовых направлений современной технологической теплофизики. Широкое применение находят граничные ОЗТ, позволяющие определять характеристики, входящие в граничные условия. Такие задачи, в том числе, рассматриваются в нелинейных постановках [7, 8], а также формулируются относительно многомерных областей [9-11]. Решение ОЗТ может основываться на одном из двух подходов, первый из которых состоит в аппроксимации оператора обратной задачи, не являющегося непрерывным, семейством непрерывных операторов и осуществляет регуляризацию некорректно поставленных задач [12]. Второй подход реализует переход к условно-корректной постановке задачи на основе информации о характере решения, что позволяет переопределить метрические пространства входных и выходных воздействий процесса. Такой подход предусматривает априорное назначение классов корректности, на которых задача становится устойчивой [13, 14]. В данной работе предлагается основанный на результатах теории оптимального управления объектами с распределенными параметрами [15] метод приближенного решения двумерной граничной ОЗТ на компактных множествах специальной структуры, не требующий применения численных регуляризирующих алгоритмов. 1. Постановка двумерной граничной обратной задачи теплопроводности. Рассматривается, подобно [4, 11, 16], граничная обратная задача нестационарной теплопроводности в двумерной области, заданной декартовыми координатами

About the authors

Edgar Ya Rapoport

Samara State Technical University

Email: rapoport@samgtu.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
Dr. Tech. Sci.; Professor; Dept. of Automatics and Control in Technical Systems

Anna N Diligenskaya

Samara State Technical University

Email: adiligenskaya@mail.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
Cand. Tech. Sci.; Associate Professor; Dept. of Automatics and Control in Technical Systems

References

  1. Özisik M. N., Orlande H. R. B. Inverse Heat Transfer: fundamentals and applications. New York: Taylor and Francis, 2000. xviii+330 p. doi: 10.1201/9780203749784.
  2. Мацевитый Ю. М., Гайшун И. В., Борухов В. Т., Костиков А. О. Параметрическая и функциональная идентификация тепловых процессов // Пробл. машиностроения, 2011. Т. 14, № 3. С. 40-47.
  3. Alifanov O. Inverse problems in identification and modeling of thermal processes: Theory and practice (Invited paper, Opening keynote lecture) / Book of Abstracts: 8th International Conference on Inverse Problems in Engineering (ICIPE 2014). Gliwice-Krakow, Poland: Institute of Thermal Technology Silesian University of Technology, 2014. pp. 3-4.
  4. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.
  5. Beck J. V., Blackwell B., St. Clair C. R., jr. Inverse Heat Conduction: Ill-Posed Problems. New York: J. Wiley and Sons, 1985. xvii+308 pp.
  6. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 224 с.
  7. Alifanov O. Inverse problems in identification and modeling of thermal processes: Russian contributions // Int. J. Numer. Methods Heat Fluid Flow. vol. 27, no. 3. pp. 711-728. doi: 10.1108/HFF-03-2016-0099.
  8. Мацевитый Ю. М., Костиков А. О., Сафонов Н. А., Ганчин В. В. К решению нестационарных нелинейных граничных обратных задач теплопроводности // Пробл. машиностроения, 2017. Т. 20, № 4. С. 15-23.
  9. Zhi Qian, Xiaoli Feng Numerical solution of a 2D inverse heat conduction problem // Inverse Problems in Science and Engineering, 2013. vol. 21, no. 3. pp. 467-484. doi: 10.1080/17415977.2012.712526.
  10. Ching-yu Yang, Cha’o-Kuang Chen The boundary estimation in two-dimensional inverse heat conduction problems // J. Phys. D. Appl. Phys., 1996. vol. 29, no. 2. pp. 333. doi: 10.1088/0022-3727/29/2/009.
  11. Кузин А. Я. Регуляризованное численное решение нелинейной двумерной обратной задачи теплопроводности // ПМТФ, 1995. № 1. С. 106-112.
  12. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.
  13. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.
  14. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. 200 с.
  15. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.
  16. Reinhardt H.-J. A numerical method for the solution of two-dimensional inverse heat conduction problems // Int. J. Numer. Methods Eng., 1991. vol. 32, no. 2. pp. 363-383. doi: 10.1002/nme.1620320209.
  17. Колесник С. А., Формалев В. Ф., Кузнецова Е. Л. О граничной обратной задаче теплопроводности по восстановлению тепловых потоков к границам анизотропных тел // ТВТ, 2015. Т. 53, № 1. С. 72-77. doi: 10.7868/S0040364415010111.
  18. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высш. шк., 1970. 712 с.
  19. Рапопорт Э. Я. Программная управляемость линейных многомерных систем с распределенными параметрами // Изв. РАН. Теория и системы управления, 2015. № 2. С. 22-39. doi: 10.7868/S0002338815020110.
  20. Рапопорт Э. Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. М.: Наука, 2000. 336 с.

Statistics

Views

Abstract - 34

PDF (Russian) - 24

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies