On the some properties of a symmetric Grubbs’ copula

Abstract


We investigate one-sided Grubbs’ statistics for a normal sample. Those statistics are standardized maximum and standardized minimum, i.e. studentized extreme deviation statistics. The two-parameter distribution of these statistics is considered, which arises when the one abnormal observation (outlier) differs from the other observations of its variance. We derive the formula for calculating the probability density function of studentized outlier deviation from sample average. A new two-parameter copula is extracted from the joint distribution of Grubbs’ statistics. The Grubbs’ copula is proved to be symmetric. As a result, one-sided Grubbs’ statistics have the property of exchangeability. Computer simulation of scatterplots from Grubbs’ copula is being performed. The scatterplot analysis shows that the Grubbs’ copula describes the negative statistical dependence. To study the effect of the copula’s parameters on the strength of this dependence, the estimation of the Kendall’s tau rank correlation coefficient is performed. The estimation algorithm uses computer simulation and it is realized in the R-package. We find that the copula’s parameters

Full Text

Введение. Копула-функция является математическим объектом, инкапсулирующим в себе всю информацию о вероятностной структуре совместного распределения случайных переменных. Поэтому копулы применяются как для моделирования статистических зависимостей между случайными переменными, так и для построения новых совместных распределений. К настоящему времени выделено несколько конструктивных типов копул: эллиптические, архимедовы, креативные [1]. Эти копулы традиционно применяют для моделирования реальных статистических зависимостей случайных величин. Однако исследователи не оставляют попыток конструирования новых семейств копул. Так, в последнее десятилетие были предложены конические копулы [2], новые обобщения класса двумерных копул Родригеса-Лаллена и ´ Убеда-Флорес (J. A. Rodr´ıguez-Lallena, M. Ubeda-Flores) [3-5]. Новую копулу можно построить из многомерного распределения случайных величин, используя следствие из теоремы Шкляра (E. Sklar) [6, p. 22, Corollary 2.3.7], [7]. Примеры копул, извлеченных из новых совместных распределений, можно найти в работах [8-12]. Любая копула позволяет описывать зависимость между маргиналами в среднем и асимптотическую зависимость в хвостах совместного распределения. Для характеристики зависимости между маргиналами применяют коэффициент ранговой корреляции

About the authors

Ludmila K Shiryaeva

Samara State Economic University

Email: Shiryeva_LK@mail.ru
141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation
Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Statistics and Econometrics

Eugeniya G Repina

Samara State Economic University

Email: violet261181@mail.ru
141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation
Cand. Econom. Sci.; Associate Professor; Dept. of Statistics and Econometrics

References

  1. Благовещенский Ю. Н. Основные элементы теории копул // Прикл. эконометрика, 2012. Т. 26, № 2. С. 113-130.
  2. Jwaid T., De Baets B., Kalicka J., Mesiar R. Conic aggregation functions // Fuzzy Sets and Systems, 2011. vol. 167, no. 1. pp. 3-20. doi: j.fss.2010.07.004.
  3. Rodríguez-Lallena J. A., Úbeda-Flores M. A new class of bivariate copulas // Statistics and Probability Letters, 2004. vol. 66, no. 3. pp. 315-325. doi: 10.1016/j.spl.2003.09.010.
  4. Kim J. M., Sungur E. A., Choi T., Heo T. Y. Generalized bivariate copulas and their properties // Model Assisted Statistics and Applications, 2011. vol. 6, no. 2. pp. 127-136. doi: 10.3233/MAS-2011-0185.
  5. Mesiar R., Najjari V. New families of symmetric/asymmetric copulas // Fuzzy Sets and Systems, 2014. vol. 252, no. 1. pp. 99-110. doi: 10.1016/j.fss.2013.12.015.
  6. Nelsen R. B. An Introduction to Copulas / Lecture Notes in Statistics. New York: SpringerVerlag, 2006. xiii+269 pp. doi: 10.1007/0-387-28678-0.
  7. Фантаццини Д. Моделирование многомерных распределений с использованием копулафункций, I // Прикл. эконометрика, 2011. Т. 22, № 2. С. 98-134.
  8. Ali Dolati, On Dependence Properties of Random Minima and Maxima // Communications in Statistics - Theory and Methods, 2008. vol. 38, no. 3. pp. 393-399. doi: 10.1080/03610920802213707.
  9. Church C. The Asymmetric
  10. Балаев А. И. Копула на основе многомерного
  11. Ширяева Л. К. О хвостовой зависимости для копула-функции Граббса // Изв. вузов. Матем., 2015. № 12. С. 66-83.
  12. Kong-Sheng Zhang, Jin-Guan Lin, Pei-Rong Xu, A new class of copulas involved geometric distribution: Estimation and applications // Insurance: Mathematics and Economics, 2016. vol. 66. pp. 1-10. doi: 10.1016/j.insmatheco.2015.09.008.
  13. Pearson E. S., Chandra Secar C. The effciently of statistical tools and a criterion for the rejection of outlying observations // Biometrika, 1936. vol. 28, no. 3-4. pp. 308-320. doi: 10.1093/biomet/28.3-4.308.
  14. Grubbs F. Sample Criteria for Testing Outlying observations // Ann. Math. Statist., 1950. vol. 21, no. 1. pp. 27-58. doi: 10.1214/aoms/1177729885.
  15. Barnett V., Lewis T. Outliers in statistical data. Chichester: John Wiley & Sons, 1984.
  16. Zhang J., Keming Y. The null distribution of the likelihood-ratio test for one or two outliers in a normal sample // TEST, 2006. vol. 15, no. 1. pp. 141-150. doi: 10.1007/bf02595422.
  17. Ширяева Л. К. О нулевом и альтернативном распределении статистики критерия наибольшего по абсолютной величине нормированного отклонения // Изв. вузов. Матем., 2014. № 10. С. 62-78.
  18. Ширяева Л. К. Вычисление мер мощности критерия Граббса проверки на один выброс // Сиб. журн. индустр. матем., 2010. Т. 13, № 4. С. 141-154.
  19. Ширяева Л. К. Использование специальных функций Эрмита для исследования мощностных свойств критерия Граббса // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 4(29). С. 131-145. doi: 10.14498/vsgtu1098.
  20. Ширяева Л. К. О распределении статистик Граббса в случае нормальной выборки с выбросом // Изв. вузов. Матем., 2017. № 4. С. 84-101.
  21. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977.
  22. Galambos J. Exchangeability / Encyclopedia of statistical sciences. vol. 2; eds. S. Kotz, and N. L. Johnson. NY: Wiley, 1986.
  23. R Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing. Vienna, Austria, 2013, http://www.R-project.org/.
  24. Ferguson S. T., Genest C., Hallin M. Kendall’s tau for serial dependence // Canadian Journal of Statistics, 2000. vol. 28, no. 3. pp. 587-604. doi: 10.2307/3315967.
  25. Grothe O., Schnieders J., Sigers J. Measuring association and dependence between random vectors // Journal of Multivariate Analysis, 2013. vol. 123. pp. 96-110. doi: 10.1016/j.jmva.2013.08.019.
  26. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Т. 1: Теория вероятностей и прикладная статистика. М.: Юнити-Дана, 2000.

Statistics

Views

Abstract - 36

PDF (Russian) - 26

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies