Duality equations on a 4-manifold of conformal torsion-free connection and some of their solutions for the zero signature

Abstract


On a 4-manifold of conformal torsion-free connection with zero signature (--++) we found conditions under which the conformal curvature matrix is dual (self-dual or anti-self-dual). These conditions are 5 partial differential equations of the 2nd order on 10 coefficients of the angular metric and 4 partial differential equations of the 1st order, containing also 3 coefficients of external 2-form of charge. (External 2-form of charge is one of the components of the conformal curvature matrix.) Duality equations for a metric of a diagonal type are composed. They form a system of five second-order differential equations on three unknown functions of all four variables. We found several series of solutions for this system. In particular, we obtained all solutions for a logarithmically polynomial diagonal metric, that is, for a metric whose coefficients are exponents of polynomials of four variables.


Full Text

Введение. В работе [1] и многих других наших работах исследуются уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности с различными сигнатурами (мы считаем многообразие бесконечно дифференцируемым). Многообразия конформной связности также называются пространствами конформной связности. 4-многообразия конформной связности с нулевой сигнатурой ( ++), рассматриваемые в данной статье, удобны тем, что уравнения Янга-Миллса допускают нетривиальные (анти)автодуальные решения, которых нет при сигнатуре Минковского. Любая (анти)автодуальная связность удовлетворяет уравнениям Янга-Миллса в силу тождеств Бианки. В настоящей работе мы находим (анти)автодуальные решения уравнений Янга-Миллса для некоторых видов метрик нулевой сигнатуры. (Анти)автодуальные 4-многообразия с конформной структурой сигнатуры = 0 изучались в работах [2-4]. Мы же в настоящей статье рассматриваем (анти)автодуальные 4-многообразия конформной связности. Поясним сначала, в чем разница между конформной связностью и конформной структурой. Напомним, что конформная связность на -многообразии определяется заданием на каждой карте некоторого атласа квадратной матрицы конформной связности порядка + 2 0 0 0 = + = 0, (1) , 0 0 0 состоящей из внешних 1-форм, зависящих от координат карты; - метрический тензор, = ±1, = 0 при = ; все индексы пробегают значения от 1 до . Квадратичная форма = (2) называется угловой метрикой. Число , равное разности между количеством положительных и отрицательных , называется сигнатурой угловой метрики (и конформной связности). На пересечении карт должна быть задана переходная матрица , связывающая матрицы конформной связности и формулой = ( )1 + ( )1 . Матрица в каждой точке пересечения является элементом структурной группы , , являющейся подгруппой стационарности конформной группы , . Структурная группа , зависит от 12 (2 + + 2) параметров. В наших работах по конформной связности структурную группу мы называем калибровочной. На каждой карте матрица конформной связности определена лишь с точностью до калибровочного преобразования , представляющего собой локальную функцию со значениями в , . Матрица конформной связности порождает матрицу конформной кривизны = + . (3) Ее алгебраическая структура такая же, как у матрицы конформной связности 0 0 0 = + = 0. (4) , 0 0 0 2-формы образуют геометрический объект, называемый кручением. При отсутствии кручения, когда = 0, 2-форма 00 также образует геометрический объект, который мы называем зарядом. Мы обозначаем разложение 12 . Пространство конформной связности, где = 0, 00 = 0, = 0, (5) =1 называется нормальным пространством конформной связности Картана [5, c. 178]. Обратимся теперь к многообразиям с конформной структурой. Конформная структура на -многообразии - это класс псевдоримановых метрик, отличающихся друг от друга положительным функциональным множителем [6, p. 9]. Приведем равносильное определение. Определение. Конформной структурой на дифференцируемом многообразии называется -структура, определяемая подрасслоением расслоения реперов первого порядка со структурной группой = (, ) = (, ) R+ , + = , (6) где (, ) - -мерная псевдоортогональная группа сигнатуры (, ) [2, c. 18]. Основным аппаратом в теории конформных структур является теория конформных связностей на многообразии [2, c. 4]. C помощью дифференциально-геометрического продолжения в окрестности высших порядков авторы работы [2] строят систему пфаффовых форм, из которых можно составить матрицу порядка + 2: 0 + = 0, , 0 00 где = - исходная псевдометрика. Получилась матрица, по своей алгебраической структуре аналогичная матрице конформной связности (1). Построенная нами конформная связность близка к нормальной конформной связности, рассматриваемой Картаном, но не вполне с ней совпадает, так как у Картана 1-форма является полным дифференциалом [2, c. 13]. Это высказывание неудачно, так как у Картана не является полным дифференциалом. Она в теории Картана вообще не образует геометрического объекта. В [3] М. А. Акивис указывает еще на одно отличие: у Картана = (символ Кронекера). Но это отличие совершенно несущественно. Любая квадратичная форма = , , = 1, 2, . . . , , где могут зависеть не только от(переменных , но еще от любого числа параметров , ) в окрестности точки 0 , 0 может с помощью преобразований вида = ( , ) , det( ) = 0 быть приведена к = ( )2 , = 1, 1, 0, =1 причем сигнатура и ранг такие же, какие были и у квадратичной формы (0 , 0 ) . Об этом же говорит и Картан [5, c. 175] (для положительно определенной квадратичной формы). На самом деле отличие между конформной структурой и конформной связностью только одно, но очень существенное. Конформная структура задается на каждой карте некоторого атласа той же матрицей (1), что и конформная связность. Но структурной группой для конформной структуры служит группа (, ) (6), зависящая от 12 (2 + 2) параметров ( и - соответственно число положительных и отрицательных ), а структурной группой для конформной связности служит группа , , зависящая от 21 (2 + + + 2) параметров, причем (, ) , . У меньшей группы больше геометрических объектов, в частности инвариантов. В случае конформной структуры дополнительными объектами по сравнению с конформной связностью являются система 1-форм , квадратичная форма , 1-форма 00 , а инвариантами - квадратичная форма , произведение квадратичных форм · , внешние 2-формы и 00 . В работах [2-4] эти объекты не используются, а потому все результаты этих работ на 4-многообразии c конформной структурой справедливы и для нормальной конформной связности Картана. Обратно, любой результат, справедливый для нормальной конформной связности Картана, справедлив и для конформной структуры. В частности, найденные нами в разделах 3, 4 и 5 (анти)автодуальные метрики порождают (анти)автодуальные конформные (2, 2)-структуры. Матрица кривизны для конформной структуры имеет тот же вид (4), только должны выполняться условия (5) нормальной конформной связности Картана. Итак, построенная в [2] связность - это частный случай (, )-связности, удовлетворяющий условиям (5). Ее можно назвать нормальной (, )связностью. (, )-связность будет общей, если на матрицу кривизны (4) не накладывать условия (5). Но поскольку условия (5) инвариантны не только относительно действия группы (, ), но и относительно группы , , авторы статьи правы, называя (, )-связность «близкой к нормальной конформной связности Картана, но не вполне с ней совпадающей» [2, c. 4]. Построенная в [2-4] (2, 2)-связность изучается в адаптированном репере, характеризующимся тем, что угловая метрика (2) в нем записывается в виде ( ) 2 14 23 . (7) В этом репере указан конкретный вид двух подтензоров + и , на которые распадается тензор Вейля. Конформная структура названа в [2] автодуальной (антиавтодуальной), если = 0 ( + = 0). Аналогичным образом определяется (анти)автодуальность римановых многообразий в более ранней статье [7]. Поскольку тензор Вейля полностью определяется компонентами метрики, то и сама метрика называется автодуальной (антиавтодуальной), если = 0 ( + = 0). В [2] автодуальные и антиавтодуальные 4-многообразия названы общим термином «полуплоские 4-многообразия конформной структуры». В [2] также указаны геометрический смысл подтензоров + и и геометрическая характеризация (анти)автодуальности. Вернемся к конформной связности. Далее мы рассматриваем только 4многообразия конформной связности сигнатуры = 0. Поэтому в матрице (1) индексы , , и обозначаемые другими малыми латинскими буквами будут принимать значения 1, 2, 3, 4. Для величин мы полагаем 11 = 22 = 1, 33 = 44 = 1, то есть квадратичная форма (2) угловой метрики имеет диагональный вид = ( 1 )2 ( 2 )2 + ( 3 )2 + ( 4 )2 . (8) Такой репер мы называем каноническим. Мы отказались от представления в виде (7) в адаптированном репере ради удобства представления оператора Ходжа *, который задается с помощью величин = 1234 (9) (1234 - символ Кронекера, равный ±1 в зависимости от четности перестановки , , , чисел 1, 2, 3, 4 и равный нулю, если среди чисел , , , есть одинаковые) и действует на внешние 2-формы = по правилу 1 * = . 2 (10) Для сигнатуры = 0 ненулевые компоненты (9) следующие: 34 12 = 1, 24 13 = 1, 23 14 = 1, 14 23 = 1, 13 24 = 1, 12 34 = 1. (11) 32 > 6, (12) Если ввести собирательные индексы 12 > 1, 13 > 2, 14 > 3, 34 > 4, 24 > 5, то матрица [*] оператора Ходжа принимает очень простой вид: ( ) 0 [*] = , 0 (13) где 0 и - нулевая и единичная матрицы 3-го порядка. В адаптированном репере матрица [*] имеет значительно более сложный вид. Мы называем внешнюю 2-форму автодуальной (антиавтодуальной), если * = (* = ). Мы предполагаем далее, что матрица кривизны (4) конформной связности состоит только из автодуальных или антиавтодуальных 2-форм, то есть * = , = ±1. (14) В этом случае конформная связность (1) (и само пространство) называется автодуальной ( = 1) или антиавтодуальной ( = 1). Как видим, это определение совсем не похоже на определение (анти)автодуальности в [2]. Но наша Теорема 5 из [8] показывает, что на самом деле эти определения в случае нормальной конформной связности Картана, а следовательно, и в случае конформной структуры, - равносильны. В компонентах (14) записывается с помощью 33 равенств. Но оказывается, что из них можно выделить только 9 независимых уравнений, содержащих 10 коэффициентов угловой метрики и 3 коэффициента заряда 00 . Основная задача данной статьи: выделить эти 9 равенств и найти некоторые их решения. Таким образом, ни в методах, ни в результатах ничего общего со статьей [2] у нас нет. Для решения первой части поставленной задачи будет, во-первых, использоваться доказанная в [8] Основная теорема. Конформная связность на 4-многообразии без кручения при сигнатурах = ±4; 0 (анти)автодуальна тогда и только тогда, когда таковы же 2-формы и выполняется уравнение 00 = 0. Во-вторых, мы используем полученную в [9] структурную формулу 1 1 = 21 + [] + (6 ) . 2 24 (15) Здесь , - тензор Вейля квадратичной формы угловой метрики, 14 () + 12 - конформный тензор Эйнштейна, - тензор Риччи, , - коэффициенты разложения , [] , , кружком обозначено произведение Кулкарни-Номидзу двух произвольных двухвалентных тензоров + . (16) Из девяти уравнений дуальности пять уравнений содержат только коэффициенты угловой метрики (8), остальные 4 уравнения содержат еще и коэффициенты заряда 00 00 + . С помощью калибровочного преобразования нормализации 1-форму 00 всегда можно привести к нулю, что мы и предполагаем выполненным. Тогда 1 00 = [] . 2 Здесь 6 коэффициентов [] , но в силу условий дуальности *00 = 00 их остается только три. Девять уравнений дуальности вычисляются в разделе 1. Затем, в разделе 2, пять уравнений дуальности на коэффициенты угловой метрики применяются к угловой метрике диагонального вида = 2 2 2 + 2 2 + 2 2 , где функции , , зависят от 4 переменных , , , . Получаем пять дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка на 3 неизвестные функции , , . В разделах 3, 4 и 5 изучаются решения этих уравнений. Замечание 1. В [10] доказана замечательная теорема: любая антиавтодуальная 4-метрика сигнатуры = 0 локально может быть записана в некоторых координатах (, , , ) в виде = + + 2 ( + ) + 2 , где функции и четырех переменных удовлетворяют некоторой (сложной) системе из двух дифференциальных уравнений третьего порядка. Но авторы статьи [10] не приводят конкретных примеров для и . Наши уравнения дуальности (30) и (31) не столь универсальны. Зато они позволяют найти как антиавтодуальные, так и автодуальные решения. Кроме того, в разделах 3, 4 и 5 мы приводим несколько серий конкретных решений своих уравнений. 1. Вывод уравнений дуальности. Из уравнений дуальности (14) имеем, в частности, *00 = 00 , = ±1. Применяя формулы (10) и (11), получим [12] = [34] , [13] = [24] , [14] = [32] . (17) Согласно основной теореме (см. введение) должно выполняться равенство 00 = 0. В компонентах оно сводится к четырем уравнениям ([]|) = 0. (18) Здесь , , - любые различные индексы, круглые скобки обозначают круговую перестановку индексов, а индекс после вертикальной черты - ковариантную производную. Из уравнений (14) очевидно следует выполнимость уравнений Янга-Миллса * + * * = 0, так как они в этом случае совпадают с тождествами Бианки + = 0, получающимися внешним дифференцированием равенства (3). Как показано в [1], из уравнений Янга-Миллса вытекают уравнения Эйнштейна = 0, 6 = 0. Таким образом, структурная формула (15) упрощается: 1 = + [] . 2 (19) Согласно основной теореме, нам осталось воспользоваться условием дуальности форм , то есть * = . В силу формулы (10) и линейности оператора Ходжа это равносильно * = , (20) где 1 * = , (21) 2 то есть оператор Ходжа действует на правую пару индексов. В силу (19) и линейности оператора Ходжа равенство (20) равносильно ( ) )* 1 ( 1 * + [] = + [] . (22) 2 2 Для получения дальнейших из этого равенства найдем блочную [ следствий ] структуру матриц [ ] и [] в собирательных индексах (12). Пусть ) ( . (23) [ ] = Как известно, для тензора Вейля выполняется свойство = 0. Запишем эти десять равенств в собирательных индексах: 26 = 35 , 12 = 54 , 11 22 33 22 + 66 44 16 = 34 , 15 = 24 , 23 = 65 , 13 = 64 , = 0, 11 66 55 = 0, = 0, 33 + 55 44 = 0. (24) Последние четыре равенства (24) можно переписать в виде 66 = 33 , 55 = 22 , 11 22 33 = 0. 44 = 11 , (25) Другое свойство тензора Вейля = в собирательных индексах дает = , а свойство () = 0 приводит лишь к одному равенству 14 25 36 = 0. (26) В совокупности равенства (24)-(26) означают, что блоки матриц (23) удовлетворяют условиям: 1) = , = ; 2) матрицы и симметричны; 1 0 0 3) и имеют нулевые следы относительно тензора 0 1 0 , 0 0 1 так как левая часть (26) - это след матрицы , а левая часть (25)4 - след матрицы . Из симметричности матриц и очевидно следует симметричность всей матрицы (23). Здесь (и аналогично далее) запись (25)4 означает ссылку[ на 4 формулу из (25). ] Что касается матрицы [] , то она может быть подсчитана непосредственно из определения операции Кулкарни-Номидзу (16): ( ) [ ] [] = , где 0 = [23] [24] [23] [24] 0 [34] , [34] 0 0 [14] [13] 0 [12] . = [14] [13] [12] 0 Из кососимметричности матриц и очевидна кососимметричность всей [ ] матрицы [] . Действие оператора Ходжа на правую пару индексов по формуле (21) сводится к умножению матрицы [ ] справа на матрицу оператора Ходжа (13). Таким образом, имеем ) ) ( ( [( )* ] [ * ] . , [] = = Итак, в равенствах (22), записанных в матричном виде, первые слагаемые в левой и правой частях - симметрические матрицы, а вторые слагаемые - кососимметрические. Поэтому равенство (22) возможно только при условии ( )* * = , [] = [] . (27) Последнее равенство равносильно (17). Осталось упростить (27)1 . Дуальность тензора Вейля через его матрицу (23) записывается в виде = . У матриц и только по пять существенных компонент. Получаем пять равенств в собирательных индексах: 11 = 14 , 12 = 15 , 13 = 16 , 23 = 26 , 33 = 36 . Вернемся к первоначальным индексам по формулам (12): 1212 = 1234 , 1213 = 1224 , 1314 = 1332 , 1214 = 1232 , 1414 = 1432 . Теперь используем стандартное выражение через тензор Римана = + 21 ( + ) + 6 ( ) и получим 21212 11 22 13 = 21234 , 21314 34 = (21332 12 ) , 21414 + 11 44 + 31 = 21423 , 21213 23 = (21224 + 14 ) , 21214 24 = (21232 13 ) . Запишем эти формулы без использования тензора Риччи: 2 24 3 4 3 4 = 62 , 2112 334 113 114 223 224 134 4 + 23 2 3 4 + 4 = 64 , 2114 223 112 113 224 334 132 3 3 = (4 3 ), 114 224 124 123 2 4 = (2 3 ), 113 234 124 134 (28) 2 + 3 + (2 + 4 ) = 0. 114 234 123 134 Получена Теорема 1. В 4-пространстве конформной связности без кручения с сигнатурой = 0 матрица кривизны удовлетворяет условию дуальности (14) тогда и только тогда, когда выполняются условия (17), (18) и (28). 2. Уравнения дуальности для нормальной конформной связности Картана в случае диагональной метрики (сигнатура = 0). Вычислим уравнения дуальности для метрики диагонального вида = 2 2 2 + 2 2 + 2 2 . (29) Положим 1 = , 2 = , 3 = , 4 = . Дифференцируем внешне: 1 = 0, 1 2 2 3 2 4, 3 = 1 3 + 2 3 3 4 , 4 = 1 4 + 2 4 + 3 4 . 2 = Вычисляем формы Кристоффеля метрики (29): 2 , 13 = 3 , 14 = 4 , 23 = 2 + 3 , 24 = 2 + 4 , 34 = 4 3 . 12 = Находим внешние 2-формы римановой кривизны + : ( 24 = 34 = ( ) 1 2+ 2 ( ) 2 + 2 3 2+ + 4+ 3 2 ( ( ) 2 ) 1 3 + + 4+ + 2 2 2 ( ) + 2 2 3 4, ( ) 1 3+ 2 ( ) 3 + 4+ + 2 3 2 3 2 ( ( ) ) 2 3 + 2 + + 1 4+ 2 2 ( ) 2 2 2 4. + Теперь записываем систему (28). Первые два уравнения одинаковы как 2 = для автодуального, так и для антиавтодуального случаев, потому что 134 4 = 132 = 0. Их можно записать в более симметричном виде, если первое из них сложить и вычесть с удвоенным вторым. Получим 2 4 4 3 3 4 112 334 = 114 + 223 = 113 + 224 . Подставляем сюда и в оставшиеся три уравнения (28) выражения через , , : 2+ 3 2 + 3 + + = 2 = + 2 3 2+ + = 3 2 = + 2 3 2+ + , (30) 3 2 ( ) 2 + + = 0, 2 2 2 ( ) + + + = 0, 2 2 2 2 ( ) + + + = 0. 2 2 2 2 Таким образом, доказана (31) Теорема 2. Квадратичная форма (29) задает (анти)автодуальную конформную связность Картана тогда и только тогда, когда выполняются уравнения (30), (31). 3. Решение уравнений (30), (31) при = 1, = . Без дополнительных ограничений невозможно решить столь сложную систему уравнений (30), (31). При этом нас интересуют только решения с ненулевой матрицей кривизны, ибо только в этом случае автодуальность отличается от антиавтодуальности. Легко проверить, что если какая-либо независимая переменная , , или не входит сразу в три функции , и , то уравнения (31) перестают зависеть от , и потому возможны только конформно-плоские решения ( = 0). То же будет и при = = . Но если положить = 1, = , то получается сравнительно простая система уравнений. В этом случае уравнения (30) сводятся к одному: ( ) ( ) ( ( ) ) 1 ( ) + = 2 + , а уравнения (31) - к двум: ( ) + = 0, ( ) ( ) ( ) = 0. Более простая система получится, если положить : + = 2 ( + ) , + = 0, = 0. (32) I случай ( + = 0). Дифференцируя (32)2,3 по всем четырем переменным, получим ( + ) = ( + ) = ( + ) = ( + ) = 0. (33) Отсюда дифференцированием уравнения (32)1 по и найдем ( + ) + 2 ( + ) = 0, ( + ) + 2 ( + ) = 0. Эти равенства в силу (33) и условия + = 0 означают, что и не зависят от и . Поэтому = = = = 0 и уравнения дуальности (32) не зависят от и дают лишь конформно-плоские решения. Нужные решения мы получим, лишь рассмотрев следующий случай. II случай ( + = 0). В этом случае систему (32) можно записать в виде = , = , = , = . (34) Эта система пассивна, так как уравнения = ( ), = ( ), ( ) = ( ) , ( ) = ( ) совпадают соответственно с производной по от уравнения (34)4 , с производной по от уравнения (34)3 , производной по от (34)4 и производной по от (34)2 . Согласно принципу экономии начальных условий (см. [11]), параметрическая часть функции получается ее разложением в степенной ряд по степеням ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ) путем вычеркивания членов, делящихся на ( 0 )2 , ( 0 )2 , ( 0 )( 0 ), ( 0 )( 0 ), и имеет вид 1 (, ) + ( 0 )2 () + ( 0 )3 (, ). Поэтому при произвольно заданных аналитических функциях 1 (, ), 2 (), 3 (, ) решение системы однозначно вычисляется путем разложения в степенной ряд при следующих начальных условиях: (0 , , 0 , ) = 1 (, ), (0 , , 0 , 0 ) = 2 (), (0 , , 0 , ) = 3 (, ). (35) Для системы (34) можно указать несколько серий решений в конечном виде, в том числе выражающихся через элементарные функции. I серия конечных решений. Будем искать решения системы (34) в виде = (, ) · + (, ) · . (36) Тогда система (34) сведется к двум уравнениям: = , = . Это условия Коши-Римана для голоморфной функции ( + ) = (, ) + + (, ), где - мнимая единица. Таким образом, если ( + ) голоморфна, = Re и = Im , то формула (36) дает решение системы (34). В частности, если ( + ) = exp( + ), то получаем решение в элементарных функциях: = ( cos + sin ). II серия конечных решений. Если для вместо (36) взять выражение = (, ) · (, ) · , (37) то система (34) станет такой: = , = . Это условия Коши-Римана для голоморфной функции ( + ) = (, ) + + (, ). Итак, (37) есть решение системы, если (, ) и (, ) есть вещественная и мнимая части голоморфной функции ( + ). В частности, если ( + ) = exp( + ), то получаем решение в элементарных функциях: = ( cos sin ). III серия конечных решений. Будем искать решения системы (34) в виде = (, ) · + (, ) · . (38) Тогда система (34) сведется к = , = . Следовательно, и в системе (38) должны быть вещественной и мнимой частями голоморфной функции ( + ). В частности, если ( + ) = = exp( + ), то получаем решение = ( cos + sin ). IV серия конечных решений. Функция = (, ) · (, ) · будет решением системы (34), если и - вещественная и мнимая части голоморфной функции ( + ). В частности, = ( cos sin ) есть решение. V серия конечных решений. Будем искать решения системы (34) в виде = ( + ) · ( ). (39) Подставим это выражение в (34). Получим только одно уравнение: + = 0. Отсюда, учитывая (39), получаем + = 0, = 0, = const. Полагая = ±2 или = 0, получим решения ( )( ) = 1 cos ( + ) + 2 sin ( + ) 3 () + 4 () , ( )( ) = 1 cos ( ) + 2 sin ( ) 3 (+) + 4 (+) , ( )( ) = 1 ( + ) + 2 3 ( ) + 4 , (40) где , = const. При условиях = 1, = метрика (29) не меняется при замене друг другом и или и . Поэтому формулы (40) снова дадут решения, если в них поменять местами , , или , или и то, и другое. 4. Решение уравнений (30), (31) при = , = 1. В этом случае два уравнения (30) сводятся к одному: ( ( ) ( ) ( ) ) 1 ( ) = 2 , а три уравнения (31) - к двум: ( ) ( ) + = 0, ( ) ( ) + = 0. После замены = получим = 2 ( ), Как и в предыдущем разделе, убеждаемся, что при = 0 решения дают только конформно-плоские метрики, поэтому интерес представляет лишь случай = 0. Тогда (41) превращается в = , = , = , = . (42) Эта система не является системой Ковалевской, но пассивна, поэтому можно применить принцип экономии начальных условий. Параметрическая часть функции получается ее разложением в степенной ряд по степеням ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ) путем вычеркивания членов, делящихся на ( 0 )2 , ( 0 )2 , ( 0 )( 0 ), ( 0 )( 0 ), и имеет вид 1 (, ) + ( 0 ) 2 () + ( 0 ) 3 (, ) . Поэтому при произвольно заданных аналитических функциях 1 (, ), 2 (), 3 (, ) решение системы (42) однозначно вычисляется путем разложения в степенной ряд при следующих начальных условиях: (0 , , 0 , ) = 1 (, ), (0 , 0 , 0 , ) = 2 (), (43) (0 , , 0 , ) = 3 (, ). Отыскание решений системы (42) в конечном виде можно провести по схеме предыдущего раздела, поэтому запишем лишь конечный результат: ( ) ( ) I. = 1 ( ) + 2 ( + ) + 1 ( ) 2 ( + ) , (44) ( ) ( ) II. = 1 ( ) + 2 ( + ) + 1 ( ) 2 ( + ) . (45) Здесь 1 , 2 - произвольные функции одной переменной. ( )( ) III. = 1 (+) + 2 (+) 3 () + 4 () , ( )( ) IV. = 1 cos ( + ) + 2 sin ( + ) 3 cos ( ) + 4 sin ( ) , ( )( ) V. = 1 ( + ) + 2 3 ( ) + 4 , , = const. 5. Решение системы уравнений (30), (31) для логарифмически полиномиальных метрик. Квадратичную форму (29) будем называть логарифмически полиномиальной, если каждая из функций , , представляет собой экспоненту от многочлена переменных , , , . Нас по-прежнему интересуют только те решения системы уравнений (30), (31), которые дают ненулевую матрицу конформной кривизны. Это означает, что уравнения (31) должны существенно зависеть от . Положим = , = , = , (46) где , , - многочлены от , , , . Тогда уравнения (31) примут вид ( + ) + + ( + + ) = 0, ( + ) + + ( + + ) = 0, (47) ( + ) + ) = 0. + ( + Рассмотрим четыре возможности. 1) Выполняются все три равенства = 1 , = 2 , = 3 , = const. (48) Отсюда , , - константы. Понятно, что в этом случае матрица кривизны нулевая. 2) Не выполняется ни одно из трех равенств (48). Тогда в (47) все выражения в скобках равны нулю, поэтому система (47) перестает зависеть от . Следовательно, все решения снова дают = 0. 3) Из равенств (48) выполняется только одно, например = 2 . Перенормировкой переменных , , можно добиться 2 = 0, то есть = + , причем и , и не константы (иначе будет выполняться еще одно равенство (48)). Тогда уравнения (47) станут такими: + = + + = 0, + + ( + + ) = 0, = 0, + = + + (49) а (30) дадут + 2 + 2 ( 2 ) + + 2 ( + 2 ) + 2 ( 2 ) = 0, + 2 2 ( + 2 ) + + 2 (2 ) + 2 ( 2 ) = 0. (50) Если = const, то в уравнения (49) не входит , поэтому в интересующих нас решениях = const. Тогда из (50) с учетом того, что и , и , и не константы и при этом являются многочленами, следует, что + 2 = 0, + 2 = 0, 2 = 0, + 2 = 0, + 2 = 0, 2 = 0, 2 = 0, (51) 2 = 0. Так как первые слагаемые равенств (51)1,2 имеют степень вхождения переменной меньшую, чем вторые, то равенства (51)1,2 возможны лишь при = = 0 или = = 0. Поскольку функции и равноправны, мы будем считать, что = = 0, другой случай рассматривается аналогично. При этом = 0, так как в противном случае в уравнения (49) не входит . Система (49) превращается в = = 0, = 0, + ( + ) = + = 0. Первые слагаемые равенств (51)7,8 имеют степень вхождения переменной меньшую, чем вторые, поэтому равенства (51)7,8 возможны лишь при = = 0 или = = 0. (53) Пусть выполняется (53)1 . При этом должно быть = 0, иначе (52) перестанет зависеть от . Тогда (52) принимает вид + = 0, = = 0, = const, и мы выходим за рамки возможности 3), так как в ней = const. Следовательно, обязательно выполняется (53)2 . При этом должно быть = 0, иначе (52) снова не зависит от . Тогда (52) принимает вид = = 0, = 0, = + = 0, опять не зависящий от . Итак, возможность 3) дает лишь конформноплоские решения. 4) Осталось рассмотреть последний случай, когда из трех равенств (48) выполняются только два, а третье не выполняется. Пусть, например, = const, = 2 , = 3 , = const. Отсюда = const, = const. Перенормировкой переменных , , можно добиться = 0, = , и с учетом (46) мы снова пришли к ограничениям раздела 3: = 1, = . Вывод. Для логарифмически полиномиальных метрик (29) уравнения дуальности могут иметь решения с ненулевой матрицей кривизны только при ограничениях = 1, = , или = 1, = , или = 1, = . Отсюда следует, что отыскание нетривиальных решений уравнений дуальности (30), (31) для логарифмически полиномиальных метрик равносильно отысканию полиномиальных решений системы (32) в случае = 1, = = или системы (41) в случае = 1, = = , которые, очевидно, сводятся соответственно к системам (34) или (42). Мы уже нашли некоторые полиномиальные решения этих систем. Формулы (36)-(39) дают полиномиальные решения системы (34), если в них в качестве и взять соответственно вещественную и мнимую части голоморфного многочлена ( + ), ( + ), ( + ) и ( + ); формулы (44) и (45) дают полиномиальные решения системы (42), если в них считать 1 ( ), 2 ( + ), 1 ( ), 2 ( + ) многочленами. Однако этими формулами далеко не исчерпываются все полиномиальные решения систем (34) и (42). Для отыскания всех полиномиальных решений этих систем воспользуемся тем, что эти системы линейные, однородные, с постоянными коэффициентами и содержат только вторые частные производные от функции . Отсюда следует, что если - полиномиальное решение, то и все однородные составляющие многочлена тоже будут решениями этих систем. Поэтому достаточно уметь находить лишь однородные полиномиальные решения. Чтобы найти однородное полиномиальное решение степени уравнений (34) и (42), следует воспользоваться представлением коэффициентов многочлена по формуле Тейлора, а все производные от вычислять исходя из начальных условий (35): (0, , 0, 0) = 2 (), (0, , 0, ) = 1 (, ), (0, , 0, ) = 3 (, ) для системы (34) или исходя из начальных условий (43): (0, , 0, ) = 1 (, ), (0, 0, 0, ) = 2 (), (0, , 0, ) = 3 (, ) (54) для системы (42). При этом следует считать функции 1 , 2 , 3 заданными однородными многочленами степеней соответственно , 1, 1. Приведем примеры решения системы (42) в виде однородных многочленов степеней = 2 и = 3. При = 2 1 (, ) = 1 2 + 2 2 + 3 , 2 () = 4 , 3 (, ) = 5 + 6 , = const. Тогда = 2 + ( + + )+ 2! 2 2 + 2 + + + + + = 2! 2! 2! [воспользуемся (42) и (54)] = ( ) (1 ) 2 + (2 ) + (1 ) + (3 ) + 2! (1 ) 2 (1 ) 2 (1 ) 2 + + + (3 ) (1 ) + (3 ) = 2 2 2! = 1 (2 + 2 ) + 2 ( 2 + 2 ) + 3 ( ) + 4 + 5 + 6 ( ). Поэтому для метрики (29) имеем ( = = = exp 1 (2 + 2 ) + 2 ( 2 + 2 ) + 3 ( )+ ) + 4 + 5 + 6 ( ) , = 1, = const. При = 3 1 (, ) = 1 3 + 2 3 + 3 2 + 4 2 , 2 () = 5 2 , 3 (, ) = 6 2 + 7 2 + 8 , = const. Тогда = 1 2 ( + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ) + = 2! ) 1 (1 ) 3 2 ( = + (2 ) + (3 ) + (1 ) + (3 ) 2 + 6 2 2 ) 1 ( 3 3 3 + (1 ) + (2 ) + (3 ) (1 ) + 6 ( ( ) ) (1 ) 2 (1 ) 2 1 2 + + + (1 ) (3 ) + (3 ) + 2 2 2 ) 1 ( 2 2 + (1 ) (3 ) + (3 ) 2 (3 ) 2 + (1 ) 2 = 2 = 1 (3 + 3 2 ) + 2 ( 3 + 32 ) + 3 (2 + 2 2)+ 1 1 + 4 ( 2 + 2 2) + 5 (3 2 + 3 ) + 6 (32 + 3 )+ 3 3 1 + 7 ( 2 + 2 2) + 8 (2 2 2 ). 2 + По этой же схеме вычисляются однородные полиномиальные решения системы (42) для всех степеней . Аналогично ищутся однородные полиномиальные решения и для системы (34). Можно составить программу для машинного отыскания полиномиальных решений систем (34) и (42) для всех степеней . Замечание 2. Уравнения (28) верны только в каноническом репере. В адаптированном или голономном реперах формулы будут совсем другими. Но уравнения (30), (31) для метрики (29) одинаковы во всех реперах. Заключение. Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразии с нормальной конформной связностью Картана представляют собой чрезвычайно сложную систему из десяти нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных 4-го порядка на десять неизвестных функций, являющихся коэффициентами угловой метрики. Условие дуальности (14), накладываемое на матрицу конформной кривизны, позволяет сильно упростить уравнения Янга-Миллса, так как порядок дифференциальных уравнений в условии (14) равен двум, а сами уравнения Янга-Миллса выполняются в силу тождеств Бианки. В данной работе мы показали, что условия дуальности на 4-многообразии с нормальной конформной связностью Картана и сигнатурой метрики ( ++) представляют собой систему из пяти уравнений (28). В случае диагональной метрики (29) они приобретают вид (30), (31) системы из пяти дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка на три неизвестных функции от всех четырех переменных. Но эта система все равно еще очень сложная, поэтому мы привели лишь некоторые ее частные решения.

About the authors

Leonid Nikolaevich Krivonosov

Nizhny Novgorod State Technical University

Author for correspondence.
Email: l.n.krivonosov@gmail.com
24, Minina st., Nizhnii Novgorod, 603600, Russian Federation

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Vyacheslav Anatolievich Lukyanov

Nizhny Novgorod State Technical University

Email: oxyzt@ya.ru
24, Minina st., Nizhnii Novgorod, 603600, Russian Federation

Candidate of physico-mathematical sciences, Senior Researcher

References

  1. Лукьянов В. А., Кривоносов Л. Н., "Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения с различными сигнатурами", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:4 (2017), 633-650
  2. Акивис М. А., Коннов В. В., "Некоторые локальные аспекты теории конформных структур", УМН, 48:1(289) (1993), 3-40 @@Akivis M. A., Konnov V. V., "Some local aspects of the theory of conformal structure", Russian Math. Surveys, 48:1 (1993), 1-35
  3. Акивис М. А., "О вполне изотропных подмногообразиях четырехмерной псевдоконформной структуры", Изв. вузов. Матем., 1983, № 1, 3-11 @@Akivis M. A., "On completely isotropic submanifolds of a four-dimensional pseudoconformal structure", Soviet Math. (Iz. VUZ), 27:1 (1983), 1-11
  4. Коннов В. В., "Асимптотическая псевдоконформная структура на четырехмерной гиперповерхности и ее вполне изотропные двумерные подмногообразия", Изв. вузов. Матем., 1992, № 6, 71-79
  5. Картан Э., "Пространства конформной связности", Пространства аффинной, проективной и конформной связности, Казанск. ун-т, Казань, 1962, 153-206
  6. Kobayashi Sh., "Automorphisms of G-Structures", Transformation Groups in Differential Geometry, Classics in Mathematics, 70, Springer, Berlin, Heidelberg, 1995, 1-38
  7. Atiyah M. F., Hitchin N. J., Singer I. M., "Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry", Proc. Roy. Soc. London. Series A, 362:1711 (1978), 425-461
  8. Кривоносов Л. Н., Лукьянов В. А., "Основная теорема для (анти)автодуальной конформной связности без кручения", Изв. вузов. Матем., 2019, № 2, 29-38
  9. Кривоносов Л. Н., Лукьянов В. А., "Структура основного тензора пространства конформной связности без кручения. Конформные связности на гиперповерхности проективного пространства", Сиб. журн. чист. и прикл. матем., 17:2 (2017), 21-38
  10. Dunajski M., Ferapontov E. V., Kruglikov B., "On the Einstein-Weyl and conformal self-duality equations", J. Math. Phys., 56 (2015), 083501
  11. Фиников С. П., Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии, ОГИЗ ГИТТЛ, М.-Л., 1948, 432 с.

Statistics

Views

Abstract - 47

PDF (Russian) - 22

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies