On a mathematical model of non-isothermal creeping flows of a fluid through a given domain

Abstract


We study a mathematical model describing steady creeping flows of a non-uniformly heated incompressible fluid through a bounded 3D domain with locally Lipschitz boundary. The model under consideration is a system of second-order nonlinear partial differential equations with mixed boundary conditions. On in-flow and out-flow parts of the boundary the pressure, the temperature and the tangential component of the velocity field are prescribed, while on impermeable solid walls the no-slip condition and a Robin-type condition for the temperature are used. For this boundary-value problem, we introduce the concept of a weak solution (a pair “velocity-temperature”), which is defined as a solution to some system of integral equations. The main result of the work is a theorem on the existence of weak solutions in a subspace of the Cartesian product of two Sobolev's spaces. To prove this theorem, we give an operator interpretation of the boundary value problem, derive a priori estimates of solutions, and apply the Leray-Schauder fixed point theorem. Moreover, energy equalities are established for weak solutions.

Full Text

Введение. Пусть R 3 - ограниченная область с локально-липшицевой границей . Рассмотрим стационарную математическую модель, описыва- ющую неизотермическое течение вязкой несжимаемой жидкости (в безынер- циальном приближении) через область при смешанных краевых условиях: u + p = f (x, ) в , div u = 0 в , (u · ) = (x, ) в , (A) = на S, u = 0, n u = 0, p = p 0 + C, = 0 на S, где u = u(x) - скорость течения в точке x ; = (x) - отклонение тем- пературы от равновесного значения; f (x, ) - внешние силы; p = p(x) - дав- ление; > 0 - коэффициент вязкости; > 0 - коэффициент теплопроводно- сти; > 0 - коэффициент теплообмена на стенках сосуда ; (x, ) - мощ- ность тепловых источников; n = n(x) - единичная внешняя нормаль к ; S - плоский участок границы , где происходит протекание жидкости (или объединение нескольких таких участков); p 0 - функция, характеризующая давление на S. Нижний индекс используется для обозначения касательной составляющей вектора, т. е. u := u (u · n)n. Произвольная константа C в пятой строке системы (A) отражает факт, что при задании давления ва- жен только его перепад. Краевое условие Дирихле для функции на участ- ке протекания S выбрано однородным лишь для упрощения математических выкладок и может быть заменено соответствующим неоднородным условием. Основная цель данной работы - обоснование разрешимости задачи (A) в слабой формулировке. Доказательство теоремы существования основано на получении априорных оценок слабых решений и применении теоремы Лерэ- Шаудера о неподвижной точке вполне непрерывного отображения. Следует отметить, что в линейной постановке задача о протекании не- равномерно нагретой вязкой жидкости сквозь заданную область рассмотрена С. Г. Крейном и Чан Тху Xа [1]. В статьях [2, 3] исследуются стационарные модели, описывающие (в рамках приближения Буссинеска) движение высоко- вязкой жидкости внутри ограниченной области с непроницаемыми тверды- ми стенками. Вопросы оптимизации и управления течением теплопроводной жидкости рассматриваются в [4-8]. В недавних публикациях [9, 10] установ- лены условия однозначной разрешимости двумерных эволюционных урав- нений Обербека-Буссинеска с коэффициентом вязкости, зависящим от тем- пературы. Задача Коши для уравнений Эйлера-Буссинеска, моделирующих потоки идеальной ( 0) неравномерно нагретой жидкости, рассматривается в [11]. Отметим также статьи [12,13], в которых обсуждаются точные решения для описания установившихся ползущих конвективных течений несжимаемой жидкости, а также работы [14, 15], посвященные анализу крупномасштабной 418 слоистой стационарной конвекции вязкой жидкости под действием касатель- ных напряжений на верхней границе. Классические уравнения Стокса и Навье-Стокса с краевыми условиями для давления p или напора жидкости p + |u| 2 /2 изучались многими авторами (см., например, [16-19] и цитируемую там литературу). Основные допущения. Будем предполагать, что: (C1) множества S и S имеют положительную двумерную меру Лебега; (C2) функция p 0 : S > R принадлежит пространству Лебега L 2 (S); (C3) функции f i ( · , y) : > R, i = 1, 3, и ( · , y) : > R измеримы при лю- бом y R; (C4) функции f i (x, · ) : R > R, i = 1, 3, и (x, · ) : R > R непрерывны при п. в. x ; (C5) существуют функция f 0 L 2 () и константа M > 0 такие, что |f (x, y)| 6 f 0 (x) + M |y| 2 для любого y R и п. в. x ; (C6) существует функция 0 L 2 () такая, что |(x, y)| 6 0 (x) для любого y R и п. в. x . Слабая формулировка задачи (A). Сначала введем необходимые обо- значения и функциональные пространства. В данной заметке используют- ся пространства Лебега L r (), L r (), где r > 1, и пространство Соболева H 1 () := W 2 1 (). Соответствующие классы вектор-функций будем обозна- чать теми же символами, но при этом будем использовать жирный шрифт, т. е. L r () := L r () 3 , L r () := L r () 3 , H 1 () := H 1 () 3 . Пусть V S () := {v H 1 () : div v = 0, v| S = 0, v | S = 0}, Y S () := { H 1 () : | S = 0}. Напомним, что сужение функции w H 1 () на определяется по фор- муле w| := w, где : H 1 () > L 4 () - оператор следа (см., напри- мер, [20, § 2.4.2]). В пространстве V S () введем скалярное произведение и норму по фор- мулам 1/2 (v, w) V S () := v : w dx, v V S () := (v, v) V S () , где символ «:» обозначает скалярное произведение соответствующих матриц. Используя неравенство Фридрихса (см., например, [20, § 1.1.8, теорема 1.9]) и условие (C1), нетрудно убедиться в том, что данное определение корректно и норма · V S () эквивалентна норме, индуцированной из H 1 (). В пространстве Y S () зададим скалярное произведение и норму по фор- мулам: 1/2 (, ) Y S () := · dx, Y S () := (, ) Y S () . 419 Из неравенства Фридрихса и условия (C1) следует, что это определение кор- ректно и норма · Y S () эквивалентна стандартной H 1 -норме. Теперь мы можем дать слабую формулировку краевой задачи (A). Определение. Назовем слабым решением краевой задачи (A) пару функ- ций (u, ) V S () Y S () такую, что u : v dx + p 0 (v · n) d = f (x, ) · v dx, 3 i=1 u i S dx + x i (1) · dx + d = S (x, ) dx (2) для любых v V S () и Y S (). Замечание. Покажем, каким образом в определении слабых решений воз- никают тождества (1) и (2). Пусть тройка (u, , p) - классическое решение задачи (A). Умножим скалярно в L 2 () обе части первого равенства из (A) на вектор-функцию v V S (): u · v dx + p · v dx = f (x, ) · v dx. (3) I 1 I 2 Интегрированием по частям получаем u · v d u : v dx, I 1 = n откуда, принимая во внимание соотношения v = (v · n)n на S, v = 0 на S, находим, что I 1 = S (u · n) (v · n) d n u : v dx. Поскольку div u = 0 в и u = 0 на S, то (u · n) = 0 на S. n Поэтому I 1 = u : v dx. (4) Далее, используя интегрирование по частям и равенства div v = 0 в , v · n d = 0, v = 0 на S, S 420 p = p 0 + C на S, получаем p 0 (v · n) d. (5) p(v · n) d p div v dx = (p 0 + C)(v · n) d = I 2 = S S Подставляя (4) и (5) в равенство (3), приходим к (1). Аналогично, умножим скалярно в L 2 () второе уравнение (A) на Y S (). С помощью интегриро- вания по частям и соответствующих краевых условий получаем (2). Теорема о разрешимости задачи (A). Основным результатом работы является следующая Теорема. Пусть выполнены условия (C1)-(C6). Тогда: - задача (A) имеет по крайней мере одно слабое решение; - всякое слабое решение задачи (A) удовлетворяет следующим энергети- ческим равенствам: 2 |u| dx + p 0 (u · n) d = f (x, ) · u dx, (6) S || 2 dx + || 2 d = (x, ) dx. (7) S Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства существования слабых реше- ний воспользуемся теоремой Лерэ-Шаудера о неподвижной точке вполне не- прерывного отображения (см., например, [21, гл. I, § 3]). С этой целью рас- смотрим следующую однопараметрическую вспомогательную задачу. Требуется найти пару (u, ) V S () Y S (), удовлетворяющую равен- ствам: u : v dx + p 0 (v · n) d = f (x, ) · v dx v V S (), (8) S 3 i=1 u i dx + x i · dx + d = S (x, ) dx Y S (), (9) где - параметр, [0, 1]. Установим априорные оценки решений задачи (8), (9). Предположим, что пара (u, ) V S () Y S () удовлетворяет (8), (9) при некотором [0, 1]. Полагая в равенстве (8) v = u, получаем |u| 2 dx + p 0 (u · n) d = f (x, ) · u dx, (10) S откуда с помощью условия (C5) и неравенства Коши-Буняковского выводим, что 2 2 u V S () = |u| dx = p 0 (u · n) d + f (x, ) · u dx 6 S 421 + M || 2 )|u| dx 6 |p 0 ||u| d + 6 S ( 6 |p 0 | 2 d (f 0 ) 1/2 ( S ) 1/2 2 |u| d ( ) 1/2 ( 2 2 |f 0 | dx + S |u| dx + ( 4 ) 1/2 ( 2 || dx + M ) 1/2 ) 1/2 |u| dx = = p 0 L 2 (S) u L 2 (S) + f 0 L 2 () u L 2 () + M 2 L 4 () u L 2 () . (11) Заметим, что существуют постоянные C i (, S), i = 1, 4, такие, что u L 2 (S) 6 C 1 (, S)u V S () , u L 2 () 6 C 2 (, S)u V S () , L 4 () 6 C 3 (, S) Y S () , L 2 () 6 C 4 (, S) Y S () . (12) Поэтому (11) можно продолжить следующим образом: u 2 V S () 6 C 1 (, S)p 0 L 2 (S) u V S () + C 2 (, S)f 0 L 2 () u V S () + + M C 2 (, S)C 3 2 (, S) 2 Y S () u V S () , откуда следует u V S () 6 1 C 1 (, S)p 0 L 2 (S) + 1 C 2 (, S)f 0 L 2 () + + 1 M C 2 (, S)C 3 2 (, S) 2 Y S () . (13) Положим теперь в (9) = : 3 i=1 u i dx + x i || 2 dx + || 2 d = S (x, ) dx. (14) Заметим, что первое слагаемое в левой части последнего равенства равно нулю. В самом деле, используя интегрирование по частям и условия = 0 на S, u = 0 на S, div u = 0 в , получаем, что 3 i=1 3 1 u i dx = x i 2 i=1 3 u i || 2 dx = x i 3 1 u i 2 || dx = 2 x i i=1 i=1 1 1 = (u · n)|| 2 d (div u)|| 2 dx = 0. 2 2 = 422 1 2 u i n i || 2 d Поэтому равенство (14) можно переписать следующим образом: 2 2 || dx = || d + (x, ) dx, S (15) откуда с помощью условия (C6), неравенства Коши-Буняковского и четвер- того неравенства из (12) выводим: 2 Y S () = || 2 dx 6 (x, ) dx 6 ( 2 ) 1/2 ( | 0 | dx 6 2 ) 1/2 || dx = 0 L 2 () L 2 () 6 6 C 4 (, S) 0 L 2 () Y S () . Следовательно, Y S () 6 1 C 4 (, S) 0 L 2 () . (16) Учитывая это неравенство, из (13) нетрудно вывести следующую оценку: u V S () 6 1 C 1 (, S)p 0 L 2 (S) + 1 C 2 (, S)f 0 L 2 () + + 1 2 M C 2 (, S)C 3 2 (, S)C 4 2 (, S) 0 2 L 2 () . (17) Дадим теперь операторную трактовку задачи (8), (9). Введем операторы: A 1 : V S () > [V S ()] * , A 1 (w), v := w : v dx, A 2 : Y S () > [Y S ()] * , A 2 (), := · dx + d, S A : V S () Y S () > [V S ()] * [Y S ()] * , ( ) A(w, ) := A 1 (w), A 2 () , K 1 : L 4 () > [V S ()] * , K 1 (), v := p 0 (v · n) d + f (x, ) · v dx, S K 2 : L 4 () L 4 () > [Y S ()] * , 3 K 2 (w, ), := w i dx + (x, ) dx, x i i=1 423 K : L 4 () L 4 () > [V S ()] * [Y S ()] * , ( ) K(w, ) := K 1 (), K 2 (w, ) , J : V S () Y S () > L 4 () L 4 (), J(w, ) := (w, ). Ясно, что задача (8), (9) эквивалентна операторному уравнению A(u, ) = (K J)(u, ). (18) Заметим, что A 1 (w), w = w 2 V S , A 2 (), > 2 Y S () для любых w V S () и Y S (). Поэтому из теоремы Лакса-Мильграма (см. [22, гл. 9, теорема 9.14]) следует, что операторы A 1 и A 2 непрерывно обратимы. Следовательно, непрерывно обратим и оператор A, причем ) ( 1 * * (h * , g * ) [V S ()] * [Y S ()] * . A 1 (h * , g * ) = A 1 1 (h ), A 2 (g ) , Применим A 1 к обеим частям равенства (18): (u, ) = (A 1 K J)(u, ). (19) Оператор J вполне непрерывен в силу теоремы о компактности вложения соболевских пространств (см., например, [20, гл. 2, § 2.6, теорема 6.1]). Кроме того, используя условия (C3)-(C6) и теорему М. А. Красносельско- го о непрерывности оператора суперпозиции (см. [23, гл. 1, § 1, предложение 1.1]), нетрудно показать, что оператор K непрерывен. Следовательно, оператор A 1 K J является вполне непрерывным. Принимая во внимание полученные ранее априорные оценки (16) и (17), мы можем применить теорему Лерэ-Шаудера о неподвижной точке к опера- торному уравнению (19). В результате приходим к выводу о том, что урав- нение (u, ) = (A 1 K J)(u, ) имеет по крайней мере одно решение (u 0 , 0 ) V S () Y S (). Очевидно, что пара (u 0 , 0 ) является слабым решением задачи (A). Далее, подставляя = 1 в (10) и (15), получаем энергетические равен- ства (6) и (7). Теорема полностью доказана. Заключение. В работе на основе принципа Лерэ-Шаудера доказана раз- решимость (в слабой постановке) смешанной краевой задачи для математи- ческой модели, описывающей стационарное ползущее течение неравномерно нагретой несжимаемой жидкости через заданную ограниченную область с локально-липшицевой границей. Кроме того, выведены энергетические равенства, которым удовлетворяют поле скоростей течения и распределение температуры в рассматриваемой области.

About the authors

Anastasia Aleksandrovna Domnich

Russian Air Force Military Educational and Scientific Center of the "N. E. Zhukovskiy and Yu. A. Gagarin Air Force Academy"

Email: andomnich@inbox.ru
54 a, Staryh Bolshevikov, Voronezh, 394064, Russian Federation

Evgenii Sergeevich Baranovskii

Voronezh State University, Faculty of Applied Mathematics, Informatics and Mechanics

Email: esbaranovskii@gmail.com
1, Universitetskaya pl., Voronezh, 394018, Russian Federation
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Mikhail Anatolievich Artemov

Voronezh State University, Faculty of Applied Mathematics, Informatics and Mechanics

Email: artemov_m_a@mail.ru
1, Universitetskaya pl., Voronezh, 394018, Russian Federation
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Крейн С. Г., Чан Тху Xа., "Задача протекания неравномерно нагретой вязкой жидкости", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 29:8 (1989), 1153-1158
  2. Ковтунов Д. А., "Разрешимость стационарной задачи тепловой конвекции высоковязкой жидкости", Дифференц. уравнения, 45:1 (2009), 74-85
  3. Короткий А. И., "Разрешимость в слабом смысле одной краевой задачи, описывающей тепловую конвекцию", Тр. ИММ УрО РАН, 16:2 (2010), 121-132
  4. Алексеев Г. В., "Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции", Сиб. матем. журн., 39:5 (1998), 982-998
  5. Фурсиков А. В., Эмануилов Ю. С., "Точная управляемость уравнений Навье-Стокса и Буссинеска", УМН, 54:3(327) (1999), 93-146
  6. Lee H.-C., Imanuvilov O. Yu., "Analysis of optimal control problems for the 2-D stationary Boussinesq equations", J. Math. Anal. Appl., 242 (2000), 191-211
  7. Алексеев Г. В., "Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепломассопереноса", Сиб. матем. журн., 42:5 (2001), 971-991
  8. Alekseev G. V., Tereshko D. A., "Stability of optimal controls for the stationary Boussinesq equations", Inter. J. Differ. Equ., 2011 (2011), 535736
  9. Abidi H., Zhang P., "On the global well-posedness of 2-D Boussinesq system with variable viscosity", Adv. Math., 305 (2017), 1202-1249
  10. Yu Y., Wu X., Tang Y., "Global well-posedness for the 2D Boussinesq system with variable viscosity and damping", Math. Meth. Appl. Sci., 41:8 (2018), 3044-3061
  11. Li Z., "Global well-posedness of the 2D Euler-Boussinesq system with stratification effects", Math. Meth. Appl. Sci., 40:14 (2017), 5212-5221
  12. Vlasova S. S., Prosviryakov E. Yu., "Two-dimensional convection of an incompressible viscous fluid with the heat exchange on the free border", Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 20:3 (2016), 567-577
  13. Privalova V. V., Prosviryakov E. Yu., "Couette-Hiemenz exact solutions for the steady creeping convective flow of a viscous incompressible fluid, with allowance made for heat recovery", Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 22:3 (2018), 532-548
  14. Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю., "Крупномасштабная слоистая стационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости под действием касательных напряжений на верхней границе. Исследование поля скоростей", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:1 (2017), 180-196
  15. Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю., "Крупномасштабная слоистая стационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости под действием касательных напряжений на верхней границе. Исследование полей температуры и давления", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:4 (2017), 736-751
  16. Рагулин В. В., "К задаче о протекании вязкой жидкости сквозь ограниченную область при заданном перепаде давления и напора", Динамика сплошной среды, 27 (1976), 78-92
  17. Conca C., Murat F., Pironneau O., "The Stokes and Navier-Stokes equations with boundary conditions involving the pressure", Japan. J. Math., 20 (1994), 279-318
  18. Marušić S., "On the Navier-Stokes system with pressure boundary condition", Ann. Univ. Ferrara, 53 (2007), 319-331
  19. Bertoluzza S., Chabannes V., Prud'homme C., Szopos M., "Boundary conditions involving pressure for the Stokes problem and applications in computational hemodynamics", Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 322 (2017), 58-80
  20. Nečas J., Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations, Springer, Heidelberg, 2012, xvi+372 pp.
  21. Ладыженская О. А., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, Наука, М., 1970, 288 с.
  22. Renardy M., Rogers R., An Introduction to Partial Differential Equations, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 2004, xiv+434 pp.
  23. Скрыпник И. В., Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач, Наука, М., 1990, 488 с.

Statistics

Views

Abstract - 92

PDF (Russian) - 29

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies