Analysis of the linear viscoelasticity theory capabilities to simulate hydrostatic pressure influence on creep curves and lateral contraction ratio of rheonomous materials

Full Text

Введение. Анализ большого объема данных механических испытаний, микроскопии и рентгенографии разнообразных (даже изначально изотропных) материалов показывает, что изменение объема при нагружении, объемная ползучесть и релаксация, вид напряженно-деформированного состояния и его эволюция, влияние среднего напряжения и его истории на осевые и сдвиговые деформации и связанные с ними термомеханические эффекты весьма существенны при описании деформирования и прочности многих реономных материалов [1-54], а наложение высокого всестороннего (гидростатического) давления оказывает сильное воздействие на физические и механические свойства большинства материалов, а также на их структуру и фазовый состав (подробнее см. обзоры в [1-6, 55]). На макроуровне они заметно влияют на проявление свойств материалов в одноосных испытаниях, на кривые релаксации и ползучести при растяжении-сжатии и сдвиге, кривые длительной прочности, кривые нагружения с постоянной скоростью и циклического нагружения. У подавляющего большинства материалов с ростом давления возрастают пластичность (предельная деформация при разрушении и длина площадки текучести при деформировании с постоянной скоростью), касательный модуль (жесткость), предел текучести, предел прочности на растяжение, длительная прочность, коэффициент поперечной деформации («коэффициент Пуассона»), модуль релаксации, времена релаксации и вязкость, уменьшаются скорости ползучести и релаксации и податливость при ползучести. Регистрация и адекватный учет подобных эффектов (или пренебрежение ими) влияют на результаты обработки и интерпретации данных испытаний, достоверность определения механических свойств материалов, оценку скорости накопления повреждений и долговечности элементов конструкций. К материалам, у которых эти эффекты влияния среднего напряжения, сжимаемости и объемной ползучести ярко выражены (даже при малых деформациях), относятся, прежде всего, многие полимеры (полиэтилены, полипропилены, фторопласты и т.п.), дисперсно наполненные полимеры (твердые топлива, асфальтобетоны, ударопрочный полистирол, АБС-пластики), прессованные порошковые композиты, сплавы, металлические и полимерные пены, льды, грунты, горные породы и т.п. [1-11, 16-29, 31, 35, 36, 38-54]. Для них стандартные гипотезы (сильно упрощающие решения краевых задач и расчеты элементов конструкций) об объемной несжимаемости или упругой связи объемной деформации со средним напряжением (об отсутствии объемной ползучести), о независимости этой связи от второго (и третьего) инварианта тензора напряжения и вида напряженного состояния, о постоянстве коэффициента Пуассона оказываются непригодными [2-6, 11, 18-24, 26, 27, 31, 37, 40, 41, 44], для таких материалов особенно сложно найти (маркировать) границу области линейного поведения. Коэффициент поперечной деформации (КПД) = / реономных материалов при одноосном нагружении не постоянен, а зависит от времени (от продольной деформации ()) и программы нагружения. Зависимости поперечной и объемной деформаций ( и ) от времени и осевой деформации, поведение и диапазоны значений КПД для упомянутых классов (изотропных) реономных материалов весьма разнообразны даже в испытаниях на ползучесть при постоянной нагрузке или на релаксацию [1-54]. У большинства металлов, многих стекол, полимеров (например полиэтиленов высокой плотности, эпоксидных смол, ПММА и т.п.) и порошковых композитов наблюдается монотонное возрастание с ростом () [12, 13, 25, 33, 38, 39] (и порой - убывание объемной деформации при растяжении). У многих реономных материалов, как достаточно хрупких, так и высокоэластичных (твердое топливо, асфальтобетон, АБС-пластики, чугун и т.п.), наблюдается убывание (), связываемое обычно с необратимым изменением объема при растяжении или сжатии [2, 5, 6, 24, 31, 37, 40, 41, 44]. В последние три десятилетия обнаружены, активно конструируются и исследуются новые материалы (как правило, упругие) с отрицательным КПД (auxetics) [45-54]. У некоторых материалов объемная деформация и КПД меняются немонотонно и меняют знак [5, 6, 19, 42, 43, 49]. Объемную ползучесть, изменение КПД и вида напряженного или деформированного состояния и типичные механические эффекты, связанные с ними, следует учитывать при обработке и интерпретации кривых испытаний наследственных материалов (в частности методами индентирования) и при выборе и идентификации определяющего соотношения (ОС) для моделирования их поведения. Для выбора того или иного ОС для описания поведения некоторого материала (и дальнейшего совершенствования и обобщения ОС) важно знать, какие механические эффекты оно способно моделировать и при каких требованиях к материальным функциям, в частности, какие из упомянутых эффектов, связанных с объемной и поперечной деформациями и влиянием всестороннего давления. Для этого необходимо системное аналитическое исследование общих свойств кривых релаксации, ползучести и деформирования, которые порождает применяемое ОС с произвольными материальными функциями при разных типовых программах нагружения, и их зависимости от параметров программ нагружения и характеристик материальных функций. В частности, системное исследование арсенала возможностей интеграль ного ОС Больцмана-Вольтерры с произвольными функциями ползучести (круга моделируемых и немоделируемых эффектов, сфер влияния материальных функций и т.п.) и удобных для проверки по данным тех или иных испытаний материалов индикаторов его (не)применимости. Ведь оно играет роль своеобразного «окуляра», «эталонной» сетки реперных точек, отсчетной базы для сопоставления, по отношению к которой естественно изучать эффекты нелинейного поведения материалов (отклонения от предсказаний линейной модели как начального приближения), наблюдаемые в испытаниях материалов и описываемые различными нелинейными ОС (но не описываемые линейными). Нередко случается, что нелинейности поведения материла приписывают эффекты [56-63], адекватно описываемые в рамках линейной теории [64-67], вытекающие лишь из наличия наследственности и присущие всем (почти всем) линейно вязкоупругим материалам (при достаточно малых деформациях и скоростях). Точное знание арсенала возможностей и границ области применимости линейной теории вязкоупругости и имманентных свойств порождаемых ею базовых теоретических кривых, вытекающих из постулатов наследственности, линейности и инвариантности относительно сдвигов по времени интегральных операторов, связывающих истории напряжений и деформаций, необходимо для грамотного моделирования, выбора или построения более сложных и точных моделей поведения реономных материалов, использующих линейную теорию наследственности и обобщающих ее в определенных аспектах, для их идентификации, аттестации и сопоставления и, в целом, для совершенствования расчетных схем и методов расчета конструкций. Данная статья продолжает цикл работ [64-71, 55] (и др.) по системному исследованию комплекса моделируемых реологических эффектов и границ области применимости линейного определяющего соотношения (ОС) вязкоупругости Больцмана-Вольтерры: () = + 0 , () = 1.5 (), = 0 0 , 0 () = ()/3, = 0 , () = 30 = (), = ( )( ), 0 = 0 ( )( ), > 0, 0 (1) (2) 0 с двумя произвольными материальными функциями () и 0 () (функциями сдвиговой и объемной ползучести) [2, 72-87] и физически нелинейного ОС ) [ ] 1 ( 3 () = (())()1 0 + 0 0 () , (3) 2 3 () = , 0 () = 0 0 , с четырьмя произвольными материальными функциями (), (), 0 (), 0 (). ОС (3) - один из вариантов распространения на трехосный случай [88, 90] нелинейного уравнения наследственности (()) = ( )( ), 0 предложенного Ю. Н. Работновым [89, 90] в качестве обобщения одноосного линейного ОС (1) путем введения второй материальной функции () (подробную библиографию по этим темам см. в работах [65-71]). ОС (1) и (3) описывают процессы изотермического деформирования нестареющих изотропных вязкоупругих сред; они связывают истории изменения тензоров (малых) деформаций () и напряжений () в произвольной точке тела в предположении отсутствия взаимного влияния шаровых и девиаторных частей тензоров e = 0 I и s = 0 I (т.е. независимости объемной деформации () от касательных напряжений, а сдвиговых деформаций - от среднего напряжения 0 ()) и пренебрегая влиянием третьих инвариантов тензоров (или их параметров Лоде) [2, 73-76]. Функции ползучести (ФП) (), 0 () в ОС (1) предполагаются положительными, дифференцируемыми и возрастающими на (0; ) [72, 73, 75-79, 86, 87] и выпуклыми вверх [2, 74, 64-67], входные процессы () - кусочно-гладкими при > 0, а время и компоненты тензора напряжений - безразмерными. Множитель 3/2 вынесен из ФП () в (1) для удобства сравнения с результатами анализа нелинейного ОС (3) [55]. Конкретные задачи данной статьи - анализ общих качественных свойств семейств кривых объемной, осевой и поперечной ползучести и КПД («коэффициента Пуассона»), которые порождает ОС (1) с произвольными ФП (), 0 () при одноосном нагружении постоянной нагрузкой и одновременном приложении постоянного всестороннего давления: 11 () = (), () = (), > 0, > 0, (4) где () - функция Хевисайда, и - уровни осевого напряжения и давления, а также их сопоставление со свойствами кривых ползучести при одноосном нагружении (при = 0) и с типичными свойствами экспериментальных кривых реономных материалов и поиск индикаторов неприменимости ОС (1) (индикаторов границы области линейности). 1. Ограничения на материальные функции линейного ОС (1). Обращение ОС (1), как известно [2, 72-87], имеет вид 2 0 =R0 , () = R , R := ( )( ), 3 0 (5) R0 := 0 ( )( ), > 0, 0 где функции релаксации () и 0 () связаны с ФП и 0 интегральными уравнениями ( )( ) = , 0 ( )0 ( ) = , > 0, 0 0 выражающими условия взаимной обратности операторов: R = R = I и 0 R0 = R0 0 = I. Функции ползучести и релаксации (), 0 (), (), 0 () в ОС (1), (5) предполагаются положительными и дифференцируемыми на (0; ), функции и 0 - возрастающими и выпуклыми вверх [2, 74, 64- 67], а и 0 - убывающими и выпуклыми вниз на (0; ), и 0 могут иметь интегрируемую особенность или - сингулярность в точке = 0 (слагаемое (), где > 0, () - дельта-функция). Из этих условий следует, в частности, существование пределов (+) = inf () > 0, (0) = sup () > 0 ((0) := (0+) - обозначение для предела функции () справа в точке = 0; (0) = +, если () не ограничена сверху) и (0) = inf () > 0. Если (0) = 0 и 0 (0) = 0 (такие модели будем называть регулярными), то (0) = 1/(0) < и 0 (0) = 1/0 (0) < (т.е. мгновенный модуль сдвига 2 = 23 (0) и объемный модуль = 0 (0) диаграмм деформирования с постоянной скоростью конечны) и на линейном пространстве непрерывных кусочно гладких при > 0 функций операторы ОС (2) и (5) представимы в виде операторов Вольтерры второго рода: = (0)()+ ( )( ), R = (0)()+ ( )( ), > 0. 0 0 Все структурные модели, собранные из линейных пружин и демпферов посредством последовательных и параллельных соединений, описываются ОС (1). Любая такая модель задается уравнением вида P[d] = Q[d] с двумя дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами, где порядки операторов = deg P, > 0, и = deg Q либо равны, либо = + 1, а характеристические корни вещественны, различны и неотрицательны. Поэтому ФП любой реологической модели - сумма экспонент с отрицательными показателями и коэффициентами, и, возможно, функции + , , > 0, а функция релаксации - сумма экспонент с отрицательными показателями и положительными коэффициентами и, возможно, постоянной > 0 и сингулярности (), > 0. Например, семейство функций () = + , > 0, , > 0, [0, ], (6) удовлетворяет всем требованиям к ФП и в случае (0; ), , > 0, порождает все четыре структурно различные (но эквивалентные [65]) четырехзвенные модели из двух пружин и двух демпферов (они регулярны, = 1 1 + 2 2 и (+) = 0), а при = 0 - трехзвенные модели Кельвина и Пойнтинга-Томпсона с одним демпфером (они регулярны и эквивалентны, = + и (+) = > 0). Так как (0) = , семейство (6) порождает нерегулярные модели лишь в случае = : - при = 0 - ньютоновскую жидкость ( = ()); - при = 0 - модель Фойгта ( = () + ); - при > 0 - обе трехзвенные модели с одной пружиной и двумя демпферами ( = () + , (+) = 0). При = 0 выражение (6) дает модель Максвелла ( = ). Если < 0, то нарушается ограничение () 6 0 и порождаемые ОС (1) кривые обратной ползучести возрастают (что противоречит данным испытаний материалов) [65]. 2. Кривые ползучести ОС (1) при одноосном растяжении. Рассмотрим мгновенное одноосное нагружение 11 () = (), где () - функция Хевисайда (ее в дальнейшем будем опускать, полагая, что > 0), т.е. 11 () = = const, а остальные компоненты тензора напряжений равны нулю. Тогда 0 = 13 (), девиатор напряжений - диагональный тензор s = 1 = 3 () diag(2, 1, 1), а из (1) следует, что девиатор деформаций тоже диагонален в любой момент времени: e = 12 () diag(2, 1, 1) и 1 (; ) = 0 (), 3 > 0. (7) У тензора деформаций = e+ 13 I тоже отличны от нуля лишь диагональные компоненты: ( ) ) 1 1 ( 11 ; = () + 0 () = 9() + 0 () , > 0, (8) 9 9 ) ( ) ( ) 1 1 ( 1 () + 0 () = 9() + 20 () . (9) 22 ; = 33 ; = 2 9 18 Уравнения (7)-(9) задают семейства кривых ползучести (КП): объемной, осевой и поперечной. Из ограничений, наложенных на ФП () и 0 (), следует, что для любого > 0 (будем для определенности рассматривать случай растяжения) (), () и 11 () положительны, монотонно возрастают и выпуклы вверх, а с ростом смещаются вверх по оси деформации. Поперечная деформация = 22 () не обязана быть ни монотонной, ни выпуклой вверх функцией: она может убывать или возрастать на всем интервале > 0, может иметь точки экстремума и перегиба и менять знак. Поскольку из (9) 1 1 () = () + 0 (), 2 9 1 1 () = () + 0 (), 2 9 при > 0 критерии (нестрогого) возрастания и выпуклости вниз () на некотором интервале времени имеют вид 0 () > 92 () или 0 () > 29 (), а уравнения для точек экстремума и перегиба: 9 9 0 () = () или 0 () = (). 2 2 Если функция 0 () ограничена (например, ФП (6) с = 0), то () = = 19 0 () < . Если обе ФП ограничены, то обе КП (8), (9) имеют при > горизонтальные асимптоты: ( ) ( 1 ) 1 1 11 () = () + 0 () , () = () + 0 () . 9 2 9 Пример 1. Рассмотрим модель (1) с (ограниченными) ФП классической модели Кельвина: = , 0 = 0 0 0 , , , 0 , 0 > 0, (0; ), 0 (0; 0 ), (10) ( = 1/ и 0 = 1/0 - времена ретардации при сдвиге и изменении объема, 1 12 1 12 (0)1 = ( )1 , = ()1 = 1 , 23 3 23 3 = 1/0 (0) = 1/(0 0 ), = 1/0 () = 1/0 = - мгновенный и длительный модули сдвига и объемные модули). По (8) и (9) 1 11 (; ) = (9 + 0 9 0 0 ), 9 1 (; ) = (9 + 20 + 9 20 0 ). 18 При > поперечная деформация () стремится к горизонтальной ( ) 1 20 9 , не зависящей от и 0 . Скорость ползучести асимптоте = 18 1 () = 18 (9 + 20 0 0 ) может менять знак; из условия экстрему ма 9 = 20 0 0 при = 0 находится (единственная) точка экстремума = (ln )/(0 ), = 4.50 0 /(), если > 0 (т.е. )& > ]1 [ ( 0 > 1 1 20 9 + 9 1 0 , или 0 < & < 1). Так как ( ) = 18 точка - точка минимума при 0 < (когда ( ) < ()) и точка максимума при 0 > (когда ( ) > ()). При = 0 поперечная деформация () всегда монотонна на луче > 0: она возрастает, если 9 > 20 , и убывает, если 20 > 9. В (случае, когда )0 = 0 (0 () = 0 ),( поперечная деформация () = 1 9() + 20 монотонно убывает и меняет знак, если 92 (0) < 0 < = 18 ) < 92 (), т.е. 92 ( ) < 0 < 29 . При 0 > (т.е. 0 > 0) все семейства КП модели (10) сходятся (снизу, равномерно на любом луче > 0 > 0) к КП модели с 0 = 0. На рис. 1, а приведены КП 11 () (кривые 1-3), ()/3 (кривые 4-6) и () = 22 (кривые 7-9) для = 1, порожденные тремя моделями вида (10) с одинаковыми сдвиговыми ФП () ( = 0.1, = 0.010, = 0.008 и = 1/ = 10) и разными 0 () (с разными временами объемной ретардации 0 = 1/0 ): 1) с 0 = 0.01 < - КП 1, 4, 7; 2) с 0 = = 0.1 - штриховые КП 2, 5, 8; 3) с 0 = 1 > - КП 3, 6, 9. Значения 0 = 0.020 и 0 = 0.015 одинаковы у всех моделей. КП всех трех )0 , моделей стремятся к одной и той же (горизонтальной асимптоте: () = 13 ( ) ) ( 1 11 () = 19 9() + 0 () = 91 9 + 0 = 11 , () = 2 9 = 0 9 18 5 = 18 (штриховые прямые 10, 11). Примечательны немонотонность и смена знака поперечной деформации: КП () модели с 0 = 0.01 < имеет точку минимума и далее стремится к асимптоте снизу, а КП с 0 = 1 > имеет точку максимума, дважды меняет знак и приближается к асимптоте сверху. Пример 2. Рассмотрим фрактальную модель Максвелла со степенными ФП: = + , 0 = 0 + 0 , , (0; 1), , 0 > 0, , 0 > 0, (11) (и непрерывными спектрами ретардации и релаксации). Ее мгновенный и длительные модули следующие: = 12 1 1 = 1 , 2 3 (0) 3 = 1/0 (0) = 01 , = 12 1 = 0, 2 3 () = 1/0 () = 0. Выпишем поперечную деформацию (9) и ее производные: = ) 1 1 1 ( (20 9 + 20 9 ), = 20 9 , 18 18 ] 1 2 [ 2 = 20 ( ) 9(2 ) . 18 Рис. 1. Кривые ползучести (7)-(9) для моделей вида (10) (a) и моделей вида (11) (b) (онлайн в цвете) [Figure 1 (color online). Fig. (a) shows the creep curves 11 () (curves 1-3), ()/3 (curves 4-6), and () = 22 (curves 7-9) for = 1 generated by three models of the form (10) with identical shear creep functions () ( = 0.1, = 0.010, = 0.008, and = 1/ = 10), and various creep functions 0 () with different times of volume retardation 0 = 1/0 : creep curves 1, 4, 7 correspond to 0 = 0.01 < ; dashed creep curves 2, 5, 8 correspond to 0 = = 0.1; creep curves 3, 6, 9 correspond to 0 = 1 > . The values 0 = 0.020 and 0 = 0.015 are the same for all curves.( All creep tend to ) curves tend to horizontal asymptotes: the creep curves 11 () 1 11 () = 19 9 + 0 = 11 (dashed line 10); the creep curves ()/3 tend to () = 0 ; the 9 3 ( ) 5 1 20 9 = 18 (dashed line 11). creep curves () = 22 tend to () = 18 Fig. (b) shows the creep curves 11 () (curves 1-3), ()/3 (curves 4-6), and () = 22 (curves 7-9) for = 1 generated by three models of the form (11) with identical shear creep functions () ( = 0.5, = 0.005, = 0.005), and various volumetric creep functions 0 (): creep curves 1, 4, 7 correspond to = 0.2 < ; dashed creep curves 2, 5, 8 correspond to = = 0.5; creep curves 3, 6, 9 correspond to = 0.8 > . Parameters 0 , 0 are fixed constants: 0 = 0.01, 0 = 0.001.] При = КП () всегда имеет единственную точку экстремума и точку перегиба: ^ = [9/(20 )]1/() , = [9( 1)/(20 ( 1))]1/() . [ ] 1 В этом случае, очевидно, (^) = 18 20 9 + 9(1 1)^ . Если < , то имеем (0+) = +, () = , ^ - точка максимума и () = . Если > , то имеем (0+) = 0, () = +, ^ - точка минимума и () = +. В обоих случаях поперечная деформация () может менять знак (даже 1 дважды - в зависимости от знаков (^) и (0) = 18 (20 9)). 1 Если = , то = 18 (20 9 + (20 9) ) - монотонная функция на полуоси > 0: она убывающая при 20 9 < 0 и возрастающая при 20 9 > 0. На рис. 1, b приведены КП 11 () (кривые 1-3), ()/3 (кривые 4-6) и () = 22 (кривые 7-9) для = 1, порожденные тремя моделями вида (11) с одинаковыми сдвиговыми ФП () (c = 0.5, = 0.005, = 0.005) и разными объемными ФП 0 (): 1) с = 0.2 < (кривые 1, 4, 7); 2) с = = 0.5 (штриховые кривые 2, 5, 8); 3) с = 0.8 > (кривые 3, 6, 9). Параметры 0 = 0.01, 0 = 0.001 фиксированы. Все три модели дают одинаковое начальное значение каждой деформации 11 (0), (0), (0): 11 (0) = 1 = 91 (9 + 0 ), (0) = 18 (9 + 20 ), (0) = 13 0 . Поперечная деформация () модели с = 0.8 > (КП 9) имеет точку минимума и становится положительной при достаточно больших . Максимум КП () с = 0.2 < (КП 7) неразличим, т.к. абсцисса точки максимума ^ = = [9/(20 )]1/() = (45/8)10/3 = (8/45)10/3 очень мала. Сделать максимум более выраженным можно, увеличив 0 или уменьшив . Кривая 10 - КП () модели с = 0.2 и значением 0 = 0.1: на ней заметны перемена знака при = 1 0.01 и максимум при ^ = [45/8]1/0.3 = 80/4510/3 7.5, а в дальнейшем () убывает и меняет знак при = 2 107 (КПД отрицателен при (1 , 2 )). Отметим, что обезразмеривание напряжений можно производить их делением на величину , где - мгновенный или длительный модуль («упругости») материала, а масштабный множитель , как правило, лучше выбирать в диапазоне от 104 до 103 , или делением на другое характерное напряжение материала (пределы ползучести, прочности или текучести при некоторой температуре и характерной для испытаний материала или решаемой краевой задачи скорости деформирования). В силу линейности ОС (1) изучаемые качественные свойства кривых не зависят от способа масштабирования напряжений и времени. 3. Свойства коэффициента поперечной деформации при ползучести. Из уравнений кривых ползучести (8), (9) найдем КПД: () = 1 9() 20 () 1 30 () = = , 11 2 9() + 0 () 2 18() + 20 () (12) или 1 3 9 = 1 + , 2 6 + 2 6 + 2 1 0 () 0 1 0 () () := 3 = = = 3 3 () () () = (13) - параметр вида деформированного состояния, = sgn = ±1, ( 2 )1/2 = = () 3 - интенсивность деформаций. Существенное отличие линейного ОС от нелинейных ОС вязкоупругости - независимость КПД от уровня напряжения и от его знака. Это свойство, если оно не выполняется в испытаниях некоторого материала на ползучесть с разными , можно использовать как индикатор нелинейности его поведения и неприменимости линейного ОС (1). Так как () > 0 и 0 () > 0 при > 0, имеем > 0, > 0 и () 6 0.5 в случае > 0. Из возрастания () следуют неравенство () > (0) и оценка () > 0.5 30 ()(18(0) + 20 ())1 для КПД (учитывающая специфику ФП); а из () > 0 следует универсальная (но более грубая) оценка () > 1 при > 0, справедливая для любых ФП. Для моделей с 0 (0) = 0 (объемно нерегулярных) и (0) = 0 формула (12) дает в пределе при > 0+ (0+) = 0.5 для любого > 0, а для моделей с (0) = 0 и 0 (0) = 0 - (0+) = 1. Таким образом, для любых ФП в ОС (1) при ползучести верна оценка 1 < () < 0.5, и эта оценка точна (не улучшаема). КПД (12) может быть отрицательным, поскольку возможно () > 0. Критерий отрицательности () на некотором интервале времени при растяжении имеет вид 9 0 () > (). (14) 2 Из (12) следует, что кривые ползучести в продольном и поперечном направлениях, вообще говоря, неподобны, т.е. КПД () непостоянен. Критерий постоянства () при одноосном растяжении (т.е. постоянства () = , > 0, в силу (13)) налагает связь на ФП ОС (1), управляющие сдвиговыми и объемными деформациями: 0 () = 3(), > 0. (15) = 3(0.5 )/(1 + ) > 0. В частности, тождество (15) выполняется для несжимаемого материала (с 0 () 0), когда () 0.5 по (12), но никогда не выполняется при всех > 0 для реономного материала с упругим изменением объема (0 () = > 0, () = const). КПД (12) не обязан быть монотонной функцией. Поскольку из (13) ( ) () 6 + 2() 2()() 18() () = 3 = ( (16) ( )2 )2 , 6 + 2() 6 + 2() одинаковы, и потому совпадают интервалы монотонности знаки () и () () и (). Продифференцируем выражение для (): = 1 ()2 (), () 3 () := 0 ()() 0 ()(). (17) Так как 0 ()/() > 0 при всех > 0, критерий возрастания КПД (убывания ()) на некотором интервале времени имеет вид 0 ()/0 () 6 ()/(), а необходимое условие экстремума - вид () = 0, т.е. 0 ()/0 () = ()/(). (18) Пример 3. Для ОС (1) с (ограниченными) ФП классической модели Кельвина (10) имеем (0) = () = 0 , 3 () = 1 + 27 18 + 20 (т.е. при > функции () и () имеют горизонтальные асимптоты, не зависящие от и 0 ). По (17) () = 0 0 0 ( ) (0 0 0 ) = = 0 ( 0 )0 + 0 0 0 0 . При = 0 (когда времена сдвиговой и объемной ретардации совпадают) () = (0 0 ) , т.е. при 0 > 0 () > 0 и КПД убывает на всем луче > 0, а при 0 < 0 имеем () < 0 и КПД возрастает на луче > 0. Условие наличия отрицательных значений КПД (14) имеет вид ( ) 0 0 > 92 ( ) или 0 29 > 0 92 . При = 0 функция () может менять знак, и потому () и () могут иметь точки максимума и минимума. На рис. 2, a приведены графики КПД () трех моделей вида (10) с одинаковыми сдвиговыми ФП () ( = 0.1, = 1, = 0.5 и = 1/ = 10) и разными 0 (): с 0 = = 0.1 (голубые кривые 1-6), с 0 = 1 > (черные кривые 1-6) и с 0 = 0.01 < (штриховые кривые 1-6). Значение 0 = 0.9 фиксировано, а номера кривых соответствуют шести значениям 0 для каждой из трех моделей с разными временами объемной ретардации 0 = 1/0 : 0 = 1; 2; 3; 4; 5; 6. С ростом 0 , т.е. с убыванием объемных модулей = 1/0 и = 1/(0 0 ), график функции () смещается вниз и появляется интервал отрицательности КПД. Функции () всех трех моделей с одинаковым 0 имеют одинаковые начальные значения (0) и асимптоты = () (они не зависят от и 0 ) и могут менять знак, но в остальном ведут себя по-разному: - при достаточно малом отношении 0 / < 1 () быстро убывают в окрестности нуля, а затем возрастают (черные кривые 1-6 с 0 / = 0.1); - при достаточно большом 0 / > 1 () медленно возрастают в окрестности нуля, а затем убывают к асимптоте (штриховые кривые 1-6 с 0 / = 10); - при 0 = () не имеют точек экстремума: убывают при малых 0 < * , * = 0 / (голубая кривая 1) и возрастает при 0 > * (а при 0 = * () = 31 0 / = const и () = const). Таким образом, уже на примере простейшей модели с шестью параметрами и одноточечными спектрами (сдвиговой и объемной) релаксации и ретардации можно увидеть, сколь разнообразным может быть поведение КПД () и параметра () при ползучести, описываемое линейным ОС (1). Пример 4. Для фрактальной модели (11) имеем (0) = 13 0 /, (0) = [ ] 1 = 1 + 27 18 + 20 / , а при > графики () обладают горизонтальными асимптотами: () = 0, () = 0.5 при > , () = +, () = 1 [ ]1 при < и () = 31 0 /, () = 1 + 27 18 + 20 / при = (в первых двух случаях асимптоты не зависят от параметров модели, и при больших временах моделируемый материал ведет себя как несжимаемый или как не меняющий форму). В силу (17) () = 0 ( )+1 + 0 1 0 1 , Рис. 2. Графики КПД моделей семейства (10) с одинаковыми сдвиговыми ФП () и разными 0 = 0.01; 0.1; 1 и 0 = 1; 2; 3; 4; 5; 6 (a) и моделей (11) с одинаковыми () и разными и 0 (b) (онлайн в цвете) [Figure 2 (color online). Fig. (a) shows the Poisson’s ratio () for three models of the form (10) with identical shear creep functions () ( = 0.1, = 1, = 0.5, and = 1/ = 10), and various volumetric creep functions 0 (): with 0 = = 0.1 (light blue curves 1-6), with 0 = 1 > (black curves 1-6), and with 0 = 0.01 < (dashed curves 1-6). The parameter 0 is constant: 0 = 0.9. The curve numbers correspond to six values of the papameter 0 for each case with different times of volume retardation 0 = 1/0 : 0 = 1; 2; 3; 4; 5; 6. Fig. (b) shows the Poisson’s ratio () for three models of the form (11) with identical shear creep functions () ( = 0.5, = 0.5, and = 1), and various volumetric creep functions 0 (): with = = 0.5 (light blue curves 0, 1, 2, 3, 5, 7), with = 0.2 < (black curves 0, 1, 2, 3, 5, 7), and with = 0.8 > (dashed curves 0, 1, 2, 3, 5, 7). The parameter 0 is constant: 0 = 1. The curve numbers correspond to different values of the papameter 0 = 0; 1; 2; 3; 5; 7.] и () может менять знак, если = . При = () = (0 0 )1 , и потому КПД - монотонная функция: при 0 > 0 () > 0 и КПД убывает на всем луче > 0, при 0 < 0 () < 0 и КПД возрастает на луче > 0, а при 0 = 0 () = const. Если 0 = 0, то 0 () = 0 = const (такая функция ползучести моделирует линейно-упругое изменение объема), [ ]1 возрастает на всем луче > 0 () < 0, () = 0.5 30 18( + ) + 20 и () = 0.5. На рис. 2, b приведены графики КПД () трех моделей семейства (11) с одинаковыми сдвиговыми ФП () (c = 0.5, = 0.5, = 1) и разными объемными ФП 0 (): 1) с = = 0.5 (голубые кривые 0, 1, 2, 3, 5, 7); 2) с = 0.2 < (черные кривые 0, 1, 2, 3, 5, 7); 3) с = 0.8 > (штриховые кривые 0, 1, 2, 3, 5, 7). Параметр 0 = 1 фиксирован, а номера кривых соответствуют разным значениям параметра 0 = 0; 1; 2; 3; 5; 7 для каждой из трех моделей (с ростом 0 , т.е. с уменьшением мгновенного объемного модуля = 1/0 , график () смещается вниз). При каждом 0 начальные значения (0) одинаковы у всех трех моделей (и убывают с ростом 0 ), а горизонтальные асимптоты при > различны (и не зависят от 0 ): () = 0.5 у всех моделей с < , [ ]1 () = 1 у всех моделей с > и () = 1 + 27 18 + 20 / = 5/22 при = . Асимптота голубых кривых 0-7 = 5/22 совпадает с кривой (прямой) 2, поскольку при = и 0 = 2 будет 0 = 0 и () = const. Примечательны перемены знака и немонотонность () (у штриховой кривой 5 - даже две перемены знака). Для сравнения приведен график () модели с линейно-упругим изменением объема, т.е. с 0 = 0 (штрих-пунктирная кривая 1 ): он монотонно возрастает и () = 0.5. Примеры 3 и 4 (рис. 2) показывают, в частности, что убывание КПД не обязательно связано с необратимыми объемными деформациями (как принято считать [5, 6, 24, 31, 37, 40, 41, 44]): все модели семейств (10) или (11) после снятия нагрузки обеспечивают полное восстановление объемных деформаций до нуля при > и обладают свойством затухания памяти, т.к. 0 () = 0 [66, 68, 70]. 4. Влияние всестороннего давления на кривые ползучести ОС (1). Рассмотрим испытания цилиндрического образца на растяжение постоянной нагрузкой в сочетании со всесторонним давлением, т.е. нагружение вида (4) в точке рабочей части образца. Очевидно, девиатор (и интенсивность) напряжений не меняются при наложении давления на одноосное нагружение: s = 31 ()diag(2, 1, 1) и = | |(). В силу ОС (1) не изменится и девиатор деформаций e = 0.5 ()diag(2, 1, 1). Изменятся только шаровая ( ( ) часть тензора среднее напряжение 0 = /3 () = (), где - краткое обозначение) уровня давления , а := 31 / - параметр нагружения (4), (; 31 ) и объемная деформация ) ( ( ) 1 0 () = 0 (). (19) ; , = 0 0 = 3 У тензора деформаций = e + 0 I отличны от нуля только диагональные компоненты: ) [ ] 1 ( 1 1 11 (; , ) = () + 0 () = () + 0 () , (20) 3 3 3 ) 1 1 ( 1 22 (; , ) = 33 (; , ) = () + 0 () = 2 3 3 [ 1] 1 = () + 0 () . (21) 2 3 Так как 0 () > 0, с ростом все кривые ползучести (19)-(21) (объемной, осевой и поперечной) смещаются вниз вдоль оси деформации (семейства (19)-(21) неограниченно убывают по параметру при любых и ), в частности, давление тормозит осевую и объемную ползучесть по сравнению с одноосным растяжением и ускоряет при сжатии. Этот эффект наблюдается в испытаниях «всех» стабильных материалов по программе (4) [2-6, 40]. Для любых > 0 (в дальнейшем будем для определенности рассматривать случай > 0) и > 0, т.е. при 0 6 6 31 объемная и осевая деформации положительны, КП (19) и (20) монотонно возрастают по на полуоси > 0 и выпуклы вверх (как и в случае = 0), т.к. ( ) ( ) 1 1 11 = () + 0 () , 11 = () + 0 () , 3 > 0, 0 > 0, 6 0, 0 6 0. Если = 13 , то () 0, 11 () = () возрастает и выпукла вверх, а поперечная деформация () := 22 = 12 () = 0.511 () отрицательна и убывает при > 0. Если же > 31 (т.е. < 0), то (; , ) и второе слагаемое в (20) отрицательны и убывают по , и потому возможны как отрицательность 11 () на некоторых интервалах времени (в частности, в окрестности начального момента = 0, если выполнено неравенство 0 (0) > 3(0)), так и нарушение монотонности 11 (). Скорость осевой ползучести 11 может стать отрицательной при большом давлении (необходимо < 0), если только 0 () = const (если объемные деформации не упруги). Условие наличия точки экстремума у КП (20) - существование решения уравнения 11 () = 0, т.е. () = 3/, := 0 ()/(). (22) В зависимости от соотношения между сдвиговой и объемной ФП и величины параметра нагружения корень уравнения (22) * () может быть точкой максимума КП (20) (в случае возрастания 11 ()( в правой окрестности ) = 0) или минимума (например, когда 11 (0) = (0) + 31 0 (0) < 0, ( ) но 11 () = () + 13 0 () > 0). КП (20) может иметь и более одной точки экстремума, если (непрерывная) функция () немонотонна на полуоси > 0 (пример можно построить, выбрав обе ФП из семейства (6) с = 0, 0 = ) и, следовательно, уравнение (22) имеет несколько корней, когда лежит в интервале многозначности обратного к отображения. Так как () > 0, 0 () > 0 и непрерывны, то для любых фиксированных ФП и лю (т.е. (; 0)) бого момента времени * можно выбрать величину > 31 так, чтобы корень уравнения (22) существовал и совпал с * . При < 0 КП (20) может не быть выпуклой вверх : 11 > 0, если 0 () > 3(), точка перегиба КП - решение уравнения 0 () = 3(). Поперечная деформация (21), наоборот, убывает, выпукла вниз и отрицательна на всем интервале > 0 в случае > 31 для любых ФП. 1 А в случае 0 6 6 3 деформация () не обязана быть монотонной и выпуклой функцией: она может убывать на всем интервале > 0, может иметь точки ( экстремума и) перегиба и может менять знак. Поскольку из (21) = 21 () 23 0 () , при > 0 условие убывания () на некотором 3 интервале имеет вид 0 () 6 2 (), т.е () 6 32 1 . Точки экстремума и перегиба () - корни уравнений 3 () = 1 , 2 3 0 () = (). 2 (23) Если 0 () ограничена, то объемная деформация ограничена: () = = 0 (). Если обе ФП ограничены, то обе КП (20), (21) имеют при > горизонтальные асимптоты: ) ( 1 11 () = () + 0 () , 3 318 ( 1 ) 1 () = () + 0 () . 2 3 На рис. 3, a приведены КП (19)-(21), порожденные моделью (10) с = 0.1, 0 = 0.1, = 0.01, 0 = 0.005, = 0.005, 0 = 0.004 (времена объемной и сдвиговой ретардации совпадают: = 1/ = 10, мгновенный и длительный 1 1 модули сдвига - = 13 ( )1 = 200 = 100 3 и = 3 3 , а объемные модули - = 1/(0 0 ) = 1000 и = 1/0 = 200) при = 1 и разных давлениях : / = 0; 13 ; 23 ; 1; 2; 3; 4; 5, т.е. = 13 ; 0; 13 ; 23 ; 53 ; 83 ; 11 3 ; 14 3 (КП 0, 1-7): [ )] 1 ( 11 = + 0 0 0 , 3 [ 1 )] 1 1 ( = + + 0 0 0 . 2 2 3 КП 11 () расположены выше оси времени, КП = 22 - ниже (синие КП), а объемные КП ()/3 показаны штриховыми линиями; деформации измеряются в процентах. С ростом параметра (с убыванием ) все КП смещаются вниз вдоль оси деформации. Так как () = < и 0 () = 0 < , при > любая КП обладает горизонтальной асимптотой (24) (зависящей от и , но не зависящей от и 0 ): ( ) ( 1 ) 1 1 () = 0 , 11 () = + 0 , () = + 0 . 3 2 3 В случае 0 = осевая и поперечная КП не имеют точек экстремума: [ ( ) ] 1 1 11 () = + 0 + 0 , 3 3 ] ( 1 [ 1 1 1 ) 0 , () = + 0 + 2 3 2 3 а превращение возрастающей КП в убывающую происходит при том значении , которое обращает в нуль множитель при , т.е. при = 3/0 для 11 () и = 23 /0 для (). На рис. 3, b приведены КП (19)-(21), порожденные моделью (10) с = 0.1, 0 = 1 (времена сдвиговой и объемной ретардации различны: = 1/ = 10 и 0 = 1/0 = 1), = 0.010, 0 = 0.005, = 0.005, 0 = 0.004 при = 1 и разных давлениях : / = 0; 13 ; 32 ; 1; 2; 3; 4 (кривые 0, 1-6). С ростом / КП (19)- (21) смещаются вниз вдоль оси деформации, на осевой КП 11 () появляется точка минимума и точка перегиба, а при достаточно большом давлении 11 () становится отрицательной (см. КП 7 для / = 5). Поперечная деформация () (синие КП) имеет точку максимума лишь при < /3 (см. КП 0), а при > /3 () убывает на всей полуоси. На рис. 4 приведены КП фрактальных моделей семейства (11) с одинаковыми сдвиговыми ФП () (c = 0.5, = 0.005, = 0.01) и двумя разными объемными ФП 0 (): c 0 = 0.01, 0 = 0.001, = 0.2 < (рис. 4, a) и с = 0.8 > (рис. 4, b) при = 1 и разных давлениях : / = 0; 31 ; 32 ; 1; 2; 1 1 2 5 8 11 14 3; 4; 5 (т.е. = 3 ; 0; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ) на рис. 4, a (кривые 0, 1-7), и / = 0; 13 ; 32 ; 1; 43 ; 53 ; 2 на рис. 4, b (кривые 0, 1-6). На рис. 4, b есть точка максимума у осевой деформации, точка минимума у поперечной деформации (синие КП) и смены знака. Рис. 3. Кривые ползучести (19)-(21) моделей (10) при фиксированном = 1 и разных величинах давления (значения / = 0; 13 ; 23 ; 1; 2; 3; 4; 5 соответствуют кривым 0, 1-7): а) для модели с = 0.1, 0 = 0.1; b) для модели с = 0.1, 0 = 1 (онлайн в цвете) [Figure 3 (color online) shows the creep curves (19)-(21) generated by models (10) with the fixed value of = 1 and different values of pressure (values of / = 0; 31 ; 23 ; 1; 2; 3; 4; 5 correspond to curves 0, 1-7); Fig. (a) corresponds to the model with = 0.1, 0 = 0.1; Fig. (b) corresponds to the model with = 0.1, 0 = 1] Рис. 4. Кривые ползучести (19)-(21) моделей вида (11) при фиксированном = 1 и разных величинах давления (КП 0, 1-7): a) = 0.2 < ; b) = 0.8 > (онлайн в цвете) [Figure 4 (color online) shows the creep curves (19)-(21) generated by models (11) with the fixed value of = 1 and different values of pressure ; Fig. (a) corresponds to value of = 0.2 < , and values of / = 0; 31 ; 23 ; 1; 2; 3; 4; 5 correspond to curves 0, 1-7; Fig. (b) corresponds to value of = 0.8 > , and values of / = 0; 31 ; 23 ; 1; 43 ; 53 ; 2 correspond to curves 0, 1-6] 5. Зависимость свойств коэффициента поперечной деформации от давления. Из уравнений кривых ползучести (20) и (21) найдем КПД = /11 при нагружениях (4): 30 () 3() 20 () = 0.5 , (25) 6() + 20 () 6() + 20 () ( ) 3 9 (; ) = (; ) , () := 0.5 = 1 + , = 3, (26) 6 + 2 6 + 2 (, ) = где := sgn = ±1, := ванного состояния: 1 3 / , (, ) := / - параметр вида деформиро- (, ) = 0 ()/| |() = 0 ()/(), ( )0.5 где = 23 = | |() - интенсивность деформаций.(Аналогичный па) раметр вида напряженного состояния := 30 ()/() = 3 /| | = 3 не зависит от времени для нагружения (4); это верно и для параметров Лоде тензоров () и () (они не зависят и от ): = 22 1 3 11 = 1, = 1 3 11 = 11 = 1 11 для любых > 0, > 0 и > 0. Очевидно, () = 32 (1 2)/(1 + ), = 1. Из (25) следует специфичное свойство линейного ОС (1): КПД зависит лишь от отношения / (не входящего в аргументы материальных функций, в отличие от нелинейных ОС [55]), а не от и по отдельности. Это свойство можно использовать как индикатор (не)применимости ОС (1) при анализе данных испытаний некоторого материала. В дальнейшем будем для определенности рассматривать случай > 0 ( = 1). [ 1 ) Если > 0, т.е. 0; 3 , имеем () > 0, () > 0 и () < 0.5 при > 0, а возрастание () влечет неравенствo () > (0) и оценку снизу [ ]1 (она учитывает момент для КПД (25) () > 0.5 30 () 6(0) + 20 () времени, специфику ФП и программы нагружения). Из () > 0 следует более универсальная (но более грубая) оценка () > 1 при всех > 0, справедливая для любых ФП и любых > 0, > 0. Для нерегулярных моделей с (0) = 0 и 0 (0) = 0 формула (25) дает в пределе при > 0 (0+) = 1 для любых > 0, > 0, а для моделей с 0 (0) = 0 и (0) [ = 0) имеем (0+) = 0.5. Таким образом, для любых ФП в случае 0; 31 справедлива оценка для КПД 1 < () < 0.5, установленная выше в случае = 0, и эта оценка точна (неулучшаема). В случае = 31 имеем () 0, () 0 и () 0.5. А в случае > 31 будет < 0, () < 0 и неравенство 1 < () < 0.5 не выполняется при всех : если () (3; 0), то () > 0.5 по (26), а если () < 3, то () < 1 (и 11 () < 0). Таким образом, при нагружениях вида (4) КПД (25) может быть отрицательным не только за счет положительности () (как в случае одноосного растяжения и при < 31 ), но и из-за отрицательности 11 () (при > 13 и () < 3). Критерий отрицательности КПД () на некотором интервале имеет вид () > 1.5 или () < 3, т.е. 3 () < 2 0 () или 3 () > . 0 () (27) При = 0 множество решений неравенств пусто; с ростом || оно может только расширяться (как в случае > 0, так и < 0). Если (0) = 0, а 0 (0) = 0, то при всех < 31 множество решений (27) содержит правую окрестность точки = 0. Если () ограничена, а 0 () не ограничена, то при любом < 31 множество решений (27) содержит некоторый луч [ ; +), где = - решение уравнения 0 () = 23 ()/ (единственное в силу возрастания 0 ). Если обе ФП ограничены, (, ) и (, ) имеют горизонтальные асимптоты при > : (, ) = , (, ) = 3 2 , 3 + := () > 0. 0 () (28) , то 1 < (, ) < 0.5, а если > 13 , то (, ) / [1; 0.5]. Если < 31 3 Предел (, ) отрицателен в двух случаях: < 3 или > 2 (второй интервал непуст лишь при 32 < 31 ), т.е. критерий отрицательности (, ) - совокупность неравенств 1 1 3 > + 3 или 0 < < . 3 3 2 (29) Равновесные значения (, ) и (, ) при > могут существовать и для неограниченных ФП, если существует конечный предел (, ); например, ( ) для модели (11) с = имеем (, ) = 0 / и (, ) = 0 / , а при = равновесные значения не зависят от величины : если < , то (, ) = 0 и (, ) = 0.5, а если > , то (, ) = ± и (, ) = 1. Докажем, что КПД (25) (в случае > 0) убывает по и возрастает по в любой момент времени (что и наблюдается в испытаниях материалов). Функция = () = 1 + 4.5(3 + )1 , = 3, из (26) убывает на интервалах (, 3) и (3, +), = 0.5 при = 0, а при > ± имеем > 1, /11 > 3 и /11 > 0. Так как в случае > 0 параметр (, ), очевидно, возрастает по и убывает по (в силу 0 () > 0), то из убывания функции () следует, что (, ) убывает по и возрастает по (при фиксированном ). Исследуем интервалы монотонности (). Дифференцируя (26), получим одинаковы, и потому совпадают интервалы формулу (16). Знаки () и () монотонности () и () (точнее, при > 13 у интервалов монотонности () могут быть дополнительные границы в точках, в которых () = 3, т.е. = ()2 11 () = 0: в них () имеет разрывы второго рода). Так как () 0 и () [0 ()() 0 ()()], то при = 13 будет () 0, а при = 13 критерий (нестрогого) возрастания () (т.е. убывания ()) на некотором интервале времени имеет вид [0 ()() 0 ()()] 6 0, 322 или 0 ()/0 () 6 ()/() (поскольку 0 ()() > 0 при всех > 0, то поделив первое неравенство на это выражение, получим критерий возрастания () при = 31 в форме с разделенными сдвиговыми и объемными ФП). Критерий (30) отличается от аналогичного критерия (18) в случае одноосного растяжения (при = 0) только множителем , который отрицателен при > 31 ; при < 13 он совпадает с (18). Переменные и разделяются в (30) (это следствие линейности ОС), и при фиксированных ФП смена знака параметра нагружения приводит к синхронной замене интервалов возрастания () и () на интервалы убывания. Случай равенства в (30) дает уравнение для точек экстремума: 0 ()/0 () = ()/(). (31) Оно не зависит от и и в точности такое же, как и в случае одноосного растяжения, т.е. наложение давления не сдвигает точки экстремума () (если они есть), и потому множества точек экстремума и интервалы монотонности всех графиков КПД (25) с разными и совпадают. Невыполнение этого свойства у семейства экспериментальных кривых (, ) некоторого материала - признак нелинейности его поведения и индикатор неприменимости ОС (1) для его моделирования. На рис. 5 приведены графики (, ) и (, )/3 при фиксированном =1 и давлениях : / = /3, = 0; 1; . . . ; 5 (кривые 0, 1-5) для двух моделей вида (10) с одинаковыми сдвиговыми ФП () ( = 0.010, = 0.005, = 0.1, время сдвиговой ретардации = 1/ = 10) и двумя разными объемными ФП 0 () с 0 = 0.005 и 0 = 0.004, различающимися только временами объемной ретардации: 0 = = 0.1 (рис. 5, a) и 0 = 1 (рис. 5, b). КП этих двух моделей приведены на рис. 3, a и 3, b. Любой график () (сплошные кривые 0-5 на рис. 5) и () (штриховые ( кривые 0-5) имеет при > горизонтальную асимптоту (28): () = 32 0 )/(3 + 0 ), а () = 0 /. Чем больше давление , тем выше лежит график () и ниже - график (). Если < /3, то () < 0.5 и () > 0, при = /3 () 0.5, () 0 (прямые 1), а если > /3, то () > 0.5 и () < 0. При достаточно большом - когда на некотором интервале () < 3, а 11 () < 0 (см. КП 7 для / = 5 на рис. 3, b), - КПД () становится отрицательным на этом интервале (и меньшим 1), а равновесное значение () отрицательно при < 3/0 = 6. КПД модели с 0 = 1 (рис. 5, b) отличаются наличием точек максимума или минимума (в один и тот же момент времени, не зависящий от и ). Для сравнения приведены графики () для модели с упругим изменением объема, т.е. с 0 = 0 и 0 () = 0 (штрих-пунктирные кривые); они стремятся к[ тем же ) асимптотам, но всегда монотонны на всей полуоси > 0: если 0; /3 , то () возрастает, а если > /3, то () убывает. На рис. 6 приведены графики (, ) и (, )/3 (штриховые линии) двух фрактальных моделей вида (11) с одинаковыми сдвиговыми ФП () ( = 0.5, = 0.005, = 0.01) и двумя разными объемными ФП 0 (): с 0 = 0.01, 0 = 0.001, = 0.2 < (рис. 6, a) и с = 0.8 > (рис. 6, b) при фиксированном = 1 и разных величинах давления : / = /3, = 0; 1; . . . ; 4 на рис. 6, a (кривые 0, 1-4) и / = 0; 16 ; 13 ; 36 ; 32 ; 1; 2; 3 на рис. 6, b (кривые 0, 1-7). КП этих двух моделей приведены на рис. 4. На рис. 6, a все графики () и () имеют точки максимума или минимума (в один и тот же момент времени) и общую горизонтальную асимптоту при > , не зависящую от Рис. 5. Графики КПД () и параметра вида деформированного состояния ()/3 для модели (10) при фиксированном = 1 и разных величинах давления (кривые 0, 1-5): a) 0 = = 0.1; b) = 0.1, 0 = 1 (онлайн в цвете) [Figure 5 (color online) shows the Poisson’s ratio () and strain triaxiality ratio ()/3 for model (10) under loadings with the fixed value of = 1 and different values of pressure (values of / = 0; 31 ; 23 ; 1; 43 ; 53 correspond to curves 0, 1-5); Fig. (a) corresponds to the model with 0 = = 0.1; Fig. (b) corresponds to the model with = 0.1, 0 = 1] Рис. 6. Графики КПД () и параметра вида деформированного состояния ()/3 для фрактальной модели (11) при фиксированном = 1 и разных величинах давления : а) = 0.2 < ; b) = 0.8 > (онлайн в цвете) [Figure 6 (color online) shows the Poisson’s ratio () and strain triaxiality ratio ()/3 for fractal model (11) under loadings with the fixed value of = 1 and different values of pressure ; Fig. (a) corresponds to the model (11) with = 0.2 < , and values of / = 0; 13 ; 23 ; 1; 34 correspond to curves 0, 1-4; Fig. (b) corresponds to the model (11) with = 0.8 > , and values of / = 0; 16 ; 13 ; 36 ; 23 ; 1; 2; 3 correspond to curves 0, 1-7] и : () = 0.5 и () = 0, поскольку = 0.2 < . При < /3 будет () < 0.5, а при > /3 имеем () > 0.5 (кривые 2-4). Начальное значение (0) = 0 / = /10 близко к нулю и потому начальное значение КПД (0) близко к 0.5. На рис. 6, b все графики () и () стремятся к общей горизонтальной асимптоте: () = + и () = 1, поскольку = 0.8 > . Они не имеют экстремумов: - если < /3, то () возрастает, а () убывает до () = 1 (кривые 1, 2); - если > /3, то () убывает, а () имеет разрыв второго рода в точке ^ = (), в которой 11 (, ) = 0 (т.е. (, ) = 3), и возрастает на каждом из интервалов (0; ^) и (^; +) (кривые 4-7). 6. Случай постоянства коэффициента поперечной деформации. Предположение о независимости коэффициента Пуассона от времени часто применяется для упрощения решения краевых задач. В силу (26) критерий постоянства КПД (25) равносилен постоянству параметра (), он налагает связь на сдвиговую и объемную ФП: () = , или 0 () = (), > 0, (32) (в силу (26) = 1 + 4.5/(3 + ) и = 3(0.5 )(1 + )1 ). Тождество (32) не может выполняться при всех (всех > 0 для некоторого фиксированного ) или хотя бы для двух разных значений , если (и ) не зависит от , за исключением случая несжимаемого материала (с 0 () 0, = 0.5). Из (32) следует, что = , > 0, и (32) принимает вид 0 () = (), т.е. совпадает с критерием постоянства КПД (15) при одноосном нагружении (при = 0). Для такой модели (с одной материальной функцией и параметром ) = 1 + 4.5(3 + )1 и по (20) ( ( 1 1 ) 1 ) 11 = 1 + (), = + (), (33) 3 2 3 т.е. все осевые и поперечные КП (с произвольными > 0, > 0) подобны и являются монотонными и выпуклыми (вверх или вниз) функциями времени при > 0, в частности, 11 () возрастает и выпукла вверх при любом > 3/, а () - при > 3/(2). Физический смысл материального параметра : = 0 (0)/(0) = 3/ (отношение мгновенных модулей). Гипотеза о постоянстве КПД существенно обедняет спектр возможных форм КП 11 () и () (они уже не могут иметь точки экстремума и перегиба) и расширяет список индикаторов неприменимости модели. 7. Случай упругой зависимости объемной деформации от среднего напряжения. Если 0 () = = const > 0, т.е. когда объемная ползучесть считается отсутствующей, имеем [ [ 1 1] 1 ] = , 11 (; , ) = () + , (; , ) = () + , (34) 3 2 3 3() 2 3 (, ) = = 0.5 , (, ) = . (35) 6() + 2 6() + 2 () Для любых > 0, > 0 деформация () постоянна, 11 () возрастает и выпукла вверх, а () убывает и выпукла вниз при > 0, ибо [ ) и () < 0. Если 0; /3 (тогда > 0), то () > 0 и убывает, () возрастает при > 0 (см. штрих-пунктирные кривые на рис. 6), как и при одноосном растяжении, а модуль () может быть немонотонным, если выполнено неравенство (0) < 23 < () (означающее, что (0) > 0 1 и () < 0). Если же > 3 (тогда < 0), то () < 0 и возрастает при ( ) ( ) > 0, а () убывает на каждом из интервалов 0; ^ и ^; + , где ^() - решение уравнения (, ) = 3, т.е. () = /3. Решение (точка разрыва второго рода у ()) существует, если (0) < /3 < () (тогда оно единственно, ибо () возрастает); если решения нет, то () убывает на всем луче [0; +). Критерий отрицательности КПД (27) принимает вид 32 () < или 3() < . Первое неравенство работает при < 13 , а второе - при > 13 . Если одно из них справедливо в некоторый момент времени = , то () < 0 при всех [0; ) (в силу возрастания ()). Из (35) следует, что при > () стремится к пределу = (3 2)/ (6 + 2), = () 6 . Если () < , то < 0, 5, а если () = , то = 0, 5. Критерий независимости КПД от времени (32) выполняется только в двух случаях: 1) при = 0 (несжимаемый материал), тогда () 0.5 для любых > 0, > 0; 2) () = = const (упругий материал), но тогда КПД = 0.5 3 (6 + 2)1 зависит от ( . ) ( ) ( ) Как и в общем случае, ; , и семейства КП ; , и ; , 11 ( ) возрастают по и и убывают по , а КПД ; , убывает по и и возрастает по . Модель с 0 () = const обладает весьма специфичным свойством: разность любых двух КП (34) (осевых или поперечных) с одинаковым уровнем , но разными давлениями 1 , 2 > 0, не зависит от времени: для любых , 1 , 2 > 0 и > 0 11 (; , 2 ) 11 (, , 1 ) = , (; , 2 ) (, , 1 ) = , (36) (2 1 ) = 31 (1 2 ), т.е. КП с разными давлениями погде := 13 лучаются друг из друга сдвигом вдоль оси деформации 11 или (причем на одинаковую величину , пропорциональную разности давлений, для осевых и поперечных деформаций). Указанные свойства, особенно тождества (36) с разными значениями , , 1 , 2 > 0 и тождество 11 (, , ) + + 2 (, , ) = (в частности независимость от времени его левой части, т.е. объемной деформации), можно (и удобно) использовать как индикаторы применимости гипотезы об отсутствии объемной ползучести в сочетании с ОС (1) по результатам серии испытаний материала на ползучесть при совместном действии растягивающей силы и давления (с разными уровнями и ), в которых регистрируются продольная и поперечная деформации 11 (; , ) и (; , ). ФП 0 , т.е. постоянная ( ) , легко находится по данным таких испытаний из соотношения ; , = по измеренной величине ( ) ( ) = 11 , , + 2 , , . ФП () можно найти из уравнения КП (34) или из тождества 11 (, , ) (, , ) = 1.5 () (детальная разработка ме тодик идентификации ОС (1) - тема других статей). Нарушение указанных свойств у данных испытаний реономных материалов (см., например, данные в [5, 6, 20]) свидетельствует о недопустимости пренебрежения объемной ползучестью. 8. Заключение. Аналитически изучены общие качественные свойства семейств кривых объемной, продольной и поперечной ползучести (19)-(21), порождаемых линейным ОС (1) с произвольными функциями сдвиговой и объемной ползучести (), 0 () при двухпараметрических нагружениях вида (4): интервалы монотонности и выпуклости осевой и поперечной деформаций 11 () и (), точки экстремума, перемены знака и асимптотика КП, их зависимость от параметров и нагружения (4) и от качественных характеристик функций ползучести. Выведена формула (26), связывающая коэффициент Пуассона = ()/11 (), точнее, коэффициент поперечной деформации (КПД), и параметры вида деформированного и напряженного состояний = ()/() = 0 ()/() и := 13 / = 0 ()/(), исследовано выражение (25) для КПД через время, параметры нагружения (4) и функции ползучести ОС (1). Существенное отличие линейного ОС от нелинейных ОС вязкоупругости [55, 91] состоит в том, что при одноосном нагружении КПД и осевая податливость не зависят от уровня напряжения и от его знака, а при совместном действии растягивающей нагрузки и давления КПД зависит только от относительной величины давления / (от параметра ), не входящего в аргументы материальных функций, и отношения функций ползучести (отсутствие этих свойств у данных испытаний реономных материалов свидетельствует о нелинейности их поведения - см., например, [5, 6, 13, 14, 20, 31, 40]). Найдены условия монотонности и немонотонности () и () и критерий отрицательности КПД на некотором интервале времени, получены точные оценки для диапазона изменения КПД. Показано, что объемная ползучесть материала и величина параметра нагружения / существенно влияют на качественное поведение кривых осевой и поперечной ползучести 11 () и () и КПД. Доказано, что линейное ОС (1) способно качественно моделировать немонотонное изменение и знакопеременность поперечной деформации () и отрицательность КПД даже при нулевом давлении (см. данные испытаний в [5, 6, 19, 42, 43, 49]), а осевая деформация 11 () может стать немонотонной при / > 13 . Основные доказанные утверждения собраны в теореме. Теорема. Пусть функции ползучести () и 0 () в ОС (1) положительны, непрерывно дифференцируемы, возрастают и нестрого выпуклы вверх на полуоси > 0. Тогда семейства кривых ползучести (19)-(21), порождаемые ОС (1) при нагружениях вида (4) (с > 0, > 0 и 6 31 ), и коэффициент поперечной деформации (25) обладают следующими свойствами. 1. Семейства КП (19)-(21) возрастают по параметру нагружения := 13 / и (неограниченно) убывают по при любых и . 2. КПД = (, )/11 (, ) выражается формулами (25) и (26) и зависит только от отношений / и 0 ()/(); КПД убывает по и возрастает по . 3. Критерий отрицательности () на некотором интервале времени имеет вид (27), с ростом || область отрицательности может только расширяться. 4. КПД () может иметь точки максимума и минимума, они явля327 5. 6. 7. 8. 9. 10. ются корнями уравнения (31); множества точек экстремума и интервалы монотонности всех графиков КПД с разными и совпадают; критерий неубывания () на некотором интервале времени - неравенство (30). ( ( ]) Если 0 6 < 13 0; 13 , то () > 0 и 11 () > 0, объемная и осевая КП (19) и (20) возрастают по и выпуклы вверх на полуоси > 0, а поперечная деформация () может менять знак и не обязана быть монотонной или выпуклой функцией : () может убывать на всем луче > 0 и может иметь точки экстремума или перегиба (корни уравнений (23)). Если 0 6 < 31 , то () > 0 при > 0, КПД меняется в диапазоне 1 < (, ) < 0.5, причем () может быть немонотонной функцией времени и может менять знак (даже при = 0). , то () 0, () 0.5, осевая КП имеет вид 11 () = Если = 31 = (), возрастает и выпукла вверх при > 0, а () = 0.511 () и убывает. ( ) Если > 31 , то ; , < 0 и убывает по , поперечная деформация (21) отрицательна, убывает и выпукла вниз на полуоси > 0, а осевая КП 11 () может быть (в зависимости от соотношения между () и 0 ()) возрастающей или убывающей на луче > 0, может иметь точки экстремума (корни уравнения (22)) и точки перегиба и может менять знак. , то () < 0, неравенство 1 < () < 0.5 для КПД Если > 31 не выполняется при всех : если () (3; 0), то () > 0.5, а если () < 3, то () < 1 (и 11 () < 0). Если обе ФП ограничены, то КП (19)-(21), (, ) и (, ) имеют горизонтальные асимптоты (24) и (28) при > ; если < 13 , то 1 1 < (, ) < 0.5, а если > 3 , то (, ) / [1; 0.5]; критерий отрицательности предела (, ) - совокупность неравенств (29). Обнаруженные свойства КП и КПД (прежде всего, пп. 1, 2, 4-9 теоремы) удобно использовать как маркеры границы области линейного поведения материалов при анализе данных испытаний на ползучесть по программам нагружения (4) и как индикаторы неприменимости ОС (1) для моделирования в случае их нарушения в испытаниях материала. Исследованы специфические свойства КП, порождаемых линейным ОС (1) в сочетании с предположением о линейно-упругом изменении объема или гипотезой о постоянстве коэффициента Пуассона (пп. 6, 7). Пренебрежение объемной ползучестью, как и пренебрежение изменением коэффициента Пуассона, существенно обедняет спектр возможных форм КП 11 () и () (они уже не могут иметь точки экстремума и перегиба) и расширяет список индикаторов неприменимости подобных моделей (с одной материальной функцией), в частности, КП (33) и (34) и КДП (35) не могут иметь точек экстремума и перегиба: они монотонны и выпуклы вверх или вниз (см., например, экспериментальные данные в [12, 13, 25, 28, 33, 38, 39]). Таким образом, в статье показано, что линейное ОС вязкоупругости (1) для нестареющих изотропных сред, пренебрегающее влиянием шаровой и девиаторной частей тензоров напряжений и деформаций друг на друга и влиянием их третьих инвариантов, в принципе, способно качественно воспроиз328 водить все основные эффекты, связанные с поведением КПД (монотонность, немонотонность, знакопеременность, отрицательность КПД, его стабилизация с течением времени и т.п.), за исключением зависимости КПД от уровня напряжения и стабилизации семейства осевых КП 11 (, ) с фиксированным при достаточно высоком давлении [5, 6, 20].

About the authors

Andrew Vladimirovich Khokhlov

Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics

Email: andrey-khokhlov@ya.ru
Candidate of technical sciences, Head Scientist Researcher

References

Supplementary files