Solvability of a nonlocal problem for a hyperbolic equation with degenerate integral conditions

Abstract


In this paper, we consider a nonlocal problem with integral conditions for hyperbolic equation. Close attention focuses on degenerate integral conditions, namely, on the second kind integral conditions which degenerate into the first kind conditions at some points. Such kind of nonlocal conditions inevitably involves some specific difficulties when we try to show solvability of the problem. These difficulties can be overcome by a method suggested in our paper. The essence of this method is the reduction of the problem with degenerate conditions to the problem with dynamical conditions. This technique enables to define effectively a generalized solution to the problem, to obtain a priori estimates and to prove the existence of a unique generalized solution to the problem.

Full Text

Введение. Рассматривается задача с нелокальными интегральными условиями для гиперболического уравнения. Внимание к задачам с интегральными условиями, привлеченное статьями Дж. Кэннона [1] и Л. И. Камынина [2] в 60-х годах прошлого века, не ослабевает и в настоящее время. Это связано не только с тем,что нелокальные задачи интересны как математический объект. Специалисты в других областях современного естествознания предлагают использовать нелокальный подход в математическом моделировании многих процессов и явлений, считая его эффективным. Обоснованию этого утверждения посвящена статья [3], содержащая также большое количество примеров и обширный библиографический список. Исследование нелокальных задач осложняется тем, что для обоснования их разрешимости неприменимы классические методы, которые обычно используют для той же цели при изучении начально-краевых задач, что влечет за собой необходимость разработки новых методов. К настоящему времени разработаны некоторые методы исследования нелокальных задач [4-9]. В нашей статье внимание сосредоточено на нелокальной задаче для одномерного гиперболического уравнения с интегральными условиями. Задачи с интегральными условиями различных типов в настоящее время активно изучаются. Отметим ряд работ, наиболее близких по предмету исследования к содержанию предлагаемой статьи [10-12]. Задача, результаты исследования которой представлены в статье, имеет существенное отличие от рассмотренных ранее, которое заключается в том, что интегральные условия вырождаются в некоторых точках границы области. Возникающие при этом трудности обоснования разрешимости и методы их преодоления являются основным содержанием настоящей статьи. 1. Постановка задачи. В области = (0, ) (0, ) рассмотрим уравнение ( ) (, ) + (, ) = (, ) (1) и поставим следующую задачу. Задача. В области найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным (, 0) = 0, (, 0) = 0 (2) и нелокальным условиям ()(0, ) + 1 ()(, ) = 0, (3) 0 ()(, ) + 2 ()(, ) = 0. (4) 0 Будем считать уравнение (1) всюду в области гиперболическим, что обеспечивается условием (, ) > 0 для всех (, ) . Заметим, что однородность начальных условий не ограничивает общности. Существенным моментом в постановке задачи является предположение (0) = 0, ( ) = 0, которое не позволяет использовать полученные ранее результаты о разрешимости задач с нелокальными интегральными условиями. Действительно, как было показано в [12], выбор эффективного метода зависит от вида нелокальных условий. Если внеинтегральный член нелокального условия второго рода представляет собой след решения на границе области, то в этом случае можно использовать либо метод вспомогательных задач [13], либо метод, основанный на сведении задачи (1)-(4) к задаче со стандартными граничными условиями для нагруженного уравнения с помощью специально построенного оператора [10]. Однако оба эти метода применимы только в том случае, когда (), () нигде не обращаются в нуль. Действительно, попытка применить метод вспомогательных задач приведет к( следующему результату. ) Пусть (0, ) = 1 (), (, ) = 2 (), , , 1 (), 2 () - решение краевой задачи для уравнения (1) с граничными условиями (). Применив к этому решению, существование и единственность которого вытекают из общей теории краевых задач, условия (3), (4), приходим к операторным уравнениям третьего рода: ( ) ()1 () + 1 () , , 1 (), 2 () = 1 (), 0 ( ) ()2 () + 2 () , , 1 (), 2 () = 2 (). 0 Похожая ситуация возникает и при попытке применить второй из упомянутых методов [11], что и послужило мотивацией для разработки метода, пригодного для доказательства разрешимости задачи с вырождающимися нелокальными условиями. Этот метод и будет продемонстрирован в следующих параграфах. Предлагаемый метод основан на возможности сведения условий (3), (4) к интегральным условиям, не вырождающимся в условия первого рода. Мы выведем такие условия и покажем, что они эквивалентны исходным. Заметим, что ранее была рассмотрена задача с одним вырождающимся интегральным условием [11], однако исследование предложенной в этой статье задачи с двумя вырождающимися интегральными условиями потребовало существенной модификации предложенного в [11] метода. 2. Переход к эквивалентной задаче. Пусть (, ) - решение задачи (1)-(4), , 2 [0, ]. Продифференцируем условия (3), (4) по дважды: ()(0, ) + 2 () (0, ) + () (0, ) + 1 () (, ) = 0, 0 ()(, ) + 2 () (, ) + () (, ) + 2 () (, ) = 0. 0 Преобразуем интегралы, входящие в эти соотношения, учитывая предположение о том, что (, ) удовлетворяет уравнению (1). Тогда [ ] () (, ) = () ( ) + . = 1, 2 0 0 Интегрируя по частям последние соотношения, получим: [ ] () + 1 (0)(0, ) (0, ) 1 ()(, )(, )+ + 2 () (0, ) + () (0, ) + 1 ()(, ) (, ) 1 (0)(0, ) (0, )+ 1 ()(, )(, )+ (1 ) (, ) + 0 0 1 () (, ) = 0, (5) + 0 [ ] () + 2 ()(, ) (, ) 2 (0)(0, )(0, )+ + 2 () (, ) + () (, ) + 2 ()(, ) (, ) 2 (0)(0, ) (0, )+ + (2 ) (, ) 2 ()(, )(, )+ 0 0 + 2 () (, ) = 0. (6) 0 Пусть выполняется условие 1 (0)2 () 1 ()2 (0) = 0. (7) Рассмотрим соотношения (5), (6) как систему уравнений относительно (0, ) и (, ). В силу (7) эту систему можно разрешить, и в результате мы получим (0, ) (0, ) = 11 (0, ) + 12 (, ) + 11 (0, ) + 12 (, )+ + 11 (0, ) + 12 (, ) + 1 (, )(, ) + 1 (), (8) 0 (0, ) (, ) = 21 (0, ) + 22 (, ) + 21 (0, ) + 22 (, )+ + 21 (0, ) + 22 (, ) + 2 (, )(, ) + 2 (), (9) 0 где ()2 () [1 (0)2 () 2 (0)1 ()](0, ) , [2 ()1 (0) 1 ()2 (0)](, ) ()1 () 12 () = , 2 ()2 () 2 ()1 () 11 () = , 12 () = , ()2 () ()1 () 11 () = , 12 () = , 2 ()[(1 ) 1 ()(, )] 1 ()[(2 ) 2 ()(, )] 1 (, ) = , 1 ()2 () 2 ()1 () 1 () = (, ), 0 11 () = ()2 (0) [1 (0)2 (0) 2 (0)1 (0)](0, ) , [2 ()1 (0) 1 ()2 (0)](, ) ()1 (0) 22 () = , 2 ()1 (0) 2 ()2 (0) , 22 () = , 21 () = ()2 (0) ()1 (0) 21 () = , 22 () = , 2 (0)[(1 ) 1 ()(, )] 1 (0)[(2 ) 2 ()(, )] , 2 (, ) = 1 ()2 (0) 2 ()1 (0) (, ). 2 () = 0 21 () = Пусть теперь (, ) удовлетворяет уравнению (1) и условиям (8), (9). Тогда выполняются и соотношения (5), (6), которые мы преобразуем следующим образом: 0 ( ) () = ()( ) ()(, ) (, )+ 0 + (0)(0, ) (0, ) + ()(, )(, ) (0)(0, )(0, ), = 1, 2. Тогда соотношения (5), (6) примут следующий вид: ( ()(0, ) ) + 1 ()((, ) (, )) 1 ()(, )(, ) + 1 () (, ) = 0, 0 0 ( ()(, ) ) + 0 2 ()((, ) (, )) 2 ()(, )(, ) + 2 () (, ) = 0. 0 0 0 Заметим, что, по предположению, (, ) удовлетворяет уравнению (1), поэтому ()[( ) + ] = () , = 1, 2, 0 0 и мы получим, что ( ) ()(0, ) + ( ) ()(, ) + 1 () (, ) = 0, 0 2 () (, ) = 0. 0 Интегрируя каждое из этих соотношений дважды по и учитывая начальные условия (2), приходим к нелокальным условиям (3), (4). Таким образом, доказано следующее утверждение. Лемма. Если , 2 [0, ], 2 [0, ], 1 (0)2 () 1 ()2 (0) = 0, то задача (1)-(4) эквивалентна задаче (1), (2), (8) (9). Д о к а з а т е л ь с т в о. Условия (8), (9) (в отличие от (3), (4)) содержат значения производных по нормали к боковой границе области . Для обоснования разрешимости задач с нелокальными условиями такой структуры известен весьма эффективный метод [13, c. 28], который мы теперь имеем возможность применить Доказанная лемма позволяет проводить все рассуждения для задачи (1), (2), (8), (9), а полученные результаты о разрешимости этой задачи будут справедливы и для задачи (1)-(4). 3. Разрешимость задачи (Основной результат). Введем понятие обобщенного решения задачи (1), (2), (8), (9). Используя известную процедуру [14, с. 210], получим тождество ( + + )+ 0 0 + 0 [ ] (0, ) 11 (0, ) + 12 (, ) + (11 11 ) (0, ) + (12 12 ) (, ) + + (0, ) 1 (, )(, ) 0 0 0 [ ] (, ) 21 (0, ) + 22 (, ) + (21 21 ) (0, ) + (22 22 ) (, ) (, ) 2 (, )(, ) = 0 0 = (, )(, ) + (, )2 () (0, )1 (). (10) 0 0 0 0 Введем следующие обозначения: 0 = {(, ) : = 0, [0, ]}, = {(, ) : = , [0, ]}, = 0 ; ( ) = { : 21 ( ), 2 ()}; ^ ( ) = { : ( ), (, ) = 0}. Определение. Функцию ( ) будем называть обобщенным решением задачи (1), (2), (8), (9), если она удовлетворяет начальному условию ^ ( ). (, 0) = 0 и тождеству (10) для всех Теорема. Пусть выполняются следующие условия: 1) 1 [0, ], 1 () = 0, 2 (0) = 0, 1 (0) = 0, 2 () = 0; ), (, ) > 0 (, ) ; 2) , , ( 3 3) , ) = 0; ( [0, ], ) 2= 0, = 0 ((0, ), (0)= 0,) ( 4) 11 (0) 11 (0) 221 (0) 22 (0) 22 (0) 2 > 0; > 0, < 0; 5) 11 > 0, 22 6 0, 11 22 2 6) 11 221 22 2 > 0. Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1), (2), (8), (9). Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что при выполнении условия 1 теоремы условия (8), (9) примут следующий вид: (0, ) (0, ) = 11 (0, ) + 12 (, ) + 11 (0, ) + 11 (0, )+ + 1 (, )(, ) + 1 (), 0 (, ) (, ) = 21 (0, ) + 22 (, ) + 22 (0, ) + 22 (, )+ + 2 (, )(, ) + 2 (), 0 а тождество (10) приобретет такой вид: 0 ( + + )+ [ ] + (0, ) 11 (0, ) + 12 (, ) + 11 (0, ) 0 11 (0, ) (0, ) + (0, ) 1 (, )(, ) 0 0 0 [ ] (, ) + (, ) 21 (0, ) + 22 (, ) + 22 0 + 22 (, ) (, ) (, ) 2 (, )(, ) = 0 0 0 = (, )(, ) + (, )2 () (0, )1 (). 0 0 0 0 0 Единственность. Предположим, что существует два различных обобщенных решения задачи 1 (, ) и 2 (, ). Тогда их разность (, ) = 1 (, ) 2 (, ) удовлетворяет условию (, 0) = 0 и тождеству 0 0 ( + + )+ [ ] + (0, ) 11 (0, ) + 12 (, ) + 11 (0, ) 0 11 (0, ) (0, ) + (0, ) 1 (, )(, ) 0 0 0 + 0 [ ] (, ) 21 (0, ) + 22 (, ) + 22 (, ) + 0 2 (, )(, ) = 0. (11) (, ) 22 (, ) (, ) 0 0 В этом тождестве выберем следующим образом: (, ); 0 6 6 , (, ) = 0; 6 6 , и преобразуем (11), интегрируя по частям. Получим 0 [2 (, ) + 2 (, 0)] + 11 ( )2 (0, ) 22 ( )2 (, )+ 2 + 11 () (0, ) 22 ()2 (, ) = 0 0 =2 (, )(, ) (, ) 2 0 0 0 0 2 (11 11 ) (0, ) + 2 21 (0, )(, )+ 0 0 2 + (22 22 ) (, ) + 2 (21 + 12 )(0, ) (, ) 0 0 ( ) 11 (0) 11 (0) 2 (0, 0) + 221 (0, 0)(, 0)+ ( ) 2 + 22 (0) 22 (0) (, 0) + 2 (0, ) 1 (, )(, ) 0 0 2 (, ) 2 (, )(, ). (12) 0 0 При выполнении условий 4, 5 теоремы из (12) следует неравенство [ ] 2 (, ) + 2 (, 0) + 11 ( )2 (0, ) 22 ( )2 (, )+ 0 2 + 11 () (0, ) 22 ()2 (, ) 6 0 0 2 2 11 11 6 2 + + (0, )+ 0 0 0 0 0 2 21 (0, )(, ) + 22 22 +2 (, )+ 0 0 + 2 (21 + 12 )(0, ) (, ) + 2 (0, ) 1 (, )(, )+ 0 0 0 + 2 (, ) 2 (, )(, ). (13) 0 Оценим правую часть (13). Заметим, что из условий теоремы вытекает существование положительных чисел 0 , 1 , 0 , , , , таких, что | 6 , | | 6 , max > 0 , | | 6 1 , || 6 0 , | | 6 , | 2 6 . [0, ] 0 Применяя неравенство Коши, получим следующие оценки: 6 0 ( 2 + 2 ); 0 0 0 0 2 (0, )(, ) 6 21 21 ( 2 (0, ) + 2 (, )); 0 0 2 2 (0, ) 1 (, )(, ) 6 (0, ) + 1 2 (, ); 0 0 0 0 0 2 2 (, ) 2 (, )(, ) 6 (, ) + 2 2 (, ). 2 0 0 0 0 0 К одному из слагаемых оценки (13) применим неравенство Коши с : 2 (21 + 12 )(0, ) (, ) 6 0 2 (, ) 6 (12 + 21 ) 0 12 + 21 + 2 (0, ). 0 Теперь воспользуемся неравенствами из [15]: 2 2 (0, ) 6 2 + (, ), 0 0 2 2 (, ). 2 (, ) 6 2 2 (, ) + 0 0 2 2 (, ) Заметим также, что в силу представления функции (, ) справедливо неравенство 2 (, ) 6 2 . 0 С учетом этих неравенств из (13) получим 0 [ ] 2 (, ) + 0 2 (, 0) + 11 ( )2 (0, ) 22 ( )2 (, )+ 2 + 11 () (0, ) 22 ()2 (, ) 6 0 0 6 (2 + 2 ) + (12 + 21 ) 2 (, ), (14) 0 0 0 где константа зависит лишь от введенных выше постоянных. Последнее слагаемое правой части (14) перенесем в левую часть, выбрав ( + ) > 0. Теперь получаем так, чтобы = 22 12 21 ( 0 ) 2 (, ) + 2 (, 0) + 11 2 (0, ) 22 2 (, )+ 2 2 (, ) 6 11 (0, ) + + где = min{1, 0 }, и в частности ( ) 2 2 ( , ) + (, 0) 6 0 0 Введем функцию (, ) = 0 0 0 (2 + 2 ), 0 (2 + 2 ). (15) 0 . Тогда, как нетрудно видеть, 0 (, ) = (, ) + (, ), значит (, 0) = (, ), и из (15) следует 0 ( ) 2 (, ) + (, ) 6 ( 2 ) 2 6 2 (, ) + (, ) + 2 2 (, ). 0 0 0 Пользуясь произволом, выберем так, чтобы 2 > /2. Тогда для всех [0, 4 ] выполняется 2 > 0 и интеграл 2 2 (, ) можно 0 перенести в левую часть неравенства. Тогда ( 2 ) ( 2 ) (, ) + 2 (, ) 6 (, ) + 2 (, ) , 0 0 (16) 0 где = 4/. К неравенству (16) можно применить лемму Гронуола, что приводит к оценке ( 2 ) (, ) + 2 (, ) 6 0, 0 откуда (, ) = 0 при [0; 4 ]. Рассмотрев теперь нашу задачу с начальными данными на = 4 , дока жем, что (, ) = 0 при [ 4 , 2 ]. Продолжив этот процесс, за конечное число шагов получим, что (, ) = 0 во всем цилиндре , следовательно, может существовать не более одного обобщенного решения задачи (1), (2), (8), (9). Существование. Пусть { ()} - произвольная система функций из 2 [0, ], линейно независимая и полная в 21 (0, ). Будем искать приближен ное решение задачи (1), (2), (8), (9) в виде (, ) = () () из соот=1 ношений 0 ( + + )+ [ ] + (0) 11 (0, ) + 12 (, ) + 11 (0, ) + 11 (0, ) + + (0) 1 (, ) (, ) 0 [ ] () 21 (0, ) + 22 (, ) + 22 (, ) + 22 (, ) 2 (, ) (, ) = () 0 = (, ) () + ()2 () (0)1 (), = 1, . . . , , (17) 0 которые представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений () + () + () = (), = 1, . . . , . (18) =1 =1 =1 Коэффициенты системы (18) имеют следующий вид: () = () () + 11 () (0) (0) 22 () () (), 0 () = 11 () (0) (0) 22 () () (), () = (, ) () ()+ 0 +11 () (0) (0) + 12 () () (0) 21 (0) () 22 () () ()+ + (0) 1 (, ) () () 2 (, ) (), 0 0 а свободный член обозначен так: () = (, ) () + ()2 () (0)2 (). 0 Рассмотрим матрицу { } коэффициентов при старших производных и покажем, что она положительно определена. Для этого образуем квадра тичную форму = , имеющую ту же матрицу, где = (). =1 ,=1 Подставив выражения коэффициентов , получим = [ ,=1 ] () () + 11 (0) (0) 22 () () = 0 = ||2 + 11 |(0)|2 22 |()|2 > 0, так как по условию 5 теоремы 11 > 0, 22 < 0, причем = 0 только при = 0. Так как { ()} линейно независима, = 0 тогда и только тогда, когда = 0 . Таким образом, матрица { } положительно определена и, стало быть, система (18) разрешима относительно старших производных. Отметим, что в силу условий теоремы коэффициенты этой системы ограничены. Присоединив к (18) начальные условия (0) = (0) = 0, приходим к задаче Коши, которая разрешима. Следовательно, последовательность приближений построена, и мы можем перейти к следующему этапу доказательства. Умножим каждое слагаемое равенства (17) на (), просуммируем по от 1 до , а затем проинтегрируем по (0, ): 0 ( + + )+ 0 ( ) (0, ) 11 (0, ) + 12 (, ) + 11 (0, ) + 11 (0, ) + + (0, ) 1 (, ) (, ) + 0 0 0 ) 21 (0, ) + 22 (, ) + 22 (, ) + 22 (, ) 0 (, ) 2 (, ) (, ) = 0 0 = (, ) (, ) + (, )2 () (0, )1 (). (19) 0 (, ) ( 0 0 (, 0) 0 (, 0) Учитывая, что = = 0, преобразуем (19) интегрированием по частям: [( )2 ( )2 ] 2 (, ) + (, ) ( ) + 0 0 0 ( )2 +2 11 (0, ) 0 0 0 ( )2 2 (12 + 21 ) (0, ) (, ) + 2 11 (0, ) 0 0 ( )2 ( )2 11 (0, ) + 22 (, ) 0 0 ( )2 ( )2 2 22 (, ) + 22 (, ) + 0 0 ( )2 ( )2 + 11 (0, ) + 212 (0, ) (, ) + 11 (0, ) ( )2 ( )2 22 (, ) 22 = (, ) = (, ) (, ) + (, )2 () (0, )1 (). 0 , Заметим, что из полученных выше формул 11 = 211 22 = 222 . Учтем условие 5 теоремы и запишем последнее равенство следующим образом: [( )2 ( )2 ] ( )2 ( )2 + + 11 22 = (, ) (, ) (0, ) (, ) 0 ( )2 ( )2 2 =3 11 (0, ) + 3 22 (, ) + ( ) 0 0 0 0 ( ) 2 11 (0, ) + 2 + 0 0 0 ( )2 ( )2 +2 (12 + 21 ) (0, ) (, ) 22 (, ) 11 (, ) + 0 0 + 212 (0, ) (, ) + 22 ( (, ))2 + + 2 (, ) (, ) (, ) 2 (, ) 1 (, ) (, )+ 2 0 0 0 0 +2 (, ) (, ) + 2 (, )2 () 0 0 0 2 (0, )1 (). (20) 0 Так как левая часть (20) неотрицательна, из (20) с учетом условия 6 теоремы вытекает неравенство [( )2 ( )2 ] ( )2 ( )2 + + 11 22 6 (, ) (, ) (0, ) (, ) 0 ( )2 2 6 | |( ) + 2 + 11 (0, ) + 0 0 0 0 0 2 22 ( (, )) + + 2 (12 + 21 ) (0, ) (, ) + 0 0 (0, ) 1 + + 2 (, ) 2 + 2 0 0 0 0 (0, )1 + (, )2 + 2 + 2 + 2 0 0 0 0 ( )2 ( ) 2 11 (0, ) . (21) 22 (, ) + 3 + 3 0 0 Для оценки следов функций в правой части (21) используются неравенства ( )2 2 (0, ) 6 ( ) (, ) + () ( )2 (, ), 0 0 ( )2 2 (, ) 6 ( ( )2(,) , ) (, ) + () 0 0 каждое их которых является частным случаем неравенства (6.24) из [14, с. 77]. Теперь, применяя с некоторыми модификациями ту же технику, что и при выводе оценок для доказательства единственности, приходим к неравенству [( )2 ( )2 ] ( )2 ( )2 + 2 + 11 22 6 (, ) (, ) (0, ) (, ) 0 ) ( [ 2 ] ( )2 2 2 2 6 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + (, ) + 0 0 0 + 0 2 (, ) + 0 0 12 () 0 + 22 (), (22) 0 где > 0 - постоянная, не зависящая от . К обеим частям (22) прибавим неравенство ( )2 2 (, ) 6 ( ) . 0 0 0 Теперь из (22) при надлежащем обозначении постоянных следует [( )2 ( )2 ( )2 ] ( )2 ( )2 (, ) + + (, ) + + (, ) 6 (, ) (0, ) 0 [ ] ( 2 ) ( )2 ( )2 2 2 6 1 ( ) +( ) +( ) + (0, ) + (, ) + 0 0 0 0 ] [ ( 2 ) 2 2 (, ) + 1 () + 2 () . (23) + 2 0 0 0 К (23) можно применить лемму Гронуолла: )2 ( )2 ( [( )2 ] ( )2 ( )2 + (, ) + + (, ) 6 (, ) + (, ) (0, ) 0 ( ) 6 22 ( ) + 1 22 (0, ) + 2 22 (0, ) , откуда после интегрирования по от 0 до получается требуемая оценка: 2 ( ) 6 . Следовательно, из построенной последовательности { (, )} можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу из этого же пространства, то есть к ( ). Осталось показать, что этот предел и есть искомое обобщенное решение задачи (1), (2), (8), (9). Для этого мы проделаем процедуру, описанную в [14, с. 215], не останавливаясь на подробностях. Умножим обе части (17) на () такую, что 21 (0, ), ( ) = 0. После интегрирования полученного равенства по от 0 до и суммирования по от 1 до получим равенство, переходя в котором к пределу, легко убеждаемся в том, что предел выделенной подпоследовательности действительно есть искомое обобщенное решение поставленной задачи.

About the authors

Ludmila Stepanovna Pulkina

Samara National Research University

Email: louise@samdiff.ru
34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Vitaliya Aleksandrovna Kirichek

Samara National Research University

Email: Vitalya29@gmail.com
34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation without scientific degree, no status

References

  1. Cannon J. R., "The solution of the heat equation subject to the specification of energy", Quart. Appl. Math., 21:2 (1963), 155-160
  2. Камынин Л. И., "Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 4:6 (1964), 1006-1024
  3. Bažant Z. P., Jirásek M., "Nonlocal integral formulations of plasticity and damage: Survey of progress", Journal of Engineering Mechanics, 128:11 (2002), 1119-1149
  4. Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А., "Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды", Матем. моделирование, 12:1 (2000), 94-103
  5. Ильин В. А., Моисеев Е. И., "О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями", Дифференц. уравнения, 36:5 (2000), 656-661
  6. Лажетич Н. Л., "О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка", Дифференц. уравнения, 42:8 (2006), 1072-1077
  7. Пулькина Л. С., "Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения", Матем. заметки, 74:3 (2003), 435-445
  8. Пулькина Л. С., "Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для многомерного гиперболического уравнения", Дифференц. уравнения, 44:8 (2008), 1084-1089
  9. Avalishvili G., Avalishvili M., Gordeziani D., "On integral nonlocal boundary value problems for some partial differential equations", Bull. Georg. Natl. Acad. Sci., 5:1 (2011), 31-37
  10. Кожанов А. И., Пулькина Л. С., "О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений", Дифференц. уравнения, 42:9 (2006), 1166-1179
  11. Pulkina L. S., "Nonlocal problems for hyperbolic equations with degenerate integral condition", Electronic Journal of Differential Equations, 2016:193 (2016), 1-12
  12. Пулькина Л. С., "Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода", Изв. вузов. Матем., 2012, № 4, 74-83
  13. Пулькина Л. С., Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений, Самарский университет, Самара, 2012, 194 с.
  14. Ладыженская О. А., Краевые задачи математической физики, Наука, М., 1973, 407 с.
  15. Пулькина Л. С., "Задача с динамическим нелокальным условием для псевдогиперболического уравнения", Изв. вузов. Матем., 2016, № 9, 42-50

Statistics

Views

Abstract - 14

PDF (Russian) - 9

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies