Mathematical modeling of coalescence and breakage of droplets and bubbles in an isotropic turbulent flow: A review

Abstract


This review devoted to the theoretical analysis, calculation, and modeling of the processes of merging and breakage of droplets and bubbles in an isotropic turbulent flow. We have analyzed a number of studies on these issues. The problems of determining the minimum and maximum sizes of droplets and bubbles, as well as breakage and merging frequencies, which are associated with the solution of the diffusion equation of mass transfer, are considered. The merging of droplets is considered as a result of the thinning of the interfacial film formed by two drops as a result of their collision. A mathematical description of the refinement of the interfacial film, taking into account the Marangoni effect, is proposed. Analysis of many studies, including our own, showed that, depending on the scale of turbulent pulsations, the extreme size, as well as the frequencies of coalescence and breakage of droplets and bubbles, depend on the specific dissipation energy in the turbulent flow, on their sizes and on the physical properties of the particles and the medium. Important parameters that provide aggregative stability of a liquid-liquid or liquid-gas type dispersion medium to breakage, deformation and fusion are the surface tension coefficient and energy dissipation, the physical properties of the medium and particles, and in an isotropic turbulent flow the ratio of the surface coefficient tension to specific energy dissipation. Problems related to the evolution of the particle distribution function in time and size under isotropic turbulence using solutions of the Fokker-Planck stochastic equation for continuous variation of the sizes of droplets and bubbles and the integro-differential kinetic equation of coalescence and fragmentation for jump-like changes in particle sizes are also considered. A set of analytical solutions of these equations for particular cases is proposed. A more in-depth analysis based on the mathematical laws of the transport phenomena makes it possible in the standard way to calculate such systems in an approximation, such as continuous, with an infinitely small jump. It is shown that the deterministic description of these phenomena without taking into account their stochastic nature is incomplete and can lead to significant deviations from the true nature of the above processes. The results obtained are compared with the existing experimental data on coalescence and breakage of droplets and bubbles, which showed satisfactory agreement with the calculated values.

Full Text

Введение. Физические явления коалесценции и дробления капель и пу- зырей в турбулентном потоке составляют основу многих процессов хими- ческой, нефтеперерабатывающей, пищевой и фармацевтической технологий и связаны в основном с изменением спектра и числа частиц в единице объе- ма, определяющих величину межфазной поверхности массо- и теплопереноса. Коалесценция капель и пузырей, связанная с их столкновением и последую- щим укрупнением, широко используется в процессах разделения и расслоения фаз (осаждение, всплытие) в эмульсиях, суспензиях и в других многофазных средах. Дробление капель и пузырей, необходимое для увеличения межфазной поверхности, достаточно широко используется в массообменных процессах жидкостной экстракции, абсорбции, в газожидкостных реакторах, в процес- сах распыления и горения и т. д. Сущность процессов коалесценции и дробле- ния капель и пузырей состоит в потере агрегативной, а в некоторых случаях и седиментационной устойчивости дисперсной системы в целом, под действием внешних сил или же в самопроизвольных изменениях в системе из-за стрем- ления уменьшить избыточную поверхностную энергию. Теоретические и экспериментальные исследования процессов коалесцен- ции, дробления и деформации капель и пузырей приведены во многих рабо- тах [1-16]. Первые теоретические исследования явлений коалесценции двух- частичных столкновений капель весьма малых размеров в приближении бро- уновских частиц в однородной неограниченной системе на простейших моде- лях были проведены Смолуховским [1,2], в результате чего определены часто- та и время коалесценции, обратно пропорциональные коэффициенту молеку- лярной диффузии броуновских частиц. Последующие исследования явлений коалесценции и дробления капель и пузырей, протекающих в трубах, в ко- лонных аппаратах и в перемешивающих устройствах, были посвящены экс- периментальному [3-5, 7, 10], теоретическому исследованию и динамике этих явлений в турбулентном потоке [9, 12-19]. В этих работах представлены мо- дели и характерный механизм процессов, полуэмпирические формулы для 542Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . расчета минимальных и максимальных размеров частиц, частоты и време- ни коалесценции и дробления в зависимости от коэффициента турбулентной диффузии, диссипации энергии и свойств частиц и потока. Основными ха- рактеристиками этих процессов являются частота коалесценции (или столк- новения) и дробления, определяемая в изотропном турбулентном потоке дис- сипацией энергии и масштабом турбулентности, а также свойства и разме- ры самих частиц и среды (плотность, вязкость, поверхностное натяжение), и в большинстве случаев состояние дисперсной системы определяется мини- мальными и максимальными размерами капель и пузырей [5-7, 12, 15, 19]. В работе [20] приведен литературный обзор процессов дробления капель и пузырей в турбулентном потоке, где основное внимание уделено анализу механизмов дробления и некоторым вопросам определения частоты, а также ее зависимости от удельной диссипации энергии, характеристик среды и раз- меров частиц. Минимальные размеры частиц характеризуют такое состояние дисперсной системы, которая более склонна к коалесценции, а максимальные размеры характеризуют состояние системы, более склонной к деформации и дроблению капель и пузырей. Многие работы посвящены процессам коалесценции и дробления в турбу- лентном потоке [9, 21-23], где исследованы влияние параметров изотропной турбулентности на процессы коалесценции и дробления капель и пузырей в системах «газ - жидкость» и «жидкость - жидкость», влияние свойств среды и капель на протекание процессов и на распределение капель [24], вли- яние концентрации частиц на коалесценцию и дробление в многофазных сре- дах [25] и другие проблемы расчета этих процессов [26-28]. Другой характеристикой дисперсной системы, в которой протекают про- цессы коалесценции и дробления, является скорость изменения размеров и чис- ла частиц, другими словами, эволюция функции распределения по разме- рам и по времени, теоретические и экспериментальные исследования которых приведены в работах [29-35]. Важными характеристиками изотропного турбулентного потока являют- ся колмогоровский масштаб турбулентности 0 и диссипация энергии на по- верхности капли E R , определяемые в виде v ( 3 ) 0.25 3 2 a a c ( R a) 2/3 c c , E R P , 0 = R 6 6 d где d U d ( R a) 1/3 a a - вязкостное напряжение на поверхности капли; P = 2 (r) = C 0 ( R r) 2/3 U - среднеквадратичная скорость турбулентного потока. Следует отметить, что в процессах коалесценции и дробления капель и пузырей в изотропном турбулентном потоке немаловажную роль играет ко- эффициент турбулентной диффузии, определямый для различных областей значений масштаба турбулентных пульсаций в виде [1] > 0 , D T = 0 ( R ) 1/3 ; < 0 , D T = 0 ( R / c ) 0.5 2 . (1) 543К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р. Вместе с тем, учитывая степень увлечения частиц пульсирующей средой, для коэффициента турбулентной диффузии частиц можно написать [36] D T P 2 p D T , где коэффициент 2 p - степень увлечения частиц турбулентным потоком, за- висящий от размеров частиц, причем с их ростом можно предположить, что 2 p > 0. В более широком смысле в работе [37] на основе имеющихся эксперимен- тальных исследований предложены эмпирические формулы для определения коэффициентов диффузии частиц в зависимости от динамической скорости потока и скорости осаждения и т. д. Целью данной работы является теоретический анализ существующих прин- ципов исследования процессов коалесценции и дробления капель и пузырей в изотропном турбулентном потоке с присущими им свойствами. 1. Максимальные и минимальные размеры частиц. Дисперсные системы (эмульсии, суспензии) в большей степени характеризуются полидис- персностью размеров частиц, колеблющихся в широких пределах - от 1 мкм до 200 мкм, хотя в потоке могут встретиться частицы коллоидных разме- ров и более крупные частицы. Однако состояние дисперсного потока, его аг- регативная устойчивость к изменению размеров и седиментационная устой- чивость к осаждению в целом определяющие структуру спектра дисперсий в объеме, характеризуется минимальными и максимальными размерами ча- стиц. Следует отметить, что процессы, протекающие в дисперсных системах, сопровождаются не только столкновением и укрупнением сталкивающихся капель, но и обратным явлением - дроблением, вызванным тем, что силь- но взаимодействовавшие частицы разлетаются на осколки либо не могут со- хранять устойчивое состояние и распадаются самопроизвольно или под дей- ствием каких-либо возмущений на их внешней поверхности. Таким образом, в дисперсных системах существует некоторый размер a max , выше которого капли неустойчивы, деформируются и мгновенно разрушаются, и минималь- ный размер a min , определяющий нижний порог устойчивости капель, т. е. при определенных условиях течения капли, достигшие этих размеров, не мо- гут дальше дробиться. Максимальный размер частиц характеризует неустой- чивое состояние капель и пузырей, зависящих от гидродинамических усло- вий течения дисперсной среды, и при определенный условиях турбулентного течения проявляется склонность к распаду и дроблению единичной капли. В литературе имеется множество формул для оценки максимальных значе- ний капель в турбулентном потоке. Так, для газовых пузырей важно отметить следующие выражения в об- ласти чисел Re d < 100: 0.6 0.4 из работы [1], 0.2 R 0.4 c d = 0.725 (/ c ) 0.6 0.4 из работы [38], R ) ( 0.926 = f 2/3 из работы [40]. 5/3 R c f a max = a max a max 544 (2)Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . Для жидких капель, если c = d , и для области чисел Re d < 10 предло- жены следующие выражения для максимальных значений: ( ) 0.6 ( ) 0.1 c a max = 1.12 0.4 из работы [21], R c d c 0.5 16( d / c ) + 16 из работы [39], a max = c 0.5 R 19( d / c ) + 16 3 ( ) 5 3+2 , a max = C 3+2 L 2/3 5/3 c R L где f - начальная длина масштаба турбулентности; L - интегральный мас- штаб турбулентности; - коэффициент, причем при = 1 последнее выра- жение совпадает с формулой, предложенной в работе [38]. Вычисление по этим формулам при одинаковых условиях течения дает существенный раз- брос численных значений максимального размера капель [41]. С целью оценки минимальных и максимальных размеров капель восполь- зуемся условием равенства динамической силы, действующей на поверхности капель c U 2 F D = C D 2 (где C D = C D (Re d ) - коэффициент сопротивления капель и пузырей [42-44]; Re d = U a/ c - число Рейнольдса для частицы, определяемое через среднюю скорость турбулентного потока U ) с силой поверхностного натяжения F = = 4/a s [1]. Здесь предполагается, что динамический напор действует на определенную часть поверхности капли и поэтому может быть связан с ко- эффициентом сопротивления. Из условия равенства этих сил имеем C D c U 2 4 = . 2 a s (3) С учетом выражения для пульсационной скорости V = ( d c R ) 1/3 определим выражение для максимального размера капель или пузырей в виде [12-14] ( 8 ) 0.6 0.6 0.4 a max = 1.2 R . (4) 0.4 0.2 C D c d Здесь - коэффициент, определяемый экспериментальным путем. Исходя из уравнения (4) для различных областей изменения числа Re d можно получить ряд формул для оценки максимального размера капель (C D 8/3), в част- ности вида a max 1.93 1.2 0.6 0.4 0.4 R , 0.2 c d 2 · 10 3 6 Re d 6 5 · 10 5 . (5) Для пузырей воздуха в воде в области их деформации 500 < Re d 6 2000, где коэффициент сопротивления, согласно экспериментальным данным [42], 4/3 составляет величину C D 14.5 Mo 1/2 Re d , на основе выражения (4) для мак- симальных размеров, получим [14] a max = 0.82 2/3 1/6 Mo [( ) c ) 4/9 ( 1/3 2/3 U c ] 1/3 2/9 R , (6) d g c 4 - число Мортона. c a 3 c Если число Мортона Mo > 10 7 и 0.1 < Re d < 100, то согласно [1] и экс- периментальным данным [10] получим C D = 16/Re d и для максимального размера пузырей получим соотношение где Mo = a max 0.354 3 ( U ) 1.5 1.5 1 R . c 0.5 d c (7) Если число Мортона Mo < 10 7 и 0.1 6 Re d < 100, то можно использовать уравнение (7) с коэффициентом 0.192, и, если Mo < 10 7 и 100 6 Re d < 400, - с коэффициентом, равным 0.068. В частности, при 2 < Re d < 10 3 для пузырей можно положить C D 14/Re 0.5 d , в результате чего выражение (3) принимает вид [( ) ( )] 6/7 U 0.5 4/7 12/7 a max 0.619 R . (8) 1/3 2/3 c c d Выражение (8) удовлетворительно согласуется с экспериментальными дан- ными [5, 6], что показано в работах [14, 15]. В литературе также имеется множество формул с использованием крити- c U ческого числа Вебера We cr = a max для определения максимального разме- ра капель и пузырей в турбулентном потоке, среди которых можно отметить следующие: ( We ) 0.6 0.6 cr 0.4 0.2 R 2 0.4 c d d 1.3 0.6 k a max = We 0.6 cr 0.3 0.3 0.6 1.1 c d c U [ ( U ) 0.7 ] c U 2 ( c U ) 0.5 c = 38 1 + 0.7 a max ( ) We cr 0.6 0.6 0.2 0.4 a max = c R , 2 a max = из работы [5], из работы [6], из работы [31], из работ [45, 46]. Здесь d k - диаметр канала. В литературе можно встретить и другие эмпирические формулы для опре- деления максимального размера капель: ( ) 0.6 0.6 0.4 1/3 a max = A 1 + A 2 c R a 1/3 c R , 1/3 ( ( ) 0.5 a 1/3 ) c 0.4 a 5/3 c R 5/3 c = A 1 1 + A 2 , d 546 A 1 1.9, A 2 0.35;Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . где A 1 , A 2 - коэффициенты, имеющие различные значения в зависимости от вязкости среды. Минимальный размер частиц в изотропном потоке характеризует состоя- ние капли или пузыря, гидродинамически устойчивое к дроблению при опре- деленных условиях течения потока, а при большой концетрации частиц - склонность к их интенсивному столкновению и коалесценции, что также опре- деляется условием (4). Учитывая для изотропного турбулентного потока V = 0 ( d c R ) 1/3 , R = c 3 / 40 , а также выражение (4) (но для минимальных размеров капель и пузырей), получим [15] C D 2 ( 2 ) 1/3 c 2 a min = c d . (9) 8 Следует отметить, что в работе [1] для минимального размера капель полу- чена более простая формула, учитывающая плотность среды и коэффициент сопротивления: a min c c 2 /. Поскольку коэффициент сопротивления зависит от числа Re d , рассмот- рим различные варианты [43]: a min v ( 3 ) 0.5 ( ) 1/6 c , c 2 d U v ( 3 ) 0.5 ( 2 ) 1/6 2 c , c d U a min 3 Re d < 0.1, (10) 0.1 6 Re d 6 100. (11) Для области 400 6 Re d 6 2 · 10 3 согласно экспериментальным данным [38] для капли жидкости в воздухе можно получить следующую корреляцию: 4/3 C D = 14.5 Mo 1.5 Re d , учитывая которую, можно написать [43]: a min = 0.168 2/3 Mo 1.5 3 . U 4 c 2 d c 2 (12) Для воздушных пузырьков в воде при Re d > 2·10 3 значение коэффициента сопротивления устанавливается на уровне C D = 8/3, и ) 1/3 1 2 ( . a min = 2 c c 2 d 3 (13) В перемешивающих устройствах минимальный размер капель определя- ется выражением [19] 1.75 a min = 0.5(nd T ) ( 3 ) 0.25 c c 2 d , (14) где n - угловая частота вращения мешалки, d T - диаметр мешалки. Как сле- дует из этого уравнения, минимальный размер капель определяется характе- ристиками мешалки: угловой скоростью вращения и размером перемешива- ющего устройства, а также свойствами среды и капли. В табл. 1 приведено сравнение экспериментальных данных [19, 47] с расчетными значениями ми- нимальных капель масла в воде, полученными по формуле (14); значения параметров для расчета: = 72.2 · 10 3 Н/м, c = 1000 кг/м 3 , d = 850 кг/м 3 , c = 10 6 м 2 /сек, d T = 0.027 м; Re d = nd T a/ c ; U = nd T . Таблица 1 Сравнение экспериментальных [47] и рассчитанных по формуле (14) значений минималь- ных размеров капель масла в воде [Comparison of experimental and calculated values of the minimum size of oil droplets in water] Re d n, sec 1 U , m/sec 22.50 19.44 16.87 14.58 13.23 11.25 16.67 20.0 25.0 30.0 35.0 41.67 0.450 0.540 0.675 0.810 0.945 1.125 Minimum droplet size (a min 10 6 ), m experimental data [47] calculated by Eq. (14) 53.0 39.0 26.0 19.0 15.0 10.5 54.2 39.4 26.6 19.4 14.7 10.9 Parameter values for calculation: = 72.2 · 10 3 N/m, c = 1000 kg/m 3 , d = 850 kg/m 3 , c = 10 6 m 2 /sec, d T = 0.027 m; Re d = nd T a/ c ; U = nd T . Приведенные корреляции для расчетов минимальных и максимальных размеров деформируемых частиц (капель, пузырей) с определенной точно- стью могут быть использованы для решения задач коалесценции, дробления и разделения дисперсных систем. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования со- стояния деформируемых частиц в турбулентном потоке [48-51] позволили предложить различные формулы для оценки максимальных и минимальных размеров дисперсных включений, причем, как показали исследования, эти размеры зависят прежде всего от удельной диссипации энергии, свойств сре- ды и частиц, от коэффициента сопротивления частиц, а в некоторых слу- чаях и от критического значения числа Вебера We cr [6, 42]. Использование коэффициента сопротивления в уравнении равновесия (3) позволяет расши- рить область адекватного описания максимальных и минимальных размеров частиц. Сравнивая расчетные данные на основе приведенных формул [48- 51] с различными экспериментальными измерениями, можно отметить, что максимальный размер капель пропорционален удельной диссипации энергии 0.4 только для области развитой турбулентности при Re d > 2·10 3 . В осталь- R ных случаях степень удельной диссипации энергии может существенно ме- няться. Определим отношение максимального размера (4) к минимальному раз- меру (9) капель для развитой турбулентности при Re d > 2000 в виде ( ) 0.4 a max c 1.6 Ke C D , (15) a min Mo d где Ke = 548 g - безразмерное число, характеризующее отношение поверх- c RМатематическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . ностной энергии к энергии турбулентного потока [52] и определяющее сте- пень агрегативной устойчивости капель и пузырей. Если число Ke 1 или R g/ c , то в этом случае капля считается устойчивой и не подвергается дроблению в турбулентном потоке. В работе [15] на основе эксперименталь- ных данных [2, 42] предложено условие Re d Mo 1/6 < 7, при котором пузыри не подвергаются значительной деформации, при этом Mo = 43 C D We 3 Re 4 d . 2. Дробление капель и пузырей в изотропном турбулентном по- токе. Дробление капель и пузырей в изотропном турбулентном потоке явля- ется важным фактором для увеличения межфазной поверхности и скорости тепло- и массопереноса в дисперсных системах. Механизм дробления дефор- мируемых частиц определяется разными факторами. Среди них отметим сле- дующие: - влияние пульсаций турбулентности определенной частоты на поверх- ностной части капель и пузырей [8, 53-56] на коррекцию формы 1 ; - граничная неустойчивость на поверхности капли, определяемая турбу- лизацией пограничного слоя, или общая неустойчивость в результате достижения размеров капли максимального значения a > a max ; - воздействие внешней среды 2 , где дробление капель можно определить равновесием между внешними силами непрерывной фазы и силами по- верхностного напряжениея, способствующими сопротивлению разруше- нию капли (3) [1, 25, 38]; - результат взаимного упругого столкновения при интенсивном переме- шивании системы 3 . 1 В работах [1, 5] флуктуационная частота колебаний поверхности капли с использова- нием уравнения Рэлея определена в виде (k) = ( 2 (k + 1)(k + 2)k(k 1) ) 0.5 , 2 c a 3 (k + 1) d / c + 1 где k - волновое число. При k = 2 из данной формулы вытекают формулы для определения частоты, соответствующие дроблению пузырей v 2 6 ( ) 0.5 , d c (a) = c a 3 и капель (a) = 4 ( ) 0.5 , d a 3 d c . В итоге для небольших деформаций формулу капли можно определить суперпозицией «линейных гармоник»: [ ] r(t, ) = R 1 + A k cos( k t)P k (cos ) , k где P k (cos ) - функции Лежандра, A k - коэффициенты ряда, определяемые как A k = = A k0 exp( k t), k - коэффициент затухания k = (k + 1)(k 1)(2k + 1) d + k(k + 2)(2k + 2) c ( ) . d (k + 1) + c k R 2 2 Данное условие также характеризует деформацию формы капель и пузырей. Важно отметить, что не всякое столкновение капель и пузырей приводит к их слиянию и коалесценции; при упругом столкновении капля может распадаться на осколки, тем са- Общий обзор по дроблению капель и пузырей приведен в работе [20], где рассмотрены вопросы, связанные с частотой дробления и характером функ- ции распределения частиц по размерам, хотя не рассмотрены анализ макси- мальных и минимальных размеров и характерные особенности влияния вто- ричных процессов дробления на изменение функции мультимодального рас- пределения капель. Несмотря на множество механизмов дробления капель и пузырей, важным параметром, характеризующим этот процесс, является частота дробления в турбулентном потоке, определению которой посвящено множество работ [3, 11, 13-15, 20, 25, 33, 47]. В работе [3] на основе анализа поверхностной и кинетической энергии турбулентного потока для частоты дробления капель предложено следующее выражение: ( C 2 ) 1/3 . (16) (a) = C 1 a 2/3 R exp 2/3 c R a 5/3 В работах [12-14] путем аналитического решения уравнения массопереноса с учетом выражений для турбулентной диффузии частиц N 1 ( 2 N ) = 2 r D T P , t r r r t = 0, r > R, N = N 0 , t > 0, r = R, N = 0, t > 0, r > , N = N 0 , предложено аналогичное (16) уравнение для частоты дробления для случая > 0 (где C 1 = C 10 N 0 a 3 ), когда коэффициент турбулентной диффузии определяется по первой формуле (2), причем время дробления капель принимается в виде 1/3 /( c R a), хотя в работах [33, 34] он определяется как a 2/3 R . Для случая < 0 , т. е. для вязкого течения с использованием второго уравнения (2), частоту дробления можно определить следующим выражением: ( ) 0.5 ) ( R (a) = C 01 N 0 a 3 . (17) exp C 02 c ( c R ) 1/2 a c Как следует из этого уравнения, частота дробления капель и пузырей в вязкой области или в жидкой среде обратно пропорциональна вязкости сре- ды c 0.5 . В ряде работ в зависимости от механизма дробления предложены следующие формулы для частоты дробления: ( 2 ) ( 3 C ) 4 2/3 1/3 (a) = C 3 a R v в [20, 57, 58]; 2 c 2/3 a 5/3 R K 0 ( ) 0.5 2/3 (a) = 8.2 R a 2/3 в [33]; a c a [( ] ) 0.5 d 1/3 (a) = C 5 R erfc C 6 + C 7 в [20, 59]; (18) 2/3 5/3 1/3 4/3 c R a 0.5 0.5 a c R d 19/15 ( v 2 1.8 ) a 5/3 R 1.4 c (a) = exp 3 1.8 1.2 в [20, 60]; 1.4 a c R [( ) 1/3 ] 1.5 (a) = C 8 n erfc C 9 3 3 1.5 1.5 в [61]. n d T c a мым меняя спектр распределения размеров, хотя отсутствуют работы, свидетельствующие о числе частиц, образовавшихся в результате такого распада. 550Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . Последнее уравнение определяет частоту дробления капель в перемешиваю- щих устройствах и зависит от параметров перемешивания. Для многофазных систем с объемной долей капель частоту их дробления можно определить в виде [3, 34] 1/3 (a) = C 10 ( R (1 + ) 2 ) exp C . 11 2/3 a 2/3 (1 + ) d a 5/3 (19) R Скорость дробления капель в изотропном турбулентном потоке характе- ризуется константой скорости, определяемой в виде [50] 1/3 ( R A 1 ) , Re d < 1, k R = A 0 2/3 exp 2/3 a c R a 5/3 1/3 ( c a 2/3 R A 1 ) Re d > 1, k R = A 0 . exp 2/3 c c R a 5/3 (20) В принципе, выражение, приведенное в скобках, является отношением по- верхностной энергии (E a 2 /a a) к энергии турбулентного потока T a 2 (P T ), P T = C 1 c ( R a) 2/3 ) и характеризует эффективность про- ( E цесса дробления: E . 2/3 T E c R a 5/3 Анализируя уравнения (17)-(20), можно отметить, что частота дробления в изотропном турбулентном потоке для области > 0 определяется в основ- ном параметрами турбулентности (удельная диссипация энергии, масштаб турбулентных пульсаций), плотностью среды, поверхностным напряжением, а для вязкого течения ( < 0 ) - дополнительно и вязкостью среды. Важно отметить, что дроблению капель и пузырей в изотропном тур- булентном потоке предшествует деформация их формы, причем при значи- тельных числах We и достаточно малых числах Mo они могут принимать формы, не поддающиеся описанию. Условие равновесия между поверхност- ными силами и внешними силами турбулентного потока (3) может также характеризовать начальные условия деформации частиц. Эксперименталь- ные исследования деформации пузырей при различных числах We, Mo и Re d приведены в работах [10,62], а теоретические исследования представлены ра- ботами [42, 44, 52, 63]. 3. Коалесценция капель и пузырей в изотропном турбулентном потоке. Коалесценция капель и пузырьков играет важную роль в протека- нии различных технологических процессов химической технологии и, прежде всего, в уменьшении межфазной поверхности, в расслоении и разделении ча- стиц разных размеров, сопровождающимися их осаждением или всплытием. Механизм коалесценция капель и пузырей определяется следующими эта- пами: - взаимное столкновение частиц с определенной частотой в турбулентном потоке; - образование межфазной пленки между двумя каплями и ее утончение; - разрыв межфазной пленки и дренаж жидкости из одной капли в дру- гую, слияние и образование новой капли. Взаимные столкновения частиц в объеме потока происходит по различ- ным причинам: - за счет конвективной броуновской диффузии, мелкодисперсной состав- ляющей частиц, характерной в основном для ламинарного течения при малых числах Рейнольдса; - за счет турбулентного течения и турбулентной диффузии; - за счет дополнительных внешних полей (гравитационного, электриче- ского, электромагнитного и т. д.) 4 ; - за счет эффекта зацепления в результате конвективного переноса мел- ких частиц в окрестности падающей крупной частицы 5 ; - за счет неоднородности полей температуры и давления, способствую- щих появлению сил, пропорциональных градиентам температуры и дав- ления и действующих в направлении уменьшения этих параметров 6 ; - кроме указанных явлений, коалесценции способствуют физические яв- ления (испарение капель, конденсация), сопровождающиеся возникно- вением гидродинамической силы отталкивания (эффект Фасси) испа- ряющихся капель за счет испарения (стефановский поток) или возник- новением силы при конденсационном росте капли, действующей в об- ратном направлении 7 . 4 Если колмогоровский масштаб турбулентности 0 меньше или сравним с размерами капель в области вязкостного течения, то процесс сопровождается турбулентным блуж- данием, аналогичным броуновскому, результатом чего является возникновение турбулент- ной диффузии. Однако турбулентная диффузия может быть характерна для частиц боль- ших размеров на расстояниях, больших , благодаря высокой интенсивности турбулентных пульсаций и неоднородности гидродинамического поля. 5 В результате осаждения или всплытия крупных частиц за счет образования гидроди- намического следа существенно увеличивается захват мелких частиц крупными, что при- водит к гравитационной коалесценции, если они падают вдоль линии, близкой к линии центров. В процессе коалесценции капель немаловажную роль играет коэффициент захва- та, определяющий отклонение реального сечения захвата частиц от геометрического [32] = I , (L + R) 2 N 0 V где I - массовый поток к поверхности выделенной частицы, - коэффициент захвата, L - характерный масштаб расстояния, V - скорость невозмущенного сферой течения среды. Связь между числом Шервуда и коэффициентом захвата при конвективной диффузии имеет вид ( 1 R ) 2 Sh = Pe 1 + . 2 L Коэффициент захвата определится как [32] N L ) 4 ( 1 b * (1 + b 0 Pe), ( Pe N N ) 0 ( ) L 1 Pe 2/3 1 + 0.738 Pe 1/3 , N 0 Pe 1; Pe 1. Здесь N L - концентрация частиц на поверхности сферы радиуса r = L, b * , b 0 - коэффици- енты. 6 Для мелкодисперсной составляющей дисперсного потока в результате действия этих сил характерна их миграция за счет термодиффузии и бародиффузии, что также способ- ствует их столкновению и коалесценции. 7 Несмотря на различные механизмы, в процессах химической технологии коалесценция 552Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . Коалесценция капель и пузырей характеризуется следующими этапами: - сближение и столкновение капель разного размера в турбулентном по- токе с образованием межфазной пленки между ними 8 ; - утончение и разрыв межфазной пленки под действием внешних сил и деформирующего (расклинивающего) напряжения с последующим дренажом жидкости из одной капли в другую, коалесценцией и укруп- нением капель 9 . При столкновении двух капель образуется межфазная пленка, которая под действием различного рода сил (гравитационных, динамических, капил- лярных, молекулярных и т. д.) утончается до некоторой критической толщи- ны и разрывается с дальнейшим слиянием двух капель (рис. 1). В принципе, образовавшаяся между двумя каплями межфазная поверхность обладает ко- нечной кривизной, зависящей от радиусов капель и переменного поверхност- ного натяжения. Полагая, что в плоской пленке незначительной кривизны кругового сечения течение ламинарное, уравнение переноса импульса в ци- линдрических координатах можно записать в виде [52] P 2 V r 2 V r + 2 + = 0, r gr 2 g x 2 капель и пузырей в турбулентном потоке составляет основу расчета явлений, протекающих в дисперсных системах «газ - жидкость» (колонны, газо-жидкостные реакторы) и системах «жидкость - жидкость» (перемешивающие устройства) [4, 7, 9, 12, 13, 16, 17, 22, 25, 29, 52]. 8 Перенос капель в полидисперсной среде определяется в основном интенсивностью тур- булентности потока и гидродинамическими условиями. В условиях изотропной турбулент- ности частота столкновений капель зависит от удельной диссипации энергии турбулентно- го потока и свойств среды и дисперсной фазы [3, 13, 29, 52, 54]. В результате столкновения и фиксирования двух капель с размерами a 1 и a 2 между ними образуется межфазная пленка круглой формы (рис. 1), радиус которой определяется в виде [2] R K = ( 3 4 P m (k 1 + k 2 )a r ) 1/3 , где k 1 , k 2 - коэффициенты упругости капель; a r = a 1 a 2 /(a 1 + a 2 ) - средний размер ка- пель; a 1 , a 2 - диаметры капель; P m - максимальное сжимающее давление. В работе [3] выражения для гидродинамического давления сжатия в турбулентном потоке определены 2 , а для изотропной турбулентности - P m c 2/3 (a 1 a 2 ) 2 /(a 1 + a 2 ) 4/3 . как P m = a 2 r c U R 9 Разрыв межфазной пленки способствует слиянию более мелких капель в более круп- ные, что способствует уменьшению общего числа капель в объеме и нарушению седимен- тационной устойчивости и характера их распределения. Рис. 1. Столкновение двух капель с образованием межфазной пленки [Figure 1. Collision of two drops with the formation of an interfacial film] 1 P 2 V r + 2 = 0, r gr V x 1 (rV r ) + = 0, x r r (21) где P - давление в пленке; V r , V x - составляющие скорости течения в пленке; - полярный угол. Одним из важных краевых условий для решения этих уравнений является условие V r d 1 (cos ) = + , r dr R K sin определяющее присутствие конвективного течения в жидкой пленке по эф- фекту Марангони [64, 65]. Отметим, что данная проблема с учетом наличия поверхностно-активных веществ, инверсии фаз, эффекта Марангони для од- номерного распределения давления в пленке численно решена в работе [65]. Эффект Марангони рассматривается в качестве термокапиллярного течения как результат изменения температуры в пленке и конвективного течения при изменении концентрации или поверхностного натяжения. Преобразуя систе- му уравнений (21), получим уравнение для изменения толщины межфазной пленки в виде [52] x = , d 2 2 2gP 3 + = 4 2 sin . dt 3R K 3R K Для P определим следующее выражение: 2 P = (P D + P K )R K + , где P D , P K - динамическое и капиллярное давление (P K = 2/(g)), дейст- вующие в пленке; - расклинивающее давление, определяемое как = = AR k 2 /(6 2 ) для сферической и = AR k 2 /(6 3 ) для деформируемой ка- пель; A - выражает константу Ван-дер-Ваальса-Гаммакера (A 10 21 J) [66,67]. С учетом вышеизложенного уравнение утончения межфазной пленки (16) представим в виде d = b 1 3 + b 2 2 b 3 , dt где b 1 = 2gP D 4 , 3R K b 2 = t = 0, (22) = 0 , 1 ) 2 ( 2 + , 2 sin 3R K b 3 = 1 Aa r g 4 . 9 R K В работах [52,68] предложены различные аналитические решения данного уравнения: 2 ); - для тонких пленок можно положить, что P D P K /(R K 2 - для толстых пленок можно положить (P D + P K ) /(R K ). Для тонких пленок решение уравнения (22) представится как (t) = 554 0 exp(b 3 t) , 1 + 1 0 (exp(b 3 t) 1) (23)Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . где 1 = 6R k 2 ( b 2 1 ) = 2 + . b 3 Aa r g sin Для весьма тонких пленок решение (22) представится как (t) 0 exp( 3 t), где 3 = (24) 2 P D g 0 2 . 3 c R K В случае деформируемых капель имеем (t) 0 2 t, 2 = Ag 2 . 9 0 R K (25) Для толстых пленок основными силами, разрывающими толстую меж- фазную пленку, являются гидродинамические силы, т. е. те силы, которые обусловлены пульсациями скорости. Решение (22) в этом случае можно пред- ставить в виде 0 , 1 + 3 t 0 , (t) = 1 + b 2 0 t (t) = v P D P K , (26) P D P K . (27) Приведенные частные решения (23)-(27) могут быть использованы в ин- женерных расчетах, в частности при определении толщины межфазной плен- ки. Исходя из уравнения (23) можно констатировать, что эффект Марангони считается поправкой к коэффициенту поверхностного натяжения в b 2 , хо- тя он способен оказать значительное влияние на течение и на распределе- ние скорости в указанной пленке. Наличие двумерных давлений, сложность распределения давления на поверхности жидкой пленки и анализ уравнений (21) показывают, что при утончении пленки наличие эффекта Марангони в некоторой степени способствует стабилизации процессов дробления в систе- ме «жидкость - жидкость», т. е. оказывает тормозящий эффект при разрыве пленки. Как видно из уравнения (23) и формулы определения коэффициента 1 , эффект Марангони приводит к временной стабилизации межфазной пленки, так как в произвольной точке, где за счет действия внешних сил межфазная пленка утончается, происходит локальное усиление поверхностного натяже- ния, что противодействует утончению. Процесс утончения и, следовательно, разрыва пленки носит случайный характер и, как указано в работе [69], воз- можность разрыва пленки обратно пропорциональна ее толщине. В процессе разрушения межфазной пленки существенная роль принадле- жит гидродинамическим силам P D , порождающим турбулентность, и, преж- де всего, высокочастотным турбулентным пульсациям, способствующим ос- лаблению пленки и межмолекулярных связей между ее основными компо- нентами, уменьшению прочности и разрыву пленки в результате их растяже- ния и сжатия, улучшению условий столкновения за счет увеличения часто- ты столкновений и коалесценции. При одномерном распределении давления 555К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р. в пленке с участием поверхностно-активных веществ данная проблема реша- ется также в работе [70]. Экспериментальные данные по утончению межфазной пленки приведены в работах [65, 70]. На рис. 2 приведены экспериментальные и результаты рас- четов по уравнению (23) утончения толщины пленки, причем после достиже- ния толщины критического значения 6 cr наиболее приемлемым является расчет по формуле (24). Рис. 2. Сравнение расчетных и экспериментальных данных [70] зависимости тол- щины межфазной пленки от времени при следующих концентрациях N D деэмуль- гатора: 1 - N D = 0.2 г/л; 2 - N D = 0.5 г/л; 3 - N D = 0.5 г/л; линии 1-3 - расчет по уравнению (23); линия I - расчет по уравнению (24) [Figure 2. Comparison of calculated and experimental data [70] of the dependence of the interfacial film thickness on time at the following concentrations (N D ) of demulsifier: curve 1 corresponds to N D = 0.2 g/l; curve 2 corresponds to N D = 0.5 g/l; curve 3 corresponds to N D = 0.5 g/l; curves 1-3 correspond to the calculation by Eq. (23); curve I corresponds to the calculation by Eq. (24)] После разрыва межфазной пленки происходит дренаж жидкости из одной капли в другую, скорость которой определена в работах [52,71]. Рассматривая процесс коалесценции капель в статистическом смысле как обратный процес- су их дробления, можно отметить, что частоты коалесценции аналогичны уравнениям (17)-(19) [4, 7, 9, 12, 13, 16, 22, 29, 52]. 4. Эволюция функции распределения капель и пузырей в изо- тропном турбулентном потоке. Эволюция функции распределения ка- пель и пузырей в ограниченном объеме потока, изменяющихся в результате коалесценции и дробления, является важным показателем дисперсной систе- мы и дает ее качественную и количественную характеристику. Основу описа- ния эволюции функции распределения составляют два стохастических урав- нения: - интегро-дифференциальное уравнение коагуляции и дробления, постро- енное на основе популяционного баланса [14, 32, 34, 56, 59, 72]; - стохастическое дифференциальное уравнение Фоккера-Планка [12, 13, 15, 32, 52, 73, 74]. 556Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . 4.1. Интегро-дифференциальное уравнение коагуляции и дроб- ления. Данное уравнение, описывающее явления коалесценции и дробления капель и пузырей на основе популяционного баланса, является нелинейным интегро-дифференциальным уравнением, имеющим сдвиг по аргументу и за- висящим от частоты столкновений и дробления, от переменных размеров (объемов) частиц, от времени эволюции, и может быть представлено в ви- де P (v, v ) + U c P (v, v ) = C + + C + B + + B , (28) t где 1 v C + = (v , v v )P (v )P (v v ) dv 2 0 - выражение, учитывающее рождение новых частиц за определенное время; , v)P (v ) dv (v C = P (v) 0 - выражение, описывающее уход частиц из данного диапазона размеров; P (v) v + (v, v )P (v ) dv , B = B = (v , v)v dv v 0 0 - две интегральные составляющие, описывающие приход и уход частиц из , v) - частота двух- данного диапазона в процессе их дробления [32, 74]; (v частичного столкновения частиц объемом v 1 и v 2 при их единичной кон- центрации за промежуток времени t; (v, v ) - функция, характеризую- щая плотность распределения частиц объема v, образовавшихся в единицу , v) яв- времени в результате разрушения частицы объемом v . Функция (v ляется симметричной относительно аргументов, т. е. = (v 1 , v 2 ), v 1 > v 2 2 , v 1 ), v 2 > v 1 . В отличие от (v , v), функция (v, v ) являет- и = (v ся несимметричной функцией, причем исходя из физических соображений можно положить, что (v, v ) > 0 при v < v и (v, v ) = 0 при v > v [32]. В частности, частота столкновения капель в вязкой жидкости определяется симметричной функцией вида [75] ( ) 0.5 R 1.294 N 0 (a i + a j ) 3 , c аналогичной уравнению (17). v ) используется симметричная функция, В работе [3] для расчета (v, аналогичная нормальному распределению: ( 2 ) v ) = 2.4 exp 4.5 (2v v ) . (v, v v 2 Более сложная формула для расчета частоты столкновения частиц (пузырей) с размерами a i и a j предложена в работах [3, 4, 77]: ( ) i , a j ) = C ij 1/3 (a i + a j ) 2 a 2/3 + a 2/3 1.5 (a i , a j ). (a i j R 557К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р. Здесь C ij 0.28 1.11; (a i , a j ) - эффективность коалесценции, которая определяется как [3] ] [ c c R ( a i a j ) 4 (a i , a j ) = exp C 11 2 a i + a j и уточняется в работе [2] в виде [ ( c 2/3 a 5/3 ) 0.5 ] ( 1 1 ) 1 ij R (a i , a j ) = exp 2.3 , a ij = 2 + . a i a j В работе [34] для вторичного дробления, т. е. для «дочерних» капель, предлагается следующая формула: ( ) (Av 2/9 B) A(v v) 2/9 B , (v, v ) = v v min ( ) 2/9 2/9 (Av B) A(v v) B dv v min где A = 4.1 ( 6 ) 2/9 2/3 c R , B = 6 . (6/) 1/3 v 1/3 Обзор по статистическому анализу процессов дробления капель и пузы- рей приведен в работах [20, 33, 34], где также проанализированы разные ме- ханизмы дробления капель и пузырей и различные выражения для функ- 1 , v 2 ) и (v, v ). На рис. 3 приведены характерные кривые изменения ций (v частоты дробления газовых пузырей в зависимости от размеров, взятые из работ [33, 34, 60]. Решение уравнения (28) ввиду его нелинейности как в теоретическом, так и в практическом плане представляет определенные трудности. Некоторые частные аналитические решения уравнения дробления P (v, v ) P (v) v = (v, v )P (v )dv (v , v)v dv , t v 0 0 t = 0, P (v, 0) = P 0 (v); v > , P (v, t) > 0; v > 0, P (v, t) > 0, (29) (учитываются только последние два члена уравнения (28), C + = C = 0) при постоянном значении (v, v ) = const и заданном начальном распределе- нии в виде гамма-распределения, а также с использованием метода моментов приведены в работе [32], методом разделения переменных - в работе [14]. В частности, решение этого уравнения можно искать методом разделения переменных в виде P (v, t) = (t)(v), подставляя которое в (29), получим два уравнения: = 2 , t (t) = B 1 exp( 2 t), v (v, v )(v)dv v (v, v )dv = 2 . v 0 0 558Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . Рис. 3. Зависимость частоты дробления пузырей от их размеров для различных зна- чений диссипации энергии на основе данных работ [33, 34] (сверху) и [60] (снизу): 1 - R = 5.0 м 2 /с 3 ; 2 - R = 10.0 м 2 /с 3 [Figure 3. The dependence of the frequency of bubbles breakage on their sizes for various values of energy dissipation based on the data of Ref. [33, 34] (top) and [60] (bottom): curves 1 correspond to R = 5.0 m 2 /sec 3 ; curves 2 correspond to R = 10.0 m 2 /sec 3 ] Используя краевые условия, общее решение (29) можно представить в ви- де [14] P (v, t) = n=0 где = v ( B n exp( 2 n t) exp ) (v, v )v 2 + (v) (/v)v dv , (v)v 2 n v 2 (30) v (v, v )dv . Решение (30) имеет достаточно сложный вид, но при 0 определенном выборе вида функции частоты дробления и начального рас- пределения P 0 (v) оно существенно упрощается. В частности, если функция частоты дробления задана в виде (v) = K 0 v m , то функция распределения 559К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р. будет иметь вид P (v, t) = ( 2 B n exp n K 0 t + n=0 ) dv . v 2 n (2 m)v m Если в качестве начального распределения взять функцию P 0 (v) = 2 то при m = 1 будем иметь N 0 2v ve , v 0 ( ) N 0 v exp 2 2 20 K 0 t . v 0 v 0 P (v, t)dv = 1 и v a 3 , кумулятивную Учитывая условие нормировки P (v, t) = 2 0 функцию распределения получим в виде a P (v, t) P K (a, t) = da = 1 exp(k 0 a 3 ). N 0 0 Это решение удовлетворительно совпадает с экспериментальными данными [33, 34] для кумулятивной функции распределения, если k 0 = 0.00105(x/a) 2 (где x - длина перемещения капли при распылении жидкости под давлением) (рис. 4). Определенную сложность представляет процесс нахождения решения урав- нения коалесценции, полученного из (28) и имеющего сдвиг по аргументу: P (v, v ) 1 = t 2 v , v v )P (v )P (v v ) dv (v 0 P (v) , v)P (v ) dv . (31) (v 0 560 Рис. 4. Изменение кумулятивной функции распределения капель при распылении жидкости на различных расстояниях x/a: 1 - x/a = 17.2, 2 - x/a = 22.65, 3 - x/a = 27.39, 2 - x/a = 34.07 [Figure 4. Change in the cumulative function of the distribution of droplets from spraying liquids at different distances (x/a): curve 1 corresponds to x/a = 17.2, curve 2 corresponds to x/a = 22.65, curve 3 corresponds to x/a = 27.39, curve 4 corresponds to x/a = 34.07]Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . Решения (31) сильно зависят от задания начального распределения и функ- ции ядра коалесценции (v). Ряд частных аналитических решений (31) для определенных начальных распределений и функции (v) приведены в табл. 2. Численные решения уравнений коалесценции и дробления (29) и (31) при- ведены в работах [26,29,32,58,79,80], а общий анализ результатов численного и аналитического решений - в работе [32]. 4.2. Стохастическое уравнение Фоккера-Планка. Уравнение опи- сывает дисперсные системы с изменением свойств среды и размеров компо- нентов дисперсной фазы. Так как процессы коалесценции и дробления ха- рактеризуются скачкообразностью изменения свойств частиц, для существен- ного отрезка времени изменение свойств можно считать квазинепрерывным с непрерывным малым скачком [81-83]. В частном случае следует предполо- жить, что изменение среднего размера капель и пузырей в зависимости от времени носит непрерывный характер и описывается уравнением изменения средней массы частиц по времени dm = ±(a)m. dt (32) Здесь знак (+) характерен для коалесценции, а знак () - для дробления капель и пузырей. Экспериментальные исследования по дроблению и коалес- ценции капель и пузырей в турбулентном потоке подтверждают, что средний размер капель определяется на уровне минимального (дробления) или макси- мального (коалеценции), что характеризует агрегативную устойчивость дис- персной среды. С учетом изложенного в уравнении (32) m рассматривается как приведенная масса относительно экстремальных значений капель и пу- зырей: m = d (a a min ) 3 - для дробления и m = d (a max a) 3 - для ко- 6 6 алесценции. В частном случае из уравнения (32) можно получить формулу, характеризующую изменение размеров капель при дроблении в виде da = k(, a)(a a min ) = f (a); dt t = 0, a = a 0 , (33) что является непрерывным процессом по времени, где k(, a) = (a)/3. Экс- периментально измеряемые средние размеры при дроблении капель в пере- мешивающих устройствах, где имеет место турбулентность потока, приведе- ны в работах [19, 47, 84]. С использованием экспериментальных значений [47] в работах [13, 19] для частоты вращения мешалки n = 10002500 об/мин приведены следующие соотношения для определения начального и мини- мального размеров капель масла в водной среде: a 0 = 1.75 · 10 2 · (n · d M ) 1.5 и a min = 1.695 · 10 4 · (n · d M ) 1.75 с использованием выражения (14). Сравнительный анализ расчетных данных и экспериментальных значе- ний изменения среднего размера капель можно выполнить по информации, представленной на рис. 5. В силу того, что изменение размеров частиц можно рассматривать в ви- де непрерывной функции, уравнение Фоккера-Планка может быть записано так: [ da ] B 2 P (a, t) P (a, t) = P (a, t) + , (34) t a dt 2 a 2 t = 0, P (a, 0) = P 0 (a); a > 0, P (a, t) > 0. 561562 )x] Таблица t) ) 2(1 К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р.= where argument a j a j)!j! exp[( + [Continuation Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . 563564 k+1j if ) + ( 1+ [Ending К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р.Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . Рис. 5. Характер изменения среднего размера капель при различных частотах вращения мешалки: 1) n = 1000 об/мин, 2) n = 1200 об/мин, 3) n = 1500 об/мин, 4) n = 1800 об/мин, 5) n = 2100 об/мин, 6) n = 2500 об/мин [Figure 5. The change in the average droplets size at different rotation frequency of a mixer: 1) n = 1000 rpm, 2) n = 1200 rpm, 3) n = 1500 rpm, 4) n = 1800 rpm, 5) n = 2100 rpm, 6) n = 2500 rpm] Решение этого уравнения может представлять определенные трудности из-за вида функции f (a) в (33). Некоторые частные аналитические решения уравнения (34) в зависимости от характера задания функции f (a) можно найти в работах [13, 15, 19, 52, 73, 74] (табл. 3). Стационарные решения уравнения Фоккера-Планка предложены в рабо- те [73]. В некоторых случаях, например для мультимодальной эксперимен- тальной функции распределения, решение (34) с использованием определен- ных эмпирических преобразований может быть представлено в виде суммы логнормальных распределений [19]: P (a, t) = [ ] A n (t) exp m n (t)(ln a s n ) 2 , (35) n=0 где s n - параметр, соответствующий логарифму максимального значения каждого экстремума. Экспериментальные исследования по коалесценции и дроблению капель и пузырей [32-34,47,72] показывают, что функция распре- деления носит мультимодальный характер, что объясняется наличием в пото- ке вторичных, третичных и т. д. явлений коалесценции и дробления. Причем число экстремумов в «хвосте» кривой распределения характеризует допол- нительные акты коалесценции частиц, а число экстремумов в начале кривой распределения - число актов повторного дробления. Обсуждение и анализ результатов. Теория и описание физических явлений коалесценции и дробления капель и пузырьков в изотропном турбу- лентном потоке представляет собой детерминированно-стохастическую про- блему, включающую в себя решение задач детерминированного характера (гидродинамические задачи в турбулентном потоке) и описание процессов стохастической природы, связанных в основном со случайным скачкообраз- ным изменением размеров частиц и их распределением по размерам и по 565566 polynomials, ( exp A i ) r 2 = m are ( Kr (1)/2 К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р.Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . времени. В то же время проблемы коалесценции и дробления можно рас- сматривать с позиций теории «рождения и гибели» частиц [73] и теории ка- тастроф [85], поскольку основу этих процессов составляет образование но- вых частиц, связанных с исчезновением или «гибелью» старых, появлени- ем или «рождением» новых частиц, что характеризуется потерей агрега- тивной и седиментационной устойчивости дисперсной среды. Как следует из формул (2)-(12) и (17)-(19), важным параметром, обеспечивающим аг- регативную устойчивость дисперсной среды типа «жидкость-жидкость» или «жидкость-газ» к дроблению, деформации и коалесценции, является коэф- фициент поверхностного натяжения, а в изотропном турбулентном потоке - отношение / R (15), поскольку эти параметры являются основными при оценке максимальных (2), (4)-(8) и минимальных (10)-(14) размеров капель, при вычислении частот дробления и коалесценции (17)-(20). В некоторых исследованиях значение максимального размера капель и пузырей связы- вают с критическим числом Вебера следующим образом: a max We 0.6 cr , где We cr = 1.18 [38], We cr = 2.6 [86], We cr = 2.77.8 [87]. В большинстве случаев приведенные в литературе формулы для оценки минимальных и максималь- ных размеров капель и пузырей носят формальный характер, поскольку их сравнение с экспериментальными значениями дает большую ошибку, но при определенном подборе неизвестных коэффициентов (например, параметра в уравнениях (4)-(8) и (9)-(14)) в этих формулах можно добиться удовлетвори- тельной сходимости расчетных данных к экспериментальным в конкретных случаях. В дисперсной среде возможны одновременное протекание процессов как коалесценции, так и дробления капель, причем в условиях равновесия между этими процессами наблюдается периодическое повторение этих явлений в за- висимости от минимальных и максимальных размеров капель. Нарушение равновесия между явлениями коалесценции и дробления, связанное с изме- нением режима и внешних параметров, способствует смещению процесса в том или ином направлении. В частности, при достаточно больших значениях угловой скорости перемешивания процесс смещается в сторону как дробле- ния, так и коалесценции, что связано с увеличением удельной диссипации энергии R n 3 и частоты дробления (a) n 0.5 [13, 19]. Увеличение скоро- сти дробления капель способствует росту числа капель в единице объема и, соответственно, увеличению вероятности столкновения и укрупнения капель. Этот факт ярко проявляется в процессах жидкостной экстракции, расслоения и разделения эмульсий [88]. На практике явления коалесценции и дробления капель могут осложняться наличием различных пленок на поверхности ка- пель, тормозящих протекание процесса. В частности, в системе «нефть-вода» на поверхности водных капель образуется защитная пленка за счет диффузии естественных ПАВ, содержащихся в сырой нефти на межфазной поверхно- сти. Структурно-механическая устойчивость таких эмульсионных систем свя- зана с образованием на границе раздела «нефть-вода» адсорбционных слоев, в состав которых входят асфальтены, парафины, смолы, минеральные соли и твердые частицы [89-91]. Анализ состава указанных оболочек на поверх- ности капель воды, находящейся в сырой нефти различных месторождений, подтверждает, что доминирующими стабилизаторами считаются асфальтены и смолы, в составе которых находятся высокоплавкие парафины и неоргани- ческие механические примеси. В связи с этим для коалесценции и дробле- ния подобных систем прежде всего необходимо разрушение и разрыхление 567К е л б а л и е в Г. И., Р а с у л о в С. Р. адсорбционного слоя различными поверхностно-активными веществами. Ин- тенсификация подобных процессов разделения нефтяных эмульсий связана, прежде всего, с турбулизацией потока, поскольку высокочастотные пульса- ции турбулентности приводят к ослаблению адсорбционной пленки и межмо- лекулярных связей между ее основными компонентами, уменьшению проч- ности и разрыву пленки в результате их растяжения и сжатия, улучшению условий увеличения частоты столкновений. Проблемы коалесценции и дробления капель, характеризующиеся слож- ным случайным скачкообразным поведением, таят в себе много сложностей и тонкостей. Более глубокий анализ этих явлений на основе математических закономерностей явлений переноса позволяют стандартным образом рассчи- тывать такие системы в некотором приближении как непрерывные с бес- конечно малым скачком. Очевидно, что детерминированное описание этих явлений без учета их стохастической природы является неполным и может приводить к существенным отклонениям от истинной природы этих процес- сов. Использование кинетического уравнения коалесценции и дробления (28) и уравнения Фоккера-Планка (34) позволяет в широком смысле интерпрети- ровать и анализировать эти явления в различные моменты времени. Следует отметить, что некоторые аналитические решения этих уравнений (табл. 2 и 3) позволяют получать важные теоретические результаты для исследования и анализа этих явлений. В частности, из решения уравнения Фоккера-План- ка для асимптотического случая (34a) (табл. 3) следует, что при бесконечном времени протекания (t > ) конечное распределение частиц не зависит от значения и характера начального распределения. Причем при > 0 данное распределение совпадает с распределением Розена-Рамблера, используемого в работе [31], при = 1 - с распределением Релея, а при = 2 - с распределе- нием Максвелла. Таким образом, этот вывод позволяет судить о стационар- ности функции распределения при большом времени протекания процессов коалесценции и дробления, инвариантных к заданию характера начального распределения. Вместе с тем многочисленные экспериментальные исследова- ния [19, 29-35, 47] свидетельствуют о мультимодальности функции распреде- ления, что объясняется наличием повторных актов коалесценции и дробле- ния. Причем множество максимумов функции распределения в левой части соответствует повторным дроблениям капель, а в вибрирующей «хвостовой» части - повторной коалесценции. Для описания таких функций распределе- ния наиболее приемлемым является выражение (35), представляющее собой суперпозицию множества логнормальных функций [19]. Следует отметить, что смещение спектров больших и малых капель носит практически взаимо- связанный характер. Однако через некоторое время, когда ресурсы крупно- капельного спектра исчерпываются, возможно, спектр начинает вести себя подобно одногорбовому распределению. Важно отметить, что на характер эволюции функции распределения и на коэффициент турбулентной диффу- зии существенное влияние оказывает выбывание частиц из рассмотренного объема в результате их всплытия или осаждения [37]. В этом случае спектр распределения существенно меняется с изменением скорости осаждения или всплытия. 568Математическое моделирование процессов коалесценции и дробления капель и пузырей. . . Условные обозначения Nomenclature a B size (diameter) of particles; stochastic diffusion coefficient; C D D D T D T P k R m N P P (a, t) R R K t U V v R c , d c , d 2 c , d Mo Re Sh Pe We размер частиц; коэффициент диффузии, имею- щий стохастическую природу; коэффициент сопротивления час- тиц; коэффициент молекулярной диф- фузии; коэффициент турбулентной диф- фузии среды; коэффициент турбулентной диф- фузии частиц; константа скорости дробления; масса частицы; число частиц в единице объема; давление; функция распределения частиц; радиус частиц; радиус поверхности контакта; время; среднеквадратичная скорость по- тока; пульсационная скорость турбу- лентного потока; объем частицы; функция ядра коалесценции; толщина межфазной пленки; диссипация энергии в единице массы; динамическая вязкость среды и частиц; масштаб турбулентности; кинематическая вязкость среды и частиц; собственные числа; плотность среды и частиц; коэффициент поверхностного на- тяжения; азимутальный угол; коэффициент захвата; объемная доля частиц; частота дробления; число Мортона; число Рейнольдса; число Шервуда; число Пекле; число Вебера. drag coefficient of particles; coefficient of molecular diffusion; coefficient of turbulent diffusion of a medium; coefficient of turbulent diffusion of particles; breakage rate constant; particle mass; is total number of particles per unit volume; pressure; particles distribution function; particles radius; contact surface radius; time; root mean square flow velocity; pulsation velocity of the turbulent flow; particles volume; coalescence kernel function; interfacial film thickness; energy dissipation per unit mass; dynamic viscosities of the medium and particles; turbulence scale length; kinematic viscosities of the medium and particles; are the eigenvalues; densities of the medium and partic- les; surface tension coefficient; azimuth angle; capture ratio; volume fraction of particles; breakage frequency function; Morton number; Reynolds number; Sherwood number; Peclet number; Weber number.

About the authors

Gudret ogly Kelbaliyev

Institute of Catalysis and Inorganic Chemistry, Azerbaijan National Academy of Sciences

Email: kkelbeliev@yahoo.com; kudret.kelbaliev@mail.ru
29, Javid Ave, Baku, AZ 1143, Azerbaijan
Doctor of technical sciences

Sakit Rauf Rasulov

Azerbaijan State University of Oil and Industry

Email: rasulovsakit@gmail.com
34, Azadlig Ave, Baku, AZ 1010, Azerbaijan
Doctor of technical sciences, Professor

References

  1. Левич В. Г., Физико-химическая гидродинамика, Физматлит, М., 1962
  2. Soo S. L., Fluid Dynamics of multiphase systems, Blasdell Publ., Waltham, Mass., 1967
  3. Coulaloglou C. A., Tavlarides L. L., "Description of interaction process in agitated liquid- liquid dispersion", Chem. Eng. Sci., 32:11 (1977), 1289-1297
  4. Prince M. J., Blanch H. W., "Bubble coalescence and break-up in air-sparged bubble columns", AIChE J., 36:10 (1990), 1485-1499
  5. Hesketh R. P., Ethells A. W., Russell T. W. F., "Bubble breakage in pipeline flow", Chem. Eng. Sci., 46:1 (1991), 1-9
  6. Hesketh R. P., Ethells A. W., Russell T. W. F., "Experimental observations of bubble breakage in turbulent flow", Ind. Eng. Chem. Res., 30:5 (1991), 835-841
  7. Tsouris C., Tavlarides L., "Breakage and coalescence models for drops in turbulent dispersions", AIChE J., 40:3 (1994), 395-406
  8. Luo H., Svendsen H. F., "Theoretical model for drop and bubble breakup in turbulent dispersions", AIChE J., 42:5 (1996), 1225-1233
  9. Liu S., Li D., "Drop coalescence in turbulent dispersions", Chem. Eng. Sci., 54:23 (1999), 5667-5675
  10. Raymond F., Rozant J. M., "A numerical and experimental study of the terminal velocity and shape of bubbles in viscous fluids", Chem. Eng. Sci., 55:5 (2000), 943-955
  11. Galinat S., Masbernat O., Guiraud P., Daimazzonne C., Noik C., "Drop break-up in turbulent pipe flow downstream of a restriction", Chem. Eng. Sci., 60:23 (2005), 6511-6528
  12. Ceylan S., Kelbaliyev G., "Estimation of the maximum stable drop sizes, coalescence frequencies and the size distributions in isotropic turbulent dispersions", Colloid and Surfaces A: Physicochemical Engineering Aspects, 212:2-3 (2003), 285-295
  13. Келбалиев Г. И., Ибрагимов З. И., "Коалесценция и дробление капель в изотропном турбулентном потоке", Теор. осн. хим. техн., 43:3 (2009), 329-336
  14. Sarimeseli A., Kelbaliyev G., "Modeling of the break-up of deformable particles in developed turbulent flow", Chem. Eng. Sci., 59:6 (2004), 1233-1240
  15. Келбалиев Г. И., Расулов С. Р., Гидродинамика и массоперенос в дисперсных средах, Химиздат, СПб., 2014
  16. Blanchette F., Bigioni T. P., "Dynamics of drop coalescence at fluid interfaces", J. Fluid Mech., 620 (2009), 333-352
  17. Narhe R., Beysens D., Nikolayev V. S., "Dynamics of drop coalescence on a surface: The role of initial conditions and surface properties", Int. J. Thermophys., 26:6 (2005), 1743-1757
  18. Balmforth N. J., Llewellyn Smith S. G., Young W. R., "Dynamics of interfaces and layers in a stratified turbulent fluid", J. Fluid Mech., 355 (1998), 329-358
  19. Sis H., Kelbaliyev G., Chander S., "Kinetics of drop breakage in stirred vessels under turbulent conditions", J. Dispersion Sci. and Technology, 26:5 (2005), 565-573
  20. Liao Y., Lucas D., "A literature review of theoretical models for drop and bubble breakup in turbulent dispersions", Chem. Eng. Sci., 64:15 (2009), 3389-3406
  21. Walter J. F., Blanch H. W., "Bubble break-up in gas-liquid bioreactors: break-up in turbulent flows", Chem. Eng. J., 32:1 (1986), B7-B17
  22. Narsimhan G., "Model for drop coalescence in a locally isotropic turbulent flow field", J. Coll. Interf. Sci., 272:1 (2004), 197-209
  23. Wong D. C. Y., Simmons M. J. H., Decent S. P., Parau E. I., King A. C., "Break-up dynamics and drop size distributions created from spiraling liquid jets", Intern. J. Multiphase Flow, 30:5 (2004), 499-520
  24. Kraume M., Gäbler A., Schulze K., "Influence of physical properties on drop size distribution of stirred liquid-liquid dispersions", Chem. Eng. Tech., 27:3 (2004), 330-334
  25. Revankar S. T., "Coalescence and breakup of fluid particles in multi-phase flow", ICMF-4th International Conference on Multiphase Flow (New Orleans, Louisiana, USA, May 27-June 1), 2001
  26. Vanni M., "Approximate population balance equations for aggregation-breakage processes", J. Coll. Interf. Sci., 221:2 (2000), 143-160
  27. Attarakih M. M., Bart H. J., Faqir N. M., "Solution of the droplet breakage equation for interacting liquid-liquid dispersions: a conservative discretization approach", Chem. Eng. Sci., 59:12 (2004), 2547-2565
  28. Maniero R., Masbernat O., Climent E., Risso F., "Modeling and simulation of inertial drop break-up in a turbulent pipe flow downstream of a restriction", Intern. J. Multiphase Flow, 42 (2012), 1-8
  29. Tobin T., Muralidhar R., Wright H., Ramkrishna D., "Determination of coalescence frequencies in liquid-liquid dispersions: Effect of drop size dependence", Chem. Eng. Sci., 45:12 (1990), 3491-3504
  30. Simmons M. J. H., Azzopardi B. J., "Drop size distribution in dispersed liquid-liquid pipe flow", Intern. J. Multiphase Flow, 27:5 (2001), 843-859
  31. Angeli P., Hewitt O. F., "Drop size distribution in horizontal oil-water dispersed flow", Chem. Eng. Sci., 55:16 (2000), 3133-3143
  32. Волощук В. М., Седунов Ю. С., Процессы коагуляции в дисперсных системах, Гидрометеоиздат, Л., 1975
  33. Lasheras J., Martín-Bazán C., Montañés J., "On the break-up of air bubble injected into fully developed turbulent flow. Part 1: Break-up frequency", 30th Fluid Dynamics Conference, 1999
  34. Fei Y., Pang M., "Bubble Coalescence and Breakup Phenomena: A Review", Recent Patents on Engineering, 11:2 (2017), 80-88
  35. Kostoglou M., Karabelas A. J., "A contribution towards predicting the evolution of droplet size distribution in flowing dilute liquid/liquid dispersions", Chem. Eng. Sci., 56:14 (2001), 4283-4292
  36. Медников Е. П., Турбулентный перенос и осаждение аэрозолей, Наука, М., 1982
  37. Altunbas̨ A., Kelbaliyev G., Ceylan K., "Eddy diffusivity of particles in turbulent flow in rough cannels", J. Aerosol Sci., 33:7 (2002), 1075-1086
  38. Hinze J. O., "Fundamentals of the hydrodynamic mechanism of splitting in dispersion processes", AIChE J., 1:3 (1955), 289-295
  39. Roccon A., De Paoli M., Zonta F., Soldati A., "Viscosity-modulated breakup and coalescence of large drops in bounded turbulence", Phys. Rev. Fluids, 2:8 (2017), 083603
  40. Baldyga J., Bourne J. R., "Interpretation of turbulent mixing using fractals and multifractals", Chem. Eng. Sci., 50:3 (1995), 381-400
  41. Qian D., McLaughlin J. B., Sankaranayanan K., Sundaresan S., Kontomaris K., "Simulation of bubble breakup dynamics in homogeneous turbulence", Chem. Eng. Comm., 193:8 (2006), 1038-1063
  42. Clift R., Grace J. R., Weber M. E., Bubbles, drops and particles, Academic Press, New York, 1978
  43. Kelbaliyev G., Ceylan K., "Development of new empirical equations for estimation of drag coefficient, shape deformation and rising velocity gas bubbles or liquid drops", Chem. Eng. Comm., 194:12 (2007), 1623-1637
  44. Келбалиев Г. И., "Коэффициент сопротивления твердых частиц, капель и пузырей различной формы", Теор. осн. хим. техн., 45:3 (2011), 264-283
  45. Evans G. M., Jameson G. J., Atkinson B. W., "Prediction of bubble size generated by a plunging liquids jet bubble column", Chem. Eng. Sci., 47:13-14 (1992), 3265-3272
  46. Biń A. K., "Gas entrainment by plunging liquid jets", Chem. Eng. Sci., 48:21 (1993), 3585-3630
  47. Sis H., Chander S., "Kinetics of emulsification of dodecane in the absence and presence of nonionic surfactants", Colloids and Surface A: Physicochemical Aspects, 235:1-3 (2004), 113-120
  48. Pilch M., Erdman C. A., "Use of breakup them data and velocity history data to predict the maximum size of stable fragments for acceleration-induced breakup of a liquid drop", Int. J. Multiphase Flow, 13:6 (1987), 741-757
  49. Castellano S., Sheibat-Othman N., Marchisio M., Buffo A., Charton S., "Description of droplet coalescence and breakup in emulsions through a homogeneous population balance model", Chem. Eng. J., 354 (2018), 1197-1207
  50. Vankova N., Tcholakova S., Denkov N. D., Ivanov I. B., Vulchev V. D., Danner T., "Emulsification in turbulent flow: 1. Mean and maximum drop diameters in inertial and viscous regimes", J. Coll. Interf. Sci., 312:2 (2007), 363-380
  51. Sleicher C. A., "Maximum stable drop size in turbulent flow", AIChE J., 8:4 (2004), 471-477
  52. Kelbaliyev G., Sarimeseli A., "Modeling of drop coalescence in isotropic flow", J. Disp. Sci. Technol., 27:4 (2006), 443-451
  53. Yuan S., Fan Y., Li J., Cao Y., "Influence of droplet coalescence and breakup on the separation process in wave-plate separators", Canad. J. Chem. Eng., 96:7 (2018), 1627-1636
  54. Somwanshi P., Muralidhar K., Khandekar S., "Influence of drop shape and coalescence on dropwise condensation over textured surfaces", Proceedings of the 15th International Heat Transfer Conference, IHTC-15, 2014, 251-270
  55. Hagesaether L., Jakobsen H. A., Svendsen H. F., "A model for turbulent binary breakup of dispersed fluid particles", Chem. Eng. Sci., 57:16 (2002), 3251-3267
  56. Wang T., Wang J., Jin Y., "A novel theoretical breakup kernel function for bubbles/droplets in a turbulent flow", Chem. Eng. Sci., 58:20 (2003), 4629-4637
  57. Chatzi E., Lee J. M., "Analysis of interactions for liquid-liquid dispersions in agitated vessels", Ind. Eng. Chem. Res., 26:11 (1987), 2263-2267
  58. Chatzi E., Kiparissides C., "Dynamic simulation of bimodal drop size distributions in low-coalescence batch dispersion systems", Chem. Eng. Sci., 47:2 (1992), 445-456
  59. Alopaeus V., Koskinen J., Keskinen K. I., Majander J., "Simulation of the population balances for liquid-liquid systems in a nonideal stirred tank. Part 2: Parameter fitting and the use of the multiblock model for dense dispersions", Chem. Eng. Sci., 57:10 (2002), 1815-1825
  60. Lehr F., Milles M., Mewes D., "Bubble-size distributions and flow fields in bubble columns", AIChE J., 48:11 (2002), 2426-2443
  61. Konno M., Aoki M., Saito S., "Scale effect on breakup process in liquid-liquid agitated tanks", J. Chem. Eng. Japan, 16:4 (1983), 312-319
  62. Bhaga D., Weber M. E., "Bubbles in viscous liquids: shape, wakes and velocities", J. Fluid Mech., 105 (1981), 61-85
  63. Броунштейн Б. И., Щеголев В. В., Гидродинамика, массообмен и теплообмен в колонных аппаратах, Химия, Л., 1988
  64. Fanton X., Cazabat A. M., Quéré D., "Thickness and shape of films driven by a Marangoni flow", Langmuir, 12:24 (1996), 5875-5880
  65. Leo L. Y., Matar O. K., Susana Pérez de Ortiz E., Hewitt G. F., "A description of phase inversion behavior in agitated liquid-liquid dispersions under the Marangoni effect", Chem. Eng. Sci., 57:17 (2002), 3505-3520
  66. Scheludko A., "Thin liquid film", Adv. Colloid Interf. Sci., 1:4 (1967), 391-464
  67. Chen J.-D., Slattery J. C., "Effects of London-van der Waals forces on the thinning of a dimpled liquid films as a small drop or bubble approaches a horizontal solid phase", AIChE J., 28:6 (1982), 955-963
  68. Келбалиев Г. И., Сафаров Ф. Ф., "исследование утончения межфазной пленки в процессах разделения нефтяных эмульсий", Химия и технология топлив и масел, 2011, № 4, 18-23
  69. Sherman Ph., Emulsion Science, Academic Press, London, New York, 1968
  70. Петров А. А., Блатова С. А., "Изучение устойчивости углеводородных слоев на границе с водными растворами деэмульгаторов", Химия и технология топлив и масел, 1969, № 5, 25-32
  71. Burrill K. A., Woods D. R., "Film shapes for deformable drops at liquid-liquid interfaces. II. The mechanisms of film drainage", J. Coll. Interf. Sci., 42:1 (1973), 15-34
  72. Lasheras J. C., Eastwood C., Martín-Bazán C., Montañés J. I., "A review of statistical models for the break-up of an immiscible fluid immersed into a fully developed turbulent flow", Inter. J. Multiphase Flow, 28:2 (2002), 247-278
  73. Gardiner C. W., Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences, Springer Series in Synergetics, Springer, New York, 1985
  74. Протодьяконов И. О., Богданов С. Р., Статистическая теория явлений переноса в процессах химической технологии, Химия, Л., 1983
  75. Melzak Z. A., "A scalar transport equation", Trans. Amer. Math. Soc., 85 (1957), 547-560
  76. Higashitani K., Yamanchi K., Matsuno Y., Hosokawa G., "Turbulent coagulation of particles dispersed in a viscous fluid", J. Chem. Eng. Japan, 16:4 (1983), 299-304
  77. Келбалиев Г. И., Расулов С. Р., Мустафаева Г. Р., "Моделирование явлений коалесценции капель в процессах разделения нефтяных эмульсий", Химия и технология топлив и масел, 2018, № 2, 24-28
  78. Головин А. М., "К вопросу о решении уравнения коагуляции дождевых капель с учетом конденсации", Докл. АН СССР, 148:6 (1963), 1290-1293
  79. Alopaeus V., Laakkonen M., Aittamaa J., "Solution of population balances with breakage and agglomeration by high-order moment-conserving method of classes", Chem. Eng. Sci., 61:20 (2006), 6732-6752
  80. Maass S., Wollny S., Sperling R., Kraume M., "Numerical and experimental analysis of particle strain and breakage in turbulent dispersions", Chem. Eng. Res. Des., 87:4 (2009), 565-572
  81. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю., "Об одном классе аналитических решений стационарной осесимметричной конвекции Бенара-Марангони вязкой несжимаемой жидкости", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013, № 3(32), 110-118
  82. Vlasova S. S., Prosviryakov E. Yu., "Two-dimensional convection of an incompressible viscous fluid with the heat exchange on the free border", Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 20:3 (2016), 567-577
  83. Privalova V. V., Prosviryakov E. Yu., "Couette-Hiemenz exact solutions for the steady creeping convective flow of a viscous incompressible fluid, with allowance made for heat recovery", Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 22:3 (2018), 532-548
  84. Sajjadi S., Zerfa M., Brooks B. W., "Dynamic behaviour of drops in oil/water/oil dispersions", Chem. Eng. Sci., 57:4 (2002), 663-675
  85. Poston T., Stewart I., Catastrophe theory and its applications, Surveys and Reference Works in Mathematics, 2, Pitman, London, 1978, xviii+491 pp.
  86. Sevik M., Park S. H., "The splitting of drops and bubbles by turbulent fluid flow", J. Fluids Eng., 95:1 (1973), 53-60
  87. Risso F., Farbe J., "Oscillations and breakup of a bubble immersed in a turbulent field", J. Fluid Mech., 372 (1998), 323-335
  88. Келбалиев Г. И., Сулейманов Г. З., Зорофи Ф. А., Гасанов А. А.,Рустамова А. И., "Экстракционное разделение и очистка сточных вод органическими растворителями с рециркуляцией", Химическая промышленность, 88:1 (2011), 35-41
  89. Sjöblom J., Urdahl O., Hшiland H., Christy A. A., Johansen E. J., "Water-in-crude oil emulsions. Formation, characterization, and destabilization", Surfactants and Macromolecules: Self-Assembly at Interfaces and in Bulk, Progress in Colloid and Polymer Science, 82, Steinkopff, Darmstadt, 1990, 131-139
  90. Позднышев Г. Н., Стабилизация и разрушение нефтяных эмульсий, Недра, М., 1982
  91. Тронов В. П., Разрушение эмульсий при добыче нефти, Недра, М., 1974

Statistics

Views

Abstract - 98

PDF (Russian) - 44

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies