Compliance functions of electromagnetoelastic piezoelectric and piezomagnetic half-plane and half-space with functionally graded or layered coatings

Abstract


The paper addresses to the construction of the compliance functions of axissymmetric and plane contact problems of electromagnetoelasticity for semi-infinite piezoelectric piezomagnetic solids with functionally graded or piece-wise homogeneous coatings. Materials of coating and substrate are assumed to be transversely isotropic. Computation of the compliance functions are reduced to the solution of two-point boundary value problems for a system of ordinary differential equations with variable coefficients are obtained using integral transformation technique. Boundary conditions of these systems describe distributed tangential or normal mechanical loading or action of an electrical of magnetic fields. Dual integral equations and their systems are obtained for contact problems on indentation by an insulating and conductive punches with kernel transforms equal to compliance functions. Asymptotic behavior of the compliance functions is analyzed. Specially designed approximations for the kernel transforms are constructed based on the analysis of their properties. These approximations make it possible to construct the solutions of the approximated systems of dual integral equations in a closed analytical form. Numerical results illustrating all 10 independent compliance functions are provided for different materials of coating and substrate and different types of variation of properties in depth of the coating. It is shown that in the case of absence of the tangential mechanical loading all the compliance functions are positive. Conditions of existing sign alternating compliance functions corresponding tangential mechanical loading are analyzed. The differences between the properties of the compliance functions, corresponding to homogeneous and functionally graded coatings are illustrated.

Full Text

Введение. Многие использующиеся на практике кристаллические и ком- позитные материалы, обладающие пьезоэффектом, демонстрируют также пьезомагнитный и магнитоэлектрический эффекты [1]. Электромагнитоупру- гие материалы способны преобразовывать один вид энергии в другой и широ- ко применяются, в том числе в виде покрытий, для изготовления приемопе- редатчиков, акустических устройств, а также сенсоров и актуаторов в мик- роэлектромеханических устройствах [2-5]. Прогнозирование поведения тел сложной структуры с покрытиями из таких материалов является нетриви- альной задачей. Контактные задачи для однородных электромагнитоупругих пьезоэлек- трических пьезомагнитных тел могут быть решены в точном замкнутом ана- литическом виде. В частности, были получены точные аналитические реше- ния осесимметричных контактных задач о вдавливании кругового штампа с плоским основанием, конического и сферического штампов [6]. Решения получены для двух основных видов электромагнитных граничных условий: считалось, что штамп изолирован или является идеальным проводником. B. Rogowski и W. Kalinski построили точное решение осесимметричной кон- тактной задачи о вдавливании усеченного конического проводящего штам- па [7]. Получены точные аналитические решения для двумерных контакт- ных задач о вдавливании движущегося изолированного или проводящего штампа с плоским основанием или параболической формы [8]; о вдавлива- нии и скольжении с трением треугольного и параболического изолированных штампов [9]; о вдавливании и скольжении с трением проводящего штампа c плоским основанием [10] и параболической формы [11]. С помощью методов теории функций комплексной переменной были построены аналитические ре- шения одномерных контактных задач для упругих тел с покрытиями [12-14]. В литературе известно достаточно небольшое количество исследований, посвященных двумерным контактным задачам для электромагнитоупругих тел с покрытиями. Ma, Ke и Wang решили серию плоских контактных задач для электромагнитоупругой пьезоэлектрической пьезомагнитной полуплос- кости с функционально-градиентным (ФГ) покрытием. Ими решены контакт- ные задачи о вдавливании проводящего плоского и параболического штам- пов [15]; о вдавливании и скольжении с трением плоского проводящего штам- па [16], в том числе с учетом термофрикционного разогрева [17]. Рассмотре- но только экспоненциальное изменение свойств по глубине покрытия. С ис- пользованием интегральных преобразований Фурье контактные задачи све- дены к решению систем сингулярных интегральных уравнений, которые ре- шены численно с использованием методов, основанных на методе коллока- ции [18,19]. Для контактных задач с трением при построении решения исполь- зовался итерационный алгоритм, на первом шаге которого решалась задача без трения, а на втором и каждом последующем шагах решение уточнялось. 476Функции податливости электромагнитоупругой неоднородной полуплоскости. . . В работе [20] решена контактная задача о вдавливании и скольжении с тре- нием параболического штампа в слой, состоящий из двух ФГ слоев с экспо- ненциальным изменением свойств по глубине, с использованием аналогичной схемы построения численного решения сингулярных уравнений и метода ко- нечных элементов. В работе [21] рассматривается трехмерная задача о вдав- ливании и скольжении с учетом трения изолированной сферы по поверхности электромагнитоупругого слоя, лежащего на жестком основании, с учетом по- верхностных эффектов, поверхностные эффекты моделируются с применени- ем моделей Gurtin-Murdoch [22] и Huang-Yu [23]. Следует также упомянуть подходы, использующие различные техники усреднения. Они оказываются эффективными при моделировании микроструктурных гетерогенных мате- риалов [24, 25], однако, плохо подходят для моделирования слоистых тел или тел с покрытиями. Для решений контактных задач для электромагнитоупругих тел со сло- истыми или ФГ-покрытиями при произвольном изменении свойств по глу- бине может быть эффективно использован приближенный аналитический ме- тод [26, 27]. Он позволяет в аналитическом виде получить решения контакт- ных задач, асимптотически точные для покрытий большой и малой толщины и обладающие высокой точностью для покрытий средней толщины [28]. Данная работа посвящена построению функций податливости электро- магнитоупругого полупространства и полуплоскости с ФГ или слоистыми покрытием. Функции податливости являются трансформантами ядер инте- гральных уравнений, соответствующих плоским или осесимметричным ста- тическим контактным задачам. Показана линейная связь между функция- ми податливости и образами (Фурье или Ханкеля) функций Грина. Изучены свойства функций податливости и установлена возможность построения при- ближенных аналитических решений ряда плоских и осесимметричных кон- тактных задач. 1. Равновесие упругой полуплоскости с неоднородным по глу- бине покрытием. Рассмотрим электромагнитоупругую трансверсально-изо- тропную неоднородную пьезоэлектрическую пьезомагнитную полуплоскость. Введем декартову систему координат (x, z) таким образом, чтобы прямая z = 0 совпадала с поверхностью полуплоскости, а ось z являлась осью симмет- рии всех шести групп электромагнитноупругих свойств. Считаем, что упру- гие модули c 11 , c 12 , c 13 , c 33 , c 44 ; пьезоэлектрические коэффициенты e 31 , e 15 , e 33 ; пьезомагнитные коэффициенты h 31 , h 15 , h 33 ; диэлектрические проница- емости 11 , 33 ; магнитные проницаемости 11 , 33 и коэффициенты электро- магнитной связи d 11 , d 33 неоднородной полуплоскости изменяются с глубиной по следующим законам: { (c) f kj (z), H 6 z 6 0, f kj = (s) f kj = const, < z < H, (c) где f kj (z) - непрерывно дифференцируемые или кусочно-постоянные функ- ции, описывающие изменение электромагнитоупругих свойств по глубине по- (s) крытия толщины H; f kj - некоторые постоянные, описывающие свойства од- нородной полубесконечной подложки. Здесь и далее индексы (c) и (s) соот- ветствуют покрытию и подложке. 477 Обозначим через u и w упругие смещения вдоль осей x и z соответственно; x , z xz - нормальные и касательные напряжения; и - электрический и магнитный потенциалы; D x , D z и B x , B z - компоненты векторов электри- ческой и магнитной индукции. Считаем, что на границе стыка покрытия и подложки выполнены условия непрерывности: z = H : w (c) = w (s) , u (c) = u (s) , (c) = (s) , (c) = (s) , (c) (s) (c) (s) (c) (s) (c) (s) z = z , xz = xz , D z = D z , B z = B z . (1) Пусть на поверхности покрытия действуют одновременно распределенная касательная и нормальная нагрузка в некоторой области a 6 x 6 a. Кроме того, в этой области заданы нормальные компоненты электрической и маг- нитной индукции. Вне области a 6 x 6 a поверхность покрытия свободна от механической нагрузки, электрически и магнитно изолирована: { {p(x), (x), q(x), b(x)} , |x| 6 a, (2) z = 0 : { z , xz , D z , B z } = 0, |x| > a. Линейные определяющие соотношения электромагнитоупругой пьезоэлек- трической пьезомагнитной среды имеют вид [29] w u + c 13 + e 31 + h 31 , x z z z w u + c 33 + e 33 + h 33 , z = c 13 x z z z ( u w ) xz = c 44 + + e 15 + h 15 ; z x x x ( u w ) + 11 d 11 ; D x = e 15 z x x x u w D z = e 31 + e 33 33 d 33 ; x z z z ( u w ) B x = h 15 + 11 d 11 z x x x u w B z = h 31 + h 33 d 33 33 . x z z z x = c 11 (3) Уравнения равновесия и уравнения электро- и магнитостатики имеют вид x xz z xz D x D z B x B z + = 0; + = 0; + = 0; + = 0. x z z x x z x z (4) Считаем, что смещения, электрический и магнитный потенциалы затуха- ют на бесконечности: u, w, , > 0 при z > . (5) 2. Равновесие упругой полуплоскости с ФГ-покрытием. Восполь- зуемся преобразованием Фурье: 1 f (x, z) = f (, z) exp(ix)d. 2 478Функции податливости электромагнитоупругой неоднородной полуплоскости. . . Подставим (3) в (4) и, записывая смещения, электрический и магнитный потенциалы в виде преобразований Фурье, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно трансформант Фурье: c 44 u 0 = 2 c 11 u 0 c 44 ( u 0 + w) b 1 w e 15 b 2 h 15 b 3 ; c 33 w + e 33 + h 33 = = c 13 u 0 + b 1 u 0 c 33 w e ( 33 h 33 + ) + 2 c 44 w + e 15 + h 15 ; e 33 w 33 d 33 = (6) = e 31 u 0 + b 2 u 0 e 33 w + ( 33 + d 33 + ) + 2 e 15 w 11 d 11 ; h 33 w d 33 33 = = h 31 u 0 + b 3 u 0 h 33 w + ( d 33 + 33 + ) + 2 h 15 w d 11 11 . Выше использованы следующие обозначения: v u = i u 0 , i = 1, b 1 = (c 13 + c 44 ) , b 2 = (e 15 + e 31 ) , b 3 = (h 31 + h 15 ) . Аналогично, в осесимметричной постановке, используя вместо преобразова- ний Фурье преобразования Ханкеля, можно получить систему дифференци- альных уравнений (6). Для однородной подложки (z < H) систему (6) можно переписать в бо- лее простом виде: c 44 u 0 = 2 c 11 u 0 b 1 w b 2 b 3 ; ( ) A 33 w + e 33 + h 33 = b 1 u 0 + 2 c 44 w + e 15 + h 15 ; ( ) e 33 w 33 d 33 = b 2 u 0 + 2 e 15 w 11 d 11 ; ( ) h 33 w d 33 33 = b 3 u + 2 h 15 w d 11 11 . (7) 0 Характеристическое уравнение системы обыкновенных дифференциаль- ных уравнений имеет вид c 44 t 2 c 11 2 b 1 t b 2 t b 3 t b 1 t c 33 t 2 c 44 2 e 33 t 2 e 15 2 h 33 t 2 h 15 2 = 0. b 2 t e 33 t 2 e 15 2 11 2 33 t 2 d 11 2 d 33 t 2 b 3 t h 33 t 2 h 15 2 d 11 2 d 33 t 2 11 2 33 t 2 Очевидно, что решение можно записать в виде t k = k . Возможно три различных случая [8]: Случай 1. Четыре пары комплексно-сопряженных корней (вещественная часть не равна нулю): 1 = 5 = o 1 + i 1 , 2 = 6 = o 1 i 1 , 3 = 7 = o 3 + i 3 , 4 = 8 = o 3 i 3 . 479 Случай 2. Две пары вещественных корней, равных по модулю, но имею- щих разный знак, и две пары комплексно сопряженных корней с ненулевой вещественной частью: 1 = 5 = o 1 , 2 = 6 = o 2 , 3 = 7 = o 3 + i 3 , 4 = 8 = o 3 i 3 . Случай 3. Четыре пары вещественных корней: 1 = 5 = o 1 , 2 = 6 = o 2 , 3 = 7 = o 3 , 4 = 8 = o 4 . Тогда общее решение системы (7) имеет вид: (s) u 0 (, z) = (s) (, z) = 4 k=1 4 S k () k 1k e k z , w (s) (, z) = 4 S k () k 2k e k z , k=1 S k () k 3k e k z , (s) (, z) = 4 S k () k 4k e k z . k=1 k=1 (k jk ) 4 j=1 Здесь - собственные векторы, их компоненты зависят только от элек- троманитоупругих свойств подложки (не зависят от ); постоянные S k () необходимо определить из граничных условий. Выше было учтено условие (5), из которого следует, что коэффициенты при k c отрицательной веще- ственной частью равны нулю. Перепишем (3) в образах Фурье: xz = i(c 44 w + e 15 + h 15 c 44 u 0 ); z = c 33 w + e 33 + h 33 c 13 u 0 ; z = e 33 w D 33 d 33 e 31 u 0 ; z = h 33 w B d 33 33 h 31 u 0 . Тогда граничные условия (1) примут следующий вид: (c) (s) w (c) = w (s) , u 0 = u 0 , (c) = (s) , (c) = (s) , (c) (s) (s) (s) (s) (s) 0 , z = c 33 w (s) + e 33 (s) + h 33 (s) c 13 u z = H : (s) (s) (s) (s) d (s) (s) e (s) u z (c) = e (s) w D 33 33 33 31 0 , (s) (s) d (s) (s) (s) (s) h (s) u z (c) = h (s) w B 33 33 33 31 0 , (c) (s) (s) (s) (s) (s) (s) xz = i(c 44 w + e 15 (s) + h 15 (s) c 44 u 0 ). Будем разыскивать решение системы (6) в виде линейных комбинаций: ( (c) (c) (c) (c) ) x (c) = u , w , q , b , x (c) (, z) = 480 a (, z) · y () , ( ) y = i , p , q , b , a = (a kj ) 4 k,j=1 . (8)Функции податливости электромагнитоупругой неоднородной полуплоскости. . . Тогда граничные условия при z = H примут вид (s) a 1j = u 0 , a 2j = w (s) , a 3j = (s) , a 4j = (s) , (c) (c) (c) (s) (c) (c) (c) (c) c 33 a 2j + e 33 a 3j + h 33 a 4j c 13 a 1j = (s) (s) (s) (s) (s) (s) = c 33 w + e 33 (s) + h 33 (s) c 13 u 0 , e 33 a 2j 33 a 3j d 33 a 4j e 31 a 1j = (s) (s) (s) (s) (s) (s) = e 33 w 33 (s) d 33 (s) e 31 u 0 , (c) (c) (c) (9) (c) h 33 a 2j d 33 a 3j 33 a 4j h 31 a 1j = (s) (s) (s) (s) (s) (s) = h 33 w d 33 (s) 33 (s) h 31 u 0 , (c) (c) (c) (c) c 44 a 2j + e 15 a 3j + h 15 a 4j c 44 a 1j = (s) (s) (s) (s) (s) (s) = c 44 w + e 15 (s) + h 15 (s) c 44 u 0 . Учитывая (8), граничные условия (2) можно записать в виде (c) (c) (c) (c) 1j c 44 (0)a 2j + e 15 (0)a 3j + h 15 (0)a 4j c 44 (0)a 1j (c) (c) (c) (c) c 33 (0)a 2j + e 33 (0)a 3j + h 33 (0)a 4j c 13 (0)a 1j 2j z =0: e (c) (0)a (c) (0)a d (c) (0)a e (c) (0)a = . (10) 1j 3j 2j 3j 4j 33 33 33 31 (c) (c) (c) (c) h 33 (0)a 2j d 33 (0)a 3j 33 (0)a 4j h 31 (0)a 1j 4j Здесь j = 1, 2, 3, 4, kj - символ Кронекера. Таким образом, для определения векторов a j = (a kj ) 4 k=1 получаем четыре краевые двухточечные задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэф- фициентами (6) с граничными условиями (9) и (10). Нетрудно убедиться, что kj (, z) = 1 a kj (, z) G (11) есть образы (Фурье для плоской задачи и Ханкеля для осесимметричной) функций Грина. Введем функции L kj () = a kj (/H, 0) , kj L = (L kj ) 4 k,j=1 . (12) Здесь постоянные kj выбраны таким образом, чтобы выполнялось условие a kj (, 0) = kj . > Значения kj зависят только от свойств поверхности покрытия (z = 0). Ана- логично терминологии [30, 31], будем называть их функциями податливости электромагнитоупругой полуплоскости (полупространства) с неоднородным по глубине покрытием. Для ФГ-покрытия с произвольным характером изме- нения свойств по глубине функции податливости могут быть построены лишь численно. Аналитические выражения для функций податливости можно по- строить при отсутствии неоднородности (свойства в покрытии постоянны, 481 то есть покрытие однородное) и для некоторых частных случаев неоднород- ности: кусочно-постоянное изменение свойств (слоистые кусочно-однородные покрытия), экспоненциальное изменение свойств (при этом важно, чтобы по- казатель экспоненты совпадал для всех законов изменения электромагнито- упругих свойств) и т.п. Установлено, что матрица L является симметричной, т.е. L kj () L jk (). Таким образом, имеем 10 независимых функций податливости. Кроме того, выполнено: L kj () > 0 при k, j = 2, 3, 4 и k = j = 1. Положительность или знакопеременность функций L 1j () при j = 2, 3, 4 зависит от отноше- ния свойств подложки и покрытия и исследована в параграфе 5. Кроме того, функции L kj () при k, j = 2, 3, 4 и k = j = 1 являются четными, а функции L 1j () при j = 2, 3, 4 - нечетными. Поэтому в дальнейшем будем рассмат- ривать их лишь в диапазоне > 0. Для построения функций Грина можно использовать технику, основан- ную на результатах В. А. Бабешко [32]. Известно, что четная, вещественная, непрерывная на всей вещественной оси и затухающая на бесконечности функ- ция может быть аппроксимирована следующими выражениями: f j () = ( 2 + D j 2 ) 1 . (13) Используя подход С. М. Айзиковича [27], построим аппроксимации функций податливости выражениями N kj L kj () kj () = 2 + A 2 kjn n=1 2 2 + B kjn , A kjn , B kjn C, ( ) а разницу L kj () kj () 1 аппроксимируем в виде (13). В итоге получим M kj N kj L kj () = 2 + A 2 kjn n=1 2 + 2 B kjn + n=1 C kjn + R s (), 2 + D kjn 2 (14) где R s () = O( s ), > 0; R s () = O( s1 ), > ; s = min(2N kj , 2M kj +1). Коэффициенты A kjn , B kjn либо вещественны, либо являются комплекс- но сопряженными, то есть выражение kj () вещественно. Для построения функций Грина требуется обратить интегральные преобразования (Фурье или Ханкеля), используя (11) и (12). Для функций податливости, записан- ных в виде (14), это удается проделать аналитически. Аналогично это было сделано для задачи о действии нормальной точечной силы и точечного заряда в работе [33]. 3. Частные случаи изменения свойств по глубине покрытия. Для кусочно-однородного покрытия вычисление функций податливости можно упростить. В этом случае для каждого отдельно взятого j-того однородно- го слоя система обыкновенных дифференциальных уравнений (7) принимает 482Функции податливости электромагнитоупругой неоднородной полуплоскости. . . вид (6) и ее решение можно записать в виде (j) u 0 (, z) = (k) (, z) = 8 k=1 8 k=1 S jk () k 1jk e jk z , w (j) (, z) = S jk () k 3jk e jk z , (j) (, z) = 8 k=1 8 S jk () k 2jk e jk z , (15) S jk () k 4jk e jk z . k=1 Подставляя (15) в (9) и (10), получим систему (8n + 4) линейных алгебраи- ческих уравнений для определения постоянных S jk и S k , где n - количество слоев в покрытии. Аналитическое решение системы (6) можно построить также для неко- торых частных случаев законов изменения свойств по глубине покрытия. В частности, если свойства покрытия изменяются экспоненциально, то { (c) (0) f kj (z) = f kj e (z+H) , H 6 z 6 0; f kj = (0) f kj = const, < z < H. В этом случае система (6) также превращается в систему с постоянными коэффициентами. Её решение может быть построено аналитически и, таким образом, построение функций податливости сводится к решению системы ли- нейных алгебраических уравнений. 4. Интегральные уравнения контактных задач. Описанная выше схема построения функций податливости может быть применена при сведе- нии ряда контактных задач к решению интегральных уравнений и их систем. Рассмотрим примеры контактных задач: Контактная задача 1 о вдавливании изолированного штампа. Пусть жест- кий штамп вдавливается без трения в поверхность электромагнитоупругой полуплоскости с покрытием, вся поверхность покрытия электрически и маг- нитно изолирована. В этом случае граничные условия имеют такой вид: |x| 6 a; w = + f (x), z = 0, |x| > a; z =0: xz = D z = B z = 0, < x < +. Используя интегральные преобразования Фурье, получим парное инте- гральное уравнение: ( ) 2 exp(ix) d = 22 f (ax) , |x| 6 1; p 0 ()L 22 () || a (16) p 0 () exp(ix)d = 0, |x| > 1. Здесь p 0 () - трансформанта Фурье контактных давлений при безразмер- ной координате, f (x) - функция профиля штампа, a - полуширина обла- сти контакта, = H/a - безразмерная толщина покрытия. К аналогично- му уравнению сводится контактная задача о вдавливании жесткого штампа в чисто упругую полуплоскость с покрытием, изменяется лишь функция по- датливости и значение постоянной 22 . Его решение построено ранее для 483 штампа с плоским основанием [34] и штампа параболической формы [35]. Для осесимметричной контактной задачи аналогичное уравнение получает- ся заменой преобразования Фурье на преобразование Ханкеля и также было рассмотрено и решено ранее [36]. Контактная задача 2 об электроде на поверхности покрытия. Предпо- ложим, что на поверхность покрытия нанесён идеальный электромагнитный проводник, электрический и магнитный потенциалы известны и равны 0 и 0 . Поверхность покрытия свободна от механических воздействий. В этом случае граничные условия и система интегральных уравнений примут такой вид: = 0 , = 0 , |x| 6 a; D z = B z = 0, |x| > a; z =0: = = 0, < x < ; z xz 2 0 q 0 () L 33 () ix b 0 () L 34 () ix e d + e d = , |x| 6 1; || 33 || 34 a q 0 () L 43 () ix b 0 () L 44 () ix 2 0 , |x| 6 1; e d + e d = 43 44 a || || q 0 () exp(ix)d = b 0 () exp(ix)d = 0, |x| > 1. (17) Это задача со смешанными граничными условиями по электрическим и магнитным компонентам. Построение приближенного аналитического ре- шения подобных систем описано в работах [26] и [37] в осесимметричной по- становке. Контактная задача 3 о вдавливании проводящего штампа без учета сил трения. Пусть в полуплоскость с покрытием вдавливается без трения жест- кий штамп и пусть штамп является идеальным электромагнитным провод- ником. Тогда |x| 6 a; w = + f (x), = 0 , = 0 , D z = B z = z = 0, |x| > a; z =0: xz = 0, < x < ; |x| 6 1: ( ) L 23 () L 24 () ) e ix 2 ( L 22 () d = f (ax) , p 0 () + q 0 () + b 0 () 22 23 24 || a ) ( ix L 32 () L 33 () 2 0 L 34 () e p 0 () + q 0 () + b 0 () d = , || a 32 33 34 ( 2 0 L 42 () L 43 () L 44 () ) e ix p 0 () + q 0 () + b 0 () d = ; (18) 42 43 44 || a |x| > 1 : p 0 () exp(ix)d = q 0 () exp(ix)d = b 0 () exp(ix)d = 0. = 484Функции податливости электромагнитоупругой неоднородной полуплоскости. . . Как видно, функции податливости являются трансформантами ядер ин- тегральных уравнений (16), (17), (18). Поэтому исследование их свойств явля- ется принципиально важным. Свойства трансформант ядер во многом опре- деляют возможность использование того или иного метода решения. В част- ности, приближенный аналитический метод [27] основан на идее аппрокси- мации функций податливости выражениями N kj L kj () kj () = 2 + A 2 kji i=1 2 2 + B kji , A kji = B slm . (19) Заменяя трансформанты ядер парных интегральных уравнений и их систем (16), (17), (18) приближенными выражениями (19), получаем приближенные уравнения, для которых удается построить замкнутые аналитические реше- ния. В работе [27] показано, что полученные решения являются двусторонне асимптотически точными при > 0 и > . Точность приближенных ре- шений для произвольного значения зависит от точности аппроксимации трансформант ядер. При этим погрешность решения является величиной то- го же порядка малости, что и погрешность аппроксимации трансформанты ядра [28]. Было рассмотрено большое количество различных примеров со- четаний материалов покрытий и подложек и законов изменения свойств по глубине и для всех удавалось построить аппроксимации с относительной по- грешностью, не превышающей 0.2 %. 5. Численные результаты и анализ свойств функций податливо- сти. Аналогично работе [30] можно показать, что для функций податливости, соответствующих полуплоскости с ФГ-покрытием, выполнены свойства: L kj () = a kj + b kj || + c kj 2 + O(|| 3 ), || > 0; L kj () = 1 + b kj || 1 + c kj 2 + O(|| 3 ), || > . (20) Для кусочно-однородных покрытий вместо (20) выполнено L kj () = 1 + b kj exp (2 || h 1 ) + O (|| exp (2h 1 )) , || > , где h 1 - толщина верхнего слоя. Для иллюстрации рассмотрим подложку из композитного материала, со- ставленного из пьезоэлектрического материала BaTiO 3 и пьезомагнитного CoFe 2 O 4 [9]: c 11 = 226 GPa, c 1 = 124 GPa, c 33 = 216 GPa, c 44 = 44 GPa, e 15 = 5.8 C/m 2 , e 31 = 2.2 C/m 2 , e 33 = 9.3 C/m 2 , h 15 = 275 N/(A·m), h 31 = 290.2 N/(A·m), h 33 = 350 N/(A·m), 11 = 5.64 10 9 C 2 /(N·m 2 ), 33 = = 6.3510 9 C 2 /(N·m 2 ), 11 = 2.9710 4 N·s 2 /C 2 , 33 = 0.83510 4 N·s 2 /C 2 , d 11 = 5.367 10 12 N·s/(V·C), d 33 = 2737.5 10 12 N·s/(V·C). Рассмотрим однородные покрытия, свойства которых пропорциональны (c) (s) (c) свойствам подложки, но отличаются в раз, т.е. x kj = const и x kj /x kj = = > 0. На рис. 1-4 изображены все 10 функций податливости (L ij = L ji ) для случаев = 2 и = 0.5. Значение функций податливости в нуле в этом случае определяется по формуле lim L kj () = 1 . >0 (21) 485 Рис. 1. Функции податливости L 1j () для однородных покрытий при = 2 и = 0.5 [Figure 1. Compliance functions L 1j () for homogeneous coatings with = 2 and = 0.5] Рис. 2. Функции податливости L 2j () для однородных покрытий при = 2 и = 0.5 [Figure 2. Compliance functions L 2j () for homogeneous coatings with = 2 and = 0.5] Рис. 3. Функции податливости L 3j () для однородных покрытий при = 2 и = 0.5 [Figure 3. Compliance functions L 3j () for homogeneous coatings with = 2 and = 0.5] 486Функции податливости электромагнитоупругой неоднородной полуплоскости. . . Рис. 4. Функции податливости L 4j () для однородных покрытий при = 2 и = 0.5 [Figure 4. Compliance functions L 4j () for homogeneous coatings with = 2 and = 0.5] Графики функций податливости L jj , j = 1, 2, 3, 4, расположены симмет- рично относительно прямой y = 1. Все функции податливости, за исключе- нием L 12 , L 13 , L 14 , являются монотонными и положительными, их значения лежат в интервале (1, 1 ) для < 1 и (1, 1) для > 1. На рис. 5 изображены графики L 22 и L 33 для однородных покрытий при = 0.01, 0.1, 0.5, 2, 10, 100. На обеих осях координат использована логариф- мическая шкала. Интересный факт, что графики функции L 33 , соответствую- щие значениям = 2, 10, 100, практически совпадают с графиками функции L 1 33 для значений = 0.5, 0.1, 0.01. Для того чтобы оценить, насколько близ- ки эти величины, введем относительную характеристику L () jj jj () = sup 1 1 · 100 %, j = 1, 2, 3, 4. L () 1 06< jj 1 ( ). Для описанных Очевидно, что jj () = jj выше однородных покры- тий получены следующие значения: 33 (100) = 4.99 %, 33 (10) = 3.01 %, 33 (2) = 0.44 %. Еще лучшее совпадение наблюдается для L 44 , значение ана- логичной характеристики в этом случае 44 (100) = 0.03 %, 44 (10) = 0.02 %, 44 (2) = 0.003 %. Для других функций податливости такой взаимосвязи не наблюдается. В частности, на рис. 5 видно, что L 22 при = 100 значительно медленнее стремится к значению 1 при > 0. Для однородных покрытий при любом значении скорость сходимости всех функций L kj к единице при > одинакова. Особенными с точки зрения свойств, описанных выше, являются функции L 12 , L 13 , L 14 (см. рис. 5 и 6. Все они немонотонны, наиболее заметно это для L 12 и L 14 . Для однородных покрытий функция L 12 в области 0.5 < < 0.9 имеет точку максимума при < 1 и точку минимума при > 1. Функция L 14 , наоборот, имеет точку максимума при > 1 и минимума при < 1. Максимум и минимум достигаются в области 1.0 < < 1.5. При этом чем больше значение отличается от единицы, тем значение максимума больше, а минимума меньше. Для рассмотренных примеров при 6 0.25 функция L 12 знакопеременна, при > 7.3 знакопеременна L 14 . Этот факт важен с точки зрения выбора метода решения интегрального уравнения. В частности, при- 487 Рис. 5. Функции податливости L 22 () и L 33 () для однородных покрытий при = 0.01, 0.1, 0.5, 2, 10, 100 [Figure 5. Compliance functions L 22 () and L 33 () for homogeneous coatings and = 0.01, 0.1, 0.5, 2, 10, 100] Рис. 6. L 12 () и L 14 () для однородных покрытий при = 0.1, 0.25, 0.5, 2, 4 и 10 [Figure 6. L 12 () and L 14 () for homogeneous coatings with = 0.1, 0.25, 0.5, 2, 4, and 10] ближенный аналитический метод [27] потребует некоторой доработки в этом случае, так как при его реализации требуется строить аппроксимации функ- ций податливости строго положительными выражениями. Рассмотрим ФГ-покрытия, свойства которых на поверхности пропорцио- (s) (c) нальны свойствам подложки, но отличаются в раз, т.е. x kj /x kj (0) = > 0. Свойства внутри покрытия изменяются непрерывно от значения на поверх- ности к значению подложки по одному из следующих законов: 1) линейный ( (s) (c) (surf) (surf) ) z x kj (z) = x kj x kj x kj ; H 2) степенной (c) (surf) x kj (z) = x kj 488 ( ) ( (s) (surf) ) z k x kj x kj ; HФункции податливости электромагнитоупругой неоднородной полуплоскости. . . 3) экспоненциальный (c) exp(kz/H) (s) exp(kz/H) 1 x kj . exp(k) 1 exp(k) 1 (surf) exp(k) x kj (z) = x kj На рис. 7 (слева) изображены графики пяти законов неоднородности при = 0.5: однородного покрытия и ФГ-покрытий с линейным, степенным (k = 2) и экспоненциальным (k = 2 и k = 5) изменением свойств, на рис. 7 (справа) и 8 - соответствующие им функции податливости L 22 , L 12 и L 14 . Графики законов неоднородности не пересекаются, как и графики соот- ветствующих функций податливости L kj , за исключением L 12 , L 13 , L 14 . Гра- фики всех функций податливости упорядочены в той же последовательно- сти, что и графики законов неоднородности (таким образом, наблюдается непрерывность зависимости функций податливости от закона неоднородно- Рис. 7. Графики изменения свойств по глубине однородного и ФГ-покрытий (20), (21) при = 0.5 (слева) и соответствующие им графики L 22 (справа) [Figure 7. Plots of properties variation in depth of homogeneous and functionally graded coatings (20), (21) (left) and corresponding to them plots of L 22 (right)] Рис. 8. Графики L 12 и L 14 , соответствующие покрытиям из рис. 7 (слева) [Figure 8. Plots of L 12 and L 14 corresponding to the coatings from Fig. 7 (left)] 489 сти). Законы изменения свойств по глубине существенно влияют на скорость сходимости всех L kj к единице при > . Медленнее всех к единице сходят- ся L kj для экспоненциальных законов, затем степенных, линейных и быстрее всех сходятся для однородного покрытия. Можно сделать вывод, что на ско- рость сходимости к единице влияет абсолютная величина градиента функции изменения свойств по глубине в нуле - |x kj (c) (0)|. Для ФГ-покрытий функции L 12 и L 14 также ведут себя иначе, чем все остальные. Как и для однородных покрытий, они немонотонны. При этом графики «сглаживаются», приближа- ются к монотонному по мере увеличения |x kj (c) (0)|.

About the authors

Andrey Sergeevich Vasiliev

Don State Technical University

Email: andre.vasiliev@gmail.com
1, Gagarin Square, Rostov-on-Don, 344000, Russian Federation Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. Wang Y., Hu J., Lin Y., Nan C. W., "Multiferroic magnetoelectric composite nanostructures", NPG Asia Mater., 2:2 (2010), 61-68
  2. Fetisov Y. K., G. Srinivasan., "Electric field tuning characteristics of a ferrite-piezoelectric microwave resonator", Appl. Phys. Lett., 88:14 (2006), 143503
  3. Zhai J., Dong S., Xing Z., Li J., Viehland D., "Geomagnetic sensor based on giant magnetoelectric effect", Appl. Phys. Lett., 91:12 (2007), 123513
  4. Wang M. L., Wang G., "Electromagnetic sensors for assessing and monitoring civil infrastructures", Sensor Technologies for Civil Infrastructures, Woodhead Publishing Series in Electronic and Optical Materials, 1, Elsevier Science, 2014, 238-264
  5. Liu X., Ou-Yang J., Tong B., Chen S., Zhang Y., Zhu B., Yang X., "Influence of the delta-E effect on a surface acoustic wave resonator", Appl. Phys. Lett., 114:6 (2019), 062903
  6. Chen W., Pan E., Wang H., Zhang C., "Theory of indentation on multiferroic composite materials", J. Mech. Phys. Solids, 58:10 (2010), 1524-1551
  7. Rogowski B., Kalinski W., "Indentation of piezoelectromagneto-elastic half-space by a truncated conical punch", Int. J. Eng. Sci., 60 (2012), 77-93
  8. Zhou Y. T., Lee K. Y., "Contact problem for magneto-electro-elastic half-plane materials indented by a moving punch. Part I: Closed-form solutions", Int. J. Solids Struct., 49:26 (2012), 3853-3865
  9. Zhou Y. T., Kim T. W., "An exact analysis of sliding frictional contact of a rigid punch over the surface of magneto-electro-elastic materials", Acta Mech., 225:3 (2014), 625-645
  10. Elloumi R., Guler M. A., Kallel-Kamoun I., El-Borgi S., "Closed-form solutions of the frictional sliding contact problem for a magneto-electro-elastic half-plane indented by a rigid conducting punch", Int. J. Solids Struct., 50:24 (2013), 3778-3792
  11. Elloumi R., Kallel-Kamoun I., El-Borgi S., Guler M. A., "On the frictional sliding contact problem between a rigid circular conducting punch and a magneto-electro-elastic half-plane", Int. J. Mech. Sci., 87 (2014), 1-17
  12. Зеленцов В. Б., Митрин Б. И., Айзикович С. М., "Динамическая и квазистатическая неустойчивость скользящего термофрикционного контакта", Трение и износ, 37:3 (2016), 280-289
  13. Зеленцов В. Б., Митрин Б. И., Лубягин И. А., "Износостойкость материалов покрытий в условиях разогрева от трения", Трение и износ, 38:4 (2017), 302-310
  14. Зеленцов В. Б., "Индикация термоупругой неустойчивости скользящего контакта с помощью заглубленной пьезокерамической прослойки", Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, 2017, № 1, 63-84
  15. Ma J., Ke L. L., Wang, Y. S., "Frictionless contact of a functionally graded magneto-electro-elastic layered half-plane under a conducting punch", Int. J. Solids Struct., 51:15-16 (2014), 2791-2806
  16. Ma J., Ke L. L., Wang, Y. S., "Sliding frictional contact of functionally graded magneto-electro-elastic materials under a conducting flat punch", J. Appl. Mech., 82:1 (2015)
  17. Ma J., El-Borgi S., Ke L. L., Wang Y. S., "Frictional contact problem between a functionally graded magnetoelectroelastic layer and a rigid conducting flat punch with frictional heat generation", J. Thermal Stresses, 39:3 (2016), 245-277
  18. Erdogan F., Gupta G. D., "On the numerical solution of singular integral equations", Quart. Appl. Math., 29:4 (1972), 525-534
  19. Krenk S., "On quadrature formulas for singular integral equations of the first and the second kind", Quart. Appl. Math., 33:3 (1975), 225-232
  20. Yilmaz K. B., Comez I., Yildirim B., Güler M. A., El-Borgi S., "Frictional receding contact problem for a graded bilayer system indented by a rigid punch", Int. J. Mech. Sci., 141 (2018), 127-142
  21. Zhang X., Wang Z., Shen H., Wang Q. J., "Frictional contact involving a multiferroic thin film subjected to surface magnetoelectroelastic effects", Int. J. Mech. Sci., 132-132 (2017), 633-648
  22. Gurtin M. E., Ian Murdoch A., "Frictional contact involving a multiferroic thin film subjected to surface magnetoelectroelastic effects", Int. J. Mech. Sci., 132-132 (2017), 633-648
  23. Huang G., Yu S., "Effect of surface piezoelectricity on the electromechanical behaviour of a piezoelectric ring", Physica Status Solidi, 243:4 (2006), 22-24
  24. Dinzart F., Sabar H., "Magneto-electro-elastic coated inclusion problem and its application to magnetic-piezoelectric composite materials", Int. J. Solids Struct., 48:16-17 (2011), 2393-2401
  25. Kachanov M., Sevostianov I., "Effective properties of heterogeneous materials", Micromechanics of Materials, with Applications, Solid Mechanics and its Applications, 249, Springer, Cham, 2018, 315-467
  26. Васильев А. С., Волков С. С., Айзикович С. М., "Приближeнное аналитическое решение задачи о вдавливании проводящего штампа в электроупругое полупространство с неоднородным покрытием", Докл. Акад. наук, 478:1 (2018), 34-39
  27. Айзикович С. М., "Асимптотическое решение одного класса парных уравнений", ПММ, 54:5 (1990), 872-877
  28. Sadyrin E. V., Vasiliev A. S., Volkov S. S., Mitrin B. I., Aizikovich S. M., "Simplified analytical solution of the contact problem on indentation of a coated half-space by a spherical punch", WIT Trans. Eng. Sci., 122 (2019), 209-221
  29. Nan C. W., "Magnetoelectric effect in composites of piezoelectric and piezomagnetic phases", Phys. Rev. B, 50:9 (1994), 6082-6088
  30. Айзикович С. М., Александров В. М., "О свойствах функций податливости, соответствующих слоистому и непрерывно-неоднородному полупространству", Докл. АН СССР., 266:1 (1982), 40-43
  31. Ильман В. М., Приварников А. К., "Действие системы штампов на упругое многослойное основание", Прикл. мех., 7:6 (1971), 25-30
  32. Бабешко В.А., "Интегральные уравнения свертки первого рода на системе отрезков, возникающие в теории упругости и математической физике", ПММ, 35:1 (1971), 88-99
  33. Vasiliev A. S., Volkov S. S., Aizikovich S. M., "Normal point force and point electric charge in a piezoelectric transversely isotropic functionally graded half-space", Acta Mech., 227:1 (2016), 263-273
  34. Vasiliev A. S., Volkov S. S., Aizikovich S. M., Mitrin B. I., "Plane contact problem on indentation of a flat punch into a transversely-isotropic half-plane with functionally graded transversely-isotropic coating", Z. Angew. Math. Phys., 68:1 (2017)
  35. Kudish I. I., Volkov S. S., Vasiliev A. S., Aizikovich S. M., "Some Criteria for Coating Effectiveness in Heavily Loaded Line EHL Contacts. Part 1. Dry Contacts", J. Trib., 138:2 (2016)
  36. Волков С. С., Васильев А. С., Айзикович С. М., Селезнев Н. М., Леонтьева А. В., "Напряженно-деформированное состояние упругого мягкого функционально-градиентного покрытия при внедрении сферического индентора", Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, 2016, № 4, 20-34
  37. Volkov S. S., Vasiliev A. S., Aizikovich S. M., Mitrin B. I., "Axisymmetric indentation of an electroelastic piezoelectric half-space with functionally graded piezoelectric coating by a circular punch", Acta Mech., 230:4 (2019), 1289-1302

Statistics

Views

Abstract - 34

PDF (Russian) - 10

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies