Geometric solutions of the Riemann problem for the scalar conservation law


For the Riemann problem $$ \left\{\begin{array}{l}u_t+(\Phi(u,x))_x=0,\\ u|_{t=0}=u_-+[u]\theta(x) \end{array}\right. $$ a new definition of the solution is proposed. We associate a Hamiltonian system with initial conservation law, and define the geometric solution as the result of the action of the phase flow on the initial curve. In the second part of this paper, we construct the equalization procedure, which allows us to juxtapose a geometric solution with a unique entropy solution under the condition that $\Phi$ does not depend on $x$. If $\Phi$ depends on $x$, then the equalization procedure allows us to construct a generalized solution of the original Riemann problem.

Full Text

Введение. Задача Римана для скалярного закона сохранения {︂ (︀ )︀

About the authors

Vladimir V Palin

M. V. Lomonosov Moscow State University

1, Leninskiye Gory, Moscow, 119234, Russian Federation
Cand. Phys. & Math. Sci.; Assistant Teacher; Department of Differential Equations


  1. Bressan A. Hyperbolic systems of conservation laws. The one-dimensional Cauchy problem /Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications. vol. 20. Oxford: Oxford Univ. Press, 2000. xii+250 pp.
  2. Dafermos C. M. Hyperbolic conservation laws in continuum physics / Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. 325. Berlin: Springer, 2006. xxxviii+826 pp. doi: 10.1007/978-3-662-49451-6.
  3. Годунов С. К., Роменский Е. И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения / Университетская серия. Т. 4. М.: Научная книга, 1998. 280 с.
  4. Evans L. C. Partial differential equations / Graduate Studies in Mathematics. vol. 19. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2010. xxi+749 pp.
  5. Colella P., Glaz, H. M. Efficient solution algorithms for the Riemann problem for real gases // J. Comp. Phys., 1985. vol. 59. pp. 264-289. doi: 10.1016/0021-9991(85)90146-9.
  6. Lax P. D. Hyperbolic partial differential equations / Courant Lecture Notes in Mathematics. vol. 14. Providence, RI: AMS, 2006. vii+217 pp.
  7. Lax P. D., Wendroff B. Systems of conservation laws // Commun. Pure Appl. Math., 1960. vol. 13. pp. 217-237. doi: 10.1002/cpa.3160130205.
  8. Кружков С. Н. О задаче Коши в целом для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка // Докл. АН СССР, 1960. Т. 132, № 1. С. 36-39.
  9. Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука, 1991. 216 с.
  10. Колокольцов В. Н., Маслов В. П. Идемпотентный анализ как аппарат теории управления. I // Функц. анализ и его прил., 1989. Т. 23, № 1. С. 1-14.
  11. Колокольцов В. Н., Маслов В. П. Идемпотентный анализ как аппарат теории управления и оптимального синтеза. 2 // Функц. анализ и его прил., 1989. Т. 23, № 4. С. 53-62.
  12. Whitham G. B. Linear and nonlinear waves / Pure and Applied Mathematics. A WileyInterscience Series of Texts, Monographs, and Tracts. New York: Wiley, 1999. xvi+636 pp.
  13. Danilov V. G., Omel’yanov G. A., Shelkovich V. M Weak asymptotics method and interaction of nonlinear waves / Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems /Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 208. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2003. pp. 33-165. doi: 10.1090/trans2/208/02.
  14. Олейник О. А. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций // Докл. АН СССР, 1954. Т. 95, № 3. С. 451-454.
  15. Введенская Н. Д. Решение задачи Коши для нелинейных уравнений с разрывными начальными условиями методом конечных разностей // Докл. АН СССР, 1956. Т. 111. С. 517-520.



Abstract - 49

PDF (Russian) - 11


Article Metrics

Metrics Loading ...




  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies