A numerical method of nonlinear estimation based on difference equations

Abstract


The article considers a new numerical method for estimating the parameters of nonlinear mathematical models based on difference equations describing the results of observations. The algorithm of the numerical method includes: - the construction of a linear-parametric discrete model of the process under study in the form of difference equations, the coefficients of which are known to be associated with the parameters of a nonlinear mathematical model; - the formation of a generalized regression model based on the difference equations; - the calculation of the initial approximation estimate and the iterative procedure for refining the mean-square estimates of the coefficients of the generalized regression model; - the calculation of the estimates of the parameters of the nonlinear mathematical model based on the mean-square estimates of the coefficients of the difference equations; - evaluation of the error of the results of calculations based on the methods of statistical processing of experimental data. Various approaches to the construction of systems of difference equations for mathematical models in the form of nonlinear functional dependencies are proposed. The relations underlying the iterative process of refining the coefficients of the generalized regression model constructed on the basis of difference equations are obtained. The procedure for estimating the error of the results of calculations of the parameters of nonlinear functional dependencies, which are known to be associated with the coefficients of the system of difference equations, is described. The application of the numerical method based on the difference equations is illustrated by the examples of estimation of the parameters of the mathematical model of the linear oscillator with attenuation, the model of free oscillations of the dissipative mechanical system with turbulent friction, as well as the parameters of the logistic trend described by the Verhulst (Pearl-Reed) function.

Full Text

Введение. Одной из основных проблем при построении математических моделей по результатам наблюдений, полученных в ходе эксперимента или натурных испытаний, является нелинейность математической модели относительно ее параметров. В тех случаях, когда форма математической модели однозначно не обусловлена априорной информацией, полученной на основе физических, химических или иных законов, описанных, например, в виде уравнений математической физики, широко используются линейные регрессионные модели, оценивание и статистический анализ параметров которых, как правило, не вызывает каких-либо затруднений [1-3]. Однако достаточно часто математические модели в форме функциональных зависимостей, описывающих исследуемый процесс или взаимосвязь между характеристиками объекта исследования, строятся на основе решения систем интегро-дифференциальных уравнений, нелинейных по своей природе. Причем нередко линеаризация полученных соотношений настолько упрощает математическую модель, что применение ее в задаче параметрической идентификации становится не только нецелесообразным, но и практически бессмысленным. Таким образом, проблема нелинейного оценивания - вычисления параметров нелинейных математических моделей по результатам наблюдений - всегда была и остается важнейшей проблемой при математическом моделировании. Пусть математическая модель наблюдаемого процесса описывается нелинейной функциональной зависимостью вида

About the authors

Vladimir E Zoteev

Samara State Technical University

Email: zoteev-ve@mail.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
Dr. Tech. Sci.; Professor; Dept. of Applied Mathematics and Computer Science

References

  1. Вучков И., Бояджиева Л., Солаков О. Прикладной линейный регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1987. 238 с.
  2. Draper N. R., Smith H. Applied regression analysis / Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. New York etc.: John Wiley & Sons, 1981. xiv+709 pp. doi: 10.1002/9781118625590.
  3. Демиденко Е. З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981. 302 с.
  4. Björck Å. Numerical methods in matrix computations / Texts in Applied Mathematics. vol. 59. Cham: Springer, 2015. xvi+800 pp. doi: 10.1007/978-3-319-05089-8.
  5. Bard Y. Nonlinear parameter estimation. New York: Academic Press, 1974. x+341 pp.
  6. Gunst R. F., Mason R. L. Regression analysis and its application. A data-oriented approach / Statistics: Textbooks and Monographs. vol. 34. New York, Basel: Marcel Dekker, 1980. xv+402 pp.
  7. Грановский В. А., Сирая Т. Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. Л.: Энергоатомиздат, 1990. 288 с.
  8. Marquardt D. W. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters // J. Soc. Ind. Appl. Math., 1963. vol. 11, no. 2. pp. 431-441. doi: 10.1137/0111030.
  9. Hartley H. O., Booker A. Nonlinear least squares estimation // Ann. Math. Stat., 1965. vol. 36. pp. 638-650. doi: 10.1214/aoms/1177700171.
  10. Формалиев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2006. 400 с.
  11. Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений. М.: Машиностроение, 2009. 344 с.
  12. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и
  13. Егорова А. А Метод параметрической идентификации систем с турбулентным трением / Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 2. Самара: СамГТУ, 2011. С. 143-156.
  14. Волков Е. А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. 256 с.
  15. Дубовцев А. В., Ермолаев М. Б. Прогнозирование развития рынка мобильной связи на основе
  16. Martino J. P. Technological forecasting for decisionmaking. New York: American Elsevier, 1972. xviii+750 pp.
  17. Дуброва Т. А. Статистические методы прогнозирования. М.: Юнити-Дана, 2003. 206 с.
  18. Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация линейной динамической системы на основе стохастических разностных уравнений // Матем. моделирование, 2008. Т. 20, № 9. С. 120-128.
  19. Зотеев В. Е., Стукалова Е. Д., Башкинова Е. В. Численный метод оценки параметров нелинейного дифференциального оператора второго порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 3. С. 556-580. doi: 10.14498/vsgtu1560.
  20. Зотеев В. Е., Макаров Р. Ю. Численный метод определения параметров модели ползучести в пределах первых двух стадий // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение, 2017. Т. 16, № 2. С. 145-146. doi: 10.18287/2541-7533-2017-16-2-145-156.
  21. Макаров Р. Ю. Численный метод определения параметров кривой ползучести на основе закона Содерберга // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение, 2015. Т. 14, № 2. С. 113-117. doi: 10.18287/2412-7329-2015-14-2-113-118.
  22. Зотеев В. Е., Макаров Р. Ю. Численный метод оценки параметров деформации ползучести при степенной зависимости параметра разупрочнения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, 2016. Т. 51, № 3. С. 18-25.

Statistics

Views

Abstract - 19

PDF (Russian) - 11

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies