On a mathematical model of non-isothermal creeping flows of a fluid through a given domain

Full Text

Введение. Пусть R 3 - ограниченная область с локально-липшицевой границей . Рассмотрим стационарную математическую модель, описыва- ющую неизотермическое течение вязкой несжимаемой жидкости (в безынер- циальном приближении) через область при смешанных краевых условиях: u + p = f (x, ) в , div u = 0 в , (u · ) = (x, ) в , (A) = на S, u = 0, n u = 0, p = p 0 + C, = 0 на S, где u = u(x) - скорость течения в точке x ; = (x) - отклонение тем- пературы от равновесного значения; f (x, ) - внешние силы; p = p(x) - дав- ление; > 0 - коэффициент вязкости; > 0 - коэффициент теплопроводно- сти; > 0 - коэффициент теплообмена на стенках сосуда ; (x, ) - мощ- ность тепловых источников; n = n(x) - единичная внешняя нормаль к ; S - плоский участок границы , где происходит протекание жидкости (или объединение нескольких таких участков); p 0 - функция, характеризующая давление на S. Нижний индекс используется для обозначения касательной составляющей вектора, т. е. u := u (u · n)n. Произвольная константа C в пятой строке системы (A) отражает факт, что при задании давления ва- жен только его перепад. Краевое условие Дирихле для функции на участ- ке протекания S выбрано однородным лишь для упрощения математических выкладок и может быть заменено соответствующим неоднородным условием. Основная цель данной работы - обоснование разрешимости задачи (A) в слабой формулировке. Доказательство теоремы существования основано на получении априорных оценок слабых решений и применении теоремы Лерэ- Шаудера о неподвижной точке вполне непрерывного отображения. Следует отметить, что в линейной постановке задача о протекании не- равномерно нагретой вязкой жидкости сквозь заданную область рассмотрена С. Г. Крейном и Чан Тху Xа [1]. В статьях [2, 3] исследуются стационарные модели, описывающие (в рамках приближения Буссинеска) движение высоко- вязкой жидкости внутри ограниченной области с непроницаемыми тверды- ми стенками. Вопросы оптимизации и управления течением теплопроводной жидкости рассматриваются в [4-8]. В недавних публикациях [9, 10] установ- лены условия однозначной разрешимости двумерных эволюционных урав- нений Обербека-Буссинеска с коэффициентом вязкости, зависящим от тем- пературы. Задача Коши для уравнений Эйлера-Буссинеска, моделирующих потоки идеальной ( 0) неравномерно нагретой жидкости, рассматривается в [11]. Отметим также статьи [12, 13], в которых обсуждаются точные решения для описания установившихся ползущих конвективных течений несжимаемой жидкости, а также работы [14, 15], посвященные анализу крупномасштабной 418 слоистой стационарной конвекции вязкой жидкости под действием касатель- ных напряжений на верхней границе. Классические уравнения Стокса и Навье-Стокса с краевыми условиями для давления p или напора жидкости p + |u| 2 /2 изучались многими авторами (см., например, [16-19] и цитируемую там литературу). Основные допущения. Будем предполагать, что: (C1) множества S и S имеют положительную двумерную меру Лебега; (C2) функция p 0 : S > R принадлежит пространству Лебега L 2 (S); (C3) функции f i ( · , y) : > R, i = 1, 3, и ( · , y) : > R измеримы при лю- бом y R; (C4) функции f i (x, · ) : R > R, i = 1, 3, и (x, · ) : R > R непрерывны при п. в. x ; (C5) существуют функция f 0 L 2 () и константа M > 0 такие, что |f (x, y)| 6 f 0 (x) + M |y| 2 для любого y R и п. в. x ; (C6) существует функция 0 L 2 () такая, что |(x, y)| 6 0 (x) для любого y R и п. в. x . Слабая формулировка задачи (A). Сначала введем необходимые обо- значения и функциональные пространства. В данной заметке используют- ся пространства Лебега L r (), L r (), где r > 1, и пространство Соболева H 1 () := W 2 1 (). Соответствующие классы вектор-функций будем обозна- чать теми же символами, но при этом будем использовать жирный шрифт, т. е. L r () := L r () 3 , L r () := L r () 3 , H 1 () := H 1 () 3 . Пусть V S () := {v H 1 () : div v = 0, v| S = 0, v | S = 0}, Y S () := { H 1 () : | S = 0}. Напомним, что сужение функции w H 1 () на определяется по фор- муле w| := w, где : H 1 () > L 4 () - оператор следа (см., напри- мер, [20, § 2.4.2]). В пространстве V S () введем скалярное произведение и норму по фор- мулам 1/2 (v, w) V S () := v : w dx, v V S () := (v, v) V S () , где символ «:» обозначает скалярное произведение соответствующих матриц. Используя неравенство Фридрихса (см., например, [20, § 1.1.8, теорема 1.9]) и условие (C1), нетрудно убедиться в том, что данное определение корректно и норма · V S () эквивалентна норме, индуцированной из H 1 (). В пространстве Y S () зададим скалярное произведение и норму по фор- мулам: 1/2 (, ) Y S () := · dx, Y S () := (, ) Y S () . 419 Из неравенства Фридрихса и условия (C1) следует, что это определение кор- ректно и норма · Y S () эквивалентна стандартной H 1 -норме. Теперь мы можем дать слабую формулировку краевой задачи (A). Определение. Назовем слабым решением краевой задачи (A) пару функ- ций (u, ) V S () Y S () такую, что u : v dx + p 0 (v · n) d = f (x, ) · v dx, 3 i=1 u i S dx + x i (1) · dx + d = S (x, ) dx (2) для любых v V S () и Y S (). Замечание. Покажем, каким образом в определении слабых решений воз- никают тождества (1) и (2). Пусть тройка (u, , p) - классическое решение задачи (A). Умножим скалярно в L 2 () обе части первого равенства из (A) на вектор-функцию v V S (): u · v dx + p · v dx = f (x, ) · v dx. (3) I 1 I 2 Интегрированием по частям получаем u · v d u : v dx, I 1 = n откуда, принимая во внимание соотношения v = (v · n)n на S, v = 0 на S, находим, что I 1 = S (u · n) (v · n) d n u : v dx. Поскольку div u = 0 в и u = 0 на S, то (u · n) = 0 на S. n Поэтому I 1 = u : v dx. (4) Далее, используя интегрирование по частям и равенства div v = 0 в , v · n d = 0, v = 0 на S, S 420 p = p 0 + C на S, получаем p 0 (v · n) d. (5) p(v · n) d p div v dx = (p 0 + C)(v · n) d = I 2 = S S Подставляя (4) и (5) в равенство (3), приходим к (1). Аналогично, умножим скалярно в L 2 () второе уравнение (A) на Y S (). С помощью интегриро- вания по частям и соответствующих краевых условий получаем (2). Теорема о разрешимости задачи (A). Основным результатом работы является следующая Теорема. Пусть выполнены условия (C1)-(C6). Тогда: - задача (A) имеет по крайней мере одно слабое решение; - всякое слабое решение задачи (A) удовлетворяет следующим энергети- ческим равенствам: 2 |u| dx + p 0 (u · n) d = f (x, ) · u dx, (6) S || 2 dx + || 2 d = (x, ) dx. (7) S Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства существования слабых реше- ний воспользуемся теоремой Лерэ-Шаудера о неподвижной точке вполне не- прерывного отображения (см., например, [21, гл. I, § 3]). С этой целью рас- смотрим следующую однопараметрическую вспомогательную задачу. Требуется найти пару (u, ) V S () Y S (), удовлетворяющую равен- ствам: u : v dx + p 0 (v · n) d = f (x, ) · v dx v V S (), (8) S 3 i=1 u i dx + x i · dx + d = S (x, ) dx Y S (), (9) где - параметр, [0, 1]. Установим априорные оценки решений задачи (8), (9). Предположим, что пара (u, ) V S () Y S () удовлетворяет (8), (9) при некотором [0, 1]. Полагая в равенстве (8) v = u, получаем |u| 2 dx + p 0 (u · n) d = f (x, ) · u dx, (10) S откуда с помощью условия (C5) и неравенства Коши-Буняковского выводим, что 2 2 u V S () = |u| dx = p 0 (u · n) d + f (x, ) · u dx 6 S 421 + M || 2 )|u| dx 6 |p 0 ||u| d + 6 S ( 6 |p 0 | 2 d (f 0 ) 1/2 ( S ) 1/2 2 |u| d ( ) 1/2 ( 2 2 |f 0 | dx + S |u| dx + ( 4 ) 1/2 ( 2 || dx + M ) 1/2 ) 1/2 |u| dx = = p 0 L 2 (S) u L 2 (S) + f 0 L 2 () u L 2 () + M 2 L 4 () u L 2 () . (11) Заметим, что существуют постоянные C i (, S), i = 1, 4, такие, что u L 2 (S) 6 C 1 (, S)u V S () , u L 2 () 6 C 2 (, S)u V S () , L 4 () 6 C 3 (, S) Y S () , L 2 () 6 C 4 (, S) Y S () . (12) Поэтому (11) можно продолжить следующим образом: u 2 V S () 6 C 1 (, S)p 0 L 2 (S) u V S () + C 2 (, S)f 0 L 2 () u V S () + + M C 2 (, S)C 3 2 (, S) 2 Y S () u V S () , откуда следует u V S () 6 1 C 1 (, S)p 0 L 2 (S) + 1 C 2 (, S)f 0 L 2 () + + 1 M C 2 (, S)C 3 2 (, S) 2 Y S () . (13) Положим теперь в (9) = : 3 i=1 u i dx + x i || 2 dx + || 2 d = S (x, ) dx. (14) Заметим, что первое слагаемое в левой части последнего равенства равно нулю. В самом деле, используя интегрирование по частям и условия = 0 на S, u = 0 на S, div u = 0 в , получаем, что 3 i=1 3 1 u i dx = x i 2 i=1 3 u i || 2 dx = x i 3 1 u i 2 || dx = 2 x i i=1 i=1 1 1 = (u · n)|| 2 d (div u)|| 2 dx = 0. 2 2 = 422 1 2 u i n i || 2 d Поэтому равенство (14) можно переписать следующим образом: 2 2 || dx = || d + (x, ) dx, S (15) откуда с помощью условия (C6), неравенства Коши-Буняковского и четвер- того неравенства из (12) выводим: 2 Y S () = || 2 dx 6 (x, ) dx 6 ( 2 ) 1/2 ( | 0 | dx 6 2 ) 1/2 || dx = 0 L 2 () L 2 () 6 6 C 4 (, S) 0 L 2 () Y S () . Следовательно, Y S () 6 1 C 4 (, S) 0 L 2 () . (16) Учитывая это неравенство, из (13) нетрудно вывести следующую оценку: u V S () 6 1 C 1 (, S)p 0 L 2 (S) + 1 C 2 (, S)f 0 L 2 () + + 1 2 M C 2 (, S)C 3 2 (, S)C 4 2 (, S) 0 2 L 2 () . (17) Дадим теперь операторную трактовку задачи (8), (9). Введем операторы: A 1 : V S () > [V S ()] * , A 1 (w), v := w : v dx, A 2 : Y S () > [Y S ()] * , A 2 (), := · dx + d, S A : V S () Y S () > [V S ()] * [Y S ()] * , ( ) A(w, ) := A 1 (w), A 2 () , K 1 : L 4 () > [V S ()] * , K 1 (), v := p 0 (v · n) d + f (x, ) · v dx, S K 2 : L 4 () L 4 () > [Y S ()] * , 3 K 2 (w, ), := w i dx + (x, ) dx, x i i=1 423 K : L 4 () L 4 () > [V S ()] * [Y S ()] * , ( ) K(w, ) := K 1 (), K 2 (w, ) , J : V S () Y S () > L 4 () L 4 (), J(w, ) := (w, ). Ясно, что задача (8), (9) эквивалентна операторному уравнению A(u, ) = (K J)(u, ). (18) Заметим, что A 1 (w), w = w 2 V S , A 2 (), > 2 Y S () для любых w V S () и Y S (). Поэтому из теоремы Лакса-Мильграма (см. [22, гл. 9, теорема 9.14]) следует, что операторы A 1 и A 2 непрерывно обратимы. Следовательно, непрерывно обратим и оператор A, причем ) ( 1 * * (h * , g * ) [V S ()] * [Y S ()] * . A 1 (h * , g * ) = A 1 1 (h ), A 2 (g ) , Применим A 1 к обеим частям равенства (18): (u, ) = (A 1 K J)(u, ). (19) Оператор J вполне непрерывен в силу теоремы о компактности вложения соболевских пространств (см., например, [20, гл. 2, § 2.6, теорема 6.1]). Кроме того, используя условия (C3)-(C6) и теорему М. А. Красносельско- го о непрерывности оператора суперпозиции (см. [23, гл. 1, § 1, предложение 1.1]), нетрудно показать, что оператор K непрерывен. Следовательно, оператор A 1 K J является вполне непрерывным. Принимая во внимание полученные ранее априорные оценки (16) и (17), мы можем применить теорему Лерэ-Шаудера о неподвижной точке к опера- торному уравнению (19). В результате приходим к выводу о том, что урав- нение (u, ) = (A 1 K J)(u, ) имеет по крайней мере одно решение (u 0 , 0 ) V S () Y S (). Очевидно, что пара (u 0 , 0 ) является слабым решением задачи (A). Далее, подставляя = 1 в (10) и (15), получаем энергетические равен- ства (6) и (7). Теорема полностью доказана. Заключение. В работе на основе принципа Лерэ-Шаудера доказана раз- решимость (в слабой постановке) смешанной краевой задачи для математи- ческой модели, описывающей стационарное ползущее течение неравномерно нагретой несжимаемой жидкости через заданную ограниченную область с локально-липшицевой границей. Кроме того, выведены энергетические равенства, которым удовлетворяют поле скоростей течения и распределение температуры в рассматриваемой области.

About the authors

Anastasia Aleksandrovna Domnich

Russian Air Force Military Educational and Scientific Center of the "N. E. Zhukovskiy and Yu. A. Gagarin Air Force Academy"

Email: andomnich@inbox.ru
54 a, Staryh Bolshevikov, Voronezh, 394064, Russian Federation

Evgenii Sergeevich Baranovskii

Voronezh State University, Faculty of Applied Mathematics, Informatics and Mechanics

Email: esbaranovskii@gmail.com
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor 1, Universitetskaya pl., Voronezh, 394018, Russian Federation

Mikhail Anatolievich Artemov

Voronezh State University, Faculty of Applied Mathematics, Informatics and Mechanics

Email: artemov_m_a@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor 1, Universitetskaya pl., Voronezh, 394018, Russian Federation

References

Supplementary files